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Pascual Sergio Medina Ortega
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN

HORAS 9 DE NOVIEMBRE DE 1 NOMBRE Apellido paterno Apellido materno Nombre (s) Firma Problema 1 En la tabla siguiente se presentan los ingresos amiliares en miles de pesos, en las áreas metropolitanas

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 13 1 TIPO 1 DURACIÓN MÁIMA. HORAS 9 DE NOVIEMBRE DE 1 NOMBRE Apellido paterno Apellido materno Nombre (s) Firma Problema 1 En la tabla siguiente se presentan los ingresos amiliares en miles de pesos, en las áreas metropolitanas más grandes del país. Intervalo de clase a) Bosquejar la ojiva. b) Obtener la media, la mediana y la moda. c) A partir del resultado obtenido en el inciso b), determinar el tipo de sesgo de la distribución de los datos. Justiicar su respuesta. d) Calcular el coeiciente de variación. a) La tabla de distribución de recuencias es Clase Límites Fronteras Marcas de Clase ( i ) Absoluta ( i ) Relativa (* i ) Acumulada (F i ) Acumulada Relativa (F* i ) PyE_ EF1_TIPO1_13-1 1

2 b) La media se deine por 1 m m * n i i i i i = 1 i = 1 = = al sustituir, se tiene 1 88 = (.5)( 14 )... ( 1.5)( 1) = = 8 La moda se deine como la marca de clase con mayor recuencia, entonces mo = 18.5 La moda también puede aproimarse utilizando la marca de clase de intervalo con recuencia máima 1 mo = Frin eriorclase mod al + c Δ 1 + Δ Δ 4 mo = = con los valores respectivos La mediana es el valor que divide en dos partes iguales a la muestra, entonces se realiza una interpolación lineal como Fronteras Acumulada Relativa (F* i ) 8.5 3/8 % 4/ /8 La pendiente dados dos puntos es 44 3 y1 y m = = = = la ecuación de la recta es y y = m 44 3 y = 8 8 ( 1.5) entonces = ( % 1.5) se tiene la mediana 4 % = 1.5 = PyE_ EF1_TIPO1_13-1

3 c) El sesgo se puede determinar en este caso de orma empírica, ya que, = 11 % = = = 11 < % = < mo = Por lo tanto el sesgo es negativo. mo 1 d) El coeiciente de variación está deinido por CV = S n para lo cual se requiere de la variancia de la muestra, entonces de la deinición para datos agrupados, se tiene 5 1 n 1 = ( i ) i n 1 m = 1 S al sustituir en la variancia muestral, se tiene 1 7 sn 1 = (.5 11) ( 14 ) ( ) = = por lo que el coeiciente de variación es cv = = Problema Un alumno contesta una pregunta que orece cuatro soluciones posibles en un eamen de opción múltiple. Supóngase que la probabilidad de que el alumno conozca la respuesta correcta es.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de.. Si el alumno contesta correctamente la pregunta, cuál es la probabilidad de que eectivamente conozca la respuesta correcta? Sean los eventos: A el alumno contesta correctamente la pregunta. B el alumno conoce la respuesta correcta. Del enunciado.8 P B = P( B ) =. P( A B ) = 1 P( A B ) =.5 de acuerdo con los eventos, se pide calcular P( B A ), del Teorema de Bayes, se tiene ( ) + P A B P B P A B P B P A B P( B A) = = = P A P( A) P B P A B P B P A B sustituyendo (.8)( 1).8 P( B A ) = = PyE_ EF1_TIPO1_13-1 3

4 Problema 3 Si denota el tiempo de digestión (medido en horas) de una comida. Entonces es una variable aleatoria. Supóngase que su unción de densidad es 3 9 e ; = ; en otro caso a) Determinar la unción distribución acumulativa y usarla para determinar la probabilidad de que la comida sea completamente digerida cuando mucho en dos horas. b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo para digerir toda la comida tome más de tres horas? c) Cuál es el tiempo promedio de digestión de una comida? a) La unción de distribución acumulativa se deine por F = t dt al sustituir en la unción de densidad e integrando por partes, se tiene 3 t 3t t 3t 1 3t F = 9 te dt= 9 te dt= 9 e e = 3 9 3t F = 3e t+ = 1 3e e 3 por lo tanto la unción está dada por F ; < = 1 3 e e ; 3 3 La probabilidad de que la comida sea digerida en máimo dos horas, es P < = F = 1 3 e e = 1 6e e = 1 7e.983 b) Se pide calcular la probabilidad de, usando la unción acumulativa y sus propiedades ( 3) 1 ( 3) 1 ( 3) 1 1 3( 3) P > = P = F = e e = = e + e = 1e.1 c) El tiempo promedio de digestión está dado por el valor esperado, que se deine por E = d si eiste al sustituir ( ) E = e d = e d se tiene una integral impropia y se resuelve por partes, entonces R R E ( ) = 9 lím e d = 9 lím e e e = 3 lím e R R R R PyE_ EF1_TIPO1_13-1 4

