Curso intermedio de PROBABILIDAD

Transcripción

1 Curso intermedio de PROBABILIDAD Luis Rincón Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU México DF Mayo 2005 El presente texto corresponde a la versión electrónica de mayo de 2005, si han transcurrido más de tres meses desde entonces seguramente existirá una versión corregida y aumentada disponible en

2 Prefacio El presente texto está dirigido a estudiantes de mitad de carrera de las licenciaturas de matemáticas, actuaría y áreas afines. Contiene el material básico para un curso intermedio de probabilidad y tiene como origen las notas de clase del curso semestral de Probabilidad II impartido por el autor en la Facultad de Ciencias de la UNAM a lo largo de varios semestres. El texto contiene una gran cantidad de ejercicios la mayoría de los cuales son de tipo mecánico, algunos de ellos son muy sencillos y en otros se pide reproducir lo realizado antes, de modo que el término ejercicios me parece justo y adecuado. La intención es la de crear confianza y soltura por parte del alumno en el manejo de los conceptos y notación involucrados. El número de ejercicios excede lo que normalmente puede realizarse en un semestre y el objetivo que siempre tuve en mente estos años fue el tener un número suficiente de ellos para presentar algunos en clase, dejar otros para trabajo en casa y asignar algunos otros para preguntas de examen, usando material ligeramente distinto cada semestre para evitar repeticiones. Los ejercicios se encuentran regularmente al final de cada sección y se han numerado de manera consecutiva a lo largo del curso. Al final del texto aparece una lista de referencias que me permito sugerir al lector consultar para profundizar y a veces precisar en algunos temas. Algunos de estos textos no han sido referenciados explícitamente pero aparecen en la lista por que en algún momento he obtenido inspiración de ellos. Me disculpo de antemano por cualquier error u omisión y agradezco sinceramente cualquier corrección o comentario en el correo electrónico que aparece abajo. Luis Rincón Mayo 2005 Ciudad Universitaria UNAM [email protected] 1

3 Contenido 1. Espacios de probabilidad Espacios de probabilidad σ-álgebras Conjuntos de Borel Sucesiones de eventos Medidas de probabilidad Propiedades elementales Continuidad Independencia de eventos Lema de Borel-Cantelli Variables aleatorias Variables aleatorias Función de distribución Tipos de variables aleatorias Integral de Riemann-Stieltjes Características numéricas Esperanza Varianza Momentos Distribuciones discretas Distribuciones continuas Vectores aleatorios Vectores aleatorios Distribución conjunta Densidad conjunta Distribución marginal Distribución condicional Independencia de variables aleatorias Esperanza condicional Varianza condicional Esperanza de una función de un vector aleatorio Covarianza Coeficiente de correlación Esperanza y varianza de un vector aleatorio Distribuciones multivariadas discretas

4 3.14. Distribuciones multivariadas continuas Transformaciones Transformación de una variable aleatoria Transformación de un vector aleatorio Distribución de la suma (convolución) Distribución de la resta Distribución del producto Distribución del cociente Distribuciones muestrales y estadísticas de orden Distribuciones muestrales Estadísticas de orden Distribuciones individuales Distribución conjunta Convergencia Convergencia puntual Convergencia casi segura Convergencia en probabilidad Convergencia en media Convergencia en media cuadrática Convergencia en distribución Relaciones generales entre los tipos de convergencia Dos resultados importantes de convergencia Funciones generadoras Función generadora de probabilidad Función generadora de momentos Función característica Teoremas límite Desigualdades de Markov y de Chebyshev Ley de los grandes números Teorema del límite central A. Distribuciones de probabilidad 188 B. Formulario 193 C. Tabla de la distribución normal estándar 196 3

5 Capítulo 1 Espacios de probabilidad La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Se entiende por experimento aleatorio todo aquel experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. A menudo y por muy diversas razones es necesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la teoría de la probabilidad tiene el objetivo de modelar matemáticamente cualquier experimento aleatorio de interés Espacios de probabilidad El modelo matemático creado durante el primer tercio del siglo XX para estudiar los experimentos aleatorios es el así llamado espacio de probabilidad. Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por (Ω, F, P), en donde Ω es un conjunto arbitrario, F es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y P es una medida de probabilidad definida sobre F. Explicamos a continuación brevemente cada uno de estos elementos. Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra y tiene como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en cuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω y matemáticamente se le considera entonces un conjunto arbitrario. σ-álgebras. Una clase o colección no vacía F de subconjuntos de Ω es una σ- álgebra si es cerrada bajo las operaciones de tomar complementos y uniones numerables. A los elementos de una σ-álgebra se les llama eventos o conjuntos medibles. En particular, un evento es simple si consta de a lo más 4

6 un elemento de Ω y es compuesto cuando consta de dos o más elementos de Ω. Medidas de probabilidad. Una función P definida sobre una σ-álgebra F y con valores en [0, 1] es una medida de probabilidad si P(Ω) = 1 y es σ-aditiva, es decir, P( A n ) = P(A n ). n=1 cuando A 1, A 2,... F son ajenos dos a dos. El número P(A) representa una forma de medir la posibilidad de observar la ocurrencia del evento A al efectuar una vez el experimento aleatorio. Tenemos entonces formalmente la siguiente definición. n=1 Definición 1 Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, F, P) en donde Ω es un conjunto arbitrario, F es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y P : F [0, 1] es una medida de probabilidad. En este primer capítulo se estudian con más detalle los conceptos de σ- álgebra y medida de probabilidad σ-álgebras En esta sección se estudia el concepto de σ-álgebra y se define la mínima σ-álgebra generada por una colección arbitraria. Recordemos nuevamente la definición de esta estructura. Definición 2 Una colección F de subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si cumple las siguientes condiciones. 1. Ω F. 2. Si A F entonces A c F. 3. Si A 1, A 2,... F entonces A n F. n=1 A la pareja (Ω, F) se le llama espacio medible y a los elementos de F se les llama eventos o conjuntos medibles. En palabras, una σ-álgebra es una colección de subconjuntos de Ω que es no vacía y cerrada bajo las operaciones de tomar complemento y efectu- 5

7 ar uniones infinitas numerables. De esta forma al conjunto Ω se le puede asociar una colección F de subconjuntos de sí mismo. En general existen varias σ-álgebras que pueden asociarse a un conjunto Ω como se muestra a continuación. Ejemplo 1 Sea Ω un conjunto cualquiera. Los siguientes son ejemplos sencillos de σ-álgebras de subconjuntos de Ω. 1. F 1 = {, Ω}. 2. F 2 = {, A, A c, Ω}, en donde A Ω. 3. F 3 = 2 Ω (conjunto potencia). Es fácil ver que las tres condiciones de la definición de σ-álgebra se cumplen para cada caso en el ejemplo anterior. La σ-álgebra del inciso (1) es la σ- álgebra más pequeña que podemos asociar a un conjunto cualquiera Ω, y la σ-álgebra del inciso (3) es la más grande. En la Figura 1.1 puede observarse gráficamente una σ-álgebra como una colección de subconjuntos de Ω. Veamos otro ejemplo. Ejemplo 2 Sean A y B subconjuntos de Ω tales que A B. Entonces la colección F = {, A, B, A c, B c, B A, (B A) c, Ω} es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω que contiene explícitamente a los conjuntos A y B. Esto puede verificarse directamente con la ayuda de un diagrama de Venn. Figura 1.1: Una σ-álgebra F = {A, B, C, D, E,...} es una colección no vacía de subconjuntos de Ω que es cerrada bajo complementos y uniones numerables. En la sección de ejercicios se pueden encontrar algunos otros ejemplos de σ-álgebras. El uso de la letra F para denotar una σ-álgebra proviene del nombre en inglés field que significa campo. En algunos textos se usa 6

8 también la letra A, proveniente de la palabra álgebra, para denotar una σ-álgebra también llamada σ-campo. Observe el uso y significado de los símbolos de contención y pertenencia: A Ω y A F. Se demuestran a continuación algunas otras propiedades que satisface cualquier σ-álgebra. Proposición 1 Sea F una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Entonces 1. F. 2. Si A 1, A 2,... F entonces A i F. i=1 3. Si A, B F entonces A B F. 4. Si A, B F entonces A B F. Demostración. (1) Como Ω F y F es una colección cerrada bajo complementos entonces Ω c = F. (2) Si A 1, A 2,... F entonces A c 1, Ac 2,... F. Por lo tanto n=1 Ac n F. Tomando complementos y usando las leyes de De Morgan se obtiene ( c An) c = A n F. n=1 (3) Como A B = A B c, de lo anterior se concluye que A B F. (4) Se escribe A B = (A B) (B A). Esto demuestra que A B F cuando A, B F. La proposición anterior establece entonces que las σ-álgebras son estructuras también cerradas bajo las operaciones de diferencia e intersecciones numerables. En la sección de ejercicios pueden encontrarse algunas otras definiciones de σ-álgebra equivalentes a la que hemos enunciado y que involucran las operaciones de la proposición anterior. Una operación de particular importancia es aquella en la que se intersectan dos σ-álgebras produciendo una nueva σ-álgebra. Este es el contenido del siguiente resultado. n=1 Proposición 2 La intersección de dos σ-álgebras es una σ-álgebra. Demostración. Sean F 1 y F 2 dos σ-álgebras de subconjuntos de Ω. Entonces F 1 F 2 es aquella colección de subconjuntos de Ω cuyos elementos pertenecen tanto a F 1 como a F 2. Demostraremos que F 1 F 2 es una σ-álgebra. (1) Como F 1 y F 2 son σ-álgebras entonces Ω F 1 y Ω F 2. Por lo tanto Ω F 1 F 2. (2) Sea A un elemento en F 1 F 2. Entonces A F 1 y A F 2. Por lo tanto A c F 1 y A c F 2, es decir, A c F 1 F 2. (3) Sea A 1, A 2,... una sucesión de elementos en F 1 F 2. Entonces A 1, A 2,... F 1 7

9 y A 1, A 2,... F 2. Por lo tanto n=1 A n F 1 y n=1 A n F 2, es decir, n=1 A n F 1 F 2. En general no es cierto que la unión de dos σ-álgebras produce una nueva σ-álgebra. Véase por ejemplo el Ejercicio 13 en la página 10. Por otro lado se puede extender la validez de la proposición recién demostrada a intersecciones más generales como indica el siguiente resultado. Proposición 3 La intersección finita, infinita numerable o bien arbitraria de σ-álgebras es nuevamente una σ-álgebra. Demostración. Sea T un conjunto arbitrario. Suponga que para cada t en T se tiene una σ-álgebra F t de subconjuntos de Ω. Sea F = t T F t. Siguiendo los mismos pasos que en la demostración anterior es fácil probar que F es una σ-álgebra. Observe que como T es un conjunto arbitrario, la σ-álgebra F es efectivamente una intersección arbitraria de σ-álgebras. El resultado anterior garantiza que la siguiente definición tiene sentido. Definición 3 Sea C una colección no vacía de subconjuntos de Ω. La σ- álgebra generada por C, denotada por σ(c), es la colección σ(c) = {F : F es σ-álgebra y C F}. Por la proposición anterior sabemos que σ(c) es una σ-álgebra pues es la intersección de todas aquellas σ-álgebras que contienen a C. También se le llama mínima σ-álgebra generada por C y el adjetivo mínima es claro a partir del hecho de que σ(c) es la σ-álgebra más pequeña que contiene a la colección C. Es decir, si F es una σ-álgebra que contiene a C entonces forzosamente σ(c) F. Observe que C σ(c) pues a la colección C se le han añadido posiblemente algunos otros subconjuntos para convertirla en la σ-álgebra σ(c). Ejemplo 3 Sean A, B Ω con A B =. Defina la colección C = {A, B}. En general esta colección no es una σ-álgebra pero podemos añadirle algunos subconjuntos de Ω para encontrar la σ-álgebra generada por C. Esto es σ(c) = {, A, B,(A B) c, A B, A c, B c, Ω}. No es difícil verificar que ésta es la mínima σ-álgebra que contiene a la colección C. Los siguientes dos resultados son proposiciones sencillas y naturales acerca de σ-álgebras generadas. Las demostraciones son cortas pero requieren algunos momentos de pensamiento en una primera lectura. 8

10 Proposición 4 Sean C 1 y C 2 dos colecciones de subconjuntos de Ω tales que C 1 C 2. Entonces σ(c 1 ) σ(c 2 ). Demostración. Claramente C 1 C 2 σ(c 2 ). Entonces σ(c 2 ) es una σ-álgebra que contiene a la colección C 1. Por lo tanto σ(c 1 ) σ(c 2 ). Proposición 5 Si F es una σ-álgebra entonces σ(f) = F. Demostración. Sabemos que F σ(f). Como F es una σ-álgebra que contiene a F entonces σ(f) F. Esto demuestra la igualdad. En la siguiente sección se estudia un ejemplo importante de una σ-álgebra de subconjuntos de los números reales: la σ-álgebra de Borel. EJERCICIOS 1. Defina con precisión y de manera completa los siguientes conceptos: σ-álgebra, espacio medible, evento, evento simple y evento compuesto. 2. Definición alternativa de σ-álgebra. Demuestre que F es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω si y solo si a) F. b) A F A c F. c) A 1, A 2,... F A n F. n=1 3. Definición alternativa de σ-álgebra. Demuestre que F es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω si y solo si a) Ω F. b) A, B F A B F. c) A 1, A 2,... F A n F. n=1 4. Sean A 1, A 2,...,A n eventos de un espacio muestral Ω. Demuestre que el conjunto de elementos de Ω que pertenecen a exactamente k de estos eventos es un evento, 1 k n. 5. Sea F una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Demuestre que la colección F c = {F c : F F} es una σ-álgebra. Compruebe además que F c = F. 9

11 6. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad. Defina la colección G = {F F : P(F) = 0 ó P(F) = 1}. Demuestre que G es una sub σ-álgebra de F. 7. Sea Ω = {a, b, c, d} y sean A = {a, b} y B = {b, c}. Defina la colección C = {A, B}. Claramente C no es una σ-álgebra. Encuentre σ(c). 8. Sea F una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y sea A un elemento de F. Demuestre que la siguiente colección es una σ-álgebra de subconjuntos de A, F A = A F = {A F : F F}. 9. Sea Ω un conjunto no numerable. Demuestre que la siguiente colección es una σ-álgebra, F = {A Ω : A o A c es finito o numerable}. 10. Sea X : Ω 1 Ω 2 una función en donde (Ω 2, F 2 ) es un espacio medible. Demuestre que la siguiente colección es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω 1, X 1 F 2 = {X 1 F : F F 2 }. 11. Sean F 1 y F 2 dos σ-álgebras de subconjuntos de Ω. Demuestre que F 1 F 2 es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. 12. Sea {F n : n N} una sucesión de σ-álgebras de subconjuntos de un mismo espacio muestral Ω. Demuestre que n=1 F n es una σ-álgebra. 13. Sean F 1 y F 2 dos σ-álgebras de subconjuntos de Ω. Demuestre que F 1 F 2 no necesariamente es una σ-álgebra. Sugerencia: Considere el espacio Ω = {1, 2, 3} y F 1 = {, {1}, {2, 3}, Ω} y F 2 = {, {1, 2}, {3}, Ω}. 14. Sean F 1 y F 2 dos σ-álgebras de subconjuntos de Ω tales que F 1 F 2. Demuestre que F 1 F 2 es una σ-álgebra. 15. Sea J un conjunto arbitrario de índices. Suponga que para cada j en J se tiene una σ-álgebra F j de subconjuntos de Ω. Demuestre que j J F j es una σ-álgebra. 16. Sea F una σ-álgebra. Demuestre que σ(f) = F. 17. Sea C una colección de subconjuntos de Ω. Demuestre que σ(σ(c)) = σ(c). 18. Sean C 1 y C 2 dos colecciones de subconjuntos de Ω tales que C 1 C 2. Demuestre que σ(c 1 ) σ(c 2 ). 19. Sean A, B Ω arbitrarios. Demuestre que la cardinalidad de σ{a, B} es a lo sumo

12 20. Sean A, B Ω arbitrarios. Encuentre explícitamente todos los elementos de σ{a, B}. Por el ejercicio anterior, el total de elementos en σ{a, B} en el caso más general es Sea {A 1,...,A n } una partición finita de Ω. Demuestre que la cardinalidad de σ{a 1,...,A n } es 2 n. 22. Sea {A, B, C} una partición de Ω. Encuentre explícitamente los ocho elementos de σ{a, B, C}. 23. Sea C una colección de subconjuntos de Ω. Diga falso o verdadero justificando en cada caso: C σ(c) 2 Ω. 24. Demuestre que 2 Ω es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y que no existe una σ-álgebra de subconjuntos de Ω que sea más grande. 25. Sea F una σ-álgebra de un espacio muestral finito. Demuestre que F contiene un número par de elementos. 26. Sea Ω un conjunto, F una σ-álgebra de subconjuntos de Ω y A un evento. Determine cuál de las dos expresiones siguientes es notacionalmente correcta. Explique su respuesta. a) Ω F ó Ω F. b) A Ω ó A Ω. c) F ó F. d) A F ó A F Conjuntos de Borel Considere la colección de todos los intervalos abiertos (a, b) de R en donde a b. A la mínima σ-álgebra generada por esta colección se le llama σ- álgebra de Borel de R y se le denota por B(R). Definición 4 B(R) = σ {(a, b) R : a b} A los elementos de B(R) se les llama conjuntos de Borel, Borelianos o conjuntos Borel medibles. De esta forma se puede asociar la σ-álgebra B(R) al conjunto de números reales y obtener así el espacio medible (R, B(R)). Mediante algunos ejemplos se muestran a continuación algunos elementos de la σ-álgebra B(R). Proposición 6 Para cualesquiera números reales a b, los subconjuntos son todos elementos de B(R). [a, b], (a, ), (, b), [a, b), (a, b], {a} 11

13 Demostración. Primeramente observe que los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos Borelianos pues podemos escribirlos en términos de una intersección numerable de intervalos abiertos de la siguiente forma [a, b] = (a 1 n, b + 1 n ). n=1 Observe que cada elemento de la intersección anterior es un conjunto Boreliano. Siendo B(R) una σ-álgebra, la intersección infinita es un elemento de B(R). De esta forma se concluye que cada intervalo cerrado [a, b] es un elemento de B(R). Asi mismo tenemos que (a, ) = y (, b) = (a, a + n) B(R), n=1 (b n, b) B(R). n=1 Por lo tanto [a, ) = y (, b] = n=1 (a 1, ) B(R), n (, b + 1 n ) B(R). n=1 De forma análoga se puede hacer ver que los intervalos semiabiertos de la forma [a, b) y (a, b] son conjuntos Borelianos. Los conjuntos que constan de un solo número también son conjuntos Borelianos pues {a} = (a 1 n, a + 1 n ). n=1 Complementos, intersecciones y uniones numerables de estos conjuntos son todos ellos Borelianos. Observe que la σ-álgebra B(R) es muy amplia y es natural preguntarse acerca de la existencia de algún subconjunto de R que no sea un conjunto Boreliano. La respuesta es afirmativa aunque no la demostraremos. Efectivamente, existe un subconjunto de R que no pertenece a B(R). Además de la definición enunciada, existen otras formas equivalentes de generar a los conjuntos Borelianos. Este es el contenido del siguiente resultado. Proposición 7 Las siguientes σ-álgebras son todas idénticas a B(R). 12

14 1. σ{[a, b] : a b}. 2. σ{(a, b] : a b}. 3. σ{[a, b) : a b}. 4. σ{(a, ) : a R}. 5. σ{(, b) : b R}. Demostración. Se prueba únicamente el inciso (1). El resto de los incisos se demuestra usando el mismo procedimiento. Para demostrar que B(R) = σ{[a, b] : a b} se verifican ambas contenciones. Claramente [a, b] B(R), por lo tanto {[a, b] : a b} B(R). Entonces σ{[a, b] : a b} σ(b(r)) = B(R). Ahora se demuestra la contención contraria. Sabemos que (a, b) σ{[a, b] : a b} pues (a, b) = n=1 [a + 1 n, b 1 n ]. Entonces Por lo tanto {(a, b) : a b} σ{[a, b] : a b}. B(R) = σ{(a, b) : a b} σ{[a, b] : a b}. De manera equivalente se puede definir a B(R) como la mínima σ-álgebra generada por una colección más grande, aquella de todos los subconjuntos abiertos de R. En ambos casos la σ-álgebra generada es B(R). Es posible considerar también la σ-álgebra de conjuntos de Borel restringidos a una porción de los números reales como se indica a continuación. Definición 5 Sea A B(R). La σ-álgebra de Borel de A, denotada por B(A), se define como sigue B(A) = A B(R) = {A B : B B(R)}. No es difícil comprobar que B(A) es efectivamente una σ-álgebra de subconjuntos de A. Observe que el nuevo conjunto total es A y no R. El concepto de σ-álgebra de Borel de R puede extenderse a dimensiones mayores de la siguiente forma. Considere la colección C de todas los rectángulos abiertos de R 2, es decir, C = {(a, b) (c, d) : a b, c d}. Se definen los conjuntos de Borel de R 2 como los elementos de la mínima σ-álgebra generada por la colección C, es decir, B(R 2 ) = σ(c). De manera equivalente se puede definir B(R 2 ) = σ(b(r) B(R)). En forma análoga se define B(R n ) usando productos cartesianos de intervalos, o equivalentemente B(R n ) = σ(b(r) B(R)). 13

