Formulaciones equivalentes del Axioma de Elección

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1 Formulaciones equivalentes del Axioma de Elección MARU SARAZOLA Resumen En este documento presentamos algunas formulaciones equivalentes del axioma de elección. En la primera sección, se presenta el enunciado usual del axioma de elección, junto con varias equivalencias involucrando nociones básicas de teoría de conjuntos. Las siguientes dos secciones se encargan de mostrar formulaciones dentro de la topología y del álgebra. 1. Algunas equivalencias del Axioma de Elección Recordemos algunas definiciones: Definición 1.1. Si {A i } i I es una familia de conjuntos no vacíos, se define ( ) I A i = {f A i : f(i) A i i i} i I i I Definición 1.2. Sea X un conjunto y R X 2 una relación. Se dice que (X, R) es un orden parcial si la relación R es Reflexiva: (x, x) R x X Antisimétrica: Si (x, y) R y (y, x) R = x = y Transitiva: Si (x, y) R y (y, z) R = (x, z) R Si además todos los elementos de X son comparables por (es decir, si x, y X se cumple que (x, y) R o (y, x) R), entonces se dice que (X, R) es un orden total. Notación 1.3. En adelante denotaremos un orden parcial en X por (X, ). Definición 1.4. Si (X, ) es un orden parcial, una cadena es un subconjunto C X tal que (C, ) es un orden total. Una cadena C es maximal si no existe una cadena D que la contiene estrictamente. Definición 1.5. Sea (X, ) un orden parcial, y x X. Decimos que x es un elemento maximal si y X, x y = x = y. De manera similar, x es un elemento minimal si y X, y x = x = y. Si y x y X, entonces x es un máximo. Si x y y X, entonces x es un mínimo. Definición 1.6. Un orden total (X, ) es un buen orden si para todo subconjunto no vacío Y X, (Y, ) tiene un minimo. 1

2 A continuación veremos que las siguientes son equivalentes: AC Axioma de Elección I Sea {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos. Entonces i I A i. ACII Axioma de Elección II Para toda familia X de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, existe un conjunto Z X tal que Z x = 1 x X. DIS Principio de disjuntificación Para toda familia de conjuntos {A i } i I existe una familia de conjuntos {B i } i I disjuntos dos a dos, con B i A i i I y i I B i = i I A i. WO Principio del Buen Orden Para todo conjunto X existe una relación R X 2 tal que (X, R) es un buen orden. HMP Principio Maximal de Hausdorff Toda cadena en un orden parcial puede ser extendida a una cadena maximal. ZL Lema de Zorn Sea (X, ) un orden parcial tal que toda cadena en X tiene una cota superior. Entonces (X, ) tiene un elemento maximal. Demostraremos las equivalencias de la siguiente manera: W O = DIS = ACII = AC = HMP = ZL = W O Teorema 1.1. WO = DIS Demostración. Sea {A i } i I una familia de conjuntos, y considero la relación tal que (I, ) es un buen orden. Para cada i I considero el conjunto B i = A i \ j<i B j. Quiero ver que {B i } i I es la familia que busco. Es obvio que B i A i i I. Supongo que existen i, j I, i j tales que B I B j. Como (I, ) es un orden total, entonces i < j o j < i. Sin pérdida de generalidad, supongo que i < j. Sea x B i B j = x B i y x B j = A j \ k<j B k = x B i y x k<j B k lo cual es absurdo ya que B i k<j B k. Luego los conjuntos de la familia {B i } i I son disjuntos dos a dos. Finalmente, es claro que i I B i = i I A i. Teorema 1.2. DIS = ACII Demostración. Sea A = {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos. Defino