2. Ejercicio: 003_VACD_081

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS ACADEMIA DE PROBABILIDAD Semestre: 7- SERIE TEMA VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. Ejercicio: _VACD_8 Sean las distribuciones marginales de probabilidad de las variables aleatorias y : f x (x).4.6 f y (y) f x (x).4.6. b) Cov x,y E xy x y f y (y)...4. E(xy) x y xy fxy(x, y) ()()(.8) ()()(.) ()()(.6) ()()(.4) ()()(.) ()()(.8) Si y son estadísticamente independientes: Obtener la distribución de probabilidad conjunta. Demostrar que el coeficiente de correlación: px,y Si y son estadísticamente independientes, entonces: f x,y f x f y xy x y fxy fxy fxy,,, f,.4..4 xy fxy,.6.. fxy,.6..8 fxy, f,.6..6 xy μ μ x y E(x) E(y) Cov x,y.4.4 ()()(.4) ()()(.6) x fx(x) ()(.4) ()(.6).6.4 y fy(y) ()(.) ()(.) ()(.4) ()(.) Cov( x, y) xy, x y x y. Ejercicio: _VACD_8 Sean y variables aleatorias con las distribuciones siguientes: P(x).6.4 P(y)...5

2 b) b) Obtener la distribución conjunta de y. c) Calcular el promedio conjunto de y. d) Existe algún tipo de relación entre las variables, fundamentar la respuesta. Marg Marg xypx,y E, E, c) No existe ninguna relación por ser independientes y considerando que f xf y...a f x,y Si f x,y.8 f x.6 f y 7. Sustituyendo en A se tiene.8.8 Por lo tanto se cumple y son independientes. Ejercicio: 4_VACD_4 Se seleccionan al azar dos repuestos para una pluma de una caja que contiene 4 repuestos azules, rojos y 5 verdes. Sea la variable aleatoria que representa el número de repuestos azules en la selección y sea la variable aleatoria que representa el número de repuestos rojos. Determinar la distribución de probabilidad conjunta. P x,y A donde A x,y b) Calcular Diga si y son estadísticamente independientes. La distribución de probabilidad conjunta se define por: f x,y P x, y P x y Sea la variable aleatoria que representa el número de repuestos azules, su recorrido es: R,, Sea la variable aleatoria que representa el número de repuestos azules, su recorrido es: R,, y La función de probabilidad en forma analítica es: f x,y 4 5 xyxy ; x,,; y,,; x y, en otro caso La función de probabilidad, en forma tabular, es: SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7

3 45, f, 45 f, f, 45 4 f, f, ya que x y debe ser, f, f, ya que x y debe ser, f, ya que x y debe ser, Entonces la forma tabular es: y, x P x,y A donde A x,y, esto es : 5 45 Pf,f,f, b) Las variables aleatorias conjuntas son independientes, cuando se cumple la definición: f x,y f x f y Sustituyendo se tiene: f, f f Sustituyendo los valores de la función conjunta y de las funciones marginales, se tiene: osea: Por tanto, no son estadísticamente independientes. 4. Ejercicio: 9_VACD_ Sea f x,y cx y para x,, y y,; SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7

4 Determine el valor de c para que esta expresión sea una función de probabilidad conjunta. Uno de los requisitos es que la suma de las probabilidades de, con lo cual podemos despejar el valor de c c c 5 4 c c d) Determine la función de densidad de probabilidad condicional del número de pacientes atendidos por el doctor, cuando la doctora atiende a dos pacientes e) Determine la función de densidad de probabilidad condicional del número de pacientes que atiende la doctora, cuando el doctor atiende a cinco pacientes f) Calcule las probabilidades P y P Determine si las variables aleatorias e son independientes Gráfica de la FDP: 5. Ejercicio: _VACD_ Dos oftalmólogos se asociaron para poner una clínica en la que, por la subespecialidad que manejan, él puede atender hasta cinco pacientes por día y ella puede atender hasta tres pacientes por día. Si (, ) es un vector aleatorio, donde es el número de pacientes atendidos por el doctor e es el número de pacientes atendidos por la doctora, según la tabla que muestra la función de masa de probabilidad conjunta. Determine la función de distribución acumulada conjunta b) Determine las funciones marginales de masa de probabilidad de y de c) Calcule la probabilidad de que entre los dos atiendan al menos a 6 pacientes en un día cualquiera. 5 F x,y p x i j Función de distribución acumulada conjunta SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 4