15 EJERCICIOS 27. Defina con precisión a la σ-álgebra de Borel de R y de R n. 28. Demuestre que los conjuntos (a, b] y [a, b) con a b son Borel medibles. 29. Demuestre que N, Z y Q son elementos de B(R). 30. Demuestre que el conjunto de números irracionales es un conjunto de Borel de R. 31. Demuestre que B(R) = σ{[a, b] : a b}. 32. Demuestre que B(R) = σ{(a, b] : a b}. 33. Demuestre que B(R) = σ{[a, b) : a b}. 34. Demuestre que B(R) = σ{(a, ) : a R}. 35. Demuestre que B(R) = σ{[a, ) : a R}. 36. Demuestre que B(R) = σ{(, b) : b R}. 37. Demuestre que B(R) = σ{(, b] : b R}. 38. Sea A B(R). Demuestre que B(A) es efectivamente una σ-álgebra de subconjuntos de A. 39. Diga falso o verdadero. Justifique su respuesta. a) σ{ ( 1 n+1, 1 n ] : n N } = B(0, 1]. b) σ{ (0, 1 n ] : n N } = B(0, 1]. c) σ{ ( 1 n+1, 1 n ] : n N } = σ{ (0, 1 n ] : n N }. 40. Demuestre que B(R 2 ) = σ{[a, b] [c, d] : a b, c d}. 41. Demuestre que el producto cartesiano de dos σ-álgebras no es necesariamente σ-álgebra. Esto es, suponga que (Ω 1, F 1 ) y (Ω 2, F 2 ) son dos espacios medibles. Mediante un ejemplo muestre que F 1 F 2 no necesariamente es una σ-álgebra de subconjuntos del espacio producto Ω 1 Ω 2. Sin embargo se define la σ-álgebra producto de la forma siguiente, F 1 F 2 = σ(f 1 F 2 ) Sucesiones de eventos En esta sección se estudia el concepto de convergencia de una sucesión infinita de eventos. Para enunciar tal concepto necesitaremos antes la definiciones de límite superior y límite inferior que se establecen a continuación. 14

16 Definición 6 Para una sucesión de eventos {A n : n N} se define el límite superior y el límite inferior como sigue 1. lím sup A n = n 2. lím inf n A n = n=1 k=n n=1 k=n A k. A k. Tanto el límite superior como el límite inferior son operaciones bien definidas, es decir, el resultado siempre existe y es único. En cada caso el conjunto resultante es siempre un evento, es decir, un conjunto medible. Es sencillo comprobar que lím inf A n lím sup A n. n n Tampoco es difícil verificar que un elemento pertenece al evento lím sup A n n si y solo si pertenece a una infinidad 1 de elementos de la sucesión. Por otro lado un elemento pertenece al evento lím inf A n si y solo si pertenece n a todos los elementos de la sucesión excepto un número finito de ellos. Con estos antecedentes podemos ahora establecer la definición de convergencia de una sucesión infinita de eventos. Definición 7 (Convergencia de eventos) Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Si existe un evento A tal que lím inf A n = lím sup A n = A n n entonces se dice que la sucesión converge al evento A y se escribe lím A n = A. n Para calcular el posible límite de una sucesión de eventos debemos entonces calcular el límite superior y el límite inferior y cuando el resultado de ambas operaciones coincida en el mismo evento entonces a tal resultado común se le llama el límite de la sucesión. Por supuesto que no todas las sucesiones de eventos convergen. Mostramos a continuación que en particular toda sucesión monótona es convergente. Más adelante presentaremos algunos ejemplos concretos de sucesiones de eventos y en la sección de ejercicios se encuentran algunos otros. 1 En textos de habla inglesa a menudo se escribe lím sup A n = (A n i.o.), en donde i.o. n significa infinitely often. 15

17 Proposición 8 Sea {A n : n N} una sucesión monótona de eventos. 1. Si A 1 A 2 entonces lím n A n = 2. Si A 1 A 2 entonces lím n A n = A n. n=1 A n. n=1 Demostración. (1) Como la sucesión es creciente, A k = A k. Por lo tanto Por otro lado k=n lím sup A n = n A k = A n. Entonces k=n = = lím inf n A n = = k=1 n=1 k=n n=1 k=1 A k. k=1 n=1 k=n A n. (2) La demostración es completamente análoga al inciso anterior. En este caso como la sucesión de eventos es decreciente se tiene que A k = y k=n n=1 k=1 A k = A n. k=n Ejemplo 4 Para cada número natural n sea A n = [ 1/n, 0] si n es impar y A n = [0, 1/n] si n es par. Entonces lím sup A n = A k = [ 1/n, 1/n] = {0}. n n=1 k=n 16 n=1 A k A k A k A k

18 lím inf n A n = A k = {0} = {0}. n=1 k=n n=1 Por lo tanto lím n A n = {0}. El siguiente resultado establece que a partir de una sucesión de eventos puede construirse otra sucesión cuyos elementos son ajenos dos a dos y cuya unión es la unión de la sucesión original. Este procedimiento de separación será de utilidad más adelante. Proposición 9 Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Sea B 1 = A 1 y para n 2 defina n 1 B n = A n A k. Entonces {B n : n N} es una sucesión de eventos con las siguientes propiedades. k=1 1. B n A n. 2. B n B m = si n m. 3. B n = A n. n=1 n=1 Demostración. El inciso (1) es evidente a partir de la definición de B n. Para demostrar (2) suponga n < m, entonces B n B m n 1 m 1 = (A n A k ) (A m A k ) k=1 k=1 n 1 m 1 = (A n A c k ) (A m A c k ) =. k=1 k=1 Ahora se demuestra (3) considerando cada contención por separado. ( ) Sea x en n=1 B n. Entonces existe un índice n tal que x B n A n. Por lo tanto x pertenece a A n y entonces x pertenece a n=1 A n. ( ) Sea ahora x un elemento en n=1 A n. Entonces existe un índice n tal que x A n. Sea n 0 el primer índice tal que x A n0 y x / A n para 1 n n 0 1. Entonces x A n0 n 0 1 n=1 A n = B n0. Por lo tanto x pertenece a n=1 B n. 17

19 EJERCICIOS 42. Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Demuestre que a) lím sup A n es un evento. n b) lím inf A n es un evento. n c) lím inf A n lím sup A n. n 43. Demuestre que n a) lím sup A n = {ω Ω : ω A n para una infinidad de valores de n}. n b) lím inf A n = {ω Ω : ω A n para toda n excepto un número finito de ellas}. n 44. Suponga A n B n para cada n en N. Demuestre que a) lím sup n A n lím sup B n. n b) lím inf n A n lím inf n B n. 45. Demuestre que si A 1 A 2 entonces lím A n = n A n. n=1 46. Demuestre que si A 1 A 2 entonces lím A n = n A n. n=1 47. Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Demuestre que a) (lím inf A n ) c = lím sup A c n n. n b) (lím sup A n ) c = lím inf n n Ac n. c) P(lím inf A n ) = 1 P(lím sup A c n n ). d) P(lím sup n n A n ) = 1 P(lím inf n Ac n ). 48. Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Demuestre que a) lím A n = A n b) lím A n = A n lím n Ac n = A c. lím 1 A n n = 1 A. 49. Sea {a n : n N} una sucesión de números no negativos convergente a a 0. Sea A n = [0, a n ]. Calcule lím inf A n y lím sup A n. n n 50. Calcule el límite superior e inferior para cada una de las siguientes sucesiones de eventos. Determine en cada caso si la sucesión es convergente. 18

20 a) A n = ( 1 n, 2 + ( 1)n ). b) A n = {(x, y) : x 2 + y 2 (1 + 1 n )n }. c) A n = {(x, y) : x 2 + y sin( nπ 2 )}. 51. Demuestre que las siguientes sucesiones de eventos no son convergentes. a) A n = si n es impar y A n = Ω si n es par. b) A n = (0, 1 + ( 1 2 )n ). 52. Suponga que lím n A n = A y lím n B n = B. Defina la sucesión { An si n es impar, C n = si n es par. B n Calcule el límite superior e inferior de C n y determine si la sucesión es convergente. 53. Calcule el límite superior e inferior para cada una de las siguientes sucesiones de eventos. Determine en cada caso si la sucesión es convergente. { A si n es impar, a) Sea A un evento. Defina A n = A c si n es par. { A si n es impar, b) Sean A y B dos eventos. Defina A n = B si n es par. 54. Suponga que lím n A n = A. Demuestre que para cualquier evento B, a) lím (A n B) = A B. n b) lím (A n B) = A B. n c) lím (A n B) = A B. n d) lím (A n B) = A B. n 55. Suponga que lím n A n = A y lím n B n = B. Demuestre que a) lím lím (A n B m ) = A B. n m b) lím lím (A n B m ) = A B. n m c) lím lím (A n B m ) = A B. n m d) lím lím (A n B m ) = A B. n m 56. Suponga que lím A n = A y lím B n = B. Diga falso o verdadero. n n Demuestre en cada caso. a) lím n (A n B n ) = A B. 19

21 b) lím (A n B n ) = A B. n c) lím (A n B n ) = A B. n d) lím (A n B n ) = A B. n 1.3. Medidas de probabilidad En esta sección y en lo que resta del presente capítulo se estudian algunas propiedades de las medidas de probabilidad. Empecemos por recordar nuevamente la definición de este concepto. Definición 8 Sea (Ω, F) un espacio medible. Una medida de probabilidad es una función P : F [0, 1] que satisface (Kolmogorov, 1933) 1. P(Ω) = P(A) 0, para cualquier A F. 3. Si A 1, A 2,... F son ajenos dos a dos, esto es, A n A m = para n m, entonces P( A n ) = P(A n ). n=1 n=1 Entonces toda función P definida sobre una σ-álgebra F, con valores en el intervalo [0, 1] y que cumple los tres postulados anteriores se le llama medida de probabilidad. La tercera propiedad se conoce con el nombre de σ-aditividad. Se presentan a continuación tres ejemplos de medidas de probabilidad. Ejemplo 5 Considere un experimento aleatorio con espacio muestral un conjunto finito Ω. Asocie al conjunto Ω la σ-álgebra el conjunto potencia 2 Ω. Para cualquier A Ω defina P(A) = #A #Ω. Entonces P es una medida de probabilidad y es llamada probabilidad clásica. De acuerdo a esta definición, para calcular la probabilidad de un evento es necesario entonces conocer su cardinalidad. En esta forma de calcular probabilidades surgen muchos y muy variados problemas de conteo, algunos de los cuales no son inmediatos de resolver. Ejemplo 6 Considere un experimento aleatorio con espacio muestral el conjunto de números naturales N. Asocie al conjunto N la σ-álgebra el con- 20

22 junto potencia 2 N. Para cualquier A N defina P(A) = n A 1 2 n. No es difícil verificar que P es efectivamente una medida de probabilidad. Ejemplo 7 Considere el espacio medible (R, B(R)). Sea f : R R una función no negativa e integrable cuya integral sobre el intervalo (, ) es uno. Para cualquier A en B(R) defina P(A) = f(x)dx. Las propiedades de la integral permiten demostrar que P es una medida de probabilidad. A En la siguiente sección estudiaremos algunas propiedades generales que cumple toda medida de probabilidad. Y a lo largo del texto estudiaremos varios modelos particulares para calcular probabilidades. Figura 1.2: Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Rusia ). EJERCICIOS 57. Escriba de manera completa la definición de espacio de probabilidad, definiendo claramente cada uno de sus componentes. 58. Determine completamente un espacio de probabilidad (Ω, F, P) para el experimento aleatorio de a) lanzar una moneda equilibrada. b) lanzar un dado equilibrado. 21

23 c) escoger al azar un número real dentro del intervalo unitario [0, 1]. d) extraer dos bolas de una urna en donde hay dos bolas blancas y dos negras. e) lanzar una moneda honesta hasta obtener las dos caras. 59. Defina con precisión el concepto de medida de probabilidad. 60. Sea {x n : n N} una sucesión de números reales. Sea {a n : n N} otra sucesión de números reales no negativos tal que n=1 a n = 1. Defina la función P : B(R) [0, 1] de la siguiente forma P(A) = a n 1 (xn A)(n). n=1 Demuestre que P es una medida de probabilidad. 61. Sean P y Q medidas de probabilidad definidas sobre una misma σ- álgebra. Demuestre que αp +(1 α)q es una medida de probabilidad para cada α en [0, 1]. 62. Diga falso o verdadero y demuestre en cada caso. Si P es una medida de probabilidad entonces a) 1 P es una medida de probabilidad. b) 1 (1 + P) es una medida de probabilidad. 2 c) P 2 es una medida de probabilidad. 63. Considere el espacio medible (N, 2 N ). Demuestre en cada caso que P es una medida de probabilidad. Para cada A 2 N defina a) P(A) = n A b) P(A) = n A 2 3 n. 1 2 n. 64. Sea Ω = {1, 2,...,n} y considere el espacio medible (Ω, 2 Ω ). Investigue en cada caso si P es una medida de probabilidad. Para cada A 2 Ω defina a) P(A) = k A 2k n(n + 1). b) P(A) = k A(1 1 k ). 65. Considere el espacio medible ((0, 1), B(0, 1)). Demuestre en cada caso que P es una medida de probabilidad. Para cada A B(0, 1) defina a) P(A) = 2x dx. A 22

24 3 b) P(A) = x dx. A Probabilidad condicional. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea B un evento con probabilidad estrictamente positiva. Demuestre que la probabilidad condicional definida para cada A en F como sigue P(A B) = P(A B), P(B) es una medida de probabilidad. En consecuencia toda propiedad válida para P( ) es también válida para P( B). 67. Sea P una medida de probabilidad y sean P 1 ( ) = P( B) y P 2 ( ) = P 1 ( C). Demuestre que P 2 (A) = P(A B C) Propiedades elementales A partir de los postulados enunciados en la sección anterior es posible demostrar una larga serie de propiedades que cumplen todas las medidas de probabilidad. En esta sección se estudian algunas propiedades elementales y más adelante se demuestran otras propiedades más avanzadas. Proposición 10 Sea P una medida de probabilidad. Entonces 1. P(A c ) = 1 P(A). 2. P( ) = Si A B entonces P(B A) = P(B) P(A). 4. Si A B entonces P(A) P(B) P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Demostración. Para la propiedad (1) expresamos a Ω como la unión disjunta A A c. Aplicamos P y obtenemos la igualdad requerida. Tomando el caso particular A igual a Ω en la propiedad (1) obtenemos la propiedad (2). Para demostrar (3) escribimos B = A (B A). Aplicando P obtenemos P(B) P(A) = P(B A). Como la probabilidad de cualquier evento es un número no negativo de la anterior igualdad obtenemos también la propiedad (4). La primera desigualdad de la propiedad (5) es el segundo axioma y la segunda desigualdad es consecuencia de la propiedad (1) y el primer axioma. Finalmente para demostrar (6) descomponemos el evento A B como la 23

25 siguiente unión de tres eventos disjuntos dos a dos, A B = (A B) (A B) (B A) = (A A B) (A B) (B A B). Por lo tanto P(A B) = P(A) P(A B) + P(A B) + P(B) P(A B). Se estudian a continuación algunas otras propiedades de las medidas de probabilidad. Proposición 11 (Desigualdades de Boole) Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Entonces 1. P( A n ) n=1 n=1 P(A n ). n=1 2. P( A n ) 1 P(A c n). n=1 Demostración. (1) Sean B 1 = A 1 y para n 2 defina n 1 B n = A n A k. Entonces {B n : n N} es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos tales que B n A n y n=1 A n = n=1 B n. Esto es consecuencia de la Proposición 9 de la página 17. Por lo tanto k=1 P( A n ) = P( B n ) n=1 = n=1 P(B n ) n=1 P(A n ). n=1 El inciso (2) se sigue de (1) tomando complementos. Proposición 12 Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. 1. Si P(A n ) = 1 para toda n entonces P( A n ) = 1. n=1 2. Si P(A n ) = 1 para alguna n entonces P( A n ) = 1. n=1 3. Si P(A n ) = 0 para alguna n entonces P( A n ) = n=1

26 4. Si P(A n ) = 0 para toda n entonces P( n=1 A n ) = 0. Demostración. (1) Por las leyes de De Morgan y la desigualdad de Boole, (2) Como A n n=1 A n, (3) Como n=1 A n A n, P( A n ) = 1 P( A c n) n=1 1 = 1. n=1 P(A c n) n=1 1 = P(A n ) P( A n ). n=1 P( A n ) P(A n ) = 0. n=1 (4) Por la desigualdad de Boole, P( A n ) n=1 P(A n ) = 0. n=1 Las propiedades (1) y (4) de la proposición anterior pueden interpretarse de la siguiente forma. Intersectar dos eventos produce en general un evento más pequeño o por lo menos no mayor a los intersectandos. Sin embargo la propiedad (1) establece que la intersección, aún infinita, de eventos con probabilidad uno produce un evento con probabilidad todavía uno. Análogamente unir dos eventos produce en general un evento mayor, pero por la propiedad (4), la unión, aún infinita, de eventos con probabilidad cero tiene probabilidad que se mantiene en cero. EJERCICIOS 68. Demuestre que a) P(A c ) = 1 P(A). b) 0 P(A) Demuestre que P( ) = 0 a) usando P(Ω) = 1. 25

27 b) sin usar P(Ω) = Demuestre que a) P(A B) = P(A) P(A B). b) P(A B) P(A)P(B) = P(A c )P(B) P(A c B). 71. Demuestre que si A B entonces a) P(A) P(B). b) P(B A) = P(B) P(A). 72. Demuestre que a) máx{p(a), P(B)} P(A B). b) P(A B) mín{p(a), P(B)}. 73. Demuestre que P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 74. Demuestre que P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C). 75. Demuestre que n P( A i ) = i=1 n P(A i ) P(A i A j ) i=1 i<j + P(A i A j A k ) i<j<k + ( 1) n+1 P(A 1 A n ) 76. Demuestre que n P( A i ) = i=1 n P(A i ) P(A i A j ) i=1 i<j + P(A i A j A k ) i<j<k ( 1) n P(A 1 A n ) 77. Demuestre que n n P( A k ) 1 P(A c k ). k=1 k=1 26

28 78. Demuestre que 0 P(A B) P(A) P(A B) P(A) + P(B) Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) P(B A) = P(B) P(A). b) P(A B) = P(A B) + P(B A). c) P(A) > 0 = P(A B) > 0. d) P(A) > 0 = P(A B) > 0. e) P(A) < 1 = P(A B) < 1. f ) P(A) < 1 = P(A B) < 1. g) P(A) = 0 = P(A B) = 0. h) P(A) = 0 = P(A B) = 0. i) P(A B) = 0 = P(A) = 0. j) P(A B) = 0 = P(A) = 0. k) P(A) = 1 = P(A B) = 1. l) P(A) = 1 = P(A B) = 1. m) P(A B) = 1 = P(A) = 1. n) P(A B) = 1 = P(A) = Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) P(A B) P(A)P(B). b) P(A B) < P(A). c) P(A B) > P(A) = P(B A) > P(B). 81. Teorema de probabilidad total. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea {A 1, A 2,...} una partición de Ω tal que para cada n 1 el conjunto A n es un evento con P(A n ) > 0. Demuestre que para cualquier evento B, P(B) = P(B A n )P(A n ). n=1 82. Se lanza una moneda tantas veces como indica un dado previamente lanzado. Calcule la probabilidad de que a) se obtengan ambas caras de la moneda igual número de veces. b) se obtenga una misma cara siempre. 83. Teorema de Bayes. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea {A 1, A 2,...} una partición de Ω tal que para cada n 1, el conjunto A n es un elemento de F y P(A n ) > 0. Demuestre que para cualquier evento B tal que P(B) > 0 y cualquier m 1 fijo, P(A m B) = P(B A m)p(a m ). P(B A n )P(A n ) n=1 27

29 84. Regla del producto. Demuestre que P(A 1 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n 1 ). 85. Desigualdad de Bonferroni. Demuestre que n P( A i ) i=1 n i=1 P(A i ) i<j P(A i A j ). 86. Desigualdad de Kounias. Demuestre que n P( i=1 A i ) mín j { n P(A i ) i=1 n P(A i A j )}. i=1 i j Continuidad El siguiente resultado establece que las medidas de probabilidad son funciones continuas respecto de sucesiones no decrecientes de eventos. Proposición 13 Sea {A n : n N} una sucesión no decreciente de eventos, esto es, A 1 A 2. Entonces P( n=1 A n ) = lím n P(A n). Demostración. Como A n A n+1 tenemos que P(A n ) P(A n+1 ). Por lo tanto la sucesión numérica {P(A n ) : n N} es no decreciente y acotada superiormente. Entonces el límite de esta sucesión existe y el lado derecho de la igualdad tiene sentido. Defina los eventos B 1 = A 1, B n = A n A n 1 para n 2. La sucesión {B n : n N} es una colección de eventos disjuntos dos a dos y tal que (Ver Proposición 9 en la página 17) A n = n=1 B n. n=1 Por lo tanto P( A n ) = P( B n ) n=1 n=1 28

30 = P(B n ) n=1 = P(B 1 ) + = P(A 1 ) + = P(A 1 ) + P(B n ) n=2 P(A n A n 1 ) n=2 P(A n ) P(A n 1 ) n=2 = P(A 1 ) + lím m n=2 m P(A n ) P(A n 1 ) = P(A 1 ) + lím m P(A m) P(A 1 ) = lím m P(A m). Las medidas de probabilidad también son continuas respecto de sucesiones no crecientes de eventos. Esta afirmación es el contenido del siguiente resultado que se demuestra a partir de la proposición anterior. Proposición 14 Sea {A n : n N} una sucesión no creciente de eventos, esto es, A 1 A 2. Entonces P( n=1 A n ) = lím n P(A n). Demostración. Observe que si A n A n+1 entonces A c n A c n+1. Por la proposición anterior, P( n=1 Aplicando las leyes de De Morgan, 1 P( n=1 A c n) = lím n P(Ac n). de donde se sigue fácilmente el resultado. A n ) = lím n (1 P(A n)), Ahora se enuncia un resultado más fuerte. La siguiente proposición establece que las medidas de probabilidad son funciones continuas. Esta propiedad es muy útil pues permite el cálculo de probabilidades en procedimientos límite, y se encuentra siempre presente de manera implícita en toda la teoría que se desarrolla más adelante. 29

31 Proposición 15 (Continuidad de las medidas de probabilidad) Sea {A n : n N} una sucesión de eventos convergente al evento A. Entonces lím P(A n) = P(A). n Demostración. La prueba se basa en las siguientes dos desigualdades a) lím sup n P(A n ) P(lím sup A n ). n b) P(lím inf n A n) lím inf n P(A n). Como la sucesión de eventos {A n : n N} es convergente al evento A entonces lím sup A n = lím inf A n = A. n n Se sigue entonces de las desigualdades (a) y (b) que lím sup P(A n ) P(lím sup A n ) n n = P(A) = P(lím inf A n) n lím inf P(A n). n De donde se concluye el resultado. Nos concentraremos ahora en demostrar las desigualdades (a) y (b). (a) Como A n k=n A k entonces P(A n ) P( A k ), en donde { k=n A k : n N} es una sucesión de eventos decreciente. Tomando el límite superior se obtiene lím sup P(A n ) n k=n lím sup n = lím P( n = P( lím = P( P( A k ) k=n n k=n n=1 k=n = P(lím sup n 30 k=n A k ) A k ) A k ) A n ).