F = {F aa : A A, a A}, donde F aa = {(a, 0), (A, 1)}. Por DIS, existe una familia B = {B aa : A A, a A} tal que B aa F aa A A, a A; B = F y tal que si A, A A, a A, a A entonces B aa B a A =. Ahora, observemos lo siguiente: Si a A y a, a A, a a = F aa F a A = {(A, 1)}. Luego, como los B aa deben ser disjuntos, entonces para todo A A existe un único a A tal que (A, 1) B aa. Por lo tanto, si defino Z = {a A : A A tal que (A, 1) B aa }, resulta que Z es un conjunto selector para la familia A. 2

3 Teorema 1.3. ACII = AC Demostración. Sea {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos. Si defino C i = {i} A i i I, es claro que {C i } i I es una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos = Existe un conjunto X {A i } i I tal que X A i = 1 i I = X es un conjunto de pares ordenados de la forma (i, x) con x A i, tal que para cada i I existe un único (i, x) X. Luego X es la función selectora que busco. Teorema 1.4. AC = HMP Demostración. Para probar el teorema haremos uso del siguiente lema, demostrable a partir de los axiomas de ZF: Lema 1.5. Sea X un conjunto, y C una familia de subconjuntos de X cerrada bajo uniones de subfamilias totalmente ordenadas por la inclusión. Sea f : C C una función tal que C f(c) para todo C C. Entonces existe C C tal que f(c) = C. Demostración. Sean X, C y f como en el enunciado, y sea α > 0 un ordinal tal que no existe ninguna inyección de α en C. Definimos la función F : α P(X) por recursión transfinita de la siguiente manera: Supongo que β α y F (γ) ha sido definida para todo γ < β. Entonces { f( {F (γ) : γ < β}) si {F (γ) : γ < β} C F (β) = X de lo contrario Afirmación 1.6. F (γ) F (β) γ < β < α Demostración. Sea γ < β < α. Si F (β) = X, entonces la inclusión es evidente dado que F (γ) P(X). Si F (β) X, entonces {F (δ) : δ < β} C, y por la forma en que definimos f tenemos que F (γ) {F (δ) : δ < β} f( {F (δ) : δ < β}) = F (β). Afirmación 1.7. F (β) C β α. Demostración. Haremos esta prueba por inducción en β. Sea β α, y supongo que F (γ) C γ < β. Considero F = {F (γ) : γ < β}. Por la hipótesis inductiva, F C. Además, por la afirmación anterior F está ordenada totalmente por la inclusión. Luego, como C es cerrada por uniones de subfamilias totalmente ordenadas por la inclusión, tengo que F C. Como la imagen de f está contenida en C, concluimos que F (β) = f( F) C. Por la última afirmación, puedo deducir que F lleva a α en C. Pero por la elección de α, F no puede ser inyectiva, y por lo tanto existen γ < β < α tales que F (γ) = F (β). Si F (β) = X, entonces X C y como C f(c), debe ser f(x) = X. Si F (β) X, entonces sea C = {F (δ) : δ < β}. La definición de F implica que C C y además F (β) = f( {F (δ) : δ < β}) {F (δ) : δ < β} F (γ) = F (β), por lo que las inclusiones deben ser igualdades, y luego f(c) = C. 3

4 Ahora, demostremos nuestro teorema. Sea (X, ) un orden parcial, y C 0 X una cadena. Defino C = {C : C 0 C X y C es una cadena en (X, )}. Veamos que C es cerrado por uniones de subfamilias ordenadas totalmente por la inclusión: Sea B una subfamilia de C totalmente ordenada por la inclusión. Es claro que C 0 B X (ya que todos los elementos de B están en C), por lo que quiero ver que B es una cadena, es decir, que sus elementos están totalmente ordenados por. Sean A, B B = existen C 1, C 2 B tales que A C 1, B C 2. Pero como B está totalmente ordenada por la inclusión, entonces debe ser C 1 C 2 o C 2 C 1. Sin pérdida de generalidad supongo que C 1 C 2. Pero entonces A, B C 2, y como C 2 es una cadena en (X, ), tengo que A B o B A. Por lo tanto, concluyo que B C. Para cada C C defino A C de la siguiente manera: si C es una cadena maximal, entonces A C = {C}, y si C no es maximal, A C = {A : A es una cadena en (X, ) y C A}, es decir, todas las cadenas que extienden propiamente a C. Claramente los A C son no vacíos, y luego por el axioma de elección existe f C C A C. Quiero ver que f satisface las condiciones del lema. Por definición, tengo que f : C C C A C. Pero por definición de los A C, es obvio que C C A C C, por lo que f : C C. Veamos que C f(c): Si C es maximal, entonces f(c) = C. Si no lo es, como f(c) A C, debe ser f(c) = A con C A = C A. Entonces, por el lema tengo que existe un C C tal que f(c) = C, es decir, C es una cadena maximal en (X, ), y como C 0 C tengo que C es una cadena maximal que extiende a C 0. Teorema 1.8. HMP = ZL Demostración. Sea (X, ) un orden parcial en el que toda cadena tiene una cota superior. Ahora, es una cadena en (X, ), por lo que existe una cadena maximal C en (X, ) que extiende a. Sea x X una cota superior de C. Si x no es un elemento maximal en (X, ), entonces existe y X tal que x < y. Luego como x es cota superior de C, debe ser c < y para todo c C, y por lo tanto el conjunto C {y} es una cadena en (X, ) (ya que está totalmente ordenado), y C C {y}, lo cual es un absurdo ya que C era maximal. Teorema 1.9. ZL = WO Demostración. Sea X un conjunto arbitrario. Queremos encontrar una relación tal que (X, ) sea un buen orden. Defino X = {(Y, ) : Y X, es un buen orden en Y } (observar que X es siempre no vacío ya que X y el vacío puede ser bien ordenado), y una relación en X dada por (Y, Y ) (Z, Z ) Y Z y Y Z y (y, z) Z y Y z Z \ Y Afirmación Si Y X, Y es un buen orden en Y, y x X \Y, entonces la relación = Y {(y, x) : y Y {x}} es un buen orden en Y {x}. Demostración. Basta observar qué sucede con los pares que contienen a x, ya que los otros están contemplados en el orden total (Y, Y ). La demostración es sencilla, y queda como ejercicio. 4

5 Se concluye de la afirmación que si encuentro un elemento maximal en (X, ), deberá ser de la forma (X, X ), donde X es un buen orden en X. Por lo tanto, bastaría encontrar un elemento maximal en (X, ) para demostrar que el conjunto X admite un buen orden. Para esto, probaremos que (X, ) verifica las hipótesis del Lema de Zorn. Veamos primero que es un orden parcial en X : Dado (Y, Y ) X, es obvio que Y Y, Y Y, y como Y \ Y =, tengo que (Y, Y ) (Y, Y ). Sean (Y, Y ), (Z Z ) X tales que (Y, Y ) (Z Z ) y (Z, Z ) (Y Y ) = Por un lado, Y Z, Y Z, y por otro lado Z Y, Z Y = Y = Z, Y = Z = (Y, Y ) = (Z Z ). Sean (Y, Y ), (Z Z ), (W, W ) X tales que (Y, Y ) (Z Z ) y (Z, Z ) (W W ) = Y W (ya que Y Z y Z W ), Y W (ya que Y Z y Z W ), y si w W \ Y, entonces o w Z \ Y y luego (y, w) Z W y Y, o w W \ Z y luego (z, w) W z Z Y, por lo que (y, w) W y Y w W \ Y = (Y, Y ) (W W ). Ahora, sea C una cadena en (X, ), y definimos (C, ), donde C = {Y : /(Y, ) C}, y = { : Y/(Y, ) C}. Veamos que (C, ) es una cota superior de C, es decir, que para todo (Y, ) C se cumple que (Y, ) (C, ). Fijo (Y, Y ) C. Por definición, tengo que Y C, y Y. Sean y Y, z C \ Y, y sea (Z, z ) C tal que z Z. Como C es una cadena, entonces debe ser (Y, Y ) (Z, Z ) o (Z, Z ) (Y, Y ). Sin embargo, (Z, Z ) (Y, Y ) implicaría Z Y, lo cual no puede suceder ya que z Z y z Y. Luego (Y, Y ) (Z, Z ), por lo que (y, x) Z y Y x Z \ Y, y como en particular z Z \ Y, tengo que (y, z) Z. Para que se cumplan las hipótesis del Lema de Zorn, falta ver que (C, ) X. Es claro que C X. Veamos que es un buen orden en C. Ejercicio 1. Mostrar que (C, ) es un orden total. Sea C 0 C, C 0. Quiero ver que C 0 tiene un -mínimo. Sea (Y, Y ) C tal que Y C 0, y sea y el Y -mínimo de Y C 0 (existe ya que (Y, Y ) es un buen orden). Dado un x C 0, hay dos posibilidades: x Y, y luego (y, x) Y por la minimalidad de y, o x C \ Y, en cuyo caso (y, x) por ser (Y, Y ) (C, ). Esto prueba que y es un -mínimo de C 0. Como C 0 era un subconjunto no vacío arbitrario de C, hemos probado que (C, ) es un buen orden, y por lo tanto (C, ) X. Entonces, por el lema de Zorn, obtengo que (X, ) tiene un elemento maximal. 2. El Axioma de Elección en la Topología A continuación se darán algunas definiciones, que permitirán comprender la equivalencia que se presenta en esta sección. Definición 2.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto no vacío, y τ P(X ) es tal que: 5

6 X τ, τ n Si U 1,..., U n τ = U i τ i=1 Si {U i } i I es una familia que cumple que U i τ i I = i I U i τ τ es la topología en (X, τ), y los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos. Para abreviar, se suele hacer referencia a X como un espacio topológico cuando no hay confusiones respecto a la topología que se está considerando. Definición 2.2. Dado un conjunto X no vacío, una familia S = {S i } i I de subconjuntos de X que cumple S = X es llamada una subbase para cierta topología sobre X. Dicha topología, llamada topología generada por S, es la que tiene como abiertos las uniones de intersecciones { finitas de miembros de S, es decir, uniones n } de conjuntos de la forma : i k I. k=1 S ik Definición 2.3. Un cubrimiento por abiertos de un espacio topológico (X, τ) es una familia {A i } i I donde A i τ i I y i I A i = X. Un subcubrimiento de un cubrimiento {A i } i I es una subfamilia {A i } i I0, I 0 I tal que i I 0 A i = X. Definición 2.4. Un espacio topológico es compacto si todo cubrimiento por abiertos admite un subcubrimiento finito. Definición 2.5. Sean X un conjunto no vacío, {Y i } i I una familia de espacios topológicos, y p i : X Y i una función i I. La topología inicial en X respecto a {p i } i I es la generada por {p 1 i (U) : U Y i abierto, i I}. Definición 2.6. Si {X i } i I es una familia de espacios topológicos, para cada i I se define la proyección en la i-ésima coordenada como p i : i I X i X i tal que p i (f) = f(i). Definición 2.7. Definimos la topología producto en i I X i como la topología inicial respecto a las proyecciones {p i } i I. El propósito de esta sección es probar la equivalencia entre el axioma de elección y el siguiente TY Teorema de Tychonoff Sea {X i } i I una familia de espacios topológicos compactos. Entonces i I X i es compacto con la topología producto. Veamos primero que AC = TY. Como ya vimos que AC implica el Lema de Zorn, usaremos este Lema para probar un resultado conocido como el Lema de Alexander, y de éste último deduciremos el Teorema de Tychonoff. Lema 2.1 (Alexander). Sea X un espacio topológico y S una subbase de la topología de X. Si todo cubrimiento de X por abiertos pertenecientes a S tiene un subcubrimiento finito, entonces X es compacto. 6

7 Demostración. Por absurdo, supongamos que X no es compacto. Sea F = {Cubrimientos abiertos de X sin subcubrimientos finitos}, que no es vacío ya que X no es compacto. Defino el orden (F, ) de la siguiente manera: {U α } {V β } {U α } {V β }. Es claro que (F, ) es un orden parcial. Quiero verificar que estoy bajo las hipótesis del Lema de Zorn, es decir, que toda subfamilia totalmente ordenada tiene una cota superior en F. Considero B = {C i } i I F totalmente ordenada. Sea C = B. Es claro que C i C i I = C i C i I, por lo que C es una cota superior de {C i } i I. Falta ver que pertenece a F, es decir, que no tiene subcubrimientos finitos. Si {U ij } i F,j Gi fuera un subcubrimiento de C, con F y G i ambos finitos y con U ij C i i F ; como {C i } está totalmente ordenado, {U ij } i F,j Gi C k para algún k I, y luego sería un subcubrimiento finito de C k, lo cual es absurdo ya que C k F. Entonces, por el Lema de Zorn, F tiene un elemento maximal al que llamamos M. Sean A, B abiertos en X. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1. A M M 1,..., M k M tal que X = A M 1... M k 2. A M, B M = A B M 3. A B, B M = A M 1. (= ) A M = Como M es maximal, M {A} F = M {A} tiene un subcubrimiento finito {A, M 1,..., M k } = X = A M 1... M k. ( =) Si X = A M 1... M k = M {A} tiene un subcubrimiento finito = M {A} M = A M. 2. A M, B M = Por la parte anterior, X = A M 1... M k, X = B M k+1... M n, con M 1,..., M k, M k+1,..., M n M = X = (A B) n i=1 M i = Por la parte anterior, A B M. 3. Si A M = Por la parte 1 existen M 1,..., M k M tal que X = A M 1... M k = X = B M 1... M k (ya que A B) = Por la parte 1, B M. Ahora, sea x X. Como M = {M α } es un cubrimiento de X, existe un α 0 tal que x M α0, y como M α0 es abierto, existen abiertos de la subbase S 1,..., S n tal que x n i=1 S i M α0 = Por la afirmación 3, n i=1 S i M = Por la afirmación 2, alguno de los S i (al que llamo S x ) pertenece a M. Entonces para todo x X existe un abierto de la subbase S x que pertenece a M = {S x } x X es un cubrimiento de X por abiertos de la subbase = Admite un subcubrimiento finito, que es también un subcubrimiento finito de M, lo cual es absurdo ya que M F. Teorema 2.2. AC = TY Demostración. Por el Lema de Alexander, basta probar que todo cubrimiento por abiertos de la subbase de i I X i (es decir, el conjunto {p 1 i (U) : U X i es abierto, i I}) tiene un subcubrimiento finito. 7

8 Sea C un cubrimiento por abiertos de la subbase. Para cada i I, considero A i = {A X i abierto: p 1 i (A) C}. Existe algún i I tal que A i es un cubrimiento de X i, ya que en caso contrario existiría x i I X i tal que x X i y x i A A i A. Pero x p 1 j (U) para algún p 1 j (U) C, para algún j I y U X i abierto. Entonces x j = p j (x) U y U A j = x j a A j A, lo cual contradice lo anterior. Por lo tanto, algún A i es un cubrimiento de X i, y como X i es compacto, tiene un subcubrimiento finito {A 1,..., A n }. Entonces i I X i = n j=1 p 1 i (A j ), por lo que {p 1 i (A 1 ),..., p 1 i (A n )} es un subcubrimiento finito de C. Teorema 2.3. TY = AC Demostración. Sea {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos. Quiero ver que existe f i I A i. Sea un objeto que no pertenece a ninguno de los A i, y defino X i = A i { } para todo i I. Si doto a X i de una topología τ i = {, { }, X i }, entonces el espacio topológico (X i, τ i ) es compacto para todo i I, y luego por Tychonoff i I X i es compacto (con la topología producto). Considero ahora la familia U = {U i } i I, donde U j = {f i I X i : f(j) = } (observar que no necesito el Axioma de Elección para afirmar que U j j I, ya que el elemento que tiene a en cada una de sus coordenadas pertenece a U j ). Ahora, como τ i para todo i I, los U i son abiertos (U j Además, si considero J I finito, tampoco necesito el Axioma de Elección para encontrar un f i I X i \ j J U j: basta elegir f(j) A j para la cantidad finita de j J, y fijar f(i) = para i I \ J. Entonces ninguna familia finita de U es un cubrimiento de i I X i, y como i I X i es compacto, esto implica que U no puede ser un cubrimiento de i I X i. Luego debe existir f i I X i \ i I U i, es decir, f i I A i. 3. El Axioma de Elección en el Álgebra = p 1 j ( )). Antes que nada veamos el siguiente teorema, que nos será de utilidad más adelante. Teorema 3.1. AC = Todo conjunto infinito X es equipotente con P f (X). Demostración. Basta probar que si κ es un cardinal infinito, entonces κ = P f (κ). Llamémosle P n (κ) al conjunto formado por los elementos de P(κ) que tienen n elementos. Entonces, recordando que si λ es un cardinal infinito entonces λ λ = λ, tenemos que P 1 (κ) = κ, P 2 (κ) κ κ = κ, P 3 (κ) κ κ κ = κ, etc, por lo que concluimos que κ P f (κ) = n N P n (κ) ω κ κ κ = κ ya que κ es infinito. Por lo tanto las desigualdades deben ser igualdades, y κ = P f (κ). 8

9 Definición 3.1. Un grupo es una terna (G,, e) donde G es un conjunto, : G G G es una función, y e G, y verifican: (G1) (a b) c = a (b c) a, b, c G, (G2) e a = a e = a a G, (G3) para cada a G existe b G tal que a b = b a = e. La función es la operación del grupo; el elemento e suele llamarse el neutro del grupo, y el elemento b que verifica (G3) es llamado el opuesto de a. Es usual referirse al grupo (G,, e) simplemente por G cuando la operación y el neutro se sobreentienden. Definición 3.2. Dado un grupo (G,, e), un subconjunto H G es un subgrupo de G si: e H a b H a, b H para cada a H existe b H tal que a b = b a = e Definición 3.3. Un grupo (G,, e) es abeliano (o conmutativo) si a b = b a a, b G. Observación 3.2. Si G es un grupo abeliano y H es un subgrupo de G, entonces H también es abeliano. El objetivo de esta sección es probar que el axioma de elección es equivalente con que todo conjunto no vacío admite estructura de grupo abeliano. Teorema 3.3. AC = Todo conjunto no vacío admite una estructura de grupo abeliano. Demostración. Sea X un conjunto no vacío. Observar que para dotar a X con una estructura de grupo abeliano, bastaría con encontrar un grupo abeliano (Y, +, 1 Y ) tal que exista una función f : X Y biyectiva, ya que luego X hereda la estructura de Y mediante la biyección (es decir, defino 1 X = f 1 (1 Y ), x y = f 1 (f(x)+f(y)), y de esta manera es claro que (X,, 1 X ) es un grupo abeliano). Por lo tanto, basta con encontrar un grupo abeliano (Y, +, 1 Y ) tal que Y = X. Separaremos la prueba en dos casos, dependiendo de la cardinalidad de X. Si X es finito, entonces X = n para cierto n ω, y luego X es equipotente con el grupo abeliano Z n. Si X es infinito, entonces por el teorema demostrado anteriormente tengo que X = P f (X), por lo que la prueba quedaría completa si mostramos que P f (X) tiene estructura de grupo abeliano. Si A, B P(X), definimos su diferencia simétrica como A B = (A \ B) (B \ A). Veamos que (P(X),, ) es un grupo abeliano: 9

10 (G1) Quiero ver que es asociativa. A cada A P(X) le puedo asociar su función característica χ A : X Z definida por { 0 si x A χ A (x) = 1 si x A Observemos ahora que 0 si x (A B) C (χ A + χ B )(x) = 1 si x A B 2 si x A B o lo que es lo mismo, (χ A + χ B )(x) = { 0 si x A B 1 si x A B (mod 2). Esto nos indica que la función P(X) F un(x, Z 2 ), A χ A, donde χ A (x) = χ A (x), manda la diferencia simétrica en la suma; es decir, χ A B = χ A + χ B. Pero F un(x, Z 2 ) tiene una estructura de grupo abeliano dada por la suma punto a punto, y es muy fácil verificar que la función que acabamos de definir es inyectiva, por lo que hereda la asociatividad. Luego, χ (A B) C = χ A B + χ C = (χ A + χ B ) + χ C = χ A + (χ B + χ C ) = χ A + χ B C = χ A (B C), y como la función es inyectiva, entonces debe ser (A B) C = A (B C). Si el lector no está familiarizado con algunos de los conceptos empleados, puede ignorar esta prueba y demostrar la asociatividad manualmente. (G2) A = (A\ ) ( \A) = (A) ( ) = A, A = ( \A) (A\ ) = ( ) (A) = A A P(X). (G3) Dado A P(X), tengo que A A = (A \ A) (A \ A) = ( ) ( ) =, por lo que cada elemento es su propio opuesto. Por lo tanto hemos probado que (P(X),, ) es un grupo. Es fácil ver que es abeliano: si A, B P(X), entonces A B = (A \ B) (B \ A) = (B \ A) (A \ B) = B A Sin embargo, aún no hemos terminado; recordemos que lo que nos interesa es hallar una estructura de grupo abeliano para P f (X). Pero esto viene dado por el hecho de que P f (X) es un subgrupo de P(X). En efecto, es claro que P f (X) P(X), y además es claro que P f (X) si A, B P f (X), entonces A B también es finito (será a lo sumo A + B ) y está conformado por elementos de X = A B P f (X) 10

11 Como cada conjunto es su propio opuesto por, se verifica trivialmente que todo elemento de P f (X) tiene su opuesto en P f (X). Teorema 3.4. Si todo conjunto no vacío admite estructura de grupo, entonces todo conjunto admite un buen orden. Demostración. Sea X un conjunto cualquiera. Quiero mostrar que X admite un buen orden. Sea α > 0 un ordinal tal que no existe una función inyectiva de α a X. Considero el conjunto Y = X α. Como α > 0, Y y por lo tanto admite estructura de grupo, es decir, existen e Y y una función : Y Y Y tal que (Y,, e) es un grupo. Afirmación 3.5. Para todo z X existe β α tal que z β α. Demostración. Fijo z X y considero la función f : α Y dada por f(β) = z β. Esta función es inyectiva (ya que f(β) = f(γ) z 1 f(β) = z 1 f(γ) β = γ), y luego por la elección de α, la imagen de f no puede estar contenida en X = Existe algún f(β) Y \ X = α. Ahora, sea α el orden antilexicográfico en α α, el cual sabemos que es un buen orden. Defino g : X α α tal que g(z) es el α -mínimo (β, γ) α α tal que z β = γ. Observar que si g(z) = (β, γ), entonces z = γ β 1, por lo que g es inyectiva. Defino la siguiente relación en X: z w g(z) α g(w). Comprobemos que esta relación es un buen orden en X: Dado x X, x x g(x) α g(x) lo cual es cierto ya que α es un buen orden en α α. Sean x, y X. Si x y y y x = g(x) α g(y) y g(y) α g(x) = g(x) = g(y) = x = y (ya que g es inyectiva). Sean x, y, z X tales que x y, y z = g(x) α g(z) = g(x) α g(z) = x z. g(y), g(y) α Además, dados x, y X tengo que g(x) α g(y) o g(y) α g(x) (ya que α es un orden total) = x y o y x. Por lo tanto, (X, ) es un orden total. Sea Y X, Y = g(y ) α α, g(y ) = Existe g(y) α - mínimo de g(y ) = g(y) α g(z) g(z) g(y ) = y z z Y = y es un -mínimo. 11