Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Vectores aleatorios Probabilidad y Estadística Vectores aleatorios Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

2 Vectores aleatorios semana 17 Supongamos que en un grupo de veinte personas hay dos con ojos de color claro y el resto de color oscuro, hay cinco personas con color de cabello rubio, seis negro y nueve castaño. Elegimos una persona al azar entre las veinte y observamos su color de ojos y cabello. Definamos { 1 si la persona elegida tiene ojos de color claro X = 0 si la persona elegida tiene ojos de color oscuro 0 si la persona elegida tiene cabello castaño Y = 1 si la persona elegida tiene cabello negro 2 si la persona elegida tiene cabello rubio Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

3 Vectores aleatorios semana 17 Notemos que P(X = 1) es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga ojos de color claro, también podemos obtener P(Y = 0) que es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga cabello castaño, pero... el lector podría obtener la probabilidad de que la persona seleccionada tenga ojos claros y color de cabello castaño? con sólo algunos intentos el lector se dará cuenta que no se tiene información suficiente para responder a tal pregunta... por qué?. El anterior ejemplo muestra que en general no es posible calcular probabilidades conjuntas de dos v.a. teniendo la distribución de cada una por separado. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

4 Vectores aleatorios semana 17 Definición 1.1 (Vector aleatorio) Dado (Ω, A) un espacio probabilizable, decimos que X = (X 1,..., X n ) es un vector aleatorio si cada una de las X i es una v.a. sobre (Ω, A). Con el objetivo de no marear con la notación, en la mayor parte de lo que sigue del tema trabajaremos sólo con vectores X : Ω R 2. es decir: X(ω) = ( X(ω), Y(ω) ) Notación: Al igual que para variables aleatorias, anotaremos P ({ }) nt ω Ω : (X(ω), Y(ω)) B 1 B 2 = P ( ) nt (X, Y) B 1 B 2 = P ( ) X B 1, Y B 2 Si en particular tenemos que B = (, x] (, y] anotaremos: P ( X (, x], Y (, y] ) nt = P(X x, Y y) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

5 Vectores aleatorios semana 17 Definición 1.2 (Función de distribución de (X, Y)) Dado un espacio de probabilidad (Ω, A, P) y un vector aleatorio X = (X, Y) llamamos función de distribución de (X, Y) a la función F X,Y : R 2 R tal que F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) F X,Y la llamaremos también función de distribución conjunta de las variables aleatorias X e Y. Pasemos a estudiar algunas de sus propiedades. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

6 Vectores aleatorios semana 17 Proposición 1.1 (Propiedades de F X,Y ) Sea (X, Y) un vector aleatorio sobre (Ω, A, P), entonces: 1 F X,Y (x, y) [0, 1] para todo x, y R. 2 F X,Y es no decreciente en cada componente, es decir, si x 1 < x 2 entonces F X,Y (x 1, y) F X,Y (x 2, y) y si y 1 < y 2 entonces F X,Y (x, y 1 ) F X,Y (x, y 2 ). 3 F X,Y es continua por derecha en cada una de sus componentes. 4 lím x F X,Y(x, y) = 0 y lím y F X,Y (x, y) = 0 5 lím x + F X,Y(x, y) = P(Y y) = F Y (y) y lím y + F X,Y(x, y) = P(X x) = F X (x) 6 lím x,y + F X,Y(x, y) = 1 Ejercicio 1.1 Hacer la prueba de las propiedades. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

7 Vectores aleatorios semana 17 Cómo obtendría la distribución de una componente sabiendo la distribución conjunta? Si conoce la distribución de cada componente, puede obtener la distribución conjunta? Definición 1.3 (Distribución marginal) Sea (X, Y) un vector aleatorio con función de distribución F X,Y, llamamos distribuciones marginales a cada una de las distribuciones de X y de Y. Observación: Por lo anterior, tenemos que F X (x) = lím y + F X,Y(x, y) y F Y (x) = lím x + F X,Y(x, y) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

8 Vectores aleatorios semana 17 Tipos de vectores aleatorios Estudiaremos aquí dos grandes grupos de vectores: los discretos y los absolutamente continuos. Cómo definiría a un vector aleatorio discreto? Definición 1.4 (Vectores aleatorios discretos) Decimos que un vector aleatorio (X, Y) es discreto si X e Y son v.a. discretas. Veamos ahora algunos ejemplos: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