32 (b) Como k=n A k A n entonces P( A k ) P(A n ), k=n en donde { k=n A k : n N} es una sucesión creciente de eventos. Tomando el límite inferior se obtiene lím inf n P(A n) lím inf P( A k ) n k=n = lím P( n = P( lím = P( k=n n k=n n=1 k=n A k ) A k ) A k ) = P(lím inf n A n). Ejemplo 8 Se lanza un dado equilibrado una infinidad de veces. Sea el evento A = {2, 4, 6} y sea A n el evento correspondiente a obtener el evento A en cada uno de los primeros n lanzamientos del dado. Entonces claramente A n A n+1 para cualquier n en N. Por lo tanto lím A n = n A n. n=1 Entonces P( n=1 A n ) = P( lím n A n) = lím n P(A n) = lím n (1 2 )n = 0. El evento n=1 A n se interpreta como aquel resultado en el que siempre se obtiene un número par en una sucesión infinita de lanzamientos. Hemos demostrado que la probabilidad de tal evento es cero. Observe que el argumento presentado funciona de la misma forma cuando el evento A es cualquier subconjunto propio de Ω. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4, 5} la probabilidad de nunca obtener 6 es cero. 31

33 EJERCICIOS 87. Se lanza una moneda honesta una infinidad de veces. Demuestre que la probabilidad de que eventualmente cada una de las dos caras aparezca es uno. Sugerencia: proceda como en el ejemplo Independencia de eventos En esta sección se define el importante concepto de independencia de eventos. Éste es un concepto central en la teoría de la probabilidad y uno de sus rasgos distintivos. De manera natural la independencia aparecerá con frecuencia a lo largo del texto a partir de ahora y nos ayudará a simplificar el cálculo de probabilidades. La definición matemática es la siguiente. Definición 9 Dos eventos A y B son independientes si P(A B) = P(A)P(B). Aceptar la hipótesis de que dos eventos son independientes es una cuestión de apreciación por parte del observador. Puede interpretarse en el sentido de que la ocurrencia de uno de los eventos no proporciona información que modifique la probabilidad de ocurrencia del segundo evento. Contrario a alguna primera concepción intuitiva errónea, el hecho de que dos eventos sean independientes no implica que ellos sean ajenos. La proposición contraria tampoco es válida, dos eventos ajenos no necesariamente son independientes. La definición de independencia puede extenderse a colecciones finitas e incluso infinitas de eventos del siguiente modo. Definición 10 Los eventos A 1,...,A n son independientes si se cumplen todas y cada una de las siguientes condiciones P(A i A j ) = P(A i )P(A j ), i, j distintos. (1.1) P(A i A j A k ) = P(A i )P(A j )P(A k ), i, j, k distintos. (1.2). P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A n ). Más generalmente, una colección infinita de eventos es independiente si cualquier subcolección finita lo es. Observe que según la definición anterior, se necesitan verificar o suponer varias condiciones para que n eventos sean independientes entre sí. De hecho el número total de igualdades a demostrar es 2 n. La independencia dos a dos (1.1) no implica en general la independencia tres a tres (1.2), ni viceversa. 32

34 También se tiene la noción de independencia entre dos colecciones de eventos. La definición es la siguiente. Definición 11 Dos sub-σ-álgebras F 1 y F 2 son independientes si para cada A en F 1 y cada B en F 2 se cumple P(A B) = P(A)P(B). EJERCICIOS 88. Demuestre que A y B son independientes si y solo si a) A y B c lo son. b) A c y B lo son. c) A c y B c lo son. 89. Demuestre que A 1,...,A n son independientes si y solo si A c 1,...,Ac n lo son. 90. Sean A 1, A 2, A 3 eventos. Mediante un contraejemplo demuestre que a) independencia dos a dos no implica independencia tres a tres. b) independencia tres a tres no implica independencia dos a dos. 91. Demuestre que un evento A es independiente consigo mismo si y solo si P(A) = 0 ó P(A) = Sea A un evento tal que P(A) = 0 ó P(A) = 1. Demuestre que A es independiente de cualquier otro evento B. 93. Mediante un contraejemplo demuestre que a) A, B independientes A, B ajenos. b) A, B ajenos A, B independientes. 94. Sean A 1,...,A n independientes. Demuestre que n n P( A k ) = 1 [1 P(A k )]. k=1 k=1 95. Sea A 1, A 2,... una sucesión infinita de eventos. Defina B n = A k y C n = A k. k=n Demuestre que si B n y C n son independientes para cada n entonces lím sup A n y lím inf A n también son independientes. En particular, n n cuando lím A n = A entonces P(A) = 0 ó P(A) = 1. n 96. Sean A y B independientes. Demuestre que σ{a} y σ{b} son independientes. k=n 33

35 Lema de Borel-Cantelli Concluimos este capítulo con el enunciado y demostración del famoso lema de Borel-Cantelli. Nuestro objetivo es demostrar este resultado y con ello poner en práctica algunas propiedades de las medidas de probabilidad vistas antes. Aplicaremos este resultado para demostrar la ley fuerte de los grandes números en el último capítulo. Proposición 16 (Lema de Borel-Cantelli) Sea {A n : n N} una sucesión de eventos. Sea A = lím sup A n. n 1. Si P(A n ) < entonces P(A) = 0. n=1 2. Si A 1, A 2,... son independientes y P(A n ) = entonces P(A) = 1. n=1 Demostración. (1) Para cada n en N, P(A) P( A k ) k=n P(A k ). Como n=1 P(A n) <, el lado derecho tiende a cero cuando n tiende a infinito. Esto implica que P(A) = 0. (2) Es suficiente demostrar que para todo número natural n se cumple la igualdad P( k=n A k) = 1, pues la intersección numerable de eventos con probabilidad uno tiene probabilidad uno. Para cada m > n, k=n m 1 P( A k ) 1 P( A k ) k=n k=n m = P( A c k ) = k=n m [1 P(A k )] k=n exp( m P(A k )). Para obtener la última expresión se usa la desigualdad 1 x e x, válida para cualquier número real x. Como n=1 P(A n) =, el lado derecho tiende a cero cuando m tiende a infinito. Por lo tanto P( k=n A k) = 1 para cualquier valor de n y entonces P(A) = 1. k=n 34

36 EJERCICIOS 97. Enuncie con precisión el lema de Borel-Cantelli. 35

37 Capítulo 2 Variables aleatorias En este capítulo se estudian los conceptos de variable aleatoria, función de distribución, función de densidad y esperanza. Se estudian también algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas particulares. A partir de ahora y en el resto del curso consideraremos como elemento base un espacio de probabilidad (Ω, F, P) Variables aleatorias Definición 12 Una variable aleatoria es una función X : Ω R tal que para cualquier conjunto Boreliano B, se cumple que el conjunto X 1 B es un elemento de F. Esto es, una variable aleatoria (v.a.) es una función de Ω en R tal que la imagen inversa de cualquier conjunto Boreliano es un elemento de la σ-álgebra del espacio de probabilidad. Esta condición se conoce como medibilidad en teoría de la medida. Decimos entonces que dicha función es medible respecto de las σ-álgebras F y B(R). Se justifica a continuación las razones técnicas por las cuales se le pide a una función X : Ω R que cumpla la condición de medibilidad. Recordemos que P es una medida de probabilidad definida sobre el espacio medible (Ω, F). Si X es una variable aleatoria entonces podemos trasladar la medida de probabilidad P al espacio medible (R, B(R)) del siguiente modo. Si B es un conjunto Boreliano definimos P X (B) = P(X 1 B), lo cual es consistente pues el conjunto X 1 B es un elemento de F, dominio de definición de P. La función P X : B(R) [0, 1] resulta ser una medida de probabilidad y se le llama por tanto la medida de probabilidad inducida por la variable aleatoria X. De este modo se construye el espacio de probabilidad (R, B(R), P X ). 36

38 Si B es un conjunto Boreliano, se usan los símbolos X 1 B y (X B) para denotar el conjunto {ω Ω : X(ω) B}. Por ejemplo el conjunto {ω Ω : X(ω) [0, )} puede ser denotado por X 1 [0, ) o (X [0, )), o simplemente por (X 0), incluyendo los paréntesis. Veamos otro ejemplo. Si (a, b) es un intervalo de la recta real, se puede usar el símbolo X 1 (a, b) o (X (a, b)) o bien (a < X < b) para denotar el conjunto {ω Ω : X(ω) (a, b)}. Para hacer la escritura más corta, a menudo se omite el argumento ω de una v.a. X y se omite también el término variable aleatoria para X asumiendo, en la mayoría de las veces, que lo es. Para comprobar que una función X : Ω R es realmente una variable aleatoria, la definición requiere verificar la condición X 1 B F para cualquier conjunto Boreliano B. En muy pocos casos tal condición puede comprobarse de manera tan general. La siguiente proposición establece que no es necesario demostrar la condición de medibilidad para cualquier conjunto Boreliano B, sino que es suficiente tomar intervalos de la forma (, x] para cada x en R. Este resultado, como uno puede imaginar, es de suma utilidad para demostrar que una función dada es variable aleatoria. Lo usaremos con frecuencia en el resto del capítulo. Proposición 17 Una función X : Ω R es una variable aleatoria si y solo si el conjunto X 1 (, x] es un elemento de F para cada x en R. Demostración. ( ) Si X es variable aleatoria entonces claramente se cumple que para cualquier número real x el conjunto X 1 (, x] es un elemento de F. ( )Ahora suponga que para cada real x, el conjunto X 1 (, x] es un elemento de F. Sean B y C las colecciones B C = {B B(R) : X 1 B F}, = {(, x] : x R}. Entonces claramente C B B(R). La primera contención es por hipótesis y la segunda es por definición de la colección B. Suponga por un momento que B es una σ-álgebra de subconjuntos de R. Entonces B es una σ-álgebra que contiene a C. Por lo tanto σ(c) = B(R) B. Esto implica que B = B(R) y entonces X es variable aleatoria. Resta entonces hacer ver que B es efectivamente una σ-álgebra. (i) Primeramente tenemos que R B pues R B(R) y X 1 R = Ω F. (ii) Sea B B. Entonces B B(R) y X 1 B F. Entonces B c B(R) y X 1 B c = (X 1 B) c F. Es decir, B c B. (iii) Sea B 1, B 2,... una sucesión en B. Es decir, para cada n número natural, B n B(R) y X 1 B n F. Entonces B n B(R) y X 1 B n = 37 n=1 n=1

39 X 1 B n F. Es decir, B n B. n=1 n=1 Además de la condición anterior para demostrar que una función es variable aleatoria existen otras condiciones igualmente equivalentes y útiles. Por ejemplo X es variable aleatoria si para cada x en R, X 1 (, x) F, o X 1 (x, ) F, o X 1 [x, ) F. Cualquiera de estas condiciones es necesaria y suficiente para que X sea variable aleatoria. También la condición X 1 (a, b) F para cualquier intervalo (a, b) de R es equivalente para que X sea variable aleatoria. La demostración de todas estas aseveraciones es completamente análoga al caso demostrado arriba y se pide desarrollar los detalles en la sección de ejercicios. Considere los espacios medibles (Ω, F) y (R, B(R)). Si X es una función de Ω en R entonces se denota por σ(x) a la mínima σ-álgebra de subconjuntos de Ω respecto de la cual X es variable aleatoria. Es decir, σ(x) = {X 1 B : B B(R)}. Es sencillo probar que tal colección de imágenes inversas es efectivamente una σ-álgebra. Claramente X es variable aleatoria si y solo si σ(x) F. A continuación se demuestra que algunas operaciones básicas entre variables aleatorias producen nuevas variables aleatorias. Suponga que (Ω, F, P) es un espacio de probabilidad dado. Todas las variables aleatorias que se consideran a continuación están definidas sobre este espacio de probabilidad. Proposición 18 La función constante X = c es una v.a. Demostración. Sea B un elemento cualquiera de B(R). Para la función constante X = c se tiene que X 1 B = Ω si c B, y X 1 B = si c / B. En ambos casos el conjunto X 1 B es un elemento de F, por lo tanto X = c es v.a. Proposición 19 Si X es v.a. y c es una constante entonces cx es v.a. Demostración. Comprobaremos que para cada número real x, el conjunto (cx) 1 (, x] es un elemento de F. Tenemos tres casos. Si c > 0 entonces el conjunto (cx x) = (X x/c) es un elemento de F pues X es v.a. Si c < 0 entonces nuevamente el conjunto (cx x) = (X x/c) es un elemento de F pues X es v.a. Finalmente si c = 0 entonces claramente cx = 0 es v.a. por la proposición anterior. Proposición 20 Si X y Y son v.a.s entonces X + Y es v.a. 38

40 Demostración. Probaremos que para cada número real x, el conjunto (X + Y ) 1 (x, ) = (X + Y > x) es un elemento de F. Para ello usaremos la igualdad (X + Y > x) = r Q(X > r) (Y > x r). (2.1) Es claro que de esta igualdad se concluye que el conjunto (X +Y > x) es un elemento de F pues tanto X como Y son variables aleatorias y la operación de unión involucrada es numerable. Resta entonces demostrar (2.1). ( ) Sea ω en Ω tal que X(ω) + Y (ω) > x. Entonces X(ω) > x Y (ω). Como los números racionales son un conjunto denso en R, tenemos que existe un número racional r tal que X(ω) > r > x Y (ω). Por lo tanto X(ω) > r y Y (ω) > x r. De aqui se desprende que ω es un elemento del lado derecho. ( ) Sea ahora ω un elemento de r Q (X > r) (Y > x r). Entonces existe un número racional r 0 tal que X(ω) > r 0 y Y (ω) > x r 0. Sumando obtenemos X(ω) + Y (ω) > x y por lo tanto ω es un elemento del lado izquierdo. Proposición 21 Si X y Y son v.a.s entonces XY es v.a. Demostración. Suponga primero el caso particular X = Y. Entonces necesitamos probar que para todo número real x, el conjunto (X 2 x) es un elemento de F. Pero esto es cierto pues (X 2 x) = si x < 0 y (X 2 x) = ( x X x) si x 0. En ambos casos, (X 2 ) 1 (, x] es un elemento de F. Para el caso general X Y usamos la fórmula de interpolación XY = (X + Y )2 (X Y ) 2. 4 Por lo demostrado antes, XY es efectivamente una v.a. Como consecuencia de la proposición anterior se cumple que si multiplicamos X por si misma n veces entonces X n es variable aleatoria. Por lo tanto toda función polinomial de una variable aleatoria es también variable aleatoria. Proposición 22 Sean X y Y v.a.s con Y 0. Entonces X/Y es v.a. Demostración. Primeramente demostramos que 1/Y es v.a. Para cualquier número real y > 0 tenemos que ( 1 Y y) = ( 1 Y y, Y > 0) ( 1 Y y, Y < 0) = (Y 1 y, Y > 0) (Y 1 y, Y < 0) = (Y 1 ) (Y < 0), y 39

41 que es un elemento de F puesto que Y es v.a. Por otro lado, si y < 0 tenemos que ( 1 Y y) = ( 1 Y y, Y > 0) ( 1 Y y, Y < 0) = (Y 1 y, Y > 0) (Y 1 y, Y < 0) = (Y 1 y, Y < 0) = ( 1 y Y < 0). Nuevamente vemos que este conjunto es un elemento de F puesto que Y es v.a. Finalmente cuando y = 0 obtenemos una vez mas un elemento de F pues ( 1 Y 0) = ( 1 Y 0, Y > 0) ( 1 Y = (Y < 0) = (Y < 0). 0, Y < 0) Esto demuestra que 1/Y es v.a. Como el producto de v.a.s es nuevamente una v.a. concluimos entonces que X/Y es v.a. Proposición 23 Si X y Y son v.a.s entonces máx{x, Y } y mín{x, Y } son variables aleatorias. Demostración. Para cualquier número real x, Análogamente (máx{x, Y } x) = (X x, Y x) = (X x) (Y x). (mín{x, Y } x) = (X x, Y x) = (X x) (Y x). En ambos casos los dos conjuntos del lado derecho son elementos de F. Por lo tanto el lado izquierdo también pertenece a F. Como consecuencia de la proposición anterior se obtiene que tanto X + = max{0, X} como X = min{0, X} son variables aleatorias. Proposición 24 Si X es v.a. entonces X es v.a. Demostración. Si x 0 entonces X 1 (, x] = {ω : x X(ω) x} F, y si x < 0 entonces X 1 (, x] = F, de modo que X es v.a. Alternativamente se puede escribir X = X + + X y por lo expuesto anteriormente X es v.a. Demostraremos a continuación que el recíproco de la proposición anterior es falso. Esto es, si X : Ω R es una función tal que X es v.a. entonces 40

42 no necesariamente X es v.a. Considere por ejemplo el espacio muestral Ω = { 1, 0, 1} junto con la σ-álgebra F = {, {0}, { 1, 1}, Ω}. Sea X : Ω R la función identidad X(ω) = w. Entonces X es v.a. pues para cualquier conjunto Boreliano B, Ω si 0, 1 B, X 1 { 1, 1} si 0 / B y 1 B, B = {0} si 0 B y 1 / B, si 0, 1 / B. Es decir, X 1 B es un elemento de F. Sin embargo X no es v.a. pues X 1 { 1} = { 1} no es un elemento de F. Proposición 25 Sea {X n : n N} una sucesión de v.a.s. Entonces sup{x n } e ínf n {X n}, cuando existen, son v.a.s n Demostración. Este resultado se sigue directamente de las siguientes igualdades. Para cualquier x en R (sup X n x) = n (ínf n X n x) = (X n x) F, n=1 (X n x) F. n=1 Proposición 26 Sea {X n : n N} una sucesión de v.a.s. Entonces lím sup y lím inf n X n, cuando existen, son v.a.s n X n Demostración. Esto es consecuencia de la proposición anterior pues 1. lím sup X n = ínf (sup X n ) es v.a., n k n k 2. lím inf X n = sup(ínf X n) es v.a. n n k k Proposición 27 Sea {X n : n N} es una sucesión de v.a.s tales que lím X n(ω) existe para cada ω Ω. Entonces lím X n es v.a. n n Demostración. Si lím supx n y lím inf X n coinciden entonces lím X n existe n n n y es el valor límite común. Por lo anterior, lím X n es v.a. n 41

43 EJERCICIOS 98. Demuestre que la función constante X(ω) = c es una variable aleatoria. 99. Demuestre que la función identidad X(ω) = ω no es variable aleatoria cuando Ω = {1, 2, 3} y F = {, {1}, {2, 3}, Ω} Sea Ω = { 1,,0, 1} y F = {, {0}, { 1, 1}, Ω}. Considere la función identidad X(ω) = ω. Demuestre que X 2 es variable aleatoria pero X no lo es Demuestre que X es variable aleatoria si y solo si X 1 (, x) F para cada x R Demuestre que X es variable aleatoria si y solo si X 1 [x, ) F para cada x R Demuestre que X es variable aleatoria si y solo si X 1 (x, ) F para cada x R Demuestre que X es variable aleatoria si y solo si X 1 (a, b) F para cada (a, b) R Demuestre que si X es v.a. entonces X también lo es Mediante un contraejemplo demuestre que si X es v.a. entonces no necesariamente X es v.a Sea (Ω, F) un espacio medible tal que F = {, Ω, A, A c } con A Ω. Demuestre que toda función medible X : Ω R es constante en A y en A c. Por lo tanto toda función medible respecto de esta σ-álgebra toma a los sumo dos valores distintos Sea c una constante y X una v.a. Demuestre directamente que cx es v.a Sea c una constante y X una v.a. Demuestre directamente que X + c es v.a Sea c una constante y sea X una variable aleatoria. Demuestre directamente que tanto X c com X c son variables aleatorias Demuestre directamente que la suma y diferencia de dos variables aleatorias es variable aleatoria Sea X una variable aleatoria. Demuestre que la parte entera de X, denotada por X, es una variable aleatoria discreta Demuestre que el conjunto de v.a.s definidas sobre un espacio de probabilidad es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto por escalares Demuestre directamente que el producto y cociente (cuando exista) de dos variables aleatorias es variable aleatoria. 42

