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1 UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBADE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso - (JUNIO) MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora cientíica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráica o de cálculo simbólico. Caliicación: Cada pregunta se valorará sobre puntos. Tiempo: 9 minutos. OPCIÓN A Problema.- (Caliicación máima: puntos) Sean las matrices A B a) Calcúlese t B A, donde A t denota la traspuesta de la matriz A b) Resuélvase la ecuación matricial A a. t t B A t t adj b. : Se estudian los rangos de las matrices que deinen el sistema para clasiicarlo poder resolverlo. A rg A * A rg A* n rg A* A rg. Sistema compatible determinado. Sistema equivalente: : Problema.- (Caliicación máima: puntos) Se considera la unción, la región del plano S deinida por el siguiente conjunto de restricciones:, 6,, a) Represéntese la región S

2 b) Calcúlense las coordenadas de los vértices de la región S obténganse los valores máimo mínimo de la unción en S indicándose los puntos donde se alcanzan. a. Se representan las rectas, a continuación se delimita la región del plano que delimita cada inecuación, tomado un punto cualquiera del plano comprobando si lo cumple la inecuación. Si se toma como punto de prueba el (, ): (, ) Falso. La inecuación se cumple de la recta hacia arriba hacia la izquierda. (, ) 6 6 Verdadero. La inecuación se cumple de la recta hacia abajo hacia la izquierda. La inecuación se cumple del eje de ordenadas (OY) hacia la derecha La inecuación se cumple de la recta hacia abajo. La región actible es la coloreada en la igura adjunta. b. Vértices: 6 D : : A (, ) B : : B(, ) C : 6 : C(, ) D(, ) Optimación: Vértice (, ) A (, ) B (, ) 6 C (, ) 9 D (, ) 6 La unción (, ) alcanza un valor máimo de 6 unidades en el punto B(, ) La unción (, ) alcanza un valor mínimo de -6 unidades en el punto D(, ) Problema.- (Caliicación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por a b si si si < > a) Determínense a b para que sea continua en todo R. b) Calcúlese d a. La unción está deinida por epresiones polinómicas, las cuales son continuas en sus dominios de deinición, por lo tanto para que la unción sea continua, deberá ser continua en los puntos rontera.. Para que la unción sea continua en, se debe cumplir: ( a) ( ) a : a a

3 . Para que la unción sea continua en, se debe cumplir: ( ) ( b) 7 7 b : b 7 b b. d ( ) d Problema.- (Caliicación máima: puntos) Sean A B dos sucesos de un espacio muestral tales que: p ( A), ; p ( A B), ; p ( B A), Calcúlense p B a) p a. Conocido el valor de la probabilidad de la unión de sucesos, se puede calcular la probabilidad de B. b) ( A B) p ( A B) p( A) p( B) p( A B) p( B) p( A B) p( A B) p( A) La probabilidad de la intersección se puede obtener a partir de la probabilidad condicionada (B/A). p ( B A) ( B A) ( A B) p( A B) p B A p( A B) p( A) p( B A) p A p( A) Sustituendo en la epresión de p ( B) p ( B) p( A B) p( A) p( B A) p( A),,,,, b. Aplicando la epresión de probabilidad condicionada p ( A B) * p( A) p( A B) p A p A p B A p A B p B p B p B,,,,,,7,86 7 Problema.- (Caliicación máima: puntos) La longitud, en milímetros (mm), de los individuos de una determinada colonia de gusanos de seda se puede aproimar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida µ desviación típica igual a mm. a) Se toma una muestra aleatoria simple de 8 gusanos de seda se obtiene una media muestral igual a 6 mm. Determínese un intervalo de conianza para la media poblacional de la longitud de los gusanos de seda con un nivel de conianza del 9 %. b) Determínese el tamaño muestral mínimo para que el error máimo cometido en la estimación de µ por la media muestral sea menos o igual que mm con un nivel de conianza del 9 %. a. longitud de los gusanos de seda. Variable continua con distribución Normal, para nuestras de tamaño n 8, la variable media muestral también sigue una distribución Normal desviación típica (σ) igual a mm : N µ, σ, siendo la 8 El intervalo de conianza para la media poblacional a partir de una media muestral ( 6 mm) viene dado por la epresión: Epresión de la que se conoce todo ecepto el valor de crítico σ σ zα, zα n n z, que se obtiene del nivel de conianza. α

4 α zα φ, siendo α Nivel de conianza 9%,9 α,, zα φ φ (,97), 96 Sustituendo en la epresión del intervalo: 6,96, 6, (,; 6,8) Con un nivel de conianza del 9 % se puede airmar que la longitud media de los gusanos de seda de la colonia va a estar comprendida entre, 6,86 mm. b. El tamaño de la muestra se puede obtener a partir del máimo error admitido. σ σ εmá > zα n > zα n ε má Al igual que en el apartado a, el valor crítico se obtiene del nivel de conianza α zα φ, : zα φ φ,9, Nivel de conianza α,9 α, n >,6,... n individuos 6