5 5 p x p x,y ; p y p x,y i j i j j i b) P 6 p, p 4, p 4, p 5, p 5, p 5, P y.4.5. P y..5 p,.5 P y..5.5 p,.5 P y..5.5 p4,.5 P4 y..5.5 p5,.6 P5 y c) x,y p p x y p SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 5

6 d) x,y p p y x 5 p 5 e) p,.5 5 P.5 p.6 6 p,.5 P. p.5 5 f) Las variables aleatorias e no son independientes porque la masa de probabilidad conjunta no coincide con el producto de las marginales; por ejemplo: p p p, ; Además, se percibe que ni las filas, ni las columnas son proporcionales entre sí. La función de densidad de probabilidad conjunta del vector aleatorio (, ) está dada por la expresión: xy x, x, y f, k, en otro caso Determine: El valor de k que haga que la expresión dada sea efectivamente una FDP b) La función de distribución acumulada conjunta del vector (, ) c) Las funciones de masa de probabilidad marginal de las variables aleatoria e d) La función de masa de probabilidad condicional de, para xy xy x x x x dydx x y dx x dx k k k k k,, k k, k k k xy f x,y x, x, y 6. Ejercicio: _VACC_5 SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 6

7 b) y x y x x uv uv uy F x,y u dvdu u v du u y du 6 6 x uy uy xy xy d) La función de masa de probabilidad condicional de, para = f x, x x/ f x f / / 6 x x/ x x / xy xy x f x x dy x y x 6 c) xy x x y y f y x dx Ejercicio: 5_VACC_4 Sea la variable aleatoria que mide la temperatura ambiental, en grados centígrados, que necesita un motor diesel para encender, la variable que mide el tiempo transcurrido, en minutos, hasta que enciende. Suponiendo que la f.d.p.c. viene dada por: f x,y C 4x y si x 4; y en otro caso Calcular el valor de la constante C. b) Calcular las funciones de densidad marginales. c) Calcular la probabilidad de que un día con temperatura de ºC, tarde en encender más de un minuto. Debemos considerar que se cumple (por ser f(x,y) f.d.p.c.): f x,y dxdy SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 7

8 4 c 4xy dydx c 4 b) Función de densidad marginal respecto de : f x,y dy 8x 6 si x 4 g x 44 enotrocaso Función de densidad marginal respecto de : 4 f x,y dx 4 8y si y h y 44 enotrocaso c) La probabilidad pedida es: f,y 4 y P 4 gx y si y P enotrocaso P 8 y dy.56 Entonces: 8. Ejercicio: 7_VACC_4 Un consultorio médico cuenta con dos líneas telefónicas. En un día seleccionado al azar, sea la proporción del tiempo que se utiliza la línea y sea la proporción del tiempo que se utiliza la línea. Si la función de densidad conjunta de estas variables aleatorias es: x y ; x, y f x,y ; en otro caso Cuál es la probabilidad de que la línea telefónica se encuentre libre durante el 8% del día? Probabilidad de que la línea telefónica se encuentre libre durante el 8% del día = P(.. P. f ydy x f y x ydx x y dx xy 4 y Por lo tanto: P. f y dy y dy Ejercicio: 8_VACC_5 Suponga que el porcentaje de alumnos y de alumnas que han concluido un examen de probabilidad y estadística se pueden describir mediante la función densidad de probabilidad conjunta: f x,y 8xy para x, y c.o.c. Encuentre las funciones marginales de y respectivamente. b) La función de probabilidad condicional de dado SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 8