44 115. Sean X y Y v.a.s. Demuestre que tanto X Y como X Y son variables aleatorias Sea {X n : n N} una sucesión de v.a.s. Demuestre que, si existen, tanto sup{x n } como ínf {X n} son variables aleatorias. n n 117. Demuestre que si X es variable aleatoria entonces también lo son X n y 2X 3 5X Demuestre que X es variable aleatoria si y solo si tanto X + = máx{0, X} como X = mín{0, X} lo son Sea A Ω. Demuestre que la función indicadora 1 A : Ω R es variable aleatoria si y solo si el conjunto A es medible Sean A, B Ω. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) A, B medibles = 1 A + 1 B es v.a. b) 1 A + 1 B es v.a. = A, B son medibles Sean A, B subconjuntos disjuntos de Ω y sean a, b dos números reales distintos. Demuestre que a1 A + b1 B es v.a. A, B son medibles. Una de estas implicaciones resulta falsa cuando se omite la condición de que los números a y b son distintos. Cuál de ellas es? 122. Sean A 1,...,A n subconjuntos disjuntos de Ω y a 1,...,a n constantes distintas. Demuestre que n a i 1 Ai es v.a. A i es medible para i = 1,...,n. i= Sean A y B dos eventos, y sean 1 A y 1 B las correspondientes funciones indicadoras. Directamente de la definición demuestre que las funciones 1 A + 1 B y 1 A 1 B son variables aleatorias Sean X y Y dos variables aleatorias. Demuestre que los conjuntos (X = Y ), (X Y ), (X > Y ) y (X Y ) son eventos. Sugerencia: Proceda como en la fórmula (2.1) de la página Sea X una variable aleatoria y g : (R, B(R)) (R, B(R)) una función Borel medible. Demuestre que g(x) = g X : Ω R es también una variable aleatoria. Sugerencia: Demuestre que la colección B = {B B(R) : g 1 B B(R)} coincide con B(R) usando los siguientes dos resultados: (1) Dada una función continua de R en R, la imagen inversa de un conjunto abierto es nuevamente un conjunto abierto. (2) Todo conjunto abierto de R distinto del vacío puede expresarse como una unión numerable de intervalos abiertos. 43

45 126. Sea X una v.a. Demuestre que a) Y = e X es v.a. b) Y = senx es v.a. c) Y = cos X es v.a Sea X : Ω R una función. Proporcione un ejemplo en el que X 2 sea variable aleatoria pero X no lo sea Sea X : Ω R una función. Proporcione un ejemplo en el que X 2 sea variable aleatoria pero X no lo sea Sean X 1,...,X n v.a.s. Demuestre que a) X = 1 n n i=1 b) S 2 = 1 n 1 X i es v.a. n (X i X) 2 es v.a. i= Sea X una variable aleatoria y sean a < b dos constantes. Demuestre que las siguientes funciones son variables aleatorias. { X si X < a, a) Y = a si X a. a si X < a, b) Y = X si a X b, b si X > b,. { X si X a, c) Y = 0 si X > a Sean (Ω 1, F 1 ) y (Ω 2, F 2 ) dos espacios medibles y sea X : (Ω 1, F 1 ) (Ω 2, F 2 ) una función medible. Suponga que P : F 1 [0, 1] es una medida de probabilidad. Demuestre que P X 1 : F 2 [0, 1] es también una medida de probabilidad. A la medida P X 1 se le llama medida de probabilidad inducida por X Función de distribución Toda variable aleatoria tiene asociada una función llamada función de distribución. En esta sección se define este importante concepto y se demuestran algunas de sus propiedades. 44

46 Definición 13 La función de distribución de X es la función F(x) : R R definida como sigue F(x) = P(X x). Cuando sea necesario especificar la variable aleatoria en cuestión se escribe F X (x), pero en general se omite el subíndice X cuando no haya posibilidad de confusión. El argumento de la función es la letra minúscula x que puede tomar cualquier valor real. Por razones obvias a esta función se le conoce también con el nombre de función de acumulación de probabilidad o función de probabilidad acumulada. Observe que la función de distribución de una variable aleatoria está definida sobre la totalidad del conjunto de números reales y toma valores en el intervalo [0, 1]. La función de distribución es importante pues, como se ilustrará más adelante, contiene ella toda la información de la variable aleatoria y la correspondiente medida de probabilidad. A continuación se estudian algunas propiedades de la función de distribución. Proposición 28 Sea F(x) la función de distribución de una variable aleatoria. Entonces 1. lím F(x) = 1. x + 2. lím F(x) = 0. x 3. Si x 1 x 2 entonces F(x 1 ) F(x 2 ). 4. F(x) es continua por la derecha, es decir, F(x+) = F(x). 1 Demostración. (1) Sea {x n : n N} una sucesión cualquiera de números reales creciente a infinito y sean los eventos A n = (X x n ). Entonces {A n : n N} es una sucesión de eventos creciente cuyo límite es Ω. Por la propiedad de continuidad lím F(x n) = n lím P(A n) n = P(Ω) = 1. Como R es un espacio métrico lo anterior implica que F(x) converge a uno cuando x tiende a infinito. (2) Sea {x n : n N} una sucesión cualquiera de números reales decreciente a menos infinito y sean los eventos A n = (X x n ). Entonces {A n : n N} 1 La expresión F(x+) significa el límite por la derecha de la función F en el punto x. 45

47 es una sucesión de eventos decreciente al conjunto vacío. Por la propiedad de continuidad lím F(x n) = n lím P(A n) n = P( ) = 0. Por lo tanto, F(x) converge a cero cuando x tiende a menos infinito. (3) Para x 1 x 2, F(x 1 ) F(x 1 ) + P(x 1 < X x 2 ) = P[(X x 1 ) (x 1 < X x 2 )] = P(X x 2 ) = F(x 2 ). (4) Sea {x n : n N} una sucesión cualquiera de números reales no negativos y decreciente a cero. Entonces F(x + x n ) = F(x) + P(x < X x + x n ), en donde A n = (x < X x + x n ) es una sucesión de eventos decreciente al conjunto vacío. Por lo tanto Es decir lím F(x + x n) = F(x). n F(x+) = F(x). El recíproco de la proposición anterior es válido y justifica la importancia de la función de distribución. Se enuncia a continuación este interesante resultado cuya demostración omitiremos y puede encontrarse por ejemplo en [8]. Proposición 29 Sea F(x) : R R una función que satisface las cuatro propiedades de la proposición anterior. Entonces existe un espacio de probabilidad y una variable aleatoria cuya función de distribución es F(x). Como consecuencia tenemos la siguiente definición general. Definición 14 Una función F(x) : R R es llamada función de distribución si cumple con las cuatro propiedades anteriores. Veamos algunas otras propiedades que establecen la forma de calcular probabilidades usando la función de distribución. 46

48 Proposición 30 Para cualquier número x y para cualesquiera números reales a b, 1. P(X < x) = F(x ) P(X = x) = F(x) F(x ). 3. P(X (a, b]) = F(b) F(a). 4. P(X [a, b]) = F(b) F(a ). 5. P(X (a, b)) = F(b ) F(a). 6. P(X [a, b)) = F(b ) F(a ). Demostración. (1) Sea {x n : n N} una sucesión cualquiera de números reales no negativos y decreciente a cero. Sea A n el evento (X a x n ). Entonces {A n : n N} es una sucesión de eventos decreciente al evento (X < a). Por la propiedad de continuidad Para (2) simplemente escribimos P(X < a) = lím P(A n) n = lím F(a x n) n = F(a ). P(X = x) = P(X x) P(X < x) = F(x) F(x ). Las igualdades (3),(4),(5) y (6) se siguen directamente de (1) y (2). Observe que como F(x) es una función no decreciente y continua por la derecha, la probabilidad P(X = x) = F(x) F(x ) representa el tamaño del salto o discontinuidad de la función de distribución en el punto x. En consecuencia, cuando F(x) es una función continua y para a < b, F(b) F(a) = P(X (a, b]) = P(X [a, b]) = P(X (a, b)) = P(X [a, b)). Es decir, incluir o excluir los extremos de un intervalo no afecta el cálculo de la probabilidad de dicho intervalo. Por lo tanto para cualquier número x, P(X = x) = 0. Finalizamos esta sección con un resultado interesante cuya prueba es simple. Proposición 31 Toda función de distribución tiene a lo sumo un número numerable de discontinuidades. 2 La expresión F(x ) significa el límite por la izquierda de la función F en el punto x. 47

49 Demostración. Sea D el conjunto de puntos de discontinuidad de una función de distribución F(x). Para cada número natural n defina los subconjuntos D n = {x D : 1 n + 1 < F(x) F(x ) 1 n }. Cada conjunto D n tiene a lo sumo n elementos. Como D = n=1 D n se concluye que D es numerable. EJERCICIOS 132. Demuestre que las siguientes funciones son de distribución. a) F(x) = 1 e x para x > 0. b) F(x) = 1 (1 + x)e x para x > 0. 0 si x < 1, c) F(x) = (x + 1)/2 si x [ 1, 1], 1 si x > Investigue si las siguientes funciones son de distribución. a) F(x) = x para x R. b) F(x) = 1 e x2 para x > 0. c) F(x) = e 1/x para x > 0. d) F(x) = ex para x R. 1 + ex e x e) F(x) = e x para x R. + e x 134. Sean F(x) y G(x) dos funciones de distribución. Determine si las siguientes funciones son de distribución. a) af(x) + (1 a)g(x) con 0 a 1. b) F(x) + G(x). c) F(x)G(x) Sea X con función de distribución { 0 si x < 2, F(x) = 1 4 x 2 si x 2. Grafique y demuestre que F(x) es una función de distribución. Calcule además P(X 4), P(X > 1), P(4 < X < 6) y P(X = 2) Sea X con función de distribución 0 si x < 0, 0.2 si 0 x < 1, F(x) = 0.5 si 1 x < 3, 0.9 si 3 x < 4, 1 si x 4. 48

50 Grafique y demuestre que F(x) es una función de distribución. Calcule además P(X 1), P(X = 1), P(0 < X < 3), P(X = 4) y P(X 3) Sea X con función de distribución F(x). Demuestre que a) lím F(x) = 1. x b) lím F(x) = 0. x c) x 1 x 2 = F(x 1 ) F(x 2 ). d) F(x+) = F(x) Sea X con función de distribución F(x). Demuestre que a) P(X < x) = F(x ). b) P(X = x) = F(x) F(x ). c) P(X > x) = 1 F(x) Sea X con función de distribución F(x). Demuestre que para x y a) P(x < X y) = F(y) F(x). b) P(x < X < y) = F(y ) F(x). c) P(x X y) = F(y) F(x ). d) P(x X < y) = F(y ) F(x ) En la escuela rusa de probabilidad se define la función de distribución de una variable aleatoria X como F(x) = P(X < x). Observe el signo < en lugar de usado en nuestra definición. Demuestre que en este caso la función de distribución es continua por la izquierda Sea F(x) una función de distribución continua. Demuestre que para para cualquier entero n 1, las siguientes funciones también son de distribución. a) G(x) = [F(x)] n. b) G(x) = 1 [1 F(x)] n Sea X con función de distribución F(x). Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) F(x) = P(X < x) + P(X = x). b) 1 F(x) = P(X x). c) 1 P(X < x) P(X > x) = P(X = x) Encuentre F Y (y) en términos de F X (x) cuando a) Y = ax + b con a, b constantes. b) Y = e X. c) Y = e X. d) Y = X 2. 49

51 e) Y = X + = máx{0, X}. f ) Y = X = mín{0, X}. g) Y = X. h) Y = X. i) Y = senx Sea X con función de distribución F X (x) y sean a < b dos constantes. Calcule y grafique la función de distribución de { X si X < a, a) Y = a si X a. a si X < a, b) Y = X si a X b, b si X > b. { X si X a, c) Y = 0 si X > a Sean F(x) y G(x) dos funciones de distribución continuas y estrictamente crecientes. Demuestre que a) si F(x) G(x) entonces F 1 (y) G 1 (y). b) si X tiene función de distribución F(x) entonces Y = G 1 (F(X)) tiene función de distribución G(x). c) si F(x) G(x) entonces existen variables aleatorias X y Y cuyas funciones de distribución son F(x) y G(x) respectivamente, y son tales que X Y. Sugerencia: Use el inciso anterior Tipos de variables aleatorias Las variables aleatorias se clasifican en al menos dos tipos: discretas y continuas. La definición es la siguiente. Sea X una variable aleatoria con función de distribución F(x). Definición 15 La variable aleatoria X se llama discreta si su correspondiente función de distribución F(x) es una función constante por pedazos. Sean x 1, x 2,... los puntos de discontinuidad de F(x). En cada uno de estos puntos el tamaño de la discontinuidad es P(X = x i ) = F(x i ) F(x i ) > 0. A la función f(x) que indica estos incrementos se le llama función de densidad de X y se define como sigue f(x) = { P(X = x) si x = x1, x 2,... 0 otro caso. (2.2) 50

52 En este caso discreto la función f(x) siempre existe y se le llama también función de masa de probabilidad o simplemente función de probabilidad de la variable aleatoria X. Cuando sea necesario especificarlo se escribe f X (x) en lugar de f(x). Observe que f(x) es una función no negativa que suma uno en el sentido que i f(x i) = 1. Recíprocamente toda función de la forma (2.2) que cumpla estas dos propiedades se le llama función de densidad, sin que haya necesariamente una variable aleatoria de por medio. Es posible reconstruir la función de distribución a partir de la función de densidad mediante la relación F(x) = x i x f(x i ). Definición 16 La variable aleatoria X se llama continua si su correspondientes función de distribución F(x) es una función continua. Cuando existe una función integrable f 0 tal que F(x) = x f(u)du, (2.3) para cualquier valor de x, entonces se dice que X es absolutamente continua. En tal caso a la función f(x) se le llama función de densidad de X. No todas las variables aleatorias continuas tienen función de densidad, y aún cuando ésta exista puede no ser única pues basta modificarla en un punto para que sea ligeramente distinta y a pesar de ello seguir cumpliendo (2.3). Es claro que la función de densidad de una variable aleatoria absolutamente continua es no negativa y su integral sobre toda la recta real es uno. Recíprocamente toda función f(x) no negativa que integre uno en R se llama función de densidad. Si X es absolutamente continua con función de distribución F(X) y función de densidad continua f(x) entonces el teorema fundamental del cálculo establece que, a partir de (2.3), F (x) = f(x). Una variable aleatoria que no es discreta ni continua se llama variable aleatoria mixta, y un ejemplo de este tipo de variables se presenta a continuación. Ejemplo 9 (Variable aleatoria que no es discreta ni continua.) Sea X una variable aleatoria con función de distribución { 1 e x si x > 0, F(x) = 0 si x 0. Como F(x) es continua entonces X es una variable aleatoria continua. Sea Y = X M con M > 0 constante. Observe que Y está acotada superiormente 51

53 por la constante M. La función de distribución de Y es 1 si y M, F(y) = 1 e x si 0 < y < M, 0 si x 0. Esta función no es constante por pedazos pues es creciente en (0, M) y tampoco es continua pues tiene una discontinuidad en y = M. Por lo tanto Y es una variable aleatoria que no es discreta ni continua. EJERCICIOS 146. Encuentre la constante c que hace a f(x) una función de densidad. c a) f(x) = para x = 1, 2,... x(x + 1) b) f(x) = ce x para x = 1, 2,... c) f(x) = c x! para x = 1, 2,... d) f(x) = cx 2 para 0 < x < 1. e) f(x) = cxe 2x2 para x > 0. f ) f(x) = cx 2 para x > 1. ce x g) f(x) = (1 + e x ) 2 para x R. h) f(x) = cx(1 x) para 0 < x < 1. c i) f(x) = 1 x 2 para 0 < x < 1. j) f(x) = c 1 + x 2 para x R Demuestre que las siguientes funciones son de densidad. Encuentre la correspondiente función de distribución y demuestre que satisface las propiedades de toda función de distribución. Grafique ambas funciones. a) f(x) = 2x para x [0, 1]. b) f(x) = 3 2 x2 para x [ 1, 1]. c) f(x) = 1 1 x para x [0, 2]. 2 d) f(x) = 2 m2x para x [0, m] con m > 0. 1 e) f(x) = para x [0, 1/2]. (1 x) 2 f ) f(x) = 1 2 e x para x R Demuestre que las siguientes funciones son de distribución. Encuentre la correspondiente función de densidad y compruebe que efectivamente es una función de densidad. Grafique ambas funciones. 52

54 { 0 si x < 0, a) F(x) = 1 si x 0. b) F(x) = c) F(x) = ex 1 + e x. d) F(x) = si x 0, x si 0 < x < 1, 1 si x 1. x e u du Sea f(x) una función de densidad y sea c una constante. Demuestre que f(x + c) es también una función de densidad Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) Toda función de densidad es acotada. b) Toda función de distribución es acotada Sea X absolutamente continua y sea Y = ax + b con a 0, b constantes. Demuestre que f Y (y) = 1 a f X((y b)/a) Integral de Riemann-Stieltjes En esta sección se define la integral de Riemann-Stieltjes. Ésta es una integral de la forma b a h(x)df(x) y constituye una generalización de la integral de Riemann. Las funciones h(x) y F(x) deben cumplir ciertas propiedades para que la integral tenga sentido y esté bien definida. Al integrando h(x) se le pide inicialmente que sea una función acotada en el intervalo [a, b], aunque después se relajará esta condición. A la función integradora F(x) se le pide que sea continua por la derecha, monótona no decreciente y tal que F( ) F( ) < M para algún número M > 0. Observe que F(x) debe cumplir propiedades casi idénticas a las de una función de distribución y de hecho la notación es la misma. Esto no es coincidencia pues usaremos las funciones de distribución como funciones integradoras. Presentamos a continuación la definición de la integral de Riemann- Stieltjes bajo las condiciones arriba señaladas. En [8] puede encontrarse una exposición más completa y rigurosa de esta integral. Nuestro objetivo en esta sección es simplemente presentar la definición y mencionar algunas propiedades. 53

55 Sea {a = x 0 < x 1 < < x n = b} una partición finita del intervalo [a, b] y defina h(x i ) = sup{h(x) : x i 1 x x i }, h(x i ) = ínf{h(x) : x i 1 x x i }. Se define la suma superior e inferior de Riemann-Stieltjes como sigue n S n = h(x i )[F(x i ) F(x i 1 )], S n = i=1 n h(x i )[F(x i ) F(x i 1 )]. i=1 Ahora se hace n tender a infinito de tal forma que la longitud máx{ x i x i 1 : 1 i n} tienda a cero. Si sucede que < lím S n n = lím S n <, n entonces el valor común se denota por b a h(x)df(x), y se le llama la integral de Riemann-Stieltjes de la función h(x) respecto de la función F(x) sobre el intervalo [a, b]. Cuando la función h(x) no es acotada se define y entonces h N (x) = N si h(x) < N, h(x) si h(x) N, N si h(x) > N. b a h(x)df(x) = lím N b a h N (x)df(x), cuando este límite existe. Se puede extender la definición de esta integral de la siguiente forma b h(x)df(x) = lím h(x)df(x), a,b cuando el límite del lado derecho exista. La integral de Riemann-Stieltjes tiene muchas propiedades semejantes a la integral de Riemann. Enunciaremos a continuación algunas de ellas. Primeramente es lineal tanto en el integrando como en el integrador, es decir, si α es constante entonces b a b a (αh 1 (x) + h 2 (x))df(x) = α h(x)d(αf 1 (x) + F 2 (x)) = α b a b 54 a a h 1 (x)df(x) + h(x)df 1 (x) + b a b a h 2 (x)df(x), h(x)df 2 (x).

