EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

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1 Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

2 Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández EJERCICIOS VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Eercicio.- Un eperimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sean las variables aleatorias: ="número de caras en las tres tiradas" e ="diferencia en valor absoluto entre el número de caras el de escudos en las tres tiradas". Se pide: a) Distribución de probabilidad de (, ) b) Media desviación típica de las distribuciones marginales de e c) Covarianza coeficiente de correlación d) Son e independientes? e) Distribución condicionada de a 3 f) Distribución condicionada de a P ; P P3 g),, a) Espacio muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) (c,c,c) 3 (c,c,c) 3 (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (e,e,e) (e,e,e) 3 Distribución de probabilidad: 3 p Probabilidades marginales: i pi p p p3 p4 3 3 i p pp p 6 Adviértase que la probabilidad conunta: 4 i 3 3 pi Siendo: 4 4 pi pi p. En general, i i n m n m p p p i i i i

3 b) Distribución marginal de la variable aleatoria : i pi.p i i i. p i 3 i Media: E(). p,5 4 i i i Var() E( ) E() Varianza: 4 i i i E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,66 Distribución marginal de la variable aleatoria : p.p. p Media: E(). p,5 Varianza: Var() E( ) E() E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,66 c) Covarianza coeficiente de correlación La covarianza se define: Cov(,). donde 4 E().. p i i i Así pues, ,5 con lo cual, Cov(,).,5,5.,5 Señalar que la covarianza Cov(, ) puede ser negativa, nula o positiva, siendo una medida de la fuerza de la relación lineal entre e. El coeficiente de correlación lineal es un número abstracto (sin unidades) que determina el grado en que las variables (, ) están relacionadas linealmente. Se define:.

4 con lo cual,.,75.,75 Denotar que. Cuando no eiste relación lineal entre las variables e, diciendo que están incorreladas. d) Para que e sean independientes se tiene que verificar: pi p i. p ( i, ) 3 pi p p p 6 p 6 p. p.p Las variables e NO son independientes Señalar que cuando dos variables e son independientes, es decir, cuando pi p i. p (, ), la covarianza es cero. El caso contrario no se verifica. Es decir: i e independientes Cov(, ) Cov(, ) e independientes e) Distribución condicionada de a 3 : P/ 3 P 3 P( 3) 3 pi P( / 3) p 6 En general, P P/ P( ) 3

5 f) Distribución condicionada de a : P/ P P( ) 3 pi P( / ) p 6 En general, P/ i P i P( ) g) P ;, P, P 3 i P ; P ; P ; 3 P ; P ;3 3 4 p p p p P P ;P ; 3 P 3;P 3;3 3 4 p3 p3 p4 p4 P 3 P ;P ;P ;P 3; p p p3 p4 4 4

6 Eercicio.- Sea una variable aleatoria bidimensional con distribución de probabilidad Se pide: a) Son e independientes? b) Hallar las medias desviaciones típicas de e c) Hallar las probabilidades: P ; P P d) Hallar el coeficiente de correlación a) Para analizar si e son independientes ha que hallar las distribuciones marginales de e, ver si verifica que pi p i. p ( i, ) pi p 3 3 p p.p. 6 3 p p.p p3 p 3.p. 6 3 p p.p. 3 3 p p.p p3 p 3.p Luego las variables e no son independientes. b) Para hallar las medias desviaciones típicas de e ha que considerar las distribuciones marginales: 5

7 Distribución marginal de la de la variable aleatoria i pi.p i i i. p i i Media: 6 3 E() i. pi i 3 E( ) i. pi i Varianza: Var() E( ) E() Desviación típica: 5,745 9 Distribución marginal de la variable aleatoria p.p. p Media: E(). p 3 E( ). p Var() E( ) E() 3 9 Varianza: Desviación típica:,943 9 c) Probabilidades: P ; P P 6

8 P ; P ; P ; 3 4 P P ; P ; P 3; P 3; 6 4 P P ; P ; P 3; 6 3 d) Coeficiente de correlación..p i i E().. p i i i Covarianza: Cov(,).., Coeficiente de correlación:,555.,745.,943,79 Siendo,79, valor cercano a, eiste una fuerte relación lineal entre las variables e. 7

9 Eercicio 3.- Sean (, ) los paquetes diarios que venden dos operadores de viaes, cua distribución de probabilidad conunta se reflea en la tabla:,5,5,,5,,5,,5,5 Hallar la media, varianza desviación típica de las variables:,,, pi.p i i i. pi,5,5,,4,5,,5,3,3,3,,5,5,3,6, p,3,4,3,9,5.p,4,6. p,4,,6 Distribución marginal de la variable : Media: 3 i i i E(). p,9 3 i i i E( ). p,5 Varianza: Var(),5,9,69 Desviación típica:,69,3 Distribución marginal de la variable : Media: E(). p 3 3 E( ). p,6 Varianza: Var(),6,6 Desviación típica:,6,77 Distribución de la variable ( ) :