9 Vectores aleatorios semana 17 Ejemplo 1 Sean X e Y dos variables aleatorias tal que su cuantía conjunta viene dada por: P(X = i, Y = j) i = 1 i = 2 i = 3 j = 0 1/6 1/4 1/4 j = 1 1/6 1/12 1/12 0 Notemos que 1 { }} { 2 j=0 i=1 P(X = i, Y = j) = 1 por lo tanto la Función distribución del vector (X, Y) queda determinada por la tabla anterior. Cómo hallaría la función de distribución de (X, Y) en este caso? Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

10 Vectores aleatorios semana luego de algunas sumas y planteo de regiones llegamos a: F : R 2 R tal que F(x, y) = 0 si x < 1 o y < 0 1/6 si (x, y) [1, 2) [0, 1) 2/6 si (x, y) [1, 2) [1, + ) 5/12 si (x, y) [2, 3) [0, 1) 2/3 si (x, y) [2, 3) [1, + ) 8/12 si (x, y) [3, + ) [0, 1) 1 si (x, y) [3, + ) [1, + ) Queda claro que resulta más práctico y sencillo tener la tabla de cuantía conjunta. Esto también queda en evidencia si tratamos de hallar la distribución marginal de X y de Y. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

11 Vectores aleatorios semana 17 Recordemos que la distribución marginal de X se obtiene de F X (x) = lím y + F X,Y(x, y). Por lo tanto P(X = i) = j=0,1 P(X = i, Y = j), es decir, sumando los valores de la cuantía conjunta para todos los valores del recorrido de Y obtenemos la cuantía de X. Es análogo para obtener la cuantía de Y, de donde tenemos: P(X = i, Y = j) i = 1 i = 2 i = 3 P(Y = j) j = 0 1/6 1/4 1/4 2/3 j = 1 1/6 1/12 1/12 1/3 P(X = i) 1/3 1/3 1/3 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

12 Vectores aleatorios semana 17 Por lo comentado anteriormente y según nuestra experiencia para variables aleatorias, siempre determinaremos a la distribución de un vector aleatorio Discreto por medio de la cuantía conjunta. De ésta obtendremos las cuantías marginales y estudiaremos el comportamiento en general. Veamos ahora un modelo de vector aleatorio discreto que es comúnmente usado. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

13 Vectores aleatorios semana 17 Ejercicio 1.2 Supongamos que en una urna hay tres bolillas rojas, dos azules, cinco verdes y cinco negras. Se extraen con reposición seis bolillas. Sea X = (X 1, X 2, X 3, X 4 ) tal que X 1 = cantidad de bolillas rojas extraídas, X 2 = cantidad de bolillas azules extraídas, X 3 = cantidad de bolillas verdes extraidas y X 4 = cantidad de bolillas negras extraidas. Calcular la probabilidad: P(X 1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 3, X 4 = 0) P(X 1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 3, X 4 = 0) = 6! 2! 1! 3! 0! p2 1 p1 2 p3 3 p0 4 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

14 Vectores aleatorios semana 17 La generalización de este caso nos lleva a: Definición 1.5 (Vector aleatorio multinomial) Decimos que un vector aleatorio X = (X 1,..., X n ) tiene distribución multinomial de parámetros N, p 1,..., p n si P(X 1 = m 1,..., X n = m n ) = N! m 1!... m n! pm 1 p m n 1 n donde m 1,..., m n N cumplen m m n = N y p p n = 1. Observemos que este modelo es útil cunado repetimos un experimento independientemente y en iguales condiciones, tenemos varios grupos de la población y nos interesa contar la cantidad de extracciones de cada grupo. Es la generalización del modelo binomial dónde sólo teníamos el grupo de éxitos y fracasos, acá pueden haber más grupos. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