56 Cuando h(x) tiene primera derivada continua se cumple la fórmula b a h(x)df(x) = h(b)f(b) h(a)f(a) b a F(x)h (x)dx. De particular importancia en la teoría de la probabilidad son los siguientes dos casos particulares. Cuando F(x) es diferenciable entonces b a h(x)df(x) = b a h(x)f (x)dx. De modo que integrar respecto de una función de distribución absolutamente continua se reduce a efectuar una integral de Riemann. El otro caso interesante sucede cuando F(x) es constante excepto en los puntos x 1, x 2,... en donde tiene saltos positivos de tamaño p(x 1 ), p(x 2 ),... respectivamente y h(x) es continua. En este caso y suponiendo convergencia b a h(x)df(x) = h(x i )p(x i ). Por lo tanto integrar respecto de la función de distribución de una variable aleatoria discreta se reduce a efectuar una suma. Finalmente enunciamos la propiedad que ilustra el hecho de que la integral de Riemann es un caso particular de la integral de Riemann-Stieltjes. Cuando F(x) = x se cumple b a h(x)df(x) = i=1 b a h(x) dx. EJERCICIOS 152. Sea F(x) una función de distribución absolutamente continua. Demuestre que para cualesquiera números naturales n y m F n (x)df m (x) = m n + m Características numéricas Se estudian a continuación algunas características numéricas asociadas a variables aleatorias. Se definen los conceptos de esperanza, varianza y más generalmente los momentos de una variable aleatoria utilizando la integral de Riemann-Stieltjes Esperanza La esperanza de una variable aleatoria es un número que representa el promedio ponderado de los posible valores que toma la variable aleatoria y se calcula como se indica a continuación. 55

57 Definición 17 Sea X con función de distribución F(x) y sea g : R R una función Borel medible. La esperanza de g(x) denotada por E[g(X)] se define como el número E[g(X)] = g(x)df(x). cuando esta integral sea absolutamente convergente. En particular, cuando g(x) = x y suponiendo que la integral existe, E(X) = x df(x). A la esperanza se le conoce también con el nombre de: media, valor esperado, valor promedio o valor medio, y en general se usa la letra griega µ (mu) para denotarla. Cuando X es discreta con función de densidad f(x) su esperanza, si existe, se calcula como sigue E(X) = x xf(x). Cuando X es absolutamente continua con función de densidad f(x) entonces su esperanza, si existe, es E(X) = xf(x)dx. La integral o suma arriba mencionados pueden no existir y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene esperanza finita. Véase el ejercicio 156 en la página 57 para algunos ejemplos de esta situación. Se muestran a continuación algunos ejemplos sencillos del cálculo de la esperanza. Ejemplo 10 Sea X discreta con valores en el conjunto {1, 2,...} y con función de densidad f(x) = P(X = x) = 1/2 x. Entonces x E(X) = xf(x) = 2 x = 1. x=1 Ejemplo 11 Sea X continua con función de densidad f(x) = 2x para 0 < x < 1. Entonces Más generalmente, E(X) = E(X n ) = xf(x)dx = x n f(x)dx = x= x 2x dx = 2 3. x n 2x dx = 2 n

58 Establecemos a continuación algunas propiedades de la esperanza. Proposición 32 Sean X y Y con esperanza finita y sea c una constante. Entonces 1. E(c) = c. 2. E(cX) = ce(x). 3. Si X 0 entonces E(X) Si X Y entonces E(X) E(Y ). 5. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Las cuatro primeras propiedades de la esperanza se siguen directamente de la definición. EJERCICIOS 153. Calcule la esperanza de X, si existe, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = 1 5 para x = 2, 1, 0, 1, 2. b) f(x) = 1 e 1 x! para x = 0, 1, 2, Calcule la esperanza de X, si existe, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = x para 1 < x < 1. b) f(x) = 1 2 e x para x R Sean X con esperanza finita y sea c una constante. Demuestre que a) E(c) = c. b) E(cX) = ce(x). c) E(X + c) = E(X) + c. d) Si X 0 entonces E(X) 0. e) Si X Y entonces E(X) E(Y ) Demuestre que E(X) no existe cuando X tiene función de densidad a) f(x) = 1 x(x + 1) para x = 1, 2,... b) f(x) = 3 π 2 x 2 para x Z {0}. 57

59 c) f(x) = 1 x 2 para x > 1. d) f(x) = 1 π(1 + x 2 ) para x R (La paradoja de San Petersburgo.) Se lanza una moneda equilibrada repetidas veces hasta que una de las caras en particular aparece por primera vez. Si n es el número de lanzamientos realizados entonces un jugador recibe 2 n unidades monetarias. Cuál debe ser el pago inicial justo para ingresar a este juego? 158. Sea {A 1, A 2,...} una colección de eventos que forman una partición de Ω tal que P(A i ) > 0 para i 1. Sea X una variable aleatoria discreta con esperanza finita. Para cualquier evento A con probabilidad positiva defina E(X A) = xp(x = x A). x Demuestre que 159. Demuestre que E(X) = E(X A i )P(A i ). i=1 a) E(mín{X, Y }) mín{e(x), E(Y )}. b) E(máx{X, Y }) máx{e(x), E(Y )} Sea X > 0 con esperanza finita. Demuestre que ( ) 1 1 E(X) E. X 161. Sea X 0 discreta con valores x 1,...,x k. Demuestre que E(X n+1 ) a) lím n E(X n ) b) lím n = máx x i, 1 i k n E(X n ) = máx x i. 1 i k 162. Sea X discreta con valores 0, 1,... y con esperanza finita. Demuestre que E(X) = P(X n). n= Sea X 0 con esperanza finita y sea p (0, 1). Suponga que se cumple P(X k) p k para k = 0, 1,... Demuestre que E(X) 1 1 p. 58

60 164. Sea X 0 con esperanza finita y para cada número natural n defina el evento A n = (n 1 X < n). Demuestre que (n 1)1 An X < n=1 n1 An. n=1 En consecuencia demuestre las desigualdades P(X n) E(X) < 1 + P(X n). n= Sea X con función de distribución F(x) y con esperanza finita. Demuestre que E(X) = 0 [1 F(x)]dx n=1 0 F(x)dx Sea X con media µ y función de distribución continua F(x). Demuestre que µ F(x)dx = [1 F(x)]dx Sea X con función de distribución F(x) y con esperanza finita. Demuestre que a) lím x[1 F(x)] = 0. x b) lím xf(x) = 0. x µ Varianza La varianza de una variable aleatoria es una medida del grado de dispersión de los diferentes valores tomados por la variable aleatoria. Su definición es la siguiente. Definición 18 La varianza de X, denotada por Var(X), se define como el número no negativo cuando esta esperanza existe. Var(X) = E [ (X E(X)) 2] Cuando X es discreta con función de densidad f(x) y esperanza finita µ, la varianza de X, cuando existe, se calcula como sigue Var(X) = x (x µ) 2 f(x). 59

61 Cuando X es absolutamente continua con función de densidad f(x) y esperanza finita µ entonces la varianza de X, cuando existe, es Var(X) = (x µ) 2 f(x)dx. La varianza se denota regularmente por el símbolo σ 2 (sigma cuadrada). Nuevamente la varianza puede no existir y en ese caso decimos que la variable aleatoria no tiene varianza finita. Observe que para calcular Var(X) se necesita conocer primero E(X). Proposición 33 Sean X y Y con varianza finita. Entonces 1. Var(X) Var(c) = Var(cX) = c 2 Var(X). 4. Var(X + c) = Var(X). 5. Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X). La demostración de estas propiedades es sencilla pues todas ellas se siguen directamente de la definición y de la propiedad lineal de esperanza. Otras propiedades de la varianza aparecen más adelante. EJERCICIOS 168. Calcule la varianza de X, si existe, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = 1/5 para x = 2, 1, 0, 1, 2. b) f(x) = e 1 /x! para x = 0, 1, 2, Calcule la varianza de X, si existe, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = x para 1 < x < 1. b) f(x) = 1 2 e x para x R Sean X y Y con varianza finita y sea c una constante. Demuestre que a) Var(X) 0. b) Var(c) = 0. c) Var(cX) = c 2 Var(X). 60

62 d) Var(X + c) = Var(X). e) Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) Sea X con valores en [a, b]. Demuestre que a) a E(X) b. b) 0 Var(X) (b a) 2 / Sea X con varianza finita. Demuestre que la función g(u) = E[(X u) 2 ] se minimiza cuando u = E(X). En consecuencia para cualquier valor de u, Var(X) E[(X u) 2 ] Sea c una constante. Demuestre que E(X c) 2 = Var(X) + [E(X) c] Sea X con media µ y varianza σ 2. Demuestre que Sugerencia: Var( X µ ) 0. E X µ σ Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) Si X Y entonces Var(X) Var(Y ). b) Var(X) E(X 2 ) Momentos Los momentos de una variable aleatoria son números que representan alguna característica de la distribución de probabilidad asociada. Bajo ciertas condiciones el conjunto de momentos determinan de manera única a la distribución de probabilidad. Definición 19 Sea X una v.a. con esperanza µ y sea n un número natural. Cuando existe, 1. E(X n ) es el n-ésimo momento de X. 2. E X n es el n-ésimo momento absoluto de X. 3. E[(X µ) n ] es el n-ésimo momento central de X. 4. E X µ n es el n-ésimo momento central absoluto de X. Observe que el primer momento de X es E(X) y el segundo momento central es Var(X). Bajo ciertas condiciones los momentos de una variable aleatoria 61

63 determinan la distribución de probabilidad de la misma. Por ejemplo, si X es tal que E(X), E(X 2 ),... son todos finitos y si se cumple que la serie n=0 t n n! E(Xn ) es absolutamente convergente para algún t > 0, entonces la sucesión de momentos determina de manera única a la distribución de X. Las condiciones enunciadas para la determinación de la distribución de probabilidad son suficientes pero no necesarias. EJERCICIOS 176. Calcule el n-ésimo momento de X, si exsite, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = 1/5 para x = 2, 1, 0, 1, 2. b) f(x) = e 1 /x! para x = 0, 1, 2, Calcule el n-ésimo momento de X, si existe, cuando ésta tiene función de densidad a) f(x) = x para 1 < x < 1. b) f(x) = 1 2 e x para x R Sea X tal que E X n < para algún natural n. Demuestre que para m = 1,...,n, E X m E X n. Esta desigualdad establece que los momentos absolutos anteriores a n existen cuando el n-ésimo existe Sea A un evento y sea 1 A la función indicadora de A. Demuestre que a) E(1 A ) = P(A). b) E(1 n A ) = P(A). c) Var(1 A ) = P(A)(1 P(A)). d) Var(1 A ) Sea X 0 con n-ésimo momento finito. Demuestre que E(X n ) = n 0 x n 1 [1 F(x)] dx Sea X discreta con valores 0, 1,... y con segundo momento finito. Demuestre que E(X 2 ) = (2n 1)P(X n). n=1 62

64 182. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz.) Sean X y Y con segundo momento finito. Demuestre que E 2 (XY ) E(X 2 )E(Y 2 ). Sugerencia: Observe que para cualquier valor real de t, E[(tX +Y ) 2 ] 0. Desarrolle el cuadrado y encuentre una ecuación cuadrática en t, qué puede decir de su discriminante? 183. Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que el espacio L 2 (Ω, F, P) consistente de todas las variables aleatorias X tales que E X 2 <, es un espacio vectorial Demuestre que si X es una variable aleatoria acotada, es decir, existe k > 0 tal que P( X k) = 1, entonces todos los momentos de X existen Distribuciones discretas En esta sección se estudian algunas distribuciones discretas de probabilidad de uso común. Véase el apéndice A al final del libro para algunas otras distribuciones de probabilidad o para consultar algunas otras propiedades de las distribuciones enunciadas en esta sección. Distribución uniforme discreta. Se dice que X tiene una distribución uniforme sobre el conjunto {x 1,...,x n } si la probabilidad de que X tome cualquiera de estos valores es 1/n. Esta distribución surge en espacios de probabilidad equiprobables, esto es, en situaciones en donde se tienen n resultados diferentes y todos ellos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Los juegos de lotería justos son un ejemplo donde puede aplicarse esta distribución. Se escribe X unif{x 1,...,x n } y para x = x 1,...,x n f(x) = P(X = x) = 1 n. La gráfica de la función de densidad unif{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} aparece en la figura 2.1. Es fácil ver que E(X) = Var(X) = 1 n 1 n n x i, i=1 n (x i E(X)) 2. i=1 EJERCICIOS 185. Sea X con distribución unif{1,..., n}. Demuestre que 63

65 f x x Figura 2.1: Función de densidad de la distribución unif{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. a) E(X) = n b) E(X 2 ) = (n + 1)(2n + 1). 6 c) Var(X) = n Se escogen al azar y de manera independiente dos números a y b dentro del conjunto {1,...,n}. Demuestre que la probabilidad de que el cociente a/b sea menor o igual a uno es (n + 1)/2n. Distribución Bernoulli. Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio con únicamente dos posibles resultados, llamados genéricamente éxito y fracaso, y con probabilidades respectivas p y 1 p. Se define la variable aleatoria X como aquella función que lleva el resultado éxito al número 1 y el resultado fracaso al número 0. Entonces se dice que X tiene una distribución Bernoulli con parámetro p (0, 1). Se escribe X Ber(p) y la correspondientes función de densidad es f(x) = 1 p si x = 0, p si x = 1, 0 otro caso. La gráfica de la función de densidad de la distribución Ber(p) para p =0.7 aparece en la figura 2.2. Es sencillo verificar que E(X) = p, Var(X) = p(1 p). EJERCICIOS 187. Compruebe que la función de densidad de la distribución Ber(p) efectivamente lo es. Obtenga además la correspondiente función de distribución. Grafique ambas funciones. 64

66 f x x Figura 2.2: Función de densidad de la distribución Ber(p) para p = 0, Sea X con distribución Ber(p). Demuestre que a) E(X) = p. b) E(X n ) = p para n 1. c) Var(X) = p(1 p). Distribución binomial. Suponga que se realizan n ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de éxito en cada uno de ellos es p. Si denotamos por E el resultado éxito y por F el resultado fracaso entonces el espacio muestral consiste de todas las posibles sucesiones de tamaño n de caracteres E y F. Usando el principio multiplicativo, es fácil ver que el conjunto Ω tiene 2 n elementos. Si ahora se define la variable aleatoria X como el número de éxitos en cada una de estas sucesiones entonces X toma los valores 0, 1,...,n y se dice que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Se escribe X bin(n, p) y para x = 0, 1,...,n f(x) = P(X = x) = ( n x ) p x (1 p) n x. f x f x f x x x x (a) (b) (c) Figura 2.3: Función de densidad de la distribución bin(n, p) para n = 10 y (a) p = 0,3, (b) p = 0,5, (c) p = 0,7. En la figura 2.3 se muestra el comportamiento de la función de densidad de la distribución bin(n, p) para n = 10 y varios valores del parámetro p. Se 65

67 puede demostrar que E(X) = np, Var(X) = np(1 p). EJERCICIOS 189. Use el teorema del binomio para comprobar que la función de densidad de la distribución bin(n, p) efectivamente lo es Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que a) E(X) = np. b) E(X 2 ) = np(1 p + np). c) Var(X) = np(1 p). d) E(X np) 3 = npq(q p). e) E(X np) 4 = 3n 2 p 2 q 2 + npq(1 6qp) Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que Y = n X tiene distribución bin(n, 1 p) Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que a) P(X = x + 1) = p 1 p n x P(X = x). x + 1 b) P(X = x 1)P(X = x + 1) P 2 (X = x) Se lanza una moneda equilibrada 6 veces. Calcule la probabilidad de que cada cara caiga exactamente 3 veces Se lanza una moneda equilibrada 2n veces. Calcule la probabilidad de que ambas caras caigan el mismo número de veces. Distribución geométrica. Suponga que se tiene una sucesión infinita de ensayos independientes Bernoulli. Se define X como el número de fracasos antes de obtener el primer éxito. Se dice entonces que X tiene una distribución geométrica con parámetro p. Se escribe X geo(p) y para x = 0, 1,... f(x) = P(X = x) = p(1 p) x. La gráfica de la función de densidad geo(p) aparece en la figura 2.4 para p =0.4. Para la distribución geo(p) se tiene que E(X) = Var(X) = 1 p p, 1 p p 2. En algunos textos se define también la distribución geométrica como el número de ensayos (no el de fracasos) antes del primer éxito. La distribución cambia ligeramente. 66

68 f x x Figura 2.4: Función de densidad de la distribución geo(p) con p = 0,4. EJERCICIOS 195. Compruebe que la función de densidad de la distribución geo(p) efectivamente lo es Sea X con distribución geo(p). Demuestre que a) E(X) = 1 p p. b) Var(X) = 1 p p Sea X con distribución geo(p). Demuestre que P(X n) = (1 p) 2. Ahora use este resultado y la fórmula del ejercicio 162 en la página 58 para demostrar que E(X) = (1 p)/p Sea X con distribución geo(p). Demuestre que P(X x + y X x) = P(X y). Distribución Poisson. Se dice que X tiene una distribución Poisson con parámetro λ > 0 y se escribe X Poisson(λ) cuando para x = 0, 1,... f(x) = P(X = x) = λx x! e λ. En la figura 2.5 aparece la gráfica de la función de densidad de la distribución Poisson(λ) para λ = 2. Puede demostrarse que E(X) = λ, Var(X) = λ. 67

69 f x x Figura 2.5: Función de densidad de la distribución Poisson(λ) con λ = 2. EJERCICIOS 199. Compruebe que la función de densidad de la distribución Poisson(λ) efectivamente lo es Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) E(X) = λ. b) E(X 2 ) = λ(λ + 1). c) Var(X) = λ. d) E(X 3 ) = λe(x + 1) Sean X y Y independientes ambas con distribución Poisson con parámetros λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que X + Y tiene distribución Poisson(λ 1 + λ 2 ) Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) P(X = x + 1) = λ P(X = x). x + 1 b) P(X = x 1)P(X = x + 1) P 2 (X = x) Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) P(X {1, 3, 5,...}) = 1 2 (1 e 2λ ). b) P(X {0, 2, 4,...}) = 1 2 (1 + e 2λ ) Convergencia de la distribución binomial a la Poisson. Para cada entero positivo n, sea X n con distribución bin(n, λ/n) con λ > 0. Demuestre que para k = 0, 1,... lím P(X n = k) = e λλk n k! 68

70 Distribución binomial negativa. Suponga una sucesión infinita de ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de éxito en cada ensayo es p. Sea X el número de fracasos antes de obtener el r-ésimo éxito. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros r y p. Se escribe X bin beg(r, p) y para x = 0, 1... ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x. x Es claro que esta distribución es una generalización de la distribución geométrica, la cual se obtiene cuando r = 1. Se puede demostrar que E(X) = Var(X) = r(1 p) p r(1 p) p 2. EJERCICIOS 205. Compruebe que la función de densidad de la distribución bin neg(r, p) efectivamente lo es Sea X con distribución bin neg(r, p). Demuestre que r(1 p) a) E(X) =. p r(1 p) b) Var(X) = p 2. Distribución hipergeométrica. Suponga que se tiene un conjunto de N objetos de los cuales K son de una primera clase y N K son de una segunda clase. Suponga que de este conjunto se toma una muestra de tamaño n, la muestra es sin reemplazo y el orden de los objetos seleccionados no importa. Se define X como el número de objetos de la primera clase contenidos en la muestra seleccionada. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2,...,n, suponiendo n K. Decimos que X tiene una distribución hipergeométrica con parámetros N, K y n. Se escribe X hipergeo(n, K, n) y para x = 0, 1,...,n Es posible comprobar que f(x) = P(X = x) = E(X) = n K N, Var(X) = n K N ( K x 69 )( ) N K n x ( ). N n N K N N n N 1.