10 Media: E( ) E() E(),9,9 Se tiene: 3 3 E( ) ( ).p i i i,5,5,,5,,5,,5,5.,5.,5.,.,5., 3.,5., 3.,5 4.,5,9 Varianza: Var( ) Var() Var() Cov(,) e no independientes..p i i,5,5,,5,,5,,,,5,5,,6,3,7 3 3 E().. p i i i Covarianza: Cov(, ).,9., Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,49 E () E() Se tiene:,5,5,,5,,5,,5,5.,5 4., 9.,5 4., 9.,5 6.,5 5, E ( ).,5.,5 4., E ( ) E( ) 5,,9,49 Distribución de la variable ( ) :, 49, Media: E( ) E() E(),9, Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,9 9

11 Eercicio 4.- Sea (, ) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad: k f(,) restantes valores a) Hallar k para que sea función de densidad b) Hallar las funciones de densidad marginales. Son e independientes? c) Hallar las funciones de distribución marginales d) Hallar las funciones de densidad condicionadas a) Para que f(, ) sea función de densidad tiene que verificarse: f(, ) d d k por tanto, k d d k d d k d k d k k f(,) restantes valores b) Funciones de densidad marginales: f() f(,)d d f() f(,)d d e son independientes cuando f(,) f ().f () f ().f ().() 4 4 f(,) luego no son independientes c) Funciones de distribución marginales: F () f (t)dt f (t)dt t dt t F () f (t)dt f (t)dt ( t)dt t t d) Funciones de densidad condicionadas:

12 f(,) f( / ) f() f(,) f( / ) f() Eercicio 5.- Sea (, ) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad: ; f(,) restantes valores a) Comprobar que f(, ) es función de densidad b) Hallar las medias de e c) Hallar las probabilidades: P ; P ; a) f(,) es función de densidad si se verifica: f(,) d d f(,) d d d d d d d d en consecuencia, f(, ) es función de densidad. b) Para hallar las medias de e ha que calcular primero las funciones de densidad marginales: f () f(,)d d f() f(,)d d d

13 3 E() f ()d. d 3 3 E() f ()d f ()d f ()d ()d ()d 3 3 ( )d ( )d c) Probabilidades: P ; P ; P ; f(,)dd d d d d P ; f(,)d d d d d d Eercicio 6.- La función de densidad asociada a la emisión de billetes de una compañía área es: f(,) enelresto a) Hallar la función de distribución b) Hallar las funciones de densidad marginales de e c) Son e independientes? v F(,) f(u,v) dv du (u v)dudv (u v)dv du u v du a) u u du u ( ) En consecuencia, ó F() ( ),, ( ) F(, ) F() ( ),

14 Funciones de densidad marginales de e f () f(,)d ( )d f () f(,)d ( )d Adviértase que: F() f() ( ) F() f() () a) e son independientes cuando se verifica f(,) f ().f () f().f(). f(,) luego no son independientes. Eercicio 7.- La función de distribución asociada a un fenómeno de la naturaleza es: F(, ) enelresto ( e ).( e ), a) Hallar la función de densidad b) Hallar las funciones de densidad marginales de e c) Hallar las funciones de densidad condicionadas d) Calcular el coeficiente de correlación a) ( e ).( e ) F(, ) F(, ) ( e ) f(,) (e ) (e ) () (e ).e e. e.e e, e Función de densidad f(,) enelresto () e b) Funciones de densidad marginales 3

15 () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e Adviértase que e son independientes al verificarse f(,) f ().f () f(,) e f ().f () e.e () e independientes La covarianza μ = σ = ρ = c) Funciones de densidad condicionadas f(,) e al ser e independientes () f( / ) e f () f() e f(,) e al ser e independientes () f( / ) e f () f() e d) El coeficiente de correlación. E().f ()d.e d.e e d.e e E().f ()d.e d.e e d.e e Nota:.e d.e e d.e e u du d donde se ha realizado el cambio dv e d v e d e () E(.)..f(,) d d..e d d.e d..e d E( ). f () d.e d.e..e d.e.e e.e..e.e Análogamente, E( ) 4

16 covarianza:.. coeficiente de correlación.. Las variables son incorreladas Eercicio.- La venta en un mercado de abastos lleva asociada la función: k f(,) enelresto a) Hallar k para que sea función de densidad b) Hallar la función de distribución c) Funciones de densidad marginales condicionadas d) Se considera la transformación Z T, hallar la función de densidad de la variable (Z,T) a) f(,) k Para que f(,) sea función de densidad debe verificarse que f(,) d d k d d k d d k d 4 kd k k k La función de densidad f(,) 4 enelresto b) Función de distribución F(,) P(, ) f(u,v) dv du uv uv F(,) dv du dv du uv dv du 5