5 OPCIÓN B Problema.- (Caliicación máima: puntos) Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a: az z a z a) Discútase el sistema según los dierentes valores de a. b) Resuélvase el sistema en el caso a. a. El sistema se clasiica en unción de los rangos de las matrices de coeicientes (A) ampliada (A*), según el teorema de Rouchè-Frobenius. a a A A * a A A* rg A rg A* n Si A rg A rg A* n. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeicientes ( A ). det A ( 8a 6 ) a 9a ; A ; a ; a a Discusión: i. Si a, A rg A rg A* n. Sistema compatible determinado. ii. Si a, A rg A <. A, rg A rg A* A *. Partiendo del menor de orden distinto de cero, se estudian sus orlados. Uno de los orlados, es el determinante de la matriz de coeiciente, que para a, es cero. El otro orlado es el ormado por la ª, ª ª columna. rg A* rg A n. Sistema compatible indeterminado. b. Para a, sistema compatible determinado. Se resuelve por el método de Cramer. z a z A a z A A Az ; ; z A A A

6 6 Problema.- (Caliicación máima: puntos) Dada la unción real de variable real a) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa. b) Calcúlese d a. La ecuación de la recta tangente a la unción () en en orma punto-pendiente es: 6 6 Sustituendo en la epresión de la recta tangente: Ordenando despejando a la orma eplicita: b. ( ] d d ( ] Problema.- (Caliicación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por a) Determínense sus asíntotas b) Determínense el dominio los intervalos de crecimiento decrecimiento de a. Asíntotas verticales. Rectas de la orma a, tales que a Dominio k a [ ] { } { } R R D En ha una asíntota vertical. Tendencias laterales: Asíntota horizontal. Recta de la orma L, donde L ± R ± La unción no tiene asíntota horizontal Asíntota oblicua. m n m

7 ( ) n ( m) Asíntota oblicua b. Dominio: D[ ] { R } R { } Monotonía: se asocia al signo de la derivada, en los intervalos donde > los intervalos donde <, () es decreciente. ( ) ( ) ( ) ( ), () es creciente, en Ceros polos de la derivada: Ceros : Polos : : ( ) : : : ( ) Estudio del signo de ( ) < Si (, ) (, ) > es creciente Si (, ) (, ) es decreciente Problema.- (Caliicación máima: puntos) Se dispone de un dado cúbico equilibrado dos urnas A B. La urna A contiene bolas rojas negras; la urna B contiene rojas tres negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es o etraemos una bola de la urna A; en caso contrario etraemos una bola de la urna B. a) Cuál es la probabilidad de etraer una bola roja? b) Si la bola etraída es roja, cuál es la probabilidad de que sea de la urna A? Los datos del enunciado, se pueden recoger en un diagrama en árbol. p p ( A) ( B) 6 6 : : p p p p ( R A) ( N A) ( R B) ( N B) Incompatibles Dependientes a. p( R) p( ( A R) ( B R) ) p( A R) p( B R) p( A) p( R A) p( B) p( R B) b. p( A R) 7,667 p ( R) 6,67% p( A R) p( A) p( R A),86 p ( A R),86% p( R) p( R) 7 7 Baes 7

8 Problema.- (Caliicación máima: puntos) El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproimar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ desviación típica σ litros. a) Se toma una muestra aleatoria simple se obtiene un intervalo de conianza (6,; 9,7) para estimar µ, con un nivel de conianza del 9 %. Calcúlese la media muestral el tamaño de la muestra elegida. b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 6. Calcúlese el error máimo cometido en la estimación de µ mediante la media muestral con un nivel de conianza del 9 %. a. consumo de leche. : Nµ, ( σ) σ L Los intervalos de conianza de la variable son intervalos de probabilidad a partir de la media de una muestra, por lo tanto, la media de la muestra es el punto medio del intervalo. 6. 9,7 7,8 L El tamaño de la muestra, obtiene del error máimo admitido. σ σ εmá > zα n > zα n ε má z, que se obtiene del nivel de conianza. El valor de crítico α α zα φ, siendo α Nivel de conianza 9%,9 α,, zα φ φ (,97), 96 El error máimo es el valor absoluto de la dierencia entre la media de la muestra un etremo del intervalo. ε má 7,8 9,7,7 Sustituendo en la epresión, se calcula el tamaño muestral n >,96 σ b. εmá > zα,96,7 L n 6,7 6 Elementos 8