71 EJERCICIOS 207. Compruebe que la función de densidad de la distribución hipergeo(n, K, n) efectivamente lo es Sea X con distribución hipergeo(n, K, n). Demuestre que cuando N, K y N K tienden a infinito de tal forma que K/N p y (N K)/N (1 p) entonces P(X = x) ( n x ) p x (1 p) n x Distribuciones continuas Ahora se estudian algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas. Algunas otras distribuciones continuas serán estudiadas en el Capítulo 5 que trata sobre distribuciones de probabilidad que surgen en la estadística. Distribución uniforme continua. Se dice que X tiene distribución uniforme en el intervalo (a, b) y se escribe X unif(a, b), cuando para x (a, b), f(x) = 1 b a. En la figura 2.6 se muestra la gráfica de la función de densidad unif(a, b) f x x Figura 2.6: Función de densidad unif(a, b) con a = 1 y b = 3. con a = 1 y b = 3. Es fácil verificar que E(X) = Var(X) = a + b 2, (b a)

72 EJERCICIOS 209. Compruebe que la función de densidad de la distribución unif(a, b) efectivamente lo es. Calcule además la correspondiente función de distribución. Grafique ambas funciones Sea X con distribución unif(a, b). Demuestre que a) E(X) = a + b 2. b) E(X n ) = bn+1 a n+1 (n + 1)(b a). c) Var(X) = (b a) Sea X con distribución unif(0, 1). Demuestre que E(X n ) = 1/(n + 1) Sea X con distribución unif( 1, 1). Demuestre que 1 E(X n si n es par, ) = n si n es impar Sea X con distribución unif(0, 1). Obtenga la distribución de a) Y = 10X 5. b) Y = 4X(1 X) Sea X con distribución unif(0, 1) y sea 0 < p < 1. Demuestre que la variable aleatoria Y = 1 + lnx/ lnp tiene distribución geo(p). La expresión x denota la parte entera de x. Distribución exponencial. Se dice que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ > 0 y se escribe X exp(λ) cuando para x > 0, f(x) = λe λx. La gráfica de la función de densidad exponencial para λ = 3 aparece en la figura 2.7. Es muy sencillo verificar que E(X) = 1 λ, Var(X) = 1 λ 2. EJERCICIOS 215. Compruebe que la función de densidad de la distribución exp(λ) efectivamente lo es. 71

73 f x x Figura 2.7: Función de densidad exp(λ) con λ = Sea X con distribución exp(λ). Demuestre que a) F(x) = 1 e λx para x > 0. b) F(x + y) F(y) = F(x)[1 F(y)] para x, y > Sea X con distribución exp(λ). Demuestre que a) E(X) = 1 λ. b) Var(X) = 1 λ Sea X con distribución exp(λ). Demuestre que P(X x + y X x) = P(X y). La distribución exponencial es la única distribución continua que satisface esta propiedad llamada pérdida de memoria Sea X una variable aleatoria con función de distribución F(x) continua, estrictamente creciente y tal que 0 < F(x) < 1. Demuestre que la variable aleatoria Y = lnf(x) tiene distribución exp(λ) con λ = Se dice que X tiene distribución exponencial bilateral (o doble) con parámetro λ > 0 si su función de densidad es, para x en R, Demuestre que a) E(X) = 0. b) Var(X) = 2 λ 2. f(x) = 1 2 λe λ x. Distribución gama. Se dice que X tiene distribución gama con parámetros λ > 0 y n > 0 si para x > 0, f(x) = λ Γ(n) (λx)n 1 e λx. 72

74 En tal caso se escribe X gama(n, λ). La gráfica de la función de densidad f x x Figura 2.8: Función de densidad gama(λ, n) con λ = 3 y n = 5. gama para λ = 3 y n = 5 aparece en la figura 2.8. El término Γ(n) es la función gama definida como sigue Γ(n) = 0 t n 1 e t dt para valores de n tal que la integral es convergente. Esta función satisface las siguientes propiedades 1. Γ(n + 1) = nγ(n). 2. Γ(n + 1) = n! para n entero positivo. 3. Γ(2) = Γ(1) = Γ(1/2) = π. Observe que cuando n = 1 la distribución gama(n, λ) se reduce a la distribución exp(λ). Resolviendo un par de integrales se puede demostrar que E(X) = n λ, Var(X) = n λ 2. EJERCICIOS 221. Compruebe que la función de densidad de la distribución gama(n, λ) efectivamente lo es Demuestre que la distribución gama(n, λ) con n = 1 se reduce a la distribución exp(λ). 73

75 223. Sea X con distribución gama(n, λ). Demuestre que la función de distribución de X es, para x > 0, n 1 F(x) = 1 e λx(λx)j. j! j= Sea X con distribución gama(n, λ). Demuestre que a) E(X) = n λ. b) E(X m ) = Γ(m + n) λ m Γ(n) para m = 1, 2,.... c) Var(X) = n λ Demuestre las siguientes propiedades de la función gama. a) Γ(n + 1) = nγ(n). b) Γ(n + 1) = n! para n entero. c) Γ(2) = Γ(1) = 1. d) Γ(1/2) = π. e) Γ(n + 1/2) = (2n 1) 2 n π para n entero. Distribución beta. Se dice que X tiene distribución beta con parámetros a > 0 y b > 0, y se escribe X beta(a, b) cuando para x (0, 1), f(x) = 1 B(a, b) xa 1 (1 x) b 1. En la figura 2.9 aparece la gráfica de la función de densidad beta(a, b) para f x x Figura 2.9: Función de densidad beta(a, b). De derecha a izquierda a = 2 y b = 6, a = 4 y b = 4, a = 6 y b = 2. La linea horizontal corresponde a a = 1 y b = 1. varios valores de los parámetros a y b. El término B(a, b) se conoce como la función beta y se define como sigue B(a, b) = 1 0 x a 1 (1 x) b 1 dx, 74

76 para a > 0 y b > 0. Esta función satisface las siguientes propiedades. 1. B(a, b) = B(b, a). 2. B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b). En este caso E(X) = Var(X) = a a + b, ab (a + b + 1)(a + b) 2. EJERCICIOS 226. Compruebe que la función de densidad de la distribución beta(a, b) efectivamente lo es Sea X con distribución beta(a, b). Demuestre que a) E(X) = a a + b. b) E(X n B(a + n, b) ) =. B(a, b) ab c) Var(X) = (a + b + 1)(a + b) Sea X con distribución beta(a, b). Demuestre que [ ] E(X)(1 E(X)) a) a = E(X) 1. Var(X) [ ] E(X)(1 E(X)) b) b = (1 E(X)) 1. Var(X) c) a + b = E(X)(1 E(X)) Var(X) Demuestre las siguientes propiedades de la función beta. a) B(a, b) = B(b, a). b) B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b). c) B(a,1) = 1 a. d) B(1, b) = 1 b. e) B(a + 1, b) = a B(a, b + 1). b f ) B(a + 1, b) = a B(a, b). a + b 75

77 g) B(a, b + 1) = b B(a, b). a + b h) B(1/2, 1/2) = π Sea X con distribución beta(1/2, 1/2). En este caso se dice que X tiene una distribución arcoseno. a) Calcule y grafique f(x). b) Demuestre directamente que f(x) es una función de densidad. c) Calcule directamente que E(X) = 1/2 y Var(X) = 1/ Sea X con distribución beta(a, b). Demuestre que para a > 0 y b = 1, 0 si x 0, F(x) = x a si 0 < x < 1, 1 si x Sea X con distribución beta(a, b). Demuestre que para a = 1 y b > 0, 0 si x 0, F(x) = 1 (1 x) b si 0 < x < 1, 1 si x Demuestre que X tiene distribución beta(a, b) si y solo si 1 X tiene distribución beta(b, a) Demuestre que la distribución beta(a, b) con a = b = 1 se reduce a la distribución unif(0, 1). Distribución normal. Esta es posiblemente la distribución de probabilidad de mayor importancia. Se dice que X tiene una distribución normal o Gausiana si su función de densidad es f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2, en donde µ R y σ 2 > 0 son dos parámetros. Se escribe X N(µ, σ 2 ). La gráfica de la función de densidad normal aparece en la Figura 2.10 para µ = 3 y σ 2 = 2. No es difícil probar que E(X) = µ, Var(X) = σ 2. En particular se dice que X tiene una distribución normal estándar si µ = 0 y σ 2 = 1. En este caso particular f(x) = 1 2π e x2 /2. Es posible transformar una variable aleatoria normal no estándar en una estándar mediante la siguiente operación llamada estandarización. 76

78 f x x Figura 2.10: Función de densidad de la distribución N(µ, σ 2 ) para µ = 3 y σ 2 = 2. Proposición 34 Si X N(µ, σ 2 ) entonces Z = X µ σ N(0, 1). Demostración. F Z (z) = P(Z z) = P( X µ z) σ = P(X µ + zσ) = F X (µ + zσ). Por lo tanto f Z (z) = σf X (µ + zσ) 1 = e z2 /2. 2π Es también fácil de demostrar que el recíproco del resultado anterior es válido. Comúnmente se usa la letra Z para denotar una variable aleatoria con distribución N(0, 1). En particular se usa la notación Φ(z) = P(Z z). EJERCICIOS 235. Demuestre que la función de densidad de la distribución N(µ, σ 2 ) a) es efectivamente una función de densidad. b) es simétrica respecto de x = µ. c) alcanza su máximo en x = µ. d) tiene puntos de inflexión en x = µ ± σ Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que a) E(X) = µ. 77

79 b) Var(X) = σ Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que { E X µ n 0 si n es impar, = (n 1)σ n si n es par Demuestre que X tiene distribución N(µ, σ 2 ) si y solo si Z = (X µ)/σ tiene distribución N(0, 1) Sea X con distribución N(0, 1). Demuestre que 0 si n es impar, E(X n ) = (2n)! 2 n si n es par. n! 240. Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que Y = ax + b, con a 0, tiene una distribución normal. Encuentre los parámetros correspondientes Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que Y = X tiene una distribución normal. Encuentre los parámetros correspondientes Sea X con distribución N(0, 1). Demuestre que X 2 tiene una distribución χ 2 (1). Recíprocamente, será cierto que si Y tiene distribución χ 2 (1) entonces Y tiene distribución N(0, 1)? 243. Sea X con distribución N(0, 1). Encuentre la función de densidad de Y = X (El cociente de Mills.) Sea φ(x) la función de densidad de la distribución normal estándar y sea Φ(x) la correspondiente función de distribución. Demuestre que a) φ (x) + xφ(x) = 0. b) 1 x 1 x 3 < 1 Φ(x) < 1 φ(x) x 1 x x 5 para x > 0. Distribución log normal. Si X tiene distribución N(µ, σ 2 ) entonces Y = e X tiene una distribución log normal(µ, σ 2 ) y su función de densidad es, para y (0, ), f(y) = 1 [ y 2πσ exp 2 ] (lny µ)2 2σ 2. La gráfica de la función de densidad de la distribución lognormal (µ, σ 2 ) aparece en la figura 2.11 para µ = 3 y σ 2 = 2. Se puede demostrar que E(Y ) = exp(µ + σ 2 /2), Var(Y ) = exp(2µ + 2σ 2 ) exp(2µ + σ 2 ). Otras distribuciones continuas de interés se encuentran en el capítulo sobre distribuciones muestrales. 78

80 f x x Figura 2.11: Función de densidad de la distribución log normal(µ, σ 2 ) con µ = 3 y σ 2 = 2. EJERCICIOS 245. Demuestre que la función de densidad de una distribución log normal(µ, σ 2 ) efectivamente lo es Sea X con distribución log normal(µ, σ 2 ). Demuestre que a) E(X) = exp{µ + σ 2 /2}. b) Var(X) = exp{2µ + 2σ 2 } exp{2µ + σ 2 }. c) E(lnX) = µ. d) Var(lnX) = σ 2. 79

81 Capítulo 3 Vectores aleatorios En este capítulo se extiende el concepto de variable aleatoria con valores en R a variables aleatorias con valores en R n y se estudian algunos conceptos relacionados. Recordemos que tenemos siempre como elemento base un espacio de probabilidad (Ω, F, P) Vectores aleatorios Definición 20 Un vector aleatorio es una función X : Ω R n tal que para cualquier conjunto B en B(R n ), se cumple que X 1 B es un elemento de F. Un vector aleatorio puede representarse en la forma X = (X 1,...,X n ) en donde cada X i es una función de Ω en R. Demostraremos a continuación que la definición anterior es equivalente a definir un vector aleatorio como un vector de variables aleatorias. Proposición 35 Una función X = (X 1,...,X n ) : Ω R n es un vector aleatorio si y solo si cada coordenada X i : Ω R n es una variable aleatoria. Demostración. Sea (X 1,...,X n ) un vector aleatorio. Entonces la imagen inversa de cualquier conjunto de Borel de R n es un elemento de la σ-álgebra del espacio de probabilidad. En particular, la imagen inversa del conjunto B Ω Ω pertenece a F para cualquier Boreliano B de R. Pero esta imagen inversa es simplemente X1 1 B. Esto demuestra que X 1 es variable aleatoria y de manera análoga se procede con las otras coordenadas del vector. Suponga ahora que cada coordenada de una función (X 1,...,X n ) : 80

82 Ω R n es una variable aleatoria. Considere la colección B = {B B(R n ) : (X 1,...,X n ) 1 B F}. Como cada coordenada es una variable aleatoria, los conjuntos de Borel de R n de la forma B 1 B n, en donde cada B i es un Boreliano de R, es un elemento de la colección B. Entonces B(R) B(R) B B(R n ). Es fácil demostrar que la colección B es una σ-álgebra. Asi que σ(b(r) B(R)) B B(R n ). Pero ambos extremos de esta ecuación coinciden. De modo que B = B(R n ) y por lo tanto la función (X 1,...,X n ) es un vector aleatorio. Para simplificar la escritura donde sea posible se usan únicamente vectores aleatorios bidimensionales, esto es, de la forma (X, Y ). En la mayoría de los casos las definiciones y resultados son fácilmente extendidos a dimensiones mayores. Definición 21 Se dice que el vector (X, Y ) es discreto si cada coordenada es una v.a. discreta y es continuo en caso de que cada coordenada lo sea Distribución conjunta A menudo es necesario considerar probabilidades de eventos que involucran a dos o mas variables aleatorias al mismo tiempo y de manera conjunta. El concepto fundamental en este caso es el de función de distribución conjunta que se define a continuación. Definición 22 La función de distribución de un vector (X, Y ), denotada por F(x, y) : R 2 [0, 1], se define como sigue F(x, y) = P(X x, Y y). En palabras, la función F(x, y) es la probabilidad de que X sea menor o igual a x y al mismo tiempo Y sea menor o igual que y, esto es la probabilidad del evento (X x) (Y y). A la función F(x, y) se le conoce también como función de distribución bivariada de X y Y. Cuando sea necesario especificarlo se escribe F X,Y (x, y) en lugar de F(x, y) y debe ser claro la forma de extender la definición para el caso de un vector aleatorio multidimensional. Las funciones de distribución conjuntas satisfacen propiedades semejantes al caso unidimensional. Estudiaremos a continuación algunas de ellas. Proposición 36 La distribución conjunta F(x, y) satisface las siguientes propiedades. 81

83 1. lím F(x, y) = 1. x,y 2. lím F(x, y) = 0. x,y 3. F(x, y) es no decreciente en cada variable. 4. F(x, y) es continua por la derecha en cada variable. 5. Si a < b y c < d entonces F(b, d) F(a, d) F(b, c) + F(a, c) 0. La demostración de las propiedades (1)-(4) es completamente análoga al caso unidimensional y por tanto la omitiremos. Respecto a la propiedad (5) observe que F(b, d) F(a, d) F(b, c) + F(a, c) = P(a < X b, c < Y d). De modo que (5) se traduce simplemente en solicitar que la probabilidad de que (X, Y ) tome valores en el cuadrado (a, b] (c, d] sea no negativa. A diferencia del caso unidimensional, las propiedades (1) a (4) no son suficientes para asegurar que una función F(x, y) asigna probabilidad no negativa a cualquier cuadrado (a, b] (c, d]. Véase por ejemplo el ejercicio 250 en la página 83 en donde tal condición falla. Por tanto en el caso de dimensión dos y superiores es necesario pedir tal condición. Definición 23 Una función cualquiera F(x, y) : R 2 [0, 1], no necesariamente definida en términos de un vector aleatorio, es una función de distribución conjunta si cumple con las cinco propiedades enunciadas en la proposición anterior. Para tres dimensiones se dice que F(x 1, x 2, x 3 ) : R 3 [0, 1] es una función de distribución si cumple las primeras cuatro propiedades anteriores y la quinta se reemplaza por la siguiente condición. Para cualesquiera números reales a 1 < b 1, a 2 < b 2 y a 3 < b 3, F(b 1, b 2, b 3 ) F(a 1, b 2, b 3 ) F(b 1, a 2, b 3 ) F(b 1, b 2, a 3 ) +F(a 1, a 2, b 3 ) + F(a 1, b 2, a 3 ) + F(b 1, a 2, a 3 ) F(a 1, a 2, a 3 ) 0. Se puede demostrar que el lado izquierdo de esta desigualdad corresponde a la probabilidad del evento (a 1 < X 1 b 1, a 2 < X 2 b 2, a 3 < X 3 b 3 ) y entonces el requisito es que naturalmente este número sea no negativo. Más generalmente, una función F(x 1,...,x n ) : R n [0, 1] es una función de distribución si cumple las primeras cuatro propiedades anteriores y adicionalmente para cualesquiera números reales a 1 < b 1, a 2 < b 2,..., a n < b n, ( 1) #a F(x 1,...,x n ) 0, x i {a i,b i } 82

84 en donde #a es el número de veces que alguna de las variables x i toma el valor a i en la evaluación de la función F. Nuevamente la suma corresponde a la probabilidad del evento (a 1 < X 1 b 1,...,a n < X n b n ), y la condición establece simplemente que este número sea no negativo. Finalmente enunciamos un resultado que establece la importancia de la función de distribución y que es consecuencia del caso unidimensional. Proposición 37 Sea F(x 1,...,x n ) : R n R una función que satisface las cinco propiedades anteriores. Entonces existe un espacio de probabilidad y una vector aleatorio cuya función de distribución es F(x 1,...,x n ). EJERCICIOS 247. Grafique y demuestre que las siguientes funciones son de distribución. a) F(x, y) = (1 e x )( π tan 1 y) para x 0. b) F(x, y) = 1 e x e y + e x y para x, y Investigue si las siguientes funciones son de distribución. a) F(x, y) = 1 e xy para x, y 0. b) F(x, y) = 1 e x y para x, y Demuestre que la siguiente función no es de distribución. { 0 si x + y < 0, F(x, y) = 1 si x + y Demuestre que la siguiente función no es de distribución. { mín{1, máx{x, y}} si x, y > 0, F(x, y) = 0 otro caso Sean F(x) y G(x) dos funciones de distribución. Demuestre o proporcione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones. a) F(x)G(x) es una función de distribución univariada. b) F(x)G(y) es una función de distribución bivariada Diga falso o verdadero. Justifique en cada caso. a) P(X > x, Y > y) = 1 P(X x, Y y). b) P(X x, Y y) P(X x). c) P(X x) = P(X x, Y x) + P(X x, Y > x). 83

85 d) P(X + Y x) P(X x). e) P(XY < 0) P(X < 0) Sean X y Y variables aleatorias con función de distribución conjunta F(x, y). Demuestre que para cualesquiera números reales a < b y c < d, P(a < X b, c < Y d) = F(b, d) + F(a, c) F(a, d) F(b, c) Sean X 1, X 2 y X 3 variables aleatorias con función de distribución conjunta F(x 1, x 2, x 3 ). Demuestre que para cualesquiera números reales a 1 < b 1, a 2 < b 2 y a 3 < b 3, la probabilidad es igual a P(a 1 < X 1 b 1, a 2 < X 2 b 2, a 3 < X 3 b 3 ) F(b 1, b 2, b 3 ) F(a 1, b 2, b 3 ) F(b 1, a 2, b 3 ) F(b 1, b 2, a 3 ) +F(a 1, a 2, b 3 ) + F(a 1, b 2, a 3 ) + F(b 1, a 2, a 3 ) F(a 1, a 2, a 3 ) Sea (X, Y ) un vector con función de distribución conjunta F X,Y (x, y). Demuestre que para todo (x, y) en R 2, F X (x) + F Y (y) 1 F X,Y (x, y) F X (x)f Y (y) Considere el espacio Ω = [0, 1] [0, 1] junto con σ(b[0, 1] B[0, 1]) y P la medida de probabilidad uniforme sobre Ω. Sea X : Ω R 2 el vector aleatorio dado por X(ω 1, ω 2 ) = (ω 1 ω 2, ω 1 ω 2 ). Demuestre que X es efectivamente un vector aleatorio y encuentre su función de distribución Sea X con función de distribución F(x). Demuestre que F(x) es continua en x = x 0 si y solo si P(X = x 0 ) = Densidad conjunta Como en el caso unidimensional, los vectores discretos o absolutamente continuos tienen asociada una función de densidad la cual se define a continuación. Definición 24 La función de densidad de un vector discreto (X, Y ) es la función f(x, y) : R 2 R dada por f(x, y) = P(X = x, Y = y). 84

86 Es evidente que la función de densidad de un vector discreto es una función no negativa y tal que f(x, y) = 1. x y Recíprocamente, toda función no negativa f(x, y) : R 2 R que sea estrictamente positiva únicamente en un subconjunto discreto de R 2 y que sume uno, se llama función de densidad conjunta. Ejemplo 12 La función { ( 1 ) x+y f(x, y) = 2 para x, y = 1, 2,... 0 otro caso. es de densidad pues es no negativa y suma uno, x,y=1 f(x, y) = x,y=1 1 2 x+y = ( 1 2 x )2 = 1. x=1 La definición de función de densidad de un vector continuo es la siguiente. Definición 25 Sea (X, Y ) un vector continuo con función de distribución F(x, y). Se dice que (X, Y ) es absolutamente continuo si existe una función no negativa e integrable f(x, y) : R 2 R tal que para todo (x, y) en R 2 se cumple la igualdad F(x, y) = x y f(u, v)dv du. A la función f(x, y) se le denota por f X,Y (x, y) y se le llama función de densidad conjunta de X y Y. Es claro que la función de densidad conjunta f(x, y) de un vector absolutamente continuo es no negativa y cumple la condición f(x, y)dx dy = 1. Recíprocamente, toda función no negativa f : R 2 R que integre uno se llama función de densidad. En particular, cuando f(x, y) es continua, f(x, y) = 2 F(x, y). y x 85

87 EJERCICIOS 258. Grafique y demuestre que las siguientes son funciones de densidad. a) f(x, y) = 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f(x, y) = 4xy para 0 x, y 1. c) f(x, y) = 6x 2 y para 0 x, y 1. d) f(x, y) = 9 4 x2 y 2 para 1 x, y 1. e) f(x, y) = e x y para x, y > 0. f ) f(x, y) = e x para 0 < y < x Calcule la constante c que hace a f una función de densidad. a) f(x) = cx para 0 x 1. b) f(x, y) = cx para 0 < y < x < 1. c) f(x, y) = c(x + y) para 0 x, y 1. d) f(x, y) = c(x xy) para 0 < x < 1, 0 < y < 2. e) f(x, y, z) = c(x + y + z) para 0 x, y, z 1. f ) f(x 1,...,x n ) = c(x x n ) para 0 x 1,...,x n Encuentre la función de densidad del vector (X, Y ) cuya función de distribución es a) F(x, y) = (1 e x )( π tan 1 y) para x 0. b) F(x, y) = 1 e x e y + e x y para x, y Encuentre la función de distribución del vector (X, Y ) cuya función de densidad es a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = e x y para x, y > 0. c) f(x, y) = e y para 0 < x < y. d) f(x, y) = 2e x y para 0 < x < y Sean f(x) y g(x) dos funciones de densidad. Demuestre o proporcione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones. a) f(x)g(x) es una función de densidad univariada. b) f(x)g(y) es una función de densidad bivariada Sean X y Y independientes ambas con distribución exp(λ). Encuentre la función de densidad y de distribución de a) W = máx{x, Y }. b) W = mín{x, Y }. 86

88 3.4. Distribución marginal Dada la función de distribución conjunta F(x, y) de un vector aleatorio (X, Y ) es posible obtener la función de distribución de cada variable aleatoria por separado mediante el siguiente procedimiento. Definición 26 Sea (X, Y ) un vector con función de distribución F(x, y). A la función F(x) = lím F(x, y) y se le conoce como la función de distribución marginal de X. Análogamente se define la función de distribución marginal de Y como F(y) = lím F(x, y). x No es difícil verificar que las funciones de distribución marginales son efectivamente funciones de distribución univariadas. En el caso de que se tenga una función de densidad conjunta, se pueden obtener las funciones de densidad individuales como indica la siguiente definición. Definición 27 Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f(x, y). A la función f(x) = f(x, y)dy se le conoce como la función de densidad marginal de X. Análogamente se define la función de densidad marginal de Y como f(y) = f(x, y)dx. Si (X, Y ) es un vector discreto la integral se reemplaza por una suma. Tampoco es difícil comprobar que las funciones de densidad marginales son efectivamente funciones de densidad univariadas. Las dos definiciones anteriores pueden extenderse de manera evidente cuando se tenga un vector aleatorio de cualquier dimensión finita. 87

89 EJERCICIOS 264. Suponiendo el caso absolutamente continuo, demuestre que la función de densidad marginal, x f X (x) = es efectivamente una función de densidad. f X,Y (x, y)dy 265. Demuestre que la función de distribución marginal x F X (x) = lím y F X,Y (x, y) es efectivamente una función de distribución Encuentre las funciones de distribución marginales del vector (X, Y ) cuya función de distribución conjunta es a) F(x, y) = (1 e x )(1 e y ) para x, y > 0. b) F(x, y) = (1 e x2 )(1 e y2 ) para x, y > Encuentre las funciones de densidad marginales del vector (X, Y ) cuya función de densidad conjunta es a) f(x, y) = 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f(x, y) = 4xy para 0 < x, y < 1. c) f(x, y) = 24x(1 x y) para x, y > 0 y x + y < 1. d) f(x, y) = 1 (x + 2y) para 0 < x < 2 y 0 < y < 1. 4 e) f(x, y) = 2 (4x + y) para 0 < x, y < 1. 5 f ) f(x, y) = 1 x para 0 < y < x < Sea 0 < a < 1 y defina la función f(x, y) = a x (1 a) y para x, y = 1, 2,... a) Demuestre que f(x, y) es una función de densidad. b) Calcule las funciones de densidad marginales Distribución condicional La siguiente definición es una extensión del concepto elemental de probabilidad condicional de eventos. 88

90 Definición 28 Sea (X, Y ) un vector con función de densidad f X,Y (x, y) y sea y tal que f Y (y) 0. A la función x f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) se le conoce como la función de densidad condicional de X dado que Y toma el valor y. No es difícil comprobar que la función x f X Y (x y) es efectivamente una función de densidad, tanto en el caso discreto como en el continuo. Observe que el valor y de Y permanece fijo y la función es vista como una función de la variable real x. Se pueden definir también funciones de distribución condicionales de la siguiente forma. Definición 29 Sea (X, Y ) un vector aleatorio absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y) y sea y tal que f Y (y) 0. A la función x F X Y (x y) = x f X Y (u y)du se le conoce como la función de distribución condicional de X dado que Y toma el valor y. Cuando el vector aleatorio (X, Y ) es discreto la integral se substituye por la suma correspondiente. Nuevamente resulta que la función x F X Y (x y) es efectivamente una función de distribución. En el caso absolutamente continuo tenemos la relación f X Y (x y) = x F X Y (x y). EJERCICIOS 269. Demuestre que la función de distribución condicional x F X Y (x y) = x es efectivamente una función de distribución. f X Y (u y)du 270. Demuestre que la función de densidad condicional x f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) es efectivamente una función de densidad. 89

91 271. Sea (X, Y ) un vector aleatorio absolutamente continuo. Demuestre la fórmula f X Y (x y) = x F X Y (x y) (Pérdida de memoria en la distribución exponencial.) Sea X con distribución exp(λ) y sea t > 0 fijo. Demuestre que la distribución condicional de X t dado que X t sigue siendo exp(λ) Calcule f X Y (x y) para las siguientes funciones de densidad conjunta. a) f(x, y) = 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f(x, y) = 4xy para 0 < x, y < 1. c) f(x, y) = 24x(1 x y) para x, y > 0 y x + y < 1. d) f(x, y) = 1 (x + 2y) para 0 < x < 2 y 0 < y < 1. 4 e) f(x, y) = 2 (4x + y) para 0 < x, y < 1. 5 f ) f(x, y) = 1 x para 0 < y < x < Calcule F X Y (x y) para las siguientes funciones de distribución conjunta. a) F(x, y) = (1 e x )( π tan 1 y) para x 0. b) F(x, y) = 1 e x e y + e x y para x, y Se hacen tres lanzamientos de una moneda equilibrada. Sea X la v.a. que denota el número de caras que se obtienen en los dos primeros lanzamientos y sea Y la v.a. que denota el número de cruces en los dos últimos lanzamientos. Calcule a) f X,Y (x, y). b) f X (x) y f Y (y). c) f Y X (y x) para x = 0, 1, Sea (X, Y ) un vector con función de densidad f X,Y (x, y) = x + y 8 para 0 x, y 2. Compruebe que f(x, y) es una función de densidad y calcule a) P(Y > X). b) P(X > 1 Y < 1). c) f X (x) y f Y (y). d) f X Y (x y) y f Y X (y x). e) F X,Y (x, y), F X (x) y F Y (y). 90

92 277. Sea (X, Y ) un vector con función de densidad f X,Y (x, y) = 8xy para 0 < x < y < 1. Compruebe que f(x, y) es una función de densidad y calcule a) P(X + Y < 1). b) P(Y < 1/2 X < 1/2). c) f X (x) y f Y (y). d) f X Y (x y) y f Y X (y x) Sea (X, Y ) un vector con función de densidad f X,Y (x, y) = 4x(1 y) para 0 < x, y < 1. Compruebe que f(x, y) es efectivamente una función de densidad y calcule a) F X,Y (x, y), F X (x) y F Y (y). b) P(X > 1/2). c) P(1/4 < Y < 3/4 X < 1/2). d) f X (x) y f Y (y). e) f X Y (x y) y f Y X (y x) Independencia de variables aleatorias Podemos ahora definir el importante concepto de independencia de variables aleatorias. Para ello usaremos la siempre existente función de distribución. Definición 30 Se dice que X y Y son independientes si para cada (x, y) en R 2 se cumple la igualdad F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y). Esta es una extensión de la definición de independencia de dos eventos A y B, P(A B) = P(A)P(B). Cuando la función de densidad conjunta f X,Y (x, y) existe entonces la igualdad anterior es equivalente a la expresión f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). El concepto de independencia puede ser extendido claramente al caso de varias variables aleatorias de la forma siguiente. Se dice que X 1, X 2,...,X n son independientes si para cualquier (x 1, x 2,...,x n ) en R n se cumple F X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,...,x n ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 ) F Xn (x n ). 91

93 Más aún, una sucesión infinita de variables aleatorias es independiente si cualquier subconjunto finito de ella lo es. Ejemplo 13 Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad f(x, y) = 4xy para 0 x, y 1. La gráfica de esta función aparece en la Figura f x,y x y Figura 3.1: Función de densidad del Ejemplo 13 La función de densidad marginal de X se calcula como sigue. Para 0 x 1, Por lo tanto Análogamente f X (x) = = 1 0 = 2x. f(x, y)dy 4xydy f X (x) = 2x para 0 x 1, f Y (y) = 2y para 0 y 1. En consecuencia X y Y son independientes pues para cada par (x, y) se cumple f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). EJERCICIOS 279. Demuestre la variable aleatoria constante X = c es independiente de cualquier otra variable aleatoria Sea X independiente de cualquier otra variable aleatoria. Demuestre que X es constante. 92

94 281. Demuestre que los eventos A y B son independientes si y solo si las variables aleatorias 1 A y 1 B lo son Determine si las siguientes son funciones de densidad de variables aleatorias independientes. a) f(x, y) = 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f(x, y) = 2x para 0 < x, y < 1. c) f(x, y) = 2e x y para 0 < x < y. d) f(x, y) = e x y para x, y > 0. e) f(x, y) = 3 8 (x2 + y 2 ) para x, y [ 1, 1] Determine si las siguientes son funciones de distribución de variables aleatorias independientes. a) F(x, y) = (1 e x )(1 e y ) para x, y > 0. b) F(x, y) = (1 e x2 )(1 e y2 ) para x, y > Demuestre que X y Y son independientes si y solo si para cualesquiera números reales x y y, P(X > x, Y > y) = P(X > x)p(y > y) Demuestre que X y Y son independientes si y solo si para cualesquiera números reales a < b y c < d, P(a < X b, c < Y d) = P(a < X b)p(c < Y d) Sean X 1,...,X n variables aleatorias independientes cada una con distribución Ber(p). Calcule P(X X n = k) para k = 0, 1,...,n Sean X y Y independientes ambas con distribución unif{1,..., n}. Encuentre la distribución de (U, V ) = (X + Y, X Y ). Determine si U y V son independientes Sean X 0 y Y 0 independientes con valores enteros y con esperanza finita. Demuestre que E(mín{X, Y }) = P(X n)p(y n). n= Sean X y Y independientes ambas con distribución unif{ 1, 1}. Sea Z = XY. Demuestre que X, Y y Z son independientes dos a dos pero no lo son en su conjunto. 93

95 290. Sean X y Y independientes con distribución Poisson(λ 1 ) y Poisson(λ 2 ) respectivamente. Demuestre que la distribución condicional de X dado que X + Y = n es bin(n, λ 1 /(λ 1 + λ 2 )) Sean X y Y independientes con distribución unif{0, 1,...,n} y unif{0, 1,...,m} respectivamente. Encuentre la función de densidad de Z = X + Y Sean X 1,...,X n independientes con distribución geo(p). Demuestre que X X n tiene distribución bin neg(n, p) Sean X y Y independientes. Encuentre la función de distribución de W en términos de F X (x) y F Y (y) cuando a) W = máx{x, Y }. b) W = mín{x, Y } Sean X y Y independientes ambas con distribución exp(λ) y sea a una constante. Calcule a) P(máx{X, Y } ax). b) P(mín{X, Y } ax) Usando la siguiente tabla, construya la función de densidad f(x, y) de un vector discreto (X, Y ) con la condición de que X y Y sean independientes. x\y Compruebe que la función que propone es efectivamente una función de densidad y que la condición de independencia se cumple Sea (X, Y ) un vector discreto con distribución de probabilidad uniforme en el conjunto {1,...,n} {1,...,m}, con n y m enteros positivos. Demuestre que X y Y son independientes Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad ( ) 1 x+y f(x, y) = c para x = 0, 1, 2 y y = 1, 2. 2 Encuentre el valor de la constante c y determine si X y Y son independientes. Calcule además las probabilidades P(X = 1), P(X = 2 Y = 2) y P(XY = 2) Sean X y Y independientes con distribución exponencial con parámetros λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que P(Y > X) = λ 1 λ 1 + λ 2. 94

96 299. Sean X y Y independientes con distribución bin(n, p) y bin(m, p) respectivamente. Demuestre que X + Y tiene distribución bin(n + m, p) a) haciendo el cálculo directamente. b) razonando probabilísticamente en términos de ensayos Bernoulli Sean X y Y independientes con distribución Poisson con parámetros λ 1 y λ 2 respectivamente. Demuestre que X + Y tiene distribución Poisson(λ 1 + λ 2 ) Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio con función de densidad f X,Y,Z (x, y, z) = 8xyz para 0 x, y, z 1. a) Compruebe que f(x, y, z) es una función de densidad. b) Calcule P(X < Y < Z) y P(X + Y + Z < 1). c) Encuentre f X,Y (x, y), f X,Z (x, z) y f Y,Z (y, z). d) Determine si X, Y y Z son independientes Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio con función de densidad f X,Y,Z (x, y, z) = 24x para 0 < x < y < z < 1. a) Compruebe que f(x, y, z) es una función de densidad. b) Calcule P(X + Y < 1) y P(Z X > 1/2). c) Encuentre f X,Y (x, y), f X,Z (x, z) y f Y,Z (y, z). d) Determine si X, Y y Z son independientes Sea X 1, X 2,... una sucesión de v.a.s independientes cada una con distribución unif[0, 1]. Demuestre que para cualquier λ > 0, lím n P(máx{X 1,...,X n } 1 λ n ) = e λ Sean X y Y independientes con distribución Poisson(λ 1 ) y Poisson(λ 2 ) respectivamente. Demuestre que E(X X + Y = n) = n λ 1 λ 1 + λ Esperanza condicional En esta sección se define el importante concepto de esperanza condicional de una variable aleatoria respecto de una σ-álgebra y se estudian algunas de sus propiedades elementales. 95

97 Definición 31 Sea X una variable aleatoria con esperanza finita y sea G una sub-σ-álgebra de F. La esperanza condicional de X dado G es una variable aleatoria denotada por E(X G) que cumple las siguientes tres propiedades: 1. Es G-medible. 2. Tiene esperanza finita. 3. Para cualquier evento G en G, E[ E(X G ) 1 G ] = E[ X 1 G ]. (3.1) El punto importante a enfatizar es que la esperanza condicional, a pesar de su nombre, no es un número (aunque puede serlo) sino una variable aleatoria. Puede demostrarse que esta variable aleatoria existe y es única casi seguramente, esto significa que si existe otra variable aleatoria con las tres propiedades de la definición anterior entonces con probabilidad uno coincide con E(X G). La esperanza condicional cumple las siguientes propiedades elementales. a) E(E(X G)) = E(X). b) Si X es G-medible entonces E(X G) = X. En particular, si c es una constante E(c G) = c. c) E(aX + Y G) = ae(x G) + E(Y G). La primera propiedad se demuestra tomando el caso particular G = Ω en la igualdad (3.1), y establece que las variables aleatorias X y E(X G) tienen la misma esperanza. Para la segunda propiedad observe que si X es G- medible entonces X mismo cumple con las tres propiedades de la definición de E(X G), por la unicidad se obtiene la igualdad casi segura. La tercera propiedad es consecuencia de la linealidad de la esperanza, de (3.1) y de la unicidad. Cuando la σ-álgebra G es la mínima respecto de la cual una función Y : Ω R es variable aleatoria, es decir G = σ(y ), entonces la esperanza condicional se escribe simplemente E(X Y ) en lugar de E(X σ(y )). Si ω es tal que Y (ω) = y entonces la variable aleatoria E(X Y ) evaluada en ω es E(X Y )(ω) = E(X Y = y) = xdf X Y (x y). No es difícil verificar los siguientes casos particulares que relacionan a la esperanza condicional con los conceptos elementales de esperanza y proba- 96

98 bilidad condicional. Para cualquier variable aleatoria X con esperanza finita, y eventos A y B, a) E(X {, Ω} ) = E(X). b) E(1 A {, Ω} ) = P(A). c) E(1 A {, B, B c, Ω} ) = P(A B)1 B + P(A B c )1 B c. La primera igualdad se sigue del hecho que E(X G) es medible respecto de G y de que cualquier función medible respecto de G = {, Ω} es constante. La tercera condición en la definición de esperanza condicional implica que esta constante debe ser E(X). La segunda igualdad es evidentemente un caso particular de la primera. Para demostrar la tercera igualdad observe que toda función medible respecto de G = {, B, B c, Ω} es constante tanto en B como en B c. Además, E[ E(1 A G ) 1 B ] = E[ 1 A 1 B ] = P(A B). Como la variable aleatoria E(1 A G) es constante en B, el lado izquierdo es igual a E(1 A G)(ω) P(B) para cualquier ω en B. De donde se obtiene E(1 A G)(ω) = P(A B) para ω en B. El análisis es análogo al considerar el evento B c y de esto se obtiene la fórmula de la tercera propiedad. Una introducción a la esperanza condicional ligeramente mas completa a la presentada en esta sección, aunque también sencilla y breve, puede encontrarse en [17]. Un tratamiento más completo puede consultarse por ejemplo en [11] o [21]. EJERCICIOS 305. Enuncie la definición de esperanza condicional de una variable respecto de una σ-álgebra Sea X una variable aleatoria con esperanza finita y sea G = {, Ω}. Demuestre que E(X G) = E(X) Demuestre que si X es G-medible entonces E(X G) = X Demuestre que si c es una constante entonces para cualquier sub-σálgebra G, E(c G) = c Sea A un evento y sea G = {, Ω}. Demuestre que E(1 A G) = P(A) Sean A y B dos eventos. Demuestre que E(1 A 1 B ) = P(A B)1 B + P(A B c )1 B c. 97

99 311. Sea (X, Y ) un vector con función de densidad f X,Y (x, y) = 3y para 0 < x < y < 1. Compruebe que f(x, y) es efectivamente una función de densidad y calcule a) P(X + Y < 1/2). b) f X (x) y f Y (y). c) E(Y ) y E(Y X = x) Sea (X, Y ) un vector con distribución uniforme en el conjunto Calcule a) P(X = Y ). b) P(X + Y 6). c) f X (x) y f Y (y). d) E(X X + Y = 6). {1,...,6} {1,...,6} Sea (X, Y ) un vector con función de densidad dada por la siguiente tabla x\y Calcule a) P(X = 2), P(X + Y = 1) y P(Y X). b) f X (x) y f Y (y). c) f Y X (y x) para x = 1, 2, 3. d) E(Y X = x) para x = 1, 2, Varianza condicional Definición 32 Sea X con segundo momento finito. La varianza condicional de X dado Y se define como la variable aleatoria dada por Var(X Y ) = E[ (X E(X Y )) 2 Y ]. La varianza condicional cumple las siguientes propiedades. 98

100 a) Var(X Y ) = E(X 2 Y ) E 2 (X Y ). b) Var(X) = E[Var(X Y )] + Var[E(X Y )]. La demostración de estas fórmulas es sencilla. La primera de ellas surge a partir de la definición al desarrollar el cuadrado y utilizar las propiedades de linealidad de la esperanza condicional. Para la segunda propiedad, tomando esperanza en a) se obtiene Por otro lado E[Var(X Y )] = E(X 2 ) E[E 2 (X Y )]. (3.2) Var[E(X Y )] = E[E 2 (X Y )] E 2 [E(X Y )] Sumando (3.2) y (3.3) se obtiene b). = E[E 2 (X Y )] E 2 (X). (3.3) EJERCICIOS 314. Demuestre nuevamente que Var(X Y ) = E(X 2 Y ) E 2 (X Y ) Demuestre nuevamente que Var(X) = E[Var(X Y )] + Var[E(X Y )] Esperanza de una función de un vector aleatorio Definición 33 Sea (X, Y ) un vector aleatorio y sea g : R 2 R una función Borel medible. Entonces se define E[g(X, Y )] = g(x, y)df X,Y (x, y). R 2 Proposición 38 Sean X y Y independientes y sean g y h dos funciones Borel medibles tales que g(x) y h(y ) tienen esperanza finita. Entonces E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]. 99

101 Demostración. E[g(X)h(Y )] = g(x)h(y)df X,Y (x, y) R 2 = g(x)h(y)df X (x)df Y (y) R 2 = E[g(X)]E[h(Y )]. En particular cuando X y Y son independientes, E(XY ) = E(X)E(Y ). El recíproco de esta afirmación es falso. Para ello véase el ejercicio 317. EJERCICIOS 316. Demuestre que si X y Y son independientes entonces 317. Demuestre que E(XY ) = E(X)E(Y ). E(XY ) = E(X)E(Y ) X, Y independientes considerando cualquiera de los siguientes ejemplos. 1/8 si (x, y) = ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1), (1, 1), a) f(x, y) = 1/2 si (x, y) = (0, 0), 0 otro caso. b) f(x, y) = 3 8 (x2 + y 2 ) para x, y [ 1, 1]. c) X con distribución uniforme en { 1, 0, 1} y Y = 1 (X 0) Sean X y Y independentes. Diga falso o verdadero justificando en cada caso. a) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). b) Var(X Y ) = Var(X) Var(Y ). c) Var(XY ) = Var(X)Var(Y ) Sean X y Y independientes. Demuestre que Var(XY ) = Var(X)Var(Y ) + E 2 (X)Var(Y ) + E 2 (Y )Var(X) Sean X 1,...X n independientes con la misma distribución, y sea S n = X X n. Suponiendo que las esperanzas indicadas existen, demuestre que E(X 1 /S n ) = 1/n. Concluya que para m n, E(S m /S n ) = m/n. 100