15 Vectores aleatorios semana 17 Ejercicio 1.3 Se tira un dardo sobre un blanco, el blanco tiene un círculo negro de radio 1 cm, seguido de un anillo verde donde el radio del círculo negro-verde es 3 cm. Por último, un anillo de color rojo donde el radio del círculo negro-verde-rojo es 6 cm. 1 Hallar la probabilidad de darle a cada una de las zonas en una tirada, sabiendo que la probabilidad de darle a cada una de las zonas es proporcional al área de la zona. 2 Se tira el dardo diez veces, hallar la probabilidad de darle tres veces al negro, dos veces al verde y cinco veces al rojo. 3 Se tira el dardo diez veces, hallar la probabilidad de darle al menos una vez al negro y al menos dos veces al verde. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

16 Vectores aleatorios semana 17 Definición 1.6 (Vectores aleatorios absolutamente continuos) Decimos que un vector aleatorio (X, Y) con función de distribución F X,Y : R 2 R es absolutamente continuo, si existe una función f : R 2 R no negativa tal que: F X,Y (x, y) = x y f (u, v) dudv x, y R Aquí la función f es llamada densidad del vector aleatorio (X, Y) o densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y. Observación: Es importante notar que si (X, Y) es un vector aleatorio abs. continuo y B es un boreliano de R 2, entonces: P((X, Y) B) = f (u, v) dudv B Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

17 Vectores aleatorios semana 17 Por ejemplo, si (X, Y) tiene función de densidad conjunta f X,Y : R 2 R tal que f X,Y (x, y) = { e x y si (x, y) (0, + ) (0, + ) 0 en otro caso Luego Verificar que se trata de una densidad conjunta. P ( (X, Y) ( 1, 1) (2, 3) ) = = f X,Y (x, y) dx dy = 3 ( 1 ( 1,1) (2,3) ( 1 ) e x y dx dy = (1 e 1 )(e 2 e 3 ) 0 } {{ } (1 e 1 )e y f X (x, y) dx ) dy Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

18 Vectores aleatorios semana 17 Cómo definiría un vector aleatorio uniforme en (0, 1) (0, 1)? Ejemplo 2 (Vector uniforme en la región (0, 1) (0, 1)) Decimos que (X, Y) tiene distribución uniforme en (0, 1) (0, 1) y lo anotamos (X, Y) Uni f (0, 1) (0, 1), si su densidad es: f : R 2 R tal que { 1 si (x, y) (0, 1) (0, 1) f X,Y (x, y) = 0 si x, y (0, 1) (0, 1) Función de densidad. Función de Distribución. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

19 Vectores aleatorios semana 17 Ejemplo 3 (Vector aleatorio Normal de parámetros µ y Σ) Sea µ = (µ 1, µ 2 ) R 2 un vector fila y Σ una matriz 2 2 definida positiva a, no singular y simétrica. Decimos que el vector aleatorio (X, Y) tiene distribución Normal bivariada de parámetros µ y Σ y lo anotamos (X, Y) N( µ, Σ), si su densidad es: f : R 2 R tal que f X,Y (x, y) = 1 2π det(σ) e Para el caso particular: µ = (0, 0) y Σ = ( (x, y) (µ1, µ 2 ) ) Σ 1( (x, y) (µ 1, µ 2 ) ) t ( f (x, y) = 1 x 2 + y 2 2π e 2 ) 2, tenemos a Σ es definida positiva si para todo vector no nulo x R 2 tenemos que x Σ x t > 0 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

20 Vectores aleatorios semana 17 Figura : Densidad de X Normal bivariado estándar Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

21 Vectores aleatorios semana 17 Probabilidad y Estadística Independencia de Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza de la suma Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

22 Vectores aleatorios semana 18 Independencia de variables aleatorias Uno de los principales objetivos de introducirnos en los vectores aleatorios es llegar a la independencia de las variables aleatorias. Qué le pediría a X e Y para decir que son independientes? Es razonable pedir que toda la información que X aporta sea independiente para Y, y viceversa. Eso se traduce en que dado cualquier boreliano B 1 y B 2, los sucesos {ω Ω : X(ω) B 1 } y {ω Ω : Y(ω) B 2 } sean independientes Definición 1.7 (Independencia de variables aleatorias) Sean X 1,..., X n variables aleatorias sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω, A, P), decimos que X 1,..., X n son independientes si P(X 1 B 1,..., X n B n ) = P(X 1 B 1 ) P(X n B n ) B 1,..., B n B Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