9 c) Calcule la probabilidad de que menos de /8 de las alumnas que participan en este examen lo hayan terminado si se sabe que exactamente ½ de los alumnos lo hicieron. d) Determine la covariancia de y. y 8xy dx d y ; g x 8 xydy x h y 8 xydx 4 y b) Py x c) F x,y 8xy 4y g x x y ; y ; y 8 8 ydy 8 4ydy Py x 6 8 gx d) Para determinar la covarianza primero se asegurará que las variables no sean independientes: gxhy f x,y 8xy x 4y 8xy 8xy Las variables son independientes y la covarianza es igual a cero.. Ejercicio: 9_VACC_5 Sea el precio que el transportista inicial paga por un barril de petróleo crudo, y, el que paga la refinería que compra ese petróleo. La densidad conjunta de, está dada por: f, x,y x y 4 Desde el punto de vista físico, debe ser positiva o negativa Cov,? b) Calcular E, E, E y Cov,. c) Calcular E-. Interpretar esta esperanza desde el punto de vista práctico. 4 y dx dy NO ES FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA Sugerido para clase. Ejercicio: 7_VACD_ Supóngase que y tienen la siguiente distribución conjunta - Suma suma.4.9. Hallar las distribuciones marginales de y de. b) Hallar la cov,, esto es, la covarianza de y de. c) Hallar p,, esto es, la correlación de y de. d) y son variables aleatorias independientes? SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7 9

10 La distribución marginal a la derecha es la distribución de : i 4 Suma f (x i) la distribución marginal del fondo es la distribución de : i - Suma f (y i) b) Primero Calculamos : xf i xi y g y y j j Luego se calcula E : E xiy jhx i,y j Entonces: cov, E y c) Primero calculamos y i i E x f x var E ygy j j E var E Entonces: cov,.5484, d) y no son independientes, puesto que: P, P p h, f g Ejercicio: _VACC_ Una instalación de servicio telefónico opera con dos líneas de servicio. En un día seleccionado aleatoriamente, sea la proporción de tiempo que se utiliza la primera línea y la proporción de tiempo que se utiliza la segunda. Supóngase que la función de densidad de probabilidad conjunta para, es: x y ; x, y f, x,y ; en otro caso Calcular la probabilidad de que ninguna línea se utilice más de la mitad del tiempo SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7

11 b) Obtener la probabilidad de que la primera línea esté ocupada más del 75% del tiempo Para que ninguna línea se utilice más de la mitad del tiempo se tiene y..5.5 P.5,.5 x y dydx b) La marginal de es: fx x x y dy x Para x Por lo que la probabilidad buscada está dada por: 5 P.75 x dx Ejercicio: 4_VACC_ Considere que la función de densidad de probabilidad conjunta de un vector aleatorio (T, U) es t u f t,u ke, t, u, donde T es el tiempo de espera en cola, en minutos, de los clientes en la caja normal de un pequeño supermercado, y U es el tiempo de espera en cola, en minutos, de los clientes en la caja rápida. Determine el valor de k que hace que la función dada corresponda realmente a una función de densidad de probabilidad b) Determine la función de distribución acumulada conjunta c) Determine las funciones marginales de masa de probabilidad de T y de d) Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera en cola en la caja rápida sea mayor que el tiempo de espera en la caja normal e) Determine la función de densidad de probabilidad condicional del tiempo de espera en cola de la caja normal cuando el tiempo de espera en cola de la caja rápida es de un minuto. b a a a b a t u k lim lim b a e du dt t u t u ke du dt k lim lim e du dt b a tu b ta t b a b a k lim lim e dt k lim lim e e dt b b b t t t k lim e e dt k lim e dt k lim e dt b b b k t b k b k k k lim e lim e e e b b k tu, k f t,u e, t, u y u t xy u t u t x y e x F t,u e dxdy e e dxdy e dxdy SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7

12 u y x t u y t u y t e e dy e e e dy e e dy e t u e y u dy t y t u e e e e e t u tu u t e e e e e t y t e e dt e e t t t t t e dt e e dt e dt t t e dt e e e T b) t u t b u t u f t e e du e e du e lim e du b t u b t b t t e lim e e lim e e e e e U b b t u u b t u t b f u e e dt e e dt e lim e dt b e lim e e lim e e e e e u t u b u u c) b b ty t y t t P U T P T,T U e dydt e e dy dt d) f t,u e tu tuu t ft t u e e f u T t fu u e u fu ue, fu e, ft t e f t, e e e f t t t t T fu u / e La FDP condicional T También se debe verificar que U f u t f u U f t u coincide con la FDP marginal f t. f) Identifique si las variables aleatorias T y U son independientes. El resultado inmediato anterior indica que las variables aleatorias T y U son estadísticamente independientes. Otra forma de corroborarlo es que su FDP conjunta es el producto de sus FDPs marginales: t u tu ft t fu ue e e f t,u T SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS. 7