5 R R 1 E( ) = 3 lím e ( 9 6 ) lím e ( 9R 6R ) ( ) R = + + = = 3 R 3 3 Problema 4 Se sabe que el 7% de los paquetes que se envían de una ciudad a un algún destinatario se pierden y nadie se hace responsable. Una persona tiene dos libros que desea enviar cuyo costo es de $. por cada uno. El costo del envío por un paquete con los dos libros es de $5. pero si los envía por separado cada paquete tiene un costo de $3.3. El señor desea minimizar el valor esperado de su desembolso que es el gasto del correo más la posible pérdida. Qué es mejor, enviar los libros en un solo paquete o separados? Sea la variable aleatoria el gasto de envío más la posible pérdida. La unción de distribución de probabilidad para enviar un solo paquete ( ) Para este caso el valor esperado es E = = = 8 No se pierde Se pierde La unción de distribución de probabilidad para enviar dos paquetes es Para este caso el valor esperado es E = = = 9.4 Las probabilidades para este caso se obtuvieron aplicando una unción de distribución binomial porque es independiente, entonces n = p q n Paquetes perdidos = = = = = = = = = ( ) PyE_ EF1_TIPO1_13-1 5

6 Problema 5 Sea la temperatura ambiente (en C) y Y el tiempo (en minutos), requeridos para que el motor diesel de una camioneta esté listo para ponerla en movimiento. Supóngase que la densidad conjunta de y Y está dada por 1 ( 4+ y+ 1 ) ; 4, y Y (, y) = 664 ; en otro caso a) Determinar la probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente la temperatura ambiente sea mayor a C y se requiera por lo menos un minuto para poner en movimiento la camioneta. b) Son independientes y Y? Justiique la respuesta sobre bases matemáticas. a) Del enunciado se pide calcular P( >, 1 Y ) = ( 4+ y+ 1) ddy = ( + y+ ) dy = = ( ( 4) + ( 4) y+ 4 y ) dy = ( 4 + 4y) dy = = ( 4y+ y ) = (( 4) + ( 4) 4 ) = b) Las variables aleatorias conjuntas son independientes, si cumple con Y ( y, ) = Y ( y) o bien, ( Y) = Y o bien Y = y Y Y Entonces al calcular las unciones marginales, de la deinición = Y (, y) dy Y ( y) = Y (, y) d sustituyendo y dy y y y = ( ) = = [ 8 + 6] 1 [ 8+ 6 ] ; 4 = 664 ; en otro caso y y d y y Y Y = ( ) = + + = [ ] ( y) 1 [ 8y+ 34 ] ; = 664 ; en otro caso sustituyendo en la condición PyE_ EF1_TIPO1_

7 [ 8 6] 1 + y+ [ 8y 34] Por lo tanto, las variables aleatorias conjuntas no son independientes. Problema 6 Se debe colocar un cordón de soldadura a 4 piezas. Basado en su eperiencia, un soldador sabe que el tiempo promedio requerido para colocar el cordón de soldadura en una de las piezas es de 5 minutos y su desviación estándar es de 3 minutos. El soldador comienza a aplicar los cordones a las 6: p.m. y sabe que el valor medio de aplicación de los 4 cordones debe ser de máimo 4.5 minutos, si desea colocar todos los cordones de soldadura antes de las 9: p.m. (hora de término de su turno de trabajo). Cuál es la probabilidad de que el soldador termine de colocar los 4 cordones antes de que termine su turno de trabajo? Sea la variable aleatoria que representa el tiempo para colocar el cordón de soldadura a una pieza, entonces tiene un promedio de 5 minutos y desviación estándar de 3 minutos, no se especiica qué distribución tiene, pero es una muestra grande. Se pide calcular para que en promedio las 4 piezas, cada una tarde a lo más 4.5 minutos, con 1,, 3,..., 4 por lo que, se pide calcular P( < 4.5) Por el Teorema del Límite Central σ 3 ~ Normal μ = μ = 5min, σ = = n 4 al realizar cálculos y haciendo la estandarización y al usar la tabla de la distribución acumulativa normal estándar, se tiene μ ( ) P( < 4.5) P < = P Z < 4 = P( Z < 1.5) = FZ ( 1.5) =.1469 σ 3 3 n 4 Problema 7 El departamento de publicidad de una compañía que abrica detergentes para trastos desea saber qué tan uerte es la relación y el porcentaje de eplicación entre las ventas y el número de comerciales televisivos transmitidos por día para una muestra aleatoria de siete ciudades. Ventas (en cientos de unidades por mes, y); Comerciales (número transmitido por día ). Se sabe que r =.736, interpretar el resultado. 1 Puntos La relación lineal es relativamente uerte, según el decisor, r = ya que no es tan cercana a uno. La relación es muy ligera ya que por cada comercial transmitido, y (las ventas) se incrementan ligeramente, además, el modelo eplica el 73.6% de la variabilidad de las ventas, y. PyE_ EF1_TIPO1_13-1 7

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