17 v u u u v du du 4 4 u u ( ) () u u 4 6 En consecuencia, ( ) ( ) F(, ) 6 Las funciones de distribución marginales, resultan: uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u v du du u 4 o uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u u v du u du u También se podrían haber hallado a través de las funciones de densidad marginales: f () f(,)d d f () f(,)d d 4 4 F() P( ) f(u)du du u v4 v 7 F() P( ) f(v)dv dv 4v 6 La función de distribución conunta: 6

18 ó ( ) () 6 F(, ), 7, 6, c) Las funciones de densidad marginales se pueden hallar a partir de la función de distribución conunta: F() F() 7 4 f() () f() 6 o bien, a partir de la función de densidad: f () f(,)d d f () f(,)d d 4 4 Funciones de densidad condicionadas: f(,) ( ) 4 f( / ) f () f() 4 f(,) ( ) 4 4 f( / ) f () f() (4) 4 Las variables e no son independientes al ser f(,) f ().f () d) En la transformación Z T z z (z,t) J 3 (,) t t por lo que eiste la función de densidad g(z,t) (,) z t Despeando (,) en la función de (Z,T) se calcula el acobiano J (z,t) z t Z T Z Z 3 (,) 3 3 J T T ZT (z,t)

19 La función de densidad g(z,t) f h (z,t), h (z,t). J z t zt h(z,t), h(z,t), 3 3 zt 3 3 z t 3 z t z t 3 3 (zt)( zt) g(z, t). 4 3 f(,) 4 enelresto (z t)( z t) zt 3 g(z, t) 3 zt 3 enelresto Eercicio 9.- Sea (,) una variable aleatoria bidimensional con función de probabilidad p i c i i,,,,,,,,, enotrocaso a) Calcular el valor de la constante c b) P, c) P d) P a) Para determinar el valor de la constante c se elabora la tabla, siendo pi c i - - pi - 4c 3c c c c - 3c c c c 7c c c c c 6c c c c 3c 7c c c 3c 4c c p c 7c 6c 7c c 4c 5 5 pi 4c c i 4,,,, pi 4 enotrocaso i i,,,, P, 4 b)

20 c) P 7c 7 4 d) zona sombreada 7 P c 4 P P,P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, c 47 Eercicio.- Sean (,) dos variables aleatorias independientes, cada una con la función de densidad: e f() otrocaso e f() otrocaso Calcular la función de densidad de la variable aleatoria Por ser variables aleatorias independientes, la función de densidad conunta de la variable aleatoria bidimensional es: f, (,) otrocaso e, La transformación a aplicar es U V siendo e u u v v (,) u v Despeando (,) en la función de (U,V) se calcula el acobiano J (u,v) u v U V V UV (,) J (u,v) Función de densidad de la transformación h (u, v) v ; h (u, v) u v: f (u, v) f h (u, v), h (u, v). J f v, u v. J f v, u v. f v, u v U,V,,,, 9

21 U,V v (uv) u e e u,v, u v, otrocaso f (u,v) f (v, u v) Como se quiere obtener la función de densidad de la variable aleatoria U, se calcula la función de densidad marginal de U: u u u u u u U U,V f (u) f dv e dv e v u.e u u.e u f(u) U otrocaso Eercicio.- Sea (,) una variable aleatoria bidimensional absolutamente continua con densidad uniforme en el cuadrante unitario,,. Calcular la función de densidad conunta U V U V U (,) u v El acobiano J V UV (u, v) u v Función de densidad de la transformación h (u,v) (uv)/ ; h (u,v) (u v)/ : uv uv uv uv f U,V(u,v) f, h(u,v),h(u,v).j f,,.j f,,. uv uv f,,.. Dominio para las variables e : u v, uv u v uv, u ; v f U,V(u,v) enotrocaso

22 Eercicio.- Dada la variable aleatoria bidimensional (,) absolutamente continua con función de densidad conunta c f(,) enotrocaso Calcular: a) El valor de la constante c b) P c) Función de distribución conunta a) Para el cálculo de la constante c se procede: 6 c c c f(,) d d c d d d d 3 7 c c 6 4 c c c c 4c c con lo cual, f(,) 4 enotrocaso 4 6 P d d d d 4 b) c) F(,) f(u,v)dv du, u v v 6 u v u u F(,) u v dv du du du u vu 4 v u

23 3 7 u 3 7 u 3 7 u u 7 u 3 u u u , u v F(, ) u v dv du u vu 4, u v F(, ) u v dv du u vu 4 4 4, u v F(, ) u v dv du u vu 4, En consecuencia, F(, ) , 7 3, 4 4, 3 7,

24 Eercicio 3.- Dada la variable aleatoria bidimensional (,) con función de distribución,, F(, ),,, Calcular la función de densidad conunta de la v.a. bidimensional (,) a), F(, ),,,, f(,), F(, ),,,, Por consiguiente,, f(,) enotrocaso 3

25 Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández