MA Probabilidades

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile Martinez, Servet MA Probabilidades Transcriptor: Alan Beltrán Flores 1 Otoño Agradecimientos a Constanza Yovaniniz, Camilo Ulloa y Esteban Román, que pasaron sus apuntes de clases a las que falté (justificadamente, por supuesto)

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3 Índice general Clase 01-12/03/ Clase 02-14/03/ Clase 03-19/03/ Clase 04-21/03/ Clase 05-26/03/ Clase 06-28/03/ Clase 07-02/04/ Clase 08-04/04/ Clase 09-09/04/ Clase 10-16/04/ Clase 11-18/04/ Clase 12-23/04/ Clase 13-25/04/ Clase 14-29/04/ Clase 15-02/05/ Clase 16-07/05/ Clase 17-09/05/ Clase 18-14/05/ Clase 19-16/05/

4 4 ÍNDICE GENERAL

5 Clase 01-12/03/2013 Axiomática de Probabilidades - Ω conjunto de puntos llamado espacio muestral - β clase de eventos Los elementos de β son subconjuntos de Ω, es decir, β P(Ω), en donde P(Ω) = {ω Ω} es el conjunto potencia de Ω. En la axiomatica, β es una σ-algebra (sigma-algebra). Definicion β es una σ-algebra si: 0. β P(Ω) 1., Ω β 2. B β B c β, en donde B c = Ω \ B 3. B n β n N B n β A la propiedad 3 se le llama ser cerrado por complemento, mientras a la propiedad 4 se le llama ser cerrado por union numerable. Nota B n β n N lo escribiremos (B n : n N) Definicion Si β es σ-algebra, a la pareja (Ω, β) se le llama espacio medible. Propiedad Toda σ-algebra β es un algebra [de conjuntos], es decir, verifica las propiedades 0, 1, 2 y: 3. A, B β A B β Demostracion Tomemos B 1 = A, B 2 = B y B n = A n > 2. Se tiene entonces que B n β n N. Luego, A B = B n, que pertenece a β gracias a 3. Observacion Notemos que la propiedad 3 equivale a: n N, B 1,..., B n β = 1 n B i β

6 2 ÍNDICE GENERAL Demostracion Por induccion: Para n = 1, es evidente. Entonces, si tenemos un n, demostremos para el n + 1: Por 3 Y queda asi demostrado. B 1,..., B n, B n+1 β n B i β; B n+1 β ( n ) B i B n+1 β Recuerdo Recordemos las leyes de Morgan: Para finitos: n+1 B i β ( n ) c B i = n (Bi c ) ( n ) c n B i = (Bi c ) Para numerables: ( ) c B i = (Bi c ) ( ) c B i = (Bi c ) Nota Propiedad B i = {ω Ω : ω B n, n N} Si β es σ-algebra, entonces: n a) B 1,..., B n β β b) (B n : n N) β β Demostracion n a) B 1,..., B n β (2) B1, c..., Bn c β (3 ) Bi c β b) Es analoga a la anterior. ( n ) c n Bi c = B i β Propiedad Si β es σ-algebra, entonces verifica que: A, B β A \ B β A, B β A B β

7 ÍNDICE GENERAL 3 Demostracion Ambas pueden ser escritas en forma de uniones e intersecciones A \ B = A B c A B = (A \ B) (B \ A) = (A B c ) (B A c ) Todos los conjuntos resultados de uniones e intersecciones, uniones numerables, diferencias y diferencias simetricas estaran en β. Propiedad Sea β σ-algebra. Sea (B n : n N) β. Entonces: lím sup B n β En donde: lím inf B n β lím sup B n = k n lím inf B n = k n B k B k Nota lím sup B n = {ω Ω : n N k n tal que ω B k } = {ω Ω : k n tal que ω B kn } = {ω Ω : {k N : ω B n } < } lím inf n = {ω Ω : n N k n tal que ω B k } = {ω Ω : {k N : ω / B n } < } A = Cardinal de A Observaciones Por la ley de Morgan: ( ) c lím sup B n = lím inf ( ) c lím inf B n = lím sup Bc n B c n Propiedad Sea Ω un espacio. Sean β, β σ-algebras. Entonces β β es σ-algebra. Luego, para i = 1,..., n: n B i es σ-algebra.

8 4 ÍNDICE GENERAL Demostracion 0. β β P(Ω) 1., Ω β;, Ω β, Ω β β 2. B β β B c β β 3. (B n : n N) β β B n β β 2 y 3 son porque β y β son σ-algebras. Propiedad Nota Sean Ω, Λ espacios. Si β λ es σ-algebra en Ω λ Λ, entonces: β λ es σ-algebra. λ Λ β λ = {B P(Ω) : B β λ λ Λ} λ Λ Demostracion 0. β λ P(Ω) λ Λ λ Λ β λ P(Ω) 1., Ω β λ λ Λ, Ω λ Λ β λ 2. B β λ B β λ λ Λ B c β λ λ Λ B c β λ λ Λ λ Λ 3. (B n : n N) β λ (B n : n N) β λ λ Λ λ Λ B n β λ λ Λ B n λ Λ β λ

9 Clase 02-14/03/2013 Sea Ω. Notemos que siempre podemos definir en el las σ-algebras: a) N = {, Ω} σ-algebra trivial b) P(Ω) σ-algebra discreta Demostracion: Ambos cumplen trivialmente con 0, 1 y 2. Veamos 3: a) Sea (B n : n N). Si B n = n N B n = N Si n N tal que B n = Ω B n = Ω N Como esos son los unicos casos Posibles, entonces es verdad b) (B n : n N) P(Ω) B n P(Ω) Nota N P(Ω), excepto cuando Ω = {α}, en cuyo caso N = P(Ω) = {, {α}} Proposicion Sea Ω y sea Γ P(Ω). Entonces,! σ-algebra que notaremos σ(γ) y que llamaremos σ-algebra generada por Γ, que verifica las siguientes propiedades: a) σ(γ) es σ-algebra. b) Γ σ(γ) c) Si Γ β y β es σ-algebra, entonces σ(γ) β Nota σ(γ) es la σ-algebra mas pequeña que contiene a Γ. Demostracion Definamos Λ = {β : β es σ-algebra y Γ β}. Se tiene P(Ω) Λ, luego Λ. Por propiedad anterior, β es σ-algebra β Λ Como Γ β β Λ Γ β Por ultimo, si Γ β y β es σ-algebra, entonces β Λ. Luego β β 5 β Λ β Λ

10 6 ÍNDICE GENERAL Hemos probado que σ(γ) = β verifica (a, b, c). Ademas, es la unica σ-algebra que lo hace, β Λ pues si β tambien lo verificase, deduciriamos de (c) que β σ(γ) y que σ(γ) β, concluyendo que β = σ(γ). Nota Si Ω es numerable (finito o de cardinalidad de N), entonces siempre consideraremos en Ω la σ-algebra discreta P(Ω). Observemos que en este caso Ω numerable se tiene En efecto, si B P(Ω), entonces: P(Ω) = σ(γ), con Γ = {{ω} : ω Ω} B = {w}, union numerable de conjuntos en Γ ω B Luego B σ(γ), de donde P(Ω) σ(γ) Nota Sea Ω, Γ = {{ω} : ω Ω} la familia de singletons. Entonces: σ(γ) = {B Ω : B es numerable o B c es numerable} DEMOSTRARLO Definicion σ-algebra de Borel: En Ω = R, la σ-algebra de Borel se define por β(r) = σ(γ), con Γ = {(, a] : a R} Propiedad a, b R, con a b se tiene que: (, a] [a, b] (, a) (a, b] cualquier union o interseccion [a, ) [a, b) numerable, complemento o (a, ) (a, b) diferencia de estos conjuntos {a} β(r) Demostracion Caso por caso 1) (, a) = (, a 1 ) n ( Como, a 1 ) Γ, n N, deducimos n (, a 1 ) σ(γ) = β(r) n 2) [a, ) = (, a) c. Como (, a) β(r), se deduce que (, a) c β(r) 3) [a, b) = (, b) [a, ). Como ambos estan en β(r), entonces [a, b) β(r) 4) a = [a, a] β(r) Nota B β(r) se llamara Boreliano Ademas, β(r) P(R) ( A R tal que A / β(r)) Definicion Analogamente, se tiene en Ω = R n la σ-algebra de Borel, definida β(r n ) = σ(γ), n con σ(γ) = { (, a i ) : a i,..., a n R}

11 ÍNDICE GENERAL 7 Nota Nota A los B R n tal que B β(r n ) se les llama Borelianos. n a i, b i R n β(r n ), a i, b i tal que a i b i. Definicion Definicion Diremos que (B n : n N) es familia disjunta si B i B j = i j, con i, j N Sea (Ω, β) espacio medible. P es una medida de probabilidad en (Ω, β) si verifica: a) P es funcion P : β [0, 1] B P(B) b) P(Ω) = 1 c) (B n : n N) β familia disjunta en β se tiene que P A esta ultima propiedad se le llama σ-aditividad. Propiedad Sea P medida de probabilidad. Entonces P( ) = 0. ( B n ) = P(B n ) Demostracion Tomemos ( B n = ) n N. Entonces (B n : n N) β son disjuntos. Luego, por σ-aditividad P B n = P(B n ). Como P( ). B n =, entonces P( ) = Luego, P( ) = o P( ) = 0. Y como P [0, 1], entonces P( ) = 0.

12 8 ÍNDICE GENERAL

13 Clase 03-19/03/2013 Una medida µ en (Ω, β) verifica: (0) µ : β R + { } (1) µ( ) = 0 (2) µ es σ-aditiva Se dira medida finita si µ(b), B β Se tiene que si µ es medida, entonces es una medida de probabilidad si y solo si µ(ω) = 1. Por otra parte, si µ es medida finita y µ(ω) 0, entonces P(B) = µ(b), B β es medida µ(ω) de probabilidad. Definicion! medida λ en (R, β(r)) llamada medida de Lebesgue que verifica: Se tiene λ(r) =, λ({a}) = 0, a R λ((a, b]) = b a, a b en R Definicion! medida λ n en (R n, β(r n )) llamada medida de Lebesgue que verifica: n n λ n ( (a i, b i )) = (b i a i ) Se tiene λ n (R n ) =, λ n ({x}) = 0, x R n Propiedades Sea (Ω, β, P)) espacio de probabilidad. P es una medidad de probabilidad en (Ω, β). Entonces: a) P es aditiva, es decir, si B 1,..., B n β son disjuntos, se tiene ( ) n n P B i = P(B i ) b) Si A, B β, A B, entonces P(B \ A) = P(B) P(A) c) Si A, B β, A B, entonces P(A) P(B) d) B β, P(B c ) = 1 P(B) e) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 9

14 10 ÍNDICE GENERAL Nota Las propiedades a), b), c) y e) son comunes a todas las medidas. Demostracion a) Tomemos B i = i > n. Luego, (B i : i N) β son disjuntos, y por σ-aditividad: ( ) ( ) n P B i = P B i = P( )=0 {}}{ n P(B i ) = P(B i ) i N i N b) A B A B \ A = B A c, son conjuntos disjuntos y verifican B = A (B \ A). Luego por a) deducimos P(B) = P(A) + P(B \ A) c) Como P(B \ A) 0, por b) deducimos P(A) P(B) d) Resulta de tomar B Ω, luego por b), y ya que B c = Ω \ B: P(Ω \ B) = P(Ω) P(B) = 1 P(B) e) A B = A B B \ A A \ B = A B (B \ A B) (A \ A B). Luego: P(A B) a) = P(A B) + P(B \ A B) + P(A \ A B) b) = P(A B) + P(B) P(A B) + P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Fórmula de Inclusión-Exclusión Sea B 1,..., B n β. Entonces: ( n ) P B i = ( ) n ( 1) J +1 P B i = ( 1) k+1 J {1,...,n} J i J k=1 1 i 1<...<i k n P ( k B i ) Primero suma todos las probabilidades de conjuntos, luego le resta las intersecciones dobles, después le suma las intersecciones triples, le resta las cuádruples y así. Para el caso n = 2 obtenemos e). Para el caso n = 3 obtenemos: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Demostración Por inducción, en auxiliar. Propiedades Sea (B n : n N) β. Entonces: (a) Si B n B n+1 n N (Se escribe B n y se dice B n creciente), se tiene ( ) P B n = lím P(B n) (Continua Monótona Creciente) (b) Si B n+1 B n n N (Se escribe B n y se dice B n decreciente), se tiene ( ) P B n = lím P(B n) (Continua Monótona Decreciente) ( ) (c) P es sub-σ-aditiva. Es decir, P B n P(B n )

15 ÍNDICE GENERAL 11 Demostración (a) Definamos (A n : n N) por A 1 = B 1 ; A n+1 = B n+1 \ B n, n N. Se tiene (A n : n N) β, además los A n son disjuntos [probarlo] y se verifica que: ( ) A n B n n N A n n ( ) B n = B n A i n N B n ( ) + ( ) = A n = B n. Luego: ( ) ( P B n = P = lím P ( n A n ) A n = ( n ) P(A n ) = lím P(A i ) A i ) = lím P(B n) (b) Se deduce de (a) y Morgan. En efecto, B n Bn c. Luego, por (a): ( ) P Bn c = lím (P(Bc n)) = lím (1 P(B n)). Además: (( ) c ) ( ) P B n = 1 P B n, Luego ( ) ( ) 1 P B n }{{} = lím (1 P(B n)) P B n = lím (P(B n)) Morgan ( n ) (c) Definamos (A n : n N) por A 1 = B 1 ; A n+1 = B n+1 \ B i n N Se tiene (A n : n N) β, son disjuntos y verifican: n A n B n B n = A i, n N. Luego, A n = B n y deducimos ( ) ( P B n = P A n ) = P(A n ) Por * y porque P es creciente Nota (c) implica la sub-aditividad: B 1,..., B n β, y tomando B i =, i > n, tenemos ( n ) n P P(B n ) {}}{ P(B n )

16 12 ÍNDICE GENERAL Corolario Sea (B n : n N) β ( ) (a) Si P(B n ) = 0 n N, entonces P B n = 0 ( ) (b) Si P(B n ) = 1 n N, entonces P B n = 1 Demostración Se demuestran: (a) por sub-σ-aditividad. (b) por (a) y Morgan.

17 Clase 04-21/03/2013 Definición Si lím inf B n = lím sup B n, se dice que lím B n = lím sup Si B n, se tiene que lím B n = B n Si B n, se tiene que lím B n = B n B n Propiedad Las ultimas propiedades (a) y (b), se pueden enunciar como: Sea (B n : n N) β. Si B n o B n, entonces: ( ) P lím B n = lím P(B n) Definicion y Propiedad Ω 0 Ω). Se tiene: Sea (Ω, β) un espacio medible. Sea Ω 0 β, Ω 0 (en particular β Ω0 = {B β : B Ω 0 } ( ) = {B Ω 0 : B β} (**)β Ω0 es σ-algebra (en Ω 0 ) y se llama σ-algebra inducida (o restringida) en Ω 0. La pareja (Ω 0, β Ω0 ) es espacio medible. Además, β Ω0 β. Demostración (*) es trivial (**) (1), Ω 0 β Ω0 evidentemente. (2) B β Ω0 Ω 0 \ B = Ω 0 B c nβ Ω0 (3) (B n : n N) β Ω0 B n β Ω0 Probabilidad Condicional Sea (Ω, β, P) un espacio de probabilidades, que vamos a usar de aquí en adelante. Definición P(A B) = Sean A, B β, con P(B) > 0. Definimos: P(A B) P(B) y lo llamamos probabilidad de A condicional a B. 13

18 14 ÍNDICE GENERAL Propiedades Obvias Sea P(B) > 0. Se tiene: (a) P(A B) = P(A B B) (b) P(A B) = P(A B) P(B) (c) Si P(A) > 0 P(A B) P(B) = P(B A) P(A) P(A B) = P(B A) P(B) P(A) Propiedad Sea P(B) > 0. Entonces P( B) : β B [0, 1] A P(A B) en (B, β B ), es decir, (B, β B, P( B)) es espacio de probabilidad. Demostración es una medida de probabilidad P( B) (a) P( B) = = 0 P(B) P(B B) (b) P(B B) = = 1 P(B) ( ) (c) Nos basta demostrar que (B n : n N) β se cumple P A n B = P(A n B) (pues β B β). En efecto: ( ) ( ) P A n B = 1 P(B) P A n B Propiedades Sea P(B) > 0: (a) P(B B) = 1 (b) P( B) = 0 (c) P(A B) = 0 P(A B) = 1 (d) P(A B c ) = 1 P(A B) = 0 (e) P(Ω B) = 1 (f) P(A) = 1 P(A B) = 1 (g) P(A) = 0 P(A B) = 0 (h) P(B) = 1 P(A B) = P(A), A β = 1 P(B) P(A n B) = P(A n B) Demostración PROPUESTOS. Puede ser útil, para (c), (d), (f) y (g), probar: Sea (Ω, β, P). Entonces, A β, se tiene: C β, P(A C) = 0 P(C) = P(A) Fórmula de Bayes Sea I un conjunto numerable (finito o no). Sea (A i : i I) β partición medible de Ω, es decir: (0) (Ai : i I) β (p 1 ) (A i : i I) disjuntos (p 2 ) Ω = i I A i

19 ÍNDICE GENERAL 15 Luego, intersectando, B β : B = i ), de donde P(B) = i I(B A P(B A i ). Si asumimos i I P(A i ) > 0 i I, tenemos que P(B) = P(B A i ) P(A i ). Si P(B) > 0, verificamos, j I: i I P(A j B) = P(B A j) P(A j ) P(B A i ) P(A i ) i I Conocida como la formula de Bayes Nota Lo anterior también es válido si (A i : i I) es una P-partición medible, es decir: (0) (A i : i I) β (p 1 ) P(A ( i A j ) = 0, i j (p 2 ) P Ω \ ) A i = 0 i I Proposición B 1,..., B n β, con P(B i ) > 0 i = 1,..., n, se tiene que: ( n ) n i 1 P B i = P B i j=1 B j = P(B n B n 1... B 1 )... P(B 2 B 1 ) P(B 1 ) Demostración P(B 1... B n ) = P(B n B 1... B n 1 ) P(B n 1... B 1 ) = P(B n B 1... B n 1 ) P(B n 1 B 1... B n 2 ) P(B n 2... B 1 ) = = P(B n B 1... B n 1 )... P(B 2 B 1 ) P(B 1 ) Nota En la primera igualdad, cuando i = 1, P(B 1 Ω) = P(B 1 ). i 1 j=1 0 B j = Ω, por lo que P B 1 j=1 B j =

20 16 ÍNDICE GENERAL

21 Clase 05-26/03/2013 Independencia Definición A, B β se dicen (P-)independientes (notado )si P(A B) = P(A) P(B) Propiedades (a) P(A) = 0 o 1 A es independiente en todo B β (b) Si P(A), P(B) > 0, entonces A B P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) (c) Si P(A), P(B) (0, 1), entonces, A B = A B (d) A A P(A) = 0 o 1 Demostración (a) Si P(A) = 0 P(A B) = 0 A B Si P(A) = 1 P(B) = P(B A) + P(B A c ) = P(B A) A B (b) Por definición (c) P(A B) = 0 P(A) P(B) (d) P(A) = P(A A) = P(A) 2 P(A) = 0 P(A) = 1 Proposición A B A B c A c B c A c B c Demostración Basta probar A B A B c. En efecto: P(A B c ) = P(A \ A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(A) P(B) = P(A)(1 P(B)) = P(A) P(B c ) Definición Sea n 2. Sean B 1,..., B n β. B 1,..., B n se dicen independientes si: ( n ) n P A i = P(A i ), A i = B i o A i = Bi c, i = 1,..., n Proposición Sean B 1,..., B n β. Se tiene: ( ) (a) B 1,..., B n son independientes sí y solo sí J {1,..., n} P B i = P(B i ) i J (b) Si B 1,..., B n son, entonces B i1,..., B 1k son independientes, 1 i 1 <... < i k n 17 i J

22 18 ÍNDICE GENERAL Demostración... Definición (B n : n N) β es una familia de eventos independientes si J finito, J N se tiene (B i : i J) independiente. Se cumple (B n : n N) β es familia independiente si n N, B 1,..., B n independiente. Observación Sea (Ω, β, P) espacio de probabilidad. Sean a 1, a 2 β σ-álgebras incluidas en β (se llaman sub-σ-álgebras). Ellas se dicen independientes sí y solo sí A 1 a 1, A 2 a 2, se tiene P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 2 ) Se tiene que A, B β son independientes sí y solo sí σ(a) y σ(b) son independientes, donde σ(a) y σ(b) son las σ-álgebras generadas por A y B respectivamente. En efecto es cierto, ya que σ(a) = {, A, A c, Ω} y σ(b) = {, B, B c, Ω}. Caso Discreto Combinatorio Si Ω es numerable (finito o infinito), lo dotamos de la σ-lgebra β = P(Ω). En este caso, una medida de probabilidad en (Ω, β) esta determinada por una función, llamada densidad de probabilidad discreta p : Ω R + ω p(ω) que verifica: (i) (ii) p(ω) 0 ω Ω p(ω) = 1 ω Ω Nota En particular p(ω) [0, 1] ω Ω En efecto, si P es una medida de probabilidad en (Ω, β), entonces p(ω) = P({ω}), ω Ω verifica (i) y (ii), ya que 1 = P(Ω) = P ( ω Ω {ω} ) = ω Ω P({ω}) Recíprocamente, si p verifica (i) y (ii) entonces P : β [0, 1] definida por P(B) = ω B p(ω), B β = P(Ω) tambien lo cumple. Observemos que P({ω}) = p(ω). Además, P así definido es una función de β [0, 1], pues 0 P(B) ω Ω p(ω) = 1. Por otra parte, P(Ω) = 1, y además si (B n : n N) P(Ω) disjuntos se verifica que P ( ) B n = ( ) p(ω) = p(ω) = P(B n ) ω B n ω B n por lo que la σ-aditividad se cumple.

23 ÍNDICE GENERAL 19 Caso Ω finito Por lo dicho, una medida de probabilidad en (Ω, β) está dada por p : Ω R +. La medida de probabilidad llamada equiprobable en Ω es tal que p(ω) = 1 Ω, ω Ω También se le llama uniforme (en Ω). Es la única medida de probabilidad en (Ω, β) en que a cada punto de Ω se le da el mismo peso. En este caso se tiene la igualdad P(B) = p(ω) = B, es decir, un caso equiprobable. Ω ω B B Ω : P(B) = B Casos favorables : Ω Casos posibles

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25 Clase 06-28/03/2013 Combinatoria Recordemos algunas igualdades de cardinalidad. Notaremos por I n un conjunto de n elementos, I n = n. Para todo efecto de cardinalidad podemos suponer I n = {1,..., n}, (I 0 =, I 0 = 0) Se tiene: k k k I nl = I nl = n l l=1 l=1 Luego In k = n k. Esta igualdad se puede escribir como F(I k, I n ) = n k, donde F(I k, I n ) = {f : I k I n }. En efecto F(I k, I n ) In k es una biyección. f (f(i) : i I k ) Sea I(I k, I n ) = {f : I k I n, f inyectiva}. Se tiene I(I k, I n ) solo en el caso k n. Supongamos k n. Se tiene I(I k, I n ) = l=1 n! = n(n 1) (n k + 1) (n k)! I(I k, I n ) esta en biyección con {(x 1,..., x k ) I k n : x i x j, i j} Demostración I(I k, I n ) f k 1 l=0 I n l (f(1),..., f(k)) Si f es inyectiva, f(1) I n, f(2) I n \ {f 1 },..., f(k) I n \ {f(1),..., f(k 1)}. Luego k 1 k 1 I(I k, I n ) = I n l = (n l) = n(n 1) (n k + 1) l=0 l=0 En particular, para k = n, I(I k, I n ) = P er(i n ), conjunto de biyecciones de I n I n cuyos elementos partición se llaman permutaciones de I n. Se cumple que P er(i n ) = n! Sea k n. Consideremos P k (n) = {B : B I n, B = k}, subconjuntos de I n con k elementos. Se tiene: ( ) n n! P k (n) = = k (n k)! k!, k n 21

26 22 ÍNDICE GENERAL Demostración En I(I k, I n ) definamos la relación de equivalencia: f g {f(i) : i I k } = {g(i) : i I k } f(i k ) = g(i k ) : los conjuntos imagen son los mismos Sea I(I k, I n )/ el conjunto de clases de equivalencia. Se tiene i : P k (n) I(I k, I n )/ B i(b) = {f I(I k, I n ) : f(i k ) = B} i está bien definido, pues B = k = f(i k ) f I(I k, I n ). Además, i es claramente biyección. Luego: n! P k (n) = I(I k, I n )/ = (n k)! k! pues f I(I k, I n ), Clase de equivalencia de f = P er(f(1),..., f(k)) = k! Definición Sea I n. Sean n 1,..., n k 0 tal que k = n. Definimos P art(n 1,..., n k ) = {(B 1,..., B k ) : conjunto de particiones de I n en k conjuntos B 1,..., B k tal que B i = n 1, i = 1,..., k} Notemos que si k = 2 se tiene n 2 = n n 1, luego P art(n 1, n n 1 ) P n1 (n) es una biyección, pues todo B P n1 (n) determina únicamente (B, B c ) P art(n 1, n n 1 ). Se tiene: k 2 ( )( ) n n n1 P art(n 1,..., n k ) = n k 1 n l n n l Hipergeométrica = = n 1 n 2 i 1 k n n! n 1! n k! l=1 n i n l = l=1 n k 1 l=1 n k ( i 1 n n k l )! l=1 ( i n i! n n l )! Hay una urna con n bolas, de las cuales n 1 son rojas y n 2 = n n 1 son negras. Sea 1 k 1 k n. Se saca al azar k bolas. Cual es la probabilidad de que se hayan sacado exactamente k 1 bolas rojas? (Con k 2 = k k 1 bolas negras) l=1

27 Clase 07-02/04/2013 Revisitemos la Hipergeomeométrica. I n = J J c I n = representa urna con n bolitas J = conjunto de bolas rojas J = n 1 J c = conjunto de bolas negras J c = n 2 = n n 1 El experimento consiste en sacar al azar un conjunto de k bolitas. Nos preguntamos por la probabilidad de que este conjunto contuviera k 1 bolitas rojas y luego k 2 = k k 1 bolitas negras, donde 0 k 1 k n. Tomemos: Ω = P k (n) = {ω : ω I n, ω = k} El conjunto al azar, es un conjunto ω Ω que se escoje de manera equiprobable en Ω, es decir, P({ω}) = 1 Ω = 1 P k (n) = ( 1 ), ω Ω n k Nos interesa calcular P(A), en donde: Con lo que P(A) = ω A A = {ω Ω : ω J = k 1, ω J c = k k 1 } = {ω Ω : ω J = k 1 } Ya que ω = k, ω Ω P({ω}) = A Ω = ( A ) n k Además A : A P k1 (n 1 ) P(k 2 )(n 2 ) ω ω J ω J c que es claramente un biyección, por lo que concluimos que: ( )( ) ( )( ) n n n1 n n1 Que es tambien: P(A k ) = k 1 k 2 ( ) = n k k 1 ( )( ) k n k k k ( ) 2 n k P(A k ) = k 1 n k ( ) 1 n En donde I n = J J c ; Ω = P k (n) = {ω I n : ω = k}; A k = {ω Ω : ω J = k} es cambiada a I n = K K c ; Ω = Pn1 (n) = {ω I n : ω = n 1 }; Ã k1 = { ω Ω : ω K = k} 23 n 1

28 24 ÍNDICE GENERAL Generalización de la Hipergeométrica Sea una urna I n con n bolas, I n esta particionado en bolas de r colores distintos. r r I n = J l, J l =bolas de color l. Notamos que J l = n l, luego n = l=1 Se saca al azar un conjunto de k bolas. Cuál es la probabilidad de que obtenga k 1 bolas de r J 1,..., k r bolas de J r? Notar que k = l=1 Ω = P k (n) = {ω : ω I n, ω = k}; P({ω}) = 1 Ω = ( 1 ) n k A kl = {ω Ω : ω J l = k l }, l = 1,..., r Se tiene que A k1...k r P k1 (J 1 ) P kr (J r ) es biyección, luego: ω (ω J 1,..., ω J r ) ( ) ( ) n1 nr r ( ) nl A k1,...,k r = = k l k 1 k r r l=1 ( nl ) k l l=1 n l Luego, la probabilidad buscada es: P(A k1,...,k r ) = lo que habiamos hecho antes. l=1 k l ( ) Notemos que si n = 2 es igual a n k Observemos que lo hecho anteriormente, es decir, sacar el conjunto ω Ω = P k (n) de manera equiprobable, es enteramente equivalente a: sacar una bola al azar de I n, llamada v 1, sacar una segunda bola al azar de I n \ {v 1 } y así hasta sacar una k-ésima vola al azar de I n \ {v 1,..., v k 1 }. El conjunto ω = {v 1,..., v k } así escogido, es un conjunto de k elementos elegidos al azar, es decir, de manera equiprobable en P k (n). Este experimento es sacar las bolas de I n sin repetición y sin reposición. En el caso con reposicion: Se sacan k bolas de manera independiente desde I n, cada una de ellas escogida de manera equiprobable. Sea x 1,..., x k las bolas así escogidas de I n. Es decir, x p I n. En este caso {x 1,..., x k } k, pues puede haber repetición. Así, se tiene Ω = I k n y P(x 1,..., x k ) = 1 I n k = 1 n k

29 Clase 08-04/04/2013 Variables Aleatorias Sea (Ω, β, P) espacio de probabilidad que consideraremos fijo. Definición La función X : Ω R se dice variable aleatoria si C β(r), X 1 (C) β, es decir, {ω Ω : X(ω) C} β, C β(r) Es facil mostrar que X : Ω R es variable aleatoria si y solo si a R, X 1 ((, a]) β, es decir, si y solo si a R, {ω Ω : X(ω) a} β. Propiedades (i) La función constante X a : Ω R definida por X a (ω) = a, ω Ω es v. a. (ii) Sea B β, la función indicadora 1 B : Ω R ω 1 B (ω) = { 1 si ω B 0 si ω / B Más aún, para B Ω se tiene que 1 B es una v. a. si y solo si B β (iii) Si X es v. a. y α R, entonces αx es v. a. (iv) Si X, Y son v. a., entonces X + Y es v.a. (v) Si X, Y son v. a., entonces X Y es v. a. (vi) Si X, Y son v. a., Y 0, entonces X es v. a. Y (vii) Si X, Y son v. a., entonces máx(x, Y ) y mín(x, Y ) son v. a. (viii) Si (X n : n N) es familia de v. a. tal que lím X n, entonces es v. a. lím X n es v. a. Nota Por (iii) y (iv), el conjunto de v. a. es espacio vectorial; por (iii), (iv) y (v) el conjunto de v. a. es un álgebra conmutativa; por (vii) el conjunto de v. a. es un reticulado (cerrado para el máximo y el mínimo); por (i), (iii), (iv) y (v) el conjunto de v. a. es un álgebra conmutativa unitaria, pues la funcion constante 1 : Ω R es el neutro de la multiplicación. ω 1(ω) = 1 Demostración Solo la de (ii) y la de (i) por mientras: (ii) Sea B β y 1 B : Ω R { 1 si ω B ω 1 B (ω) = 0 si ω / B 25

30 26 ÍNDICE GENERAL Para probar que 1 B es v. a. debemos probar que C β(r), 1 1 B (C) β. Se tiene que 1 1 B (C) = {ω Ω : 1 B(Ω) β}, asi que, por casos: Caso 1: Si {0, 1} C por definición 1 1 B (C) = Ω β Caso 2: Si 1 C, 0 / C por definición 1 1 B (C) = B β Caso 3: Si 0 C, 1 / C por definición 1 1 B (C) = Bc β Caso 4: Si {0, 1} / C por definición 1 1 B (C) = β Como son los unicos casos posibles, concluimos que 1 1 B (C) β, C β(r), luego 1 B es v. a. La segunda parte de (ii), resulta de lo hecho previamente (la parte si ) y de (*?) tomando C = {1} P(R), para la parte solo si. (i) Notemos que si a = 1, X = 1 Ω, luego ese caso se deduce de (ii). En general la función X a = a es v. a. pues: { Xa 1 Ω si a C (C) = si a / C Y como Ω, β, se deduce el resultado.

31 Clase 09-09/04/2013 Demostración (Continuación) (iii) Sea X v. a. y α R. Digamos α 0. Para C β(r) debemos mostrar que (αx) 1 (C) β. Se tiene (αx) 1 (C) = {ω Ω : αx(ω) C} = {ω Ω : X(ω) 1 α C} = X 1 ( 1 C), en donde α 1 α C = {y R : αy C} β(r). Luego, como X es v. a., X 1 ( 1 C) β. α (vi) Sean X, Y v. a. Por demostrar que Z = máx(x, Y ) es v. a. Para esto, basta probar que Z 1 ((, a]) β a R Z 1 ((, a]) = {ω Ω : Z(ω) a} = {ω Ω : máx(x(ω), Y (ω)) a} Corolario X a) Sean X, Y v. a. Entonces, Y es v. a. {Y 0} b) Sea (X n : n N) sucesión de v. a. Entonces ( lím X n) = {ω Ω : X(ω) a Y (ω) a} = {ω Ω : X(ω) a} {ω Ω : Y (ω) a} = X 1 ((, a]) Y 1 ((, a]) β { lím Xn} es v. a. Observación Y (ω) = 0 X = 0 por definición. Y es 1 si lím X { lím Xn} n y 0 en caso contrario. Notación Escribiremos {X C} = {ω Ω : X(ω) C}. Así mismo, escribiremos su notación análoga {X 1 C 1,..., X n C n } = {ω Ω : X 1 (ω) C 1,..., X n (ω) C n } También { lím X n} = {ω Ω : lím X n} Observación Lo que hemos hecho hasta ahora en R tambien se puede hacer en R = R {, }, llamado R extendido. β(r) = σ(j), con J = {[, a], [a, ], (, a], [a, )} Todas las propiedades son análogas cuando estan bien definidas: Definidas: { 0 = 0 0 = 0 No definidas: { (±) ± (±) (±) 27

32 28 ÍNDICE GENERAL Propiedad Sean (X n : n 1) v. a. tal que n N X n : Ω R (o R). Entonces lím inf X n y lím inf X n son v. a., lím inf y lím sup van de Ω a R Nota lím sup X n (ω) lím inf X n(ω) = sup. ínf. de la acumulación de {X n (ω) : n N}. Definición h : R R o R R se dice boreliano si C β(r) : h 1 (C) β(r), con h 1 (C) = {x R : h(x) C}. Se prueba que esta propiedad es equivalente a: a R, h 1 ((, a]) = {x R : h(x) a} β(r) Nota Todas las funciones continuas o con un conjunto aislado numerable de discontinuidades son funciones borelianas. Si C β(r), la indicadora 1 C es boreliana. El conjunto de funciones borelianas tiene las propiedades ya descritas de v. a. (espacio vectorial, reticulado, álgebra unitaria). Propiedad Sea X : ω R y h : R R boreliano, entonces h X : Ω R es v. a. Demostración Sea C R. Entonces (h X) 1 (C) = X 1 (h 1 (C)) β Definición y Propiedad Sea X : Ω R una v. a., entonces P X : β(r) [0, 1] es C P(X 1 (C)) una medida de probabilidad en (R, β(r)) que se llama probabilidad inducida por X o ley de X. Demostración (0) P X esta bien definida en β(r) pues X es v. a. Luego C β(r), X 1 (C) β, luego P(X 1 (C)) [0, 1] (1) P X (R) = P(X 1 (C)) = P(Ω) = 1 (2) Sean (C n : n N) β(r) familia disjunta de borelianos. Entonces: ( ) ( ( ) P X C n = P(X 1 C n )) = P (X 1 C n ) = P(X 1 (C n )) = P X (C n ) Observación Notemos que para X i : Ω R v. a. i = 1,..., n se tiene: C 1,..., C n β(r), {ω Ω : X i (ω) C i, i = 1,..., n} β n n {X i C i i = 1,..., n} = {X i C i } = X 1 (C i ) β

33 ÍNDICE GENERAL 29 Definición Las v. a. X 1,..., X n se dicen (P-)independientes si: P({X i C i, i = 1,..., n}) = ( n ) Esto es: P {X i C i } = = n P(X i C i ), C 1,..., C n β(r) n P(X i C i ) n P Xi (C i ) Propiedad Para X v. a., σ(x) = {X 1 (C) : C β(r)} es una σ-álgebra contenida en β. Se tiene que X 1,..., X n son independientes si y solo si las σ-algebras σ(x 1 ),..., σ(x n ) son independientes entre si (en (Ω, β, P)) Demostración Ejercicio.

34 30 ÍNDICE GENERAL

35 Clase 10-16/04/2013 Variables Aleatorias Discretas Definición X : Ω R v. a. se dice discreta si la imagen X(Ω) es un conjunto que notamos I = X(Ω), tal que I R numerable. Equivalentemente lo podriamos definir como X : Ω I v. a. tal que I es conjunto numerable; esto ocurre si y solo si X 1 ({a}) = {ω Ω : X(ω) = a} β, a I Admitimos la generalización siguiente: X : Ω R v. a. d. si I R numerable tal que P(X I) = 1 Definición Sea X : Ω I v. a. d. Definimos su función de densidad discreta por: P X (a) = P(X = a), a I La función de densidad se extiende a R si P X (x) = 0, x / I. Como P(X I) = 1, se tiene que: P X (a) 0 a I P X (a) = 1 Observación Si X i : Ω I i, i = 1,..., n son v. a. d., siempre podemos suponer X i : Ω I, n i = 1,..., n, tomando I = I i. Analogamente si X i : Ω I i es v. a. d para i N, lo podemos hacer si tomamos I = I i. i N Propiedad Sean X i : Ω I, i = 1,..., n v. a. d., entonces ellas son independientes si y solo si ( n ) n P {X i = a i } = P(X i = a i ) En efecto, esto implica ( n ) P {X i C i } = n P(X i C i ) C i I, i = 1,..., n Y por otra parte esto implica que se cumple C i P(R), pues ( n ) ( n ) P {X i C i } = P {X i (C i I)} ya que ( n ) P {X i (C i I c )} = 0 31

36 32 ÍNDICE GENERAL Clases de Variables Aleatorias Discretas 1 ra Clase - Constante Sea a 0 R. X a0 : Ω R es v. a. d. con I = {a 0 }. En este caso ω X(ω) = a 0 { 1 Si a = a0 P Xa0 (a) = δ a,a0 = Se dice X a0 v. a. constante a 0. 0 Si a a 0 2 da Clase - Bernoulli(p) Sea p [0, 1], X : Ω R es v. a. Bernoulli(p) si P(X {0, 1}) = 1 tal que P(X = 0) = 1 p P(X = 1) = p Nota Si p = 0 o p = 1, es igual a la v. a. constante X 0 o X 1 respectivamente. Observación Sean a, b R, a b. Si P(Y = a) = 1 p, entonces X = Y a es Bernoulli(p). b a P(Y = b) = p Dicho de otro modo, si X es Bernoulli(p), entonces Y = a + bx es tal que P(Y = a) = 1 p. P(Y = b) = p 3 ra Clase - Binomial(n, p) Sea n 1, p [0, 1]. X : Ω R v. a. d. se dice Binomial(n, p) si P(X {0,..., n}) = 1 y ( ) n P X (k) = P(X = k) = p k (1 p) n k, k {0,..., n} k Nota En lo anterior 0 k = 0 si k > 0, 0 0 = 1. Observemos que n n ( ) n P X (k) = p k (1 p) n k = (p + (1 p)) n = 1 k k=0 k=0 Propiedades Sean X 1,..., X n v. a. Bernoulli(p) independientes. Entonces Y = ( ) n Binomial(n, p), es decir, P(Y = k) = p k (1 p) n k, k = 0,..., n k n i=0 X i es Nota Binomial se puede ver como el numero k de caras que aparecen en n lanzamientos. Demostración ( n ) P(Y = k) = P X i = k = P( {i {1,..., n} : X i = 1} = k) ( ) = P {{i I n : X i = 1} = J} = P(X i = 1, i J; X i = 0, i J k ) J I n J =k J I n J =k J I n J =k = ( P(X = 1))( P(X = 0)) = i J i J 0 J I n J =k p J (1 p) n J = }{{} ( n k {J I n: J =k} =( n k) ) p k (1 p) n k

37 ÍNDICE GENERAL 33 Relación entre Bernoulli(p) y la Indicadora Sea X v. a. Bernoulli(p). Entonces, X(ω) {0, 1} ω Ω, de donde X = 1 B con B = {ω Ω : X(ω) = 1}. En efecto, { 1 Si ω B X(ω) = 1 X(ω) = 1 B (ω) = 0 Si ω / B X(ω) = 0 Se tiene P(B) = p, pues P(B) = P(X = 1) = p X Bernoulli(p) es indicadora. Notemos que X = 1 B = 1 {X=1} Observación Si X i v. a. Bernoulli(p) i = 1,..., n, ellas son independientes si y solo si (B i : i = 1,..., n) son independientes, ya que B i = 1 {X}, i = 1,..., n Definición La sucesión de v. a. X m : Ω R, n N son independientes si y solo si N N : X 1,..., X N son independientes. Es decir, una familia de v. a. es independiente si y solo si toda subfamilia finita de ellas es independiente. 4 ta Clase - Geométrica(p) Sea p [0, 1]. La v. a. Z : Ω R se dice Geométrica(p) si P(Z N) = 1 y P Z (k) = P(Z = k) = (1 p) k 1 p, k N Nota En lo anterior 0 k = 0 si k > 0, 0 0 = 1. Observemos que P Z (k) = (1 p) k 1 1 p = p 1 (1 p) = 1 k N k 1 Propiedad Sea (X i : i = 1 N) una familia independiente de v. a. Bernoulli(p). Entonces, Y = ínf({i N : X i = 1}) es Geométrica(p), es decir: P(Y = k) = (1 p) k 1 p, k N Demostración P(Y = k) = P(ínf({i N : X i = 1}) = k) = P(X i = 0 i < k; X k = 1) k 1 = P(X i = 0)P(X k = 1) = (1 p) k 1 p Nota P(Y = N) = 1, pues Y N { }, pero P(Y = ) = 0. Observemos que Y = X i = 0 i N, por lo que P(Y = ) = P(X i = 0 i N) = i N(1 p) = 0 Observación Si Z Geométrica(p) W = Z 1 es Geométrica(p) en {0, 1,...}. Se tiene que P(W {0, 1,...}) = 1 P W (k) = P(W = k) = P(Z 1 = k) = P(Z = k + 1) = (1 p) (k+1) 1 p = (1 p) k p, k 0 5 ta Clase - Poisson(λ) Sea λ > 0 R. La v. a. X se dice Poisson(λ) si P(X Z + ) = 1 y P X (k) = P(X = k) = λk k! e λ, k 0

38 34 ÍNDICE GENERAL Comprobemos Se tiene P(X Z + ) = P X (k) = λk k! e λ = e λ e λ = 1 k Z + k Z + Propiedad Sea X Poisson(λ), entonces si Y n es Binomial(n, p(n)) y np(n) }{{} λ P(X = k) = lím P(Y n = k) x Se puede interpretar como el numero de llamadas recibidas en una unidad de tiempo con una escala λ

39 Clase 11-18/04/2013 Función de Distribución Tratemos el caso general de v. a. de X R. Vamos a describir P X (que la llamaremos ley de X) como P X (C) = P(X 1 C) = P(X C) Cuando C = (, ] se tiene P X ((, x]) = P(X x), x R Vemos que esto ultimo caracteriza la ley de X. A continuacion definiremos y consideraremos generales: Definicion F : R [0, 1] se dice funcion de distribucion si verifica: (0) F : R [0, 1] es funcion (1) F creciente, es decir, x y F (x) F (y) (2) F continua a la derecha, es decir, F (x + ) = F (x), donde F (x + ) = lím F (x+h) (3) F (0) = 1 h 0 + (4) F ( ) = 0, donde F ( ) = lím F (x) x Observaciones Siempre existe F (x ) = lím F (x h) x R h 0 + x es punto de continuidad si F (x ) = F (x + ) = F (x) x es punto de discontinuidad si F (x ) F (x + ) (Obviamente se tiene F (x ) F (x + )) Notamos D F = {x : F (x ) F (x + )} el conjunto de discontinuidades de F Teorema a) Si P es una medida de probabilidad en (R, β(r)), entonces F (x) := P((, x]), x R define una función de distribución. b) Si F : R [0, 1] es función de distribución, entonces!p medida de probabilidad en (R, β(r)) tal que F (x) = P((, x]) Demostración Solo demostraremos a). Sea P medida de probabilidad en (R, β(r)). Debemos demostrar que F (x) = P((, x]), x R verifica (0) a (4) para ser distribucion. (0) Como (, x] β(r), P((, x]) esta bien definido y como P es medida de probabilidad P((, x]) [0, 1] (1) x y (, x] (, y) }{{} P creciente P((, x]) P((, y]) F (x) F (y) (2) F (x + ) = F (x) equivale a: h n > 0, h n 0 se tiene lím F (X + h n) = F (x). Entonces, sea h n que cumple con lo pedido. Se tiene (, x + h n ] decreciente y (, x] = (, x + h n ]. Por continuidad monotona de P: P((, x]) = F (x) = lím P(, x + h n] = F (x + ) 35

40 36 ÍNDICE GENERAL (3) Si x n, se tiene (, x n ) creciente y R = (, x n ). Por continuidad monotona ( ) P(R) = P (, x n ) lím F (x) = 1 (4) Si x n, (, x n ] es decreciente y = (, x n ], por lo que P( ) = lím P((, x n]) lím F (x n) = 0 Propiedades Para F (x) = P((, x]), se tiene: (a) P((, x)) = F (x ), x R (b) P({x}) = F (x) F (x ) (c) P((a, b]) = F (b) F (a) (d) P((a, b)) = F (b ) F (a) (e) P([a, b]) = F (b) F (a ) (f) P([a, b)) = F (b ) F (a ) (g) P([a, )) = 1 F (a ) (h) P((a, )) = 1 F (a) Demostración Con (a) se obtienen todas las demas, asi que demostramos solo esa: (a) Consideramos h n > 0, h n 0. Se tiene F (x ) = lím F (x h n) = lím P((, x h n))

41 Clase 12-23/04/2013 Nota Observemos que si F (a ) = 0, entonces P([a, )) = 1, luego P(C) = P(C [a, )), C β(r). Si la (función de) distribución F tiene densidad f, entonces f(z) = 0, z (, a) y luego P(C) = f(z) dz C [a, ) Observación Sea F (función de) distribución con (función de) densidad f. Notemos que f puede ser alterado o redefinido en un conjunto finito o numerable de punto sin que F o P sean modificados. Más generalmente, f puede modificarse en un conjunto A tal que λ(a) = 0 sin que F o P sean modificados. Aqui λ : β(r) [0, ) es la medida de Lebesgue. Variables Aleatorias Absolutamente Continuas Sea X : Ω R v. a. La medida de probabilidad P X : β(r) [0, 1] llamada ley de X caracterizada por la función de distribucion de X= F X : R [0, 1] x F X (x) = P X ((, x)) = P(X x) Se tiene D FX = {x R : F X (x) F X (x )} = {x R : P X ({x}) 0} = {x R : P(X = x) 0} conjunto numerable. Si P X (D FX ) = 1 se tiene que X es v. a. discreta, pues toma valores en el conjunto numerable D FX. Si P X (D FX ) = 0, se tiene P(X = x) = 0 x R, o equivalentemente F X (x) = F X (x ) x R, es decir F X es continua. Definición X es v. a. absolutamente continua si su función de distribución F X es absolutamente continua, es decir si: f X (x) = d(f X(x)), x R llamada densidad de X y que verifica: dx f X 0 y f X (z) dz = 1. Luego, C β(r) se tiene P X (C) = P(X C) = f X (z) dz Por lo dicho anteriormente, f X esta definida salvo en un conjunto que tenga medida de Lebesgue 0. Escribiremos X F X o X f X para decir respectivamente que X tiene distribucion F X o densidad f X. 37 C

42 38 ÍNDICE GENERAL Familias de Variables Aleatorias Absolutamente Continuas 1 ra Familia - Uniforme Definición Sea a < b. La variable aleatoria X se dice uniforme [a, b] si es abs. continua con densidad f X (z) = 1 0 si z < a b a 1 z a [a,b](z) y función de distribución asociada F X (z) = si z [a, b] b a 1 si z > b Además P X (C) = P X (C [a, b]) = 1 = λ(c [a, b]), λ medida de Lebesgue. b a Para definir la uniforme podemos utilizar 1 a,b en vez de 1 [a,b], pues f X se puede modificar en un número finito de puntos. Propiedad En efecto: Sea U v. a. uniforme [0, 1). Entonces, la v. a. X = a + (b a)u es uniforme [a, b]. ( F X (x) = P(X x) = P(a + (b a)u x) = P U x a ) = b a 2 da Familia - Exponencial (λ) 0 si x < a x a si x [a, b] b a 1 si x > b Sea λ > 0. La v. a. X se dice Exponencial (λ) si es abs. continua con densidad f X (z) = λe λz 1 (0, ) (z). A λ se le llama tasa. Es claro que Su función de distribución es F X (x) = P(X > x) = e λx, x > 0 f X (z) dz = { 1 e λx si x > 0 0 f X (z) dz = e λz = 1. 0 si x 0. Luego, F X(x) = 1 F X (x) = 0 Nota Si Y Geometrica(p), P(Y > n) = k>n(1 p) k 1 = (1 p) n = e θn, con θ = log(1 p) si p (0, 1) Luego, la Exponencial es la versión continua de la Geométrica. 3 ra Familia - Gamma (α) Sea α > 0. Recordemos que Γ(α) = para n N. 0 e x x a 1 dx esta en (0, ) y se verifica Γ(n) = (n 1)!, La v. a. X se dice Gamma(α) si es abs. continua con densidad f X (z) = e z z α 1 1 (0, ) (z) Γ(α) g(z) Nota General Si g(x) 0 y 0 < g(x) dx <, entonces f(z) = g(x) dx densidad (es decir, es la normalización de g) es función de

43 ÍNDICE GENERAL 39 4 ta Familia - Normal o Gaussiana Sea µ R y σ > 0. La v. a. X se dice N(µ, σ 2 ) si es absolutamente continua con densidad f X (z) = 1 σ 2π e 1 z µ 2 ( σ ) 2, z R. Es claro que f X 0. Probemos que Demostración Tomando y = z µ σ 1 2π debemos mostrar que e y2 2 dy = 1, equivalente a e y2 π 2 dy = 2 0 f X (z) dz = 1. Haciendo el cambio x = y 2 queda 0 e x2 dx = π 2 equivalente a Luego, haciendo el cambio a coordenadas polares: π r e r2 dθ dr = π 4 e (x2 +y 2) dx dy = π Que es fácil ver que se cumple. Propiedad Sea X N(0, 1). Entonces Y = µ + σx N(µ, σ 2 ). Demostración Sea Y = µ + σx. Se tiene F Y (z) = P(Y y) = P(µ + σx y) = P(X y µ σ ) = F X( y µ σ ) Luego Y es abs. continua con densidad f Y (z) = d(f Y (z)) dz (y) = d(fx( y µ σ )) = 1 dy σ f X( y µ σ ) = 1 σ 2π e 1 z µ 2 ( σ ) 2 N(µ, σ 2 )

44 40 ÍNDICE GENERAL

45 Clase 13-25/04/2013 Independencia Propiedad Si X 1,..., X n son v. a. independientes y h i : R R, i = 1,..., n son funciones borelianas, entonces las v. a. h 1 (X 1 ),..., h n (X n ) son independientes. Demostración De donde {h i (X i )C i } = {X i h 1 i (C i )}, C i β(r) por ser boreliano. P(h i (X i ) C i, i = 1,..., n) = P(X i h 1 i (C i ), i = 1,..., n) n n = P(X i h 1 i (C i )) = P(h i (X i ) C i ) Propiedad Es facil ver que las v. a. son independientes si y solo si n P(X i a i, i = 1,..., n) = P(X i a i ), a 1,..., a n R = n F Xi (a i ) que llama- Nota En lo que sigue notaremos: F X1,...,X n : R [0, 1] (a 1,..., a n ) F X1,...,X n (a 1,..., a n ) remos función de distribución conjunta de las v. a. X 1,..., X n. Ella verifica: (0) F X1,...,X n es función (1) F X1,...,X n es creciente: x i y i i = 1,..., n F X1,...,X n (x 1,..., x n ) F X1,...,X n (y 1,..., y n ) (2) F X1,...,X n es continua por la derecha: F X1,...,X n ((x 1,..., x n ) + ) = lím... lím F X 1,...,X h h n 0 + n (x 1 + h 1,..., x n + h n ) = F X1,...,X n (x 1,..., x n ) (3) F X1,...,X n (,..., ) = lím x 1... lím x F X 1,...,X n (x 1,..., x n ) = 1 (4) F X1,...,X n (a 1,...,,..., a n ) = lím F X 1,...,X n (x 1,..., x i,..., x n ) = 0 x i }{{} Posición i Como en el caso real, se tiene que F X1,...,X n : R n [0, 1] caracteriza la medida de probabilidad P X1,...,X n : β(r n ) [0, 1] D β(r n ), D P X1,...,X n (D) = P({(X 1,..., X n ) D}) = P({ω Ω : (X 1 (ω),..., X n (ω)) D}) que es llamada ley conjunta de X 1,..., X n 41

46 42 ÍNDICE GENERAL Con esta notacion, las v. a. X 1,..., X n son independientes si y solo si n F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = F Xi (x i ) Nota (X 1,..., X n ) : Ω R n ω (X 1 (ω),..., X n (ω)) se llama vector aleatorio; con ley P X1,...,X n en (R n, β(r n )) y distribución F X1,...,X n Definición El vector aleatorio (X 1,..., X n ) se dice abs. continuo si f X1,...,X n : R n R + que x 1 x n verifique: F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f X1,...,X n (z 1,..., z n ) dz 1... dz n, (x 1,..., x n ) R n A f X1,...,X n se le llama (función de) densidad conjunta de (X 1,..., X N ). Necesariamente verifica: f X1,...,X n (0) f X1,...,X n : R n R (1) f X1,...,X n 0 (2) f X1,...,X n (z 1,..., z n ) dz 1... dz n = 1 Además se cumple: d(f X1,...,X n ) dx 1,..., dx n (x 1,..., x n ) = f X1,...,X n (x 1,..., x n ), (x 1,..., x n ) R n Nota En este contexto f Xi se llama la densidad marginal de f X1,...,X n (Lo mismo con F Xi, que se llama la distribución marginal de F X1,...,X n ) Propiedad si y solo si: Las v. a. X 1,..., X n absolutamente continuas (conjuntamente) son independientes n f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = f Xi (x i ) Es decir, la densidad conjunta en el producto de las densidades marginales. Demostración Tenemos que las v. a. X 1,..., X n son independientes si y solo si Aplicando F X1,...,X n (x 1,..., x n ) = n F Xi (x i ) d n dx 1,..., dx n se obtiene lo buscado. Reciprocamente, si aplicamos obtenemos lo aquí presentado. x 1 x n a f X1,...,X n Nota Todo lo relativo a densidad conjunta es salvo conjunto de medida de Lebesgue 0 en R n Observemos que si X es abs. continua, entonces Y = X 2 es abs. continua, pero el vector aleatorio (X, X 2 ) no es abs. continuo. Definición La sucesión de v. a. X 1,..., X n son independientes si y solo si n 1; X 1,..., X n son independientes.

47 ÍNDICE GENERAL 43 Cambio de Variables Lo haremos solo en caso de una v. a. (más adelante veremos el caso del vector aleatorio). Teorema Sea X : Ω R v. a. abs. continua con densidad f X y sea h : R R con derivada continua. Entonces: Y = h X : Ω R ω Y (ω) = h X(ω) = h(x(ω)) Es v. a. abs. continua cuya función de densidad f Y f Y (y) = X(y) h 1 ({y}) verifica: 1 h (X(y)) f X(X(y)), y R Luego, si h es inyectiva (como h : R R esto significa h creciente o decreciente), lo anterior es: 1 f Y (y) = h (h 1 (y)) f X(h 1 (y)), y R Nota Sea S = h(x(ω)) R, el rango de h X. Entonces, las 2 anteriores ecuaciones se deben leer y S en vez de y R Por otra parte, se necesita que {z S : h (z) = 0} sea un conjunto de puntos aislados. Donde S abierto, X(Ω) S, (h : S S). Demostración Lo hacemos considerando todas las regularidades que necesitamos. Sea h creciente con h > 0. Aplicando d dy queda: f Y (y) = d(f Y (y)) dy Sea h decreciente con h < 0. Aplicando d dy queda: F Y (y) = P(Y y) = P(h X y) = }{{} h creciente P(X h 1 (y)) = F X (h 1 (y)) = d(f X(h 1 (y))) dy F Y (y) = P(Y y) = P(h X y) = }{{} h decreciente = f X (h 1 1 (y)) h (h 1 (y)) P(X h 1 (y)) = P(X > h 1 (y)) = 1 F X (h 1 (y)) f Y (y) = f X (h 1 1 (y)) h (h 1 (y)) = f X(h 1 1 (y)) h (h 1 (y)) Veamos el caso no inyectivo: Por simpleza solo veremos el caso h 0, excepto por el punto h (x 0 ) = 0, en que la situacion es un maximo o minimo.

48 44 ÍNDICE GENERAL Sea y [0, h(x 0 )], h 1 (y) = {X (y), X + (y)}: Luego: F Y (y) = P(Y y) = P(ω : h(x(ω)) y) = P(ω : X(ω) X (y) X(ω) X + (y)) = P(X X (y)) + P(X X + (y)) }{{} abs. continua = F X (X (y)) + (1 F X (X + (y))) }{{} disjuntos f Y (y) = f X (X (y)) d(x (y)) f X (X + (y)) d(x +(y)) dy dy 1 = f X (X (y)) h (X (y)) + f 1 X(X + (y)) h (X + (y)) = 1 f X (X(y)) h (X(y)) X(y) h 1 (y)

49 Clase 14-29/04/2013 Si X v. a. abs. continua, entonces P X (x R : f X (x) > 0) = 1, pues f X (x)dx = 0. Luego, en caso abs. continuo, podemos suponer que: {x:f X (x)=0} X(Ω) = {x R : f X (x) > 0} Así pues, sea D abierto, {x : f X (x) > 0} D, que lo llamaremos S. Para h : D R con derivada continua y tal que {x D : h (x) = 0} es un conjunto finito de puntos aislados. Se tendra que la v. a. Y = h X verifica el teorema ya enunciado. Y es absolutamente continua con densidad f Y tal que F Y (y) = 0 si y / h(d). Para y h(d): Si h es inyectivo, para y h(d): f Y (y) = 1 f X (X(y)) h (X(y)) X(y) h 1 (y) f Y (y) = f X (h 1 1 (y)) h (h 1 (y)) Ejemplo Sea X v. a. abs. continua con f X (x) > 0 x R. Sea h : R R con h(x) = x 2. Y = h X = X 2 (y). Por lo anterior D = R = {x : f X (x) > 0}; h(d) = R +. Y tiene densidad f Y (y) = 0 si y / R +. Además, podemos considerar f Y (0) = 0 Para y > 0 se tiene: F Y (y) = P(Y y) = P(X 2 y) = P( y X y) = P(X y) P(X y) = F X ( y) F X ( y) d Luego, dy : f Y (y) = f X ( 1 y) 2 y + f X( 1 y) 2 y h 1 (y) = { y, y}, f Y (y) = 1 f X (X(y)) h (X(y)) Complemento a la densidad del vector aleatorio. X(y) h 1 (y) 45

50 46 ÍNDICE GENERAL Proposición Sean X 1, ldots, X n v. a. Supongamos que el vector aleatorio (X 1,..., X n ) tiene densidad conjunta f X1,...,X n, es decir: P(ω : (X 1 (ω),..., X n (ω) C) = f X1,...,X n (x 1,..., x n )dx 1,..., dx n C β(r n ) Entonces cada v.a X 1 es abs. continua con densidad f Xi dada por f Xi (x i ) = + Demostración d dx Esperanza dz 1 + C dz n f X1,...,X n (z 1,..., x i }{{} posicion i,..., z n ), Sin tomar en cuenta F Xi = P(X i x i ) = P(X 1,..., X i x i,..., X n X n ) x = P((X 1,..., X n ) (, x i ) R n 1 ) = h(t)dt = h(x) f Xi (x i ) = df X i (x i ) dx i = + + dz 1 x i dz 1 + dz i + La esperanza es el valor medio o esperado de una v. a. dz n f X1,...,X n (z 1,..., z n ) dz n f X1,...,X n (z 1,..., x i,..., z n ) z i Definición Sea X v. a. Entonces, cuando existe su esperanza es: + E(X) = x df X (x) Sobre la existencia: E(X) = 0 +0 x df X (x) + } {{ } x df X (x) }{{} 0 x df X (x) = x df X (x) > (el y implica que es finito) E(X) no existe si x df X (x) = y 0 0 E(X) existe si x df X (x) > y/o 0 Cada vez que escribamos E(X) supondremos que existe y es finita.

51 ÍNDICE GENERAL 47 Propiedades (a) Si X a = a, v. a. cte.e(x a ) = a (b) Si X = 1 B con B β (funciń indicadora)e(1 B ) = P(B) (c) X 0 E(X) 0; X Y E(X) E(Y ) (d) X, Y v. a. α, β R. Entonces: E(αX + βy ) = αe(x) + βe(y ). (Lineal) (e) Si X es discreta, es decir para cierto I numerable X = a I a1 {X=a}, entonces E(X) = a I ap(x = a) = a I ap X (a) (f) Si X es abs. continua con densidad f X : E(X) = (g) Si h : R R Boreliano, entonces E(h(X)) = (g ) E(X E(X)) = x f X (x)dx h(x) df X (x), df X (x) (h) Si X, Y son v. a. independientes, entonces E(XY ) = E(X)E(Y ). Aún más, si ϕ : R R y ψ : R R son borelianas, entonces ϕ(x), ψ(y ) son independientes, por lo que E(ϕ(X)ψ(Y )) = E(ϕ(X))E(ψ(Y )) (i) Si h : R R es convexa, E(h(X)) h(e(x)). Si es concava, E(h(X)) h(e(x)) (j) Si X n X puntualmente y monotonamente, entonces E(X n ) E(X). Si X n X puntualmente y monotonamente, entonces E(X n ) E(X) Si X n }{{} X puntualmente y se tiene X n Y con E(Y ) <, entonces E(X n ) }{{} E(X)

52 48 ÍNDICE GENERAL

53 Clase 15-02/05/2013 Demostración Propiedades de la clase anterior (a) Sea X a = a v. a. cte. F Xa (x) = P(X a a) = P(a { X a ) 1 Si x a = 1 a = 0 Si x < a = escalón de Heaviside E(X a ) = x df Xa (x) = a (F Xa (a) F Xa (a )) = a }{{} =1 0 Si x < 0 (b) Sea B β, X = 1 B F X (x) = P(ω : 1 B (ω) x) = P(B c ) = 1 P(B) Si x [0, 1) 1 Si x 1 + Entonces E(1 B ) = xdf X (x) = 0(1 P(B)) + 1(1 (1 P(B))) = P(B) (e) X discreta a valores en I R numerable. X = a I P(X = a) Entonces E(X) = xdf X (x) = a I a(f X (a) F X (a )) = a I ap(x = a) (h) Probemoslo solo para X = 1 B y Y = 1 D con B, D β. 1 B y 1 D independientes B y D independientes. E(1 B 1 D ) = E(1 B D ) = P(B D) = P(B)P(D) = E(1 B )E(1 D ) Propiedades (a) Si X 1,..., X n son v. a. y h : R n R función boreliana, entonces h(x 1 (ω),..., X n (ω) : Ω R es v. a. Se tiene ω h(x 1,..., X n ) E(h(X 1,..., X n )) = h(x 1,..., X n ) df X1,...,X n (x 1,..., x n ) R n Si los X 1,..., X n son independientes se tiene E(h(X 1,..., X n )) = h(x 1,..., X n ) df X1 (x 1 )... df Xn (x n ) R n 49

54 50 ÍNDICE GENERAL n Y si además h(x 1,..., X n ) = h i (x i ) queda n n E(h(X 1,..., X n )) = h i (x i ) df X1 (x 1 )... df Xn (x n ) = R n (b) Se tiene h 0, E(X) = 0 P(X = 0) = 1 R n h i (x i ) df Xi (x i ) Nota P(X = a) = 1 se dice X = a normalmente. Demostración Como X 0, si P(X = 0) < 1, a > 0 tal que P(X a) > 0. Además, como X 0 se tiene X(ω) a 1 {X a}. Luego, E(X) E(a)E(1 {X a} ) = ap(x a) lo que es una contradicción. Si X v. a. notamos µ X = E(X). En general escribiremos m k = E(X k ) para k 1 y los llamamos momentos de orden k. Así pues m 1 = µ X Propiedades E(X 2k ) (E(X)) 2k, k 1 Si X 0, entonces E(X k ) (E(X)) k, k 1 Es decir, m 2k m 2k 1 y si X 0, m k m k 1 Demostración Por (i) y como g(x) = x 2k es convexa para k 1 se deduce la primera. La segunda se deduce de g : R + R, g(x) = x k con k 1 es convexa y de X(Ω) = R +. Varianza Definición Sea X v. a. Su varianza es V ar(x) = E((X µ X ) 2 ) = E((X E(X)) 2 ) Propiedades Para X v. a. se verifica: (1) V ar(x) 0 (2) V ar(x) > 0 P(X = µ X ) = 1 X = a cte. con probabilidad 1. (3) Si α, β R, V ar(α + βx) = β 2 V ar(x) (4) V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (5) La función desviación cuadrática ϕ(c) = E((X C) 2 ) alcanza su minimo en C = µ X y ϕ(µ X ) = V ar(x) (6) Si X, Y son independientes, entonces V ar(x +Y ) = V ar(x)+v ar(y ). Más generalmente, si n n X 1,..., X n son v. a. independientes y a 0,..., a n R, se tiene V ar(a 0 + a i x i ) = a 2 i V ar(x i ) Nota V ar(x) esta definida si E(X) es finita. V ar(x) es finita si E(X) y E(X 2 ) son finitas. Para todo efecto consideraremos que V ar(x) existe y es finita.

55 ÍNDICE GENERAL 51 Demostración (1) (X µ X ) 2 0 V ar(x) = E((X µ X ) 2 ) 0 (2) Sea Y = (X µ X ) 2, se tiene Y 0. E(Y ) = V ar(x). Si V ar(x) = 0 se tiene E(Y ) = 0, y se concluye P(Y = 0) = 1, esto es P(X = µ X ) = 1. Además P(X = a) = 1 para cierto a R se tiene E(X) = a, de donde P(X = µ X ) = 1 y V ar(x) = E((X µ X ) 2 ) = 0. Juntando todo esto se tienen las equivalencias. (3) Sea Y = α + βx. Por linealidad E(Y ) = α + βe(x), es decir, µ Y = α + βe(x) = α + βµ X. Luego, V ar(α + βx) = V ar(y ) = E((α + βx α βµ X ) 2 ) = E(β 2 (X µ X ) 2 ) = β 2 V ar(x) (4) V ar(x) = E((X µ X ) 2 ) = E(X 2 2Xµ X + µ 2 X) = E(X 2 ) 2E(X)µ X + µ 2 X = E(X 2 ) µ 2 X (5) ϕ(c) = E((X C) 2 ) = E(X 2 2CX + C 2 ) = E(X 2 ) 2Cµ X + C 2. Derivando con respecto a C, obtenemos C = µ X. Volviendo a derivar con respecto a C obtenemos 2 y 2 > 0, luego en C = µ X alcanza su mínimo y por definición ϕ(µ X ) = V ar(x). (6) Sean X, Y v. a. indep. Se tiene µ x+y = µ X + µ Y. V ar(x + Y ) = E((X + Y µ X µ y ) 2 ) = E((X µ X ) 2 + 2(X µ X )(Y µ Y ) + (Y µ Y ) 2 ) = V ar(x) + 2E((X µ x )(Y µ Y )) + V ar(y ) Como X, Y indep., E(X µ x )E(Y µ Y ) que es 0 por (g ). Luego, V ar(x+y ) = V ar(x)+v ar(y ) Covarianza Definición Si X, Y son v. a., su Covarianza es: Cov(X, Y ) = E((X µ x )(Y µ Y )) Propiedades (1) V ar(x + Y ) = V ar(x) + 2Cov(X, Y ) + V ar(y ) (2) Cov(α + βx, γ + δy ) = βδcov(x, Y ) (3) Cov(X, X) = V ar(x) Demostración (1) Por lo hecho en (6) (2) Por un desarrollo análogo (3) Directa Definición Una v. a. Z tal que E(Z) = 0 se dice centrada Una v. a. Z tal que E(Z) = 0 y V ar(z) = 1 se dice normalizada. Propiedades Sea X v. a. Si E(X) es finita, entonces Z = X E(X) es centrada. Sea X v. a. Si E(X) es finita y 0 < V ar(x) <, entonces Z = X E(X) V ar(x) es normalizada.. Nota V ar(x) > 0 quiere decir que X no es constante. Demostración Punto 2: V ar ( ) X E(X) V ar(x) = }{{} (3) V ar(x) V ar(x) = 1