23 Vectores aleatorios semana 18 Si P(X 1 B 1, X 2 B 2, X 3 B 3 ) = P(X 1 B 1 )P(X 2 B 2 )P(X 3 B 3 ) para todo boreliano B 1, B 2, B 3, X 1 es independiente de X2? La definición antes dada de independencia para v.a. es muy intuitiva pero poco manejable, por ello existen varios criterios: Teorema 1.2 (Criterio para la independencia) Sean X e Y variables aleatorias sobre (Ω, A, P) con funciones de distribución F X y F Y, entonces: X e Y son independientes F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) x, y R Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

24 Vectores aleatorios semana 18 Para los casos discreto y absolutamente continuo puede, además, traducirse la independencia en la factorización de la cuantía conjunta o la densidad conjunta. Teorema 1.3 (Criterio de independencia para v.a. discretas) Sean X e Y variables aleatorias con recorrido conjunto Rec{(X, Y)} = k{(x k, y k )}, entonces: X e Y son independientes P(X = x k, Y = y k ) = P(X = x k ) P(Y = y k ) x k, y k Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

25 Vectores aleatorios semana 18 Ejemplo 4 Retomemos el ejemplo 1, aquí teníamos X e Y tal que su cuantía conjunta viene dada por: P(X = i, Y = j) i = 1 i = 2 i = 3 P(Y = j) j = 0 1/6 1/4 1/4 2/3 j = 1 1/6 1/12 1/12 1/3 P(X = i) 1/3 1/3 1/3 Es inmediato notar que X e Y no son independientes ya que P(X = 1, Y = 0) = 1/6 2/3 1/3 = P(X = 1)P(Y = 0) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

26 Vectores aleatorios semana 18 Ejercicio 1.4 Sean ahora X e Y tal que su cuantía conjunta viene dada por: P(X = i, Y = j) i = 1 i = 2 i = 3 P(Y = j) j = 0 2/9 2/9 2/9 2/3 j = 1 1/9 1/9 1/9 1/3 P(X = i) 1/3 1/3 1/3 probar que X e Y son independientes Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

27 Vectores aleatorios semana 18 Teorema 1.4 (Criterio de independencia para v.a. absolutamente continuas) Sean X e Y variables aleatorias con densidades f X y f Y, entonces: X e Y son independientes f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) x, y R Ejercicio 1.5 Sea (X, Y) un vector aleatorio con distribución uniforme en [0, 1] [0, 1], recordemos que su densidad es: f : R 2 R tal que { 1 si (x, y) [0, 1] [0, 1] f (x, y) = 0 si (x, y) [0, 1] [0, 1] Hallar las densidades marginales de X e Y y probar que X e Y son independientes. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

28 Vectores aleatorios semana 18 Por último veamos un resultado que será de gran utilidad más adelante. Teorema 1.5 (Independencia de funciones de v.a. independientes) Sean X e Y variables aleatorias independientes y sean g, h : R R funciones medibles, entonces las variables aleatorias g(x) y h(y) son independientes. Prueba:Recordemos que por ser g y h medibles, entonces g(x) y h(y) son variables aleatorias. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

29 Vectores aleatorios semana 18 Luego para cualesquiera borelianos B 1 y B 2 tenemos que P ( g(x) B 1, h(y) B 2 ) = P ({ (g X) 1 (B 1 ) } { (h Y) 1 (B 2 ) }) = P ({ X 1( )} { g 1 (B 1 ) ( )}) Y 1 h 1 (B 2 ) = } {{ }} {{ } C 1 B P ({ } { }) indep X C 1 Y C2 = C 2 B P( X C 1 ) P( Y C 2 ) = } {{ }} {{ } ) ) X 1 (g 1 (B 1 ) Y 1 (h 1 (B 2 ) P ( g(x) B 1 ) P ( h(y) B2 ) y por ende g(x) y h(y) son independientes. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

30 Vectores aleatorios semana 18 Transformaciones de vectores aleatorios Cuando tenemos un v.a. (X, Y) podemos transformarlo por ejemplo en T = X + Y. En este ejemplo se usó g : R 2 R tal que g(x, y) = x + y y como resultado tenemos T = g(x, Y). No profundizaremos en estos aspectos, sólo mencionar que las funciones a aplicar deben ser medibles, medibles en el mismo sentido que se definieron las funciones de variable real, esto nos asegurará que g(x, Y) sea una nueva variable aleatoria. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

31 Vectores aleatorios semana 18 Esperanza de funciones de vectores aleatorios Sea (X, Y) un vector aleatorio y sea g : R 2 R una función medible, ya vimos que g(x, Y) es una variable aleatoria y por ende tenemos que Si g(x, Y) es discreta con recorrido n {t n } entonces E(g(X, Y)) = t n P ( g(x, Y) = g(x n, y n ) ) Si g(x, Y) es abs. cont. entonces E(g(X, Y)) = n + + g(x, y) f g(x,y) (x, y) dxdy Si g(x, Y) es mixta vale la correspondiente mezcla de esperanzas. Sin embargo este resultado implica conocer la cuantía o densidad de g(x, Y), es de esperar que similares resultados vistos para la transformación de una variable aleatoria puedan aplicarse aquí. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

32 Vectores aleatorios semana 18 Teorema 1.6 Sea (X, Y) un vector aleatorio y sea g : R 2 R una función medible, entonces: Si g(x, Y) es discreta entonces E(g(X, Y)) = n g(x n, y n ) P ( X = x n, Y = y n ) ) Si g(x, Y) es abs. cont. entonces E(g(X, Y)) = + g(t) f X,Y(t) dt Si g(x, Y) es mixta vale la correspondiente mezcla de esperanzas. Omitimos la prueba porque requiere amplios conocimientos de temas de análisis 2. Además no aporta mucho más que la prueba que hicimos en variables aleatorias. Antes de pasar a ver algunos ejemplos veamos algunas propiedades que simplifican mucho el trabajo al momento de calcular esperanzas. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

33 Vectores aleatorios semana 18 Teorema 1.7 (Esperanza de la suma) Sean X e Y variables aleatorias con esperanzas, entonces E(X + Y) = E(X) + E(Y). Prueba: caso discreto: sea Rec(X, Y) = i j{x i, y j } E(X + Y) = = Fubini = = (x i + y j ) P(X = x i, Y = y j ) j i x i P(X = x i, Y = y j ) + y j P(X = x i, Y = y j ) j i x i P(X = x i, Y = y j ) + y j P(X = x i, Y = y j ) i j x i P(X = x i, Y = y j ) + y j P(X = x i, Y = y j ) i = E(X) + E(Y) j } {{ } P(X=x i ) j j j i i i } {{ } P(Y=y j ) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

34 Vectores aleatorios semana 18 caso abs continuo E(X + Y) = = Fubini = = x + = E(X) + E(Y) (x + y) f X,Y (x, y) dx dy x f X,Y (x, y) dx dy + x f X,Y (x, y) dy dx + f X,Y (x, y) dy dx + } {{ } f X (x) y y f X,Y (x, y) dx dy y f X,Y (x, y) dx dy f X,Y (x, y) dx dy } {{ } f Y (y) Observación: Para las mixtas la idea es similar. El resultado anterior es inmediatamente generalizado para una cantidad finita de variables aleatorias y generaliza la linealidad de la esperanza, es decir: E(X X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

35 Vectores aleatorios semana 18 Teorema 1.8 (Esperanza del producto de independientes) Sean X e Y variables aleatorias independientes y con esperanzas, entonces E(X Y) = E(X) E(Y) Prueba:caso discreto E(X Y) = indep. = i j x i y j P(X = x i, Y = y j ) } {{ } P(X=x i )P(Y=y j ) x i P(X = x i ) y j P(Y = y j ) = E(X)E(Y) i j caso abs continuo E(X Y) = + indep. = + + x y f X,Y(x, y) } {{ } y f Y (y) f X (x) f Y (y) + dx dy x f X (x) dx dy = E(X)E(Y) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

36 Observación: Vectores aleatorios semana 18 1 El resultado es general para cualquier tipo de v.a, aunque sean de distinto tipo. 2 La generalización para una cantidad finita de variables aleatorias es por simple inducción, es decir: E(X 1 X n ) = E(X 1 ) E(X n ) siempre que X 1,..., X n sean independientes. Ejercicio 1.6 Sean X e Y v.a. tales que P(X = i, Y = j) i = 1 i = 0 i = 1 j = 1 1/5 0 1/5 j = 0 0 1/5 0 j = 1 1/5 0 1/5 1 Hallar las cuantías marginales de X e Y. 2 Probar que X e Y no son independientes. 3 Hallar E(X), E(Y) y E(X Y). 4 Si E(X)E(Y) = E(XY) necesariamente son X e Y independientes?. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

37 Vectores aleatorios semana 18 A los resultados de los Teoremas 1.7 y 1.8 le podemos sacar un gran provecho para hallar la distribución de sumas de v.a. independientes: Ejercicio 1.7 Sean X 1,..., X n independientes e idénticamente distribuidas ( iid) todas con distribución Bernoulli de parámetro p. 1 Hallar la esperanza de X = X 1 + X 2 + X n 2 Probar que la FGM de X = X 1 + X 2 + X n es M(t) = (pe t + q) n. 3 Reconocer la distribcuón de X. Cada vez que tengamos una v.a. X Bin(n, p) podemos pensarla como la suma de n v.a. Bernoulli de parámetro p e independientes. Ésta es la justificación formal para lo que habíamos comentado al definir la variable Bernoulli. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

38 Vectores aleatorios semana 18 Varianza de la suma de v.a. Sean X e Y v.a. con varianza finita, tratemos de estudiar V(X + Y). V(X + Y) d f = E ( (X + Y) E(X + Y) ) 2 = E ( (X E(X)) + (Y E(Y)) ) 2 = E ( (X E(X)) 2 + 2(X E(X))(Y E(Y)) + (Y E(Y)) 2) linealidad = E ( X E(X) ) 2 + 2E (( X E(X) )( Y E(Y) )) + E ( Y E(Y) ) 2 = V(X) + V(Y) + 2E (( X E(X) )( Y E(Y) )) Notemos que la varianza de la suma no es necesariamente la suma de las varianzas, es conveniente nombrar al término excedente, lo que da lugar a la siguiente definición: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

39 Vectores aleatorios semana 18 Definición 1.8 (Covarianza) Sean X e Y v.a. llamamos covarianza entre X e Y a Cov(X, Y) = E (( X E(X) )( Y E(Y) )) siempre que la anterior esperanza exista. Observación: Notemos entonces que V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y) Indaguemos ahora algunas propiedades de la covarianza. Proposición Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) 2 Si X e Y son independientes entonces Cov(X, Y) = 0 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

40 Vectores aleatorios semana 18 Prueba: 1 Cov(X, Y) = E (( X E(X) )( Y E(Y) )) = E ( XY XE(Y) E(X)Y + E(X)E(Y) ) linealidad = E(XY) E(X)E(Y) E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) E(X)E(Y) 2 Siendo X e Y independientes, según el Teorema 1.8, tenemos que E(XY) = E(X)E(Y), resta aplicar que Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) para obtener que Cov(X, Y) = 0. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

41 Vectores aleatorios semana 18 Observación: Como vimos en el ejercicio 1.6, siendo E(XY) = E(X)E(Y) no necesariamente X e Y son independiente. Por ende, Cov(X, Y) = 0 no implica que las variables aleatorias sean independientes. Sin embargo, cuando las variables aleatorias son normales y Cov(X, Y) = 0 entonces son independientes: Ejercicio 1.8 Sean X e Y variables aleatorias normales. Mostrar que en este caso Cov(X, Y) = 0 si y sólo si X e Y son independientes. Sugerencia: hacerlo para normales standar. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42

42 Vectores aleatorios semana 18 Retomando el trabajo con la varianza de variables aleatorias tenemos el siguiente resultado: Proposición 1.10 (Varianza de la suma de independientes) Sean X 1,..., X n variables aleatorias independientes con varianzas finitas, entonces V(X X n ) = V(X 1 ) + + V(X n ) Prueba: V(X X n ) = E ( X X n E(X X n ) ) 2 Ejercicio 1.9 = E (( X 1 E(X 1 ) + + ( X n E(X n ) )) 2 = n E ( X i E(X i ) ) 2 + E (( X i E(X i ) )( X j E(X j ) )) i=1 i,j:i<j } {{ } Cov(X i,x j )=0 Hallar la varianza de una v.a binomial (n, p), usando estos resultados. indep. = n V(X i ) i=1 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso / 42