102 321. Sea X 1,...,X n variables aleatorias independientes con idéntica distribución y con esperanza finita. Demuestre que E(X 1 X X n = k) = k n Sea (X, Y ) un vector aleatorio discreto con función de densidad dada por la siguiente tabla x\y a) Grafique f(x, y) y compruebe que efectivamente se trata de una función de densidad conjunta. b) Calcule y grafique las densidades marginales f X (x) y f Y (y). Verifique que ambas son funciones de densidad. c) Demuestre que X y Y no son independientes. d) Calcule E(XY ). e) Calcule f X+Y (u) Sea (X, Y ) un vector discreto con función de densidad dada por la siguiente tabla x\y /18 3/18 1/18 2 3/18 5/18 1/18 3 1/18 1/18 1/18 a) Grafique f(x, y) y compruebe que efectivamente es una función de densidad conjunta. b) Calcule y grafique las densidades marginales f X (x) y f Y (y). Verifique que ambas son efectivamente funciones de densidad. c) Demuestre que X y Y no son independientes. d) Calcule E(XY ). e) Calcule f X+Y (u) Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad dada por { 8xy si 0 < y < x < 1, f(x, y) = 0 otro caso. a) Grafique f(x, y). b) Encuentre y grafique las densidades marginales f X (x) y f Y (y). Verifique que ambas son efectivamente funciones de densidad. c) Demuestre que X y Y no son independientes. d) Calcule E(XY ). 101

103 3.10. Covarianza En esta sección se define y estudia la covarianza entre dos variables aleatorias. Una interpretación de este número, ligeramente modificado, será dada en la siguiente sección. Definición 34 La covarianza de X y Y, denotada por Cov(X, Y ), es el número Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))]. Para que la definición anterior tenga sentido se necesita suponer que las esperanzas E(X), E(Y ) y E(XY ) sean finitas. Estudiamos a continuación algunas propiedades sencillas de la covarianza. Proposición 39 La covarianza satisface las siguientes propiedades. 1. Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). 2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). 3. Cov(X, X) = Var(X). 4. Cov(a, Y ) = 0, a constante. 5. Cov(aX, Y ) = acov(x, Y ), a constante. 6. Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ). 7. X,Y independientes = Cov(X, Y ) = Cov(X, Y ) = 0 X,Y independientes. Demostración. Para probar (1) se usa la propiedad lineal de la esperanza, Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))] = E [XY Y E(X) XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) E(X)E(Y ). Las propiedades (2), (3) y (4) se siguen directamente de la definición, lo mismo que (5) y (6) al hacer uso de las propiedades de linealidad de la esperanza. La proposición (7) se obtiene fácilmente de (1) pues E(XY ) = E(X)E(Y ) cuando X y Y son independientes. Finalmente damos un ejemplo 102

104 para (8). Sea (X, Y ) un vector aleatorio discreto con función de densidad 1/8 si (x, y) {( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1)}, f X,Y (x, y) = 1/2 si (x, y) = (0, 0), 0 otro caso. Entonces X y Y tienen idénticas densidades marginales, 1/4 si x { 1, 1}, 1/4 si y { 1, 1}, f X (x) = 1/2 si x = 0, f Y (y) = 1/2 si y = 0, 0 otro caso. 0 otro caso. Puede entonces comprobarse que Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0. Sin embargo X y Y no son independientes pues en particular P(X = 0, Y = 0) = 1 2, mientras que P(X = 0)P(Y = 0) = 1 4. EJERCICIOS 325. Defina Cov(X, Y ) y mencione tres de sus propiedades Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) Cov(X, Y ) = 0, Cov(Y, Z) = 0 = Cov(X, Z) = 0. b) Cov(X, Y ) > 0, Cov(Y, Z) > 0 = Cov(X, Z) > 0. c) Cov(X, Y ) = a,cov(y, Z) = a = Cov(X, Z) = a Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) Cov(X, Y ) 0. b) Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) con a, b constantes. c) Cov(X, ay + b) = acov(x, Y ) + b con a, b constantes Sea a un número real cualquiera. Encuentre X y Y tales que a) Cov(X, Y ) = a. b) Cov(X, Y ) = a. c) Cov(X, Y ) = Demuestre que a) Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). 103

105 b) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). c) Cov(X, X) = Var(X). d) Cov(X, X) = Var(X). e) Cov(aX + b, Y ) = acov(x, Y ). f ) Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ) Demuestre que a) X, Y independientes = Cov(X, Y ) = 0. b) Cov(X, Y ) = 0 X, Y independientes Demuestre que 332. Demuestre que Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) ± 2 Cov(X, Y ). a) Var(X X n ) = n m b) Cov( X i, Y j ) = i=1 j=1 n Var(X k ) + 2 k=1 j<k n m Cov(X i, Y j ). i=1 j= Sea X 1,...,X n independientes. Demuestre que n Var(X X n ) = Var(X k ). k=1 Cov(X j, X k ) Sean X 1,...,X n independientes con idéntica distribución. Demuestre que para k = 1,...,n en donde X = 1 n n X k. k=1 Cov(X k X, X) = 0, 335. Calcule la covarianza de X y Y cuya distribución conjunta es uniforme en el conjunto {1,...,n} {1,...,n} Calcule la covarianza de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla. x\y /12 2/12 3/12 1 3/12 2/12 1/ Calcule la covarianza de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla, c es una constante. x\y c c 2c 1 3c c 3c 104

106 338. Calcule la covarianza de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla. x\y Calcule la covarianza de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla, c es una constante. x\y c c 0.4 c c Calcule la covarianza de X y Y cuya función de densidad conjunta es a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = 3x 2 y para x [ 1, 1], y [0, 1]. c) f(x, y) = 1 2 e x para y < x. d) f(x, y) = e x y para x, y > Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación de dos variables aleatorias es un número que mide el grado de dependencia lineal que existe entre ellas. Definición 35 El coeficiente de correlación de X y Y, denotado por ρ(x, Y ), es el número ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ), en donde 0 < Var(X),Var(Y ) <. La interpretación dada al coeficiente de correlación se justifica a partir de los siguientes resultados. 105

107 Proposición 40 La coeficiente de correlación satisface las siguientes propiedades. 1. X,Y independientes = ρ(x, Y ) = ρ(x, Y ) = 0 X,Y independientes (excepto en el caso normal) ρ(x, Y ) ρ(x, Y ) = 1 si y solo si existen constantes a y b tales que, con probabilidad uno, Y = ax + b con a > 0 si ρ(x, Y ) = 1 y a < 0 si ρ(x, Y ) = 1. Demostración. (1) Si X y Y son independientes entonces Cov(X, Y ) = 0 y por lo tanto ρ(x, Y ) = 0. (2) Recuerde que la condición Cov(X, Y ) = 0 no implica necesariamente que X y Y sean independientes. (3) Suponga primero que X y Y son tales que E(X) = E(Y ) = 0, y Var(X) = Var(Y ) = 1. Para cualquier valor de λ, 0 Var(X + λy ) = E [ (X + λy ) 2] E 2 [X + λy ] = 1 + 2λE(XY ) + λ 2. El caso λ = 1 produce el resultado E(XY ) 1 mientras que para λ = 1 se obtiene E(XY ) 1. Es decir, 1 E(XY ) 1. Ahora se aplica este resultado a las variables aleatorias X µ X σ X y Y µ Y σ Y, que evidentemente son centradas y con varianza unitaria. Entonces [( ) ( )] X µx Y µy 1 E 1. σ X Esto es precisamente lo enunciado en (3) pues el término de enmedio es ρ(x, Y ). Ahora se demuestra (4). Si X y Y son tales que Y = ax + b con a 0 y b constantes entonces ρ(x, Y ) = σ Y Cov(X, ax + b) = a Var(x)Var(aX + b) a Por lo tanto ρ(x, Y ) = 1 cuando a > 0 y ρ(x, Y ) = 1 cuando a < 0. Inversamente, suponga que X y Y son tales que ρ(x, Y ) = 1. Defina U = X µ X σ X y V = Y µ Y σ Y. 106

108 Entonces claramente E(U) = E(V ) = 0 y Var(U) = Var(V ) = 1. Por lo tanto ρ(u, V ) = E(UV ). Es fácil ver también que ρ(u, V ) = ρ(x, Y ) = 1. Si ρ(u, V ) = 1 entonces Var(U V ) = E[(U V ) 2 ] E 2 (U V ) = E[(U V ) 2 ] = 2[1 E(UV )] = 0. Esto significa que con probabilidad uno, la v.a. U V es constante. Esto es, para alguna constante c, con probabilidad uno, U V = c. Pero esta constante c debe ser cero pues E(U V ) = 0. Por lo tanto, X µ X σ X = Y µ Y σ Y, de donde se obtiene Y = µ Y + σ Y σ X (X µ X ). Esto establece una relación lineal directa entre X y Y. En cambio, si ρ(u, V ) = 1 entonces Var(U + V ) = E[(U + V ) 2 ] E 2 (U + V ) = E[(U + V ) 2 ] = 2[1 + E(UV )] = 0. Esto significa nuevamente que con probabilidad uno, la v.a. U + V es constante. Esto es, para alguna constante c, con probabilidad uno, U + V = c. Nuevamente la constante c es cero pues E(U + V ) = 0. Por lo tanto, X µ X σ Y = Y µ Y σ Y, de donde se obtiene Y = µ Y σ Y (X µ X ). Esto establece una relación σ X lineal, ahora inversa, entre X y Y. Uniendo los últimos dos resultados se obtiene que cuando ρ(x, Y ) = 1, con probabilidad uno, ( Y = ρ(x, Y ) σ ) ( ) Y σ Y X + µ Y ρ(x, Y )µ X. σ X } {{ } a σ X } {{ } b Cuando ρ(x, Y ) = 0 se dice que X y Y son no correlacionadas y cuando ρ(x, Y ) = 1 se dice que X y Y están perfectamente correlacionadas positiva o negativamente de acuerdo al signo de ρ(x, Y ). Proposición 41 Si (X, Y ) es un vector con distribución normal bivariada y ρ(x, Y ) = 0 entonces X y Y son independientes. 107

109 Demostración. La función de densidad normal bivariada esta dada por la siguiente expresión f(x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 [ (x ) 1 2 ( )( µx x µx y µy exp{ 2(1 ρ 2 2ρ ) σ X en donde µ X = E(X), σx 2 = Var(X), µ Y = E(Y ), σy 2 = Var(Y ), y ρ ( 1, 1). Se pueden calcular directamente las funciones de densidad marginales y comprobar que f(x) = y f(y) = σ X 1 exp{ (x µ X ) 2 /2σX} 2 2πσX 2 1 exp{ (y µ Y ) 2 /2σ 2 2πσY 2 Y }, es decir, X tiene distribución N(µ X, σx 2 ) y Y tiene distribución N(µ Y, σy 2 ). Después de hacer algunos cálculos sencillos se puede demostrar que ρ(x, Y ) = ρ y comprobar finalmente que cuando ρ = 0 se verifica la igualdad f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). En resumen tenemos la siguiente tabla. Propiedades del coeficiente de correlación 1. X,Y indep = ρ(x, Y ) = 0 2. ρ(x, Y ) = 0 X,Y indep (excepto caso normal) 3. ρ(x, Y ) [ 1, 1] 4. ρ(x, Y ) = 1 Y = ax + b σ Y ) ( ) ] y 2 µy + } σ Y EJERCICIOS 341. Escriba la definición y una interpretación del coeficiente de correlación. Mencione además tres de sus propiedades Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) ρ(x, Y ) = 0, ρ(y, Z) = 0 = ρ(x, Z) = 0. b) ρ(x, Y ) > 0, ρ(y, Z) > 0 = ρ(x, Z) > 0. c) ρ(x, Y ) > 0, ρ(y, Z) > 0 = ρ(x, Z) > 0. d) ρ(x, Y ) = 1, ρ(y, Z) = 1 = ρ(x, Z) = 1. e) ρ(x, Y ) = 1, ρ(y, Z) = 1 = ρ(x, Z) = 1. f ) ρ(x, Y )ρ(y, Z) = 1 = ρ(x, Z) = 1. g) ρ(x, Y ) = a, ρ(y, Z) = a = ρ(x, Z) = a. 108

110 343. Diga falso verdadero. Demuestre en cada caso. a) ρ(x, Y ) = ρ(y, X). b) ρ(ax, Y ) = a ρ(x, Y ), a constante. c) ρ(x + a, Y ) = ρ(x, Y ), a constante. d) ρ(ax + b, Y ) = a ρ(x, Y ) + b; a, b constantes. e) ρ(x 1 + X 2, Y ) = ρ(x 1, Y ) + ρ(x 2, Y ) Sea a un número en [ 1, 1]. Encuentre X y Y tales que ρ(x, Y ) = a Demuestre que a) X, Y independientes = ρ(x, Y ) = 0. b) ρ(x, Y ) = 0 X, Y independientes Demuestre que a) 1 ρ(x, Y ) 1 b) ρ(x, X) = 1. c) ρ(x, X) = 1. d) ρ(x, ax + b) = 1 si a > 0. e) ρ(x, ax + b) = 1 si a < 0. f ) ρ(x, ax + b) = 0 si a = Calcule el coeficiente de correlación de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla. x\y /8 1/4 1 1/2 1/ Calcule el coeficiente de correlación de X y Y cuya función de densidad conjunta está dada por la siguiente tabla. x\y /9 1/9 1/9 4 1/9 1/9 1/9 6 1/9 1/9 1/ Calcule el coeficiente de correlación de X y Y con distribución conjunta uniforme en el conjunto a) {1,...,n} {1,...,n}. b) [ 1, 1] [ 1, 1] Sea X con distribución bin(n, p) y sea Y = n X. Demuestre que Cov(X, Y ) = np(1 p) y por lo tanto ρ(x, Y ) =

111 351. Calcule el coeficiente de correlación de X y Y cuya función de densidad conjunta es a) f(x, y) = 1 2 sin(x + y) para x, y [0, π/2]. b) f(x, y) = 1 2 e x para y < x. c) f(x, y) = e x y para x, y > Sean X y Y independientes e idénticamente distribuidas. Demuestre que ρ(x + Y, X Y ) = Esperanza y varianza de un vector aleatorio Sea X el vector aleatorio (X 1,...,X n ). Se define la esperanza de X como el vector (E(X 1 ),...,E(X n )), cuando cada coordenada existe. La varianza de X se define como la matriz cuadrada E [ (X E(X)) t (X E(X)) ], en donde t significa transpuesta del vector. Observe que (X E(X)) t es un vector columna de dimensión n 1, mientras que (X E(X)) es un vector renglón de dimensión 1 n. De modo que el producto de estos dos vectores en el orden indicado resulta en una matriz cuadrada de dimensión n n cuyo elemento general es E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] = Cov(X i, X j ). Entonces Var(X 1 ) Cov(X 1, X 2 ) Cov(X 1, X n ) Cov(X 1, X 2 ) Var(X 2 ) Cov(X 2, X n ) Var(X) = Cov(X 1, X n ) Cov(X 2, X n ) Var(X n ) La matriz Var(X) se llama matriz de varianzas y covarianzas del vector X. Es una matriz simétrica pues Cov(X i, X j ) = Cov(X j, X i ). Además es positiva definida, esto significa que para cualquier vector θ = (θ 1,...,θ n ) de R n se cumple la desigualdad Var(X)θ, θ = n Cov(X i, X j )θ j θ i 0, i,j=1 en donde, denota el producto interior usual de R n. n n. EJERCICIOS 353. Calcule la esperanza y varianza del vector aleatorio (X, Y ) cuya función de densidad conjunta es a) f(x, y) = 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f(x, y) = 4xy para x, y [0, 1]. 110

112 3.13. Distribuciones multivariadas discretas Estudiamos a continuación algunas distribuciones discretas de vectores aleatorios. Distribución multinomial. Suponga que se tiene un experimento aleatorio con k posibles resultados distintos. Las probabilidades para cada uno de estos resultados son respectivamente p 1,...,p k. Entonces p 1 + +p k = 1. Ahora suponga que se tienen n ensayos sucesivos independientes del experimento anterior y defina las variables aleatorias discretas X 1,...,X k como aquellas que registran el número de veces que se obtienen cada uno de los k posibles resultados en los n ensayos. Entonces se dice que X 1,...,X k tienen una distribución multinomial y su función de densidad conjunta es ( ) n f(x 1,...,x n ) = p x 1 x 1,...,x 1 pxn n n para x 1,...,x n = 0, 1,...,n tales que x x k = n. Los parámetros de esta distribución son entonces el número de ensayos n, el número de resultados distintos k en cada ensayo y las probabilidades p 1,...,p k. El factor que aparece en paréntesis en la función de densidad conjunta se conoce como coeficiente multinomial y se define como sigue ( ) n = x 1,...,x n n! x 1! x n!. Se dice entonces que (X 1,...,X k ) tiene distribución multinomial(n, k, p 1,...,p k ). Observe que cuando únicamente hay dos posibles resultados en cada ensayo (es decir k = 2) la distribución multinomial se reduce a la distribución binomial. EJERCICIOS 354. Demuestre que la función de densidad de la distribución multinomial efectivamente lo es Sea X = (X 1,...,X k ) con distribución multinomial(n, k, p 1,...,p k ). Demuestre que X i tiene distribución marginal bin(n, p i ), para i = 1,...,k Sea X = (X 1,...,X k ) con distribución multinomial(n, k, p 1,...,p k ). Demuestre que E(X) = (np 1,...,np k ) y que { npi (1 p [Var(X)] ij = i ) si i = j, np i p j si i j. Distribución hipergeométrica multivariada. Suponga que se tienen N objetos de los cuales N 1 son de un primer tipo, N 2 son de un segundo 111

113 tipo y asi sucesivamente con N k objetos de tipo k. Entonces N N k = N. Suponga que de la totalidad de objetos se obtiene una muestra sin reemplazo de tamaño n, y defina la variables X 1,...,X k como aquellas que representan el número de objetos seleccionados de cada tipo. Se dice entonces que X 1,...,X k tienen una distribución hipergeométrica multivariada y su función de densidad conjunta es ( ) ( ) N1 Nk x 1 x k f(x 1,...,x k ) = ( ) N n en donde cada x i toma valores en el conjunto {0, 1,...,n} pero sujeto a x i N i y además debe cumplirse que x 1 + +x k = n. Se dice entonces que (X 1,...,X k ) tiene distribución hipergeométrica multivariada (N, N 1,...,N k, n). Observe que cuando únicamente hay dos tipos de objetos (es decir k = 2) la distribución hipergeométrica multivariada se reduce a la distribución hipergeométrica univariada. Véase la sección de ejercicios para la esperanza y varianza de la distribución hipergeométrica multivariada. EJERCICIOS 357. Demuestre que la función de densidad de la distribución hipergeométrica multivariada efectivamente lo es Sea X = (X 1,...,X k ) con distribución hipergeométrica multivariada con parámetros (N, N 1,...,N k, n). Demuestre que X i tiene distribución hipergeométrica univariada con parámetros (N, N i, n), para i = 1,...,k Sea X = (X 1,...,X k ) con distribución hipergeométrica multivariada con parámetros (N, N 1,...,N k, n). Demuestre que E(X) = (n N 1 N,...,nN k N ) y que n Ni [Var(X)] ij = N N N i N n si i = j, N N 1 n Ni N Nj N n N si i j. N Distribuciones multivariadas continuas Ahora estudiamos algunas distribuciones continuas de vectores aleatorios. Distribución normal multivariada. Se dice que las variables aleatorias continuas X y Y tienen una distribución normal bivariada si su función de densidad conjunta es f(x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 112

114 [ (x ) 1 2 ( )( µx x µx y µy exp{ 2(1 ρ 2 2ρ ) σ X σ X σ Y ) ( ) ] y 2 µy + } σ Y para cualesquiera valores reales de x y y, y en donde 1 < ρ < 1, σ X > 0, σ Y > 0, y µ X, µ Y dos constantes reales sin restricción. Se escribe X N(µ X, σx 2, µ Y, σy 2, ρ). Puede demostrarse que X tiene una distribución marginal N(µ X, σx 2 ) y Y tiene distribución marginal N(µ Y, σy 2 ). Además el parámetro ρ resulta ser el coeficiente de correlación entre X y Y. Véase el ejercicio 362 en la página 113 acerca de un ejemplo en el cual las densidades marginales de un vector bivariado son normales pero la distribución conjunta no lo es. Cuando µ X = µ Y = 0 y σ X = σ Y = 1 la distribución se llama normal bivariada estándar. EJERCICIOS 360. Demuestre que la función de densidad de la distribución normal bivariada efectivamente lo es Sea (X, Y ) un vector con distribución normal bivariada N(µ X, σx 2, µ Y, σy 2, ρ). Demuestre que X tiene distribución marginal N(µ X, σy 2 ) y Y tiene distribución marginal N(µ Y, σy 2 ). Véase el siguiente ejercicio para verificar que el recíproco de este resultado es falso Sea f(x, y) la función de densidad normal bivariada estándar con ρ = 0. Defina { 2f(x, y) si xy < 0, g(x, y) = 0 si xy 0. Demuestre que g(x, y) es una función de densidad bivariada que no tiene distribución normal pero cuyas densidades marginales son normales Sea (X, Y ) un vector con distribución normal bivariada (µ X, σx 2, µ Y, σy 2, ρ). Demuestre que E(X) = (µ X, µ Y ), ρ(x, Y ) = ρ y que ( ) σ 2 Var(X, Y ) = X ρσ X σ Y. ρσ X σ Y 364. Sea (X, Y ) un vector con distribución normal bivariada (µ X, σx 2, µ Y, σy 2, ρ). Demuestre que la distribución condicional de X dado que Y = y es normal con media µ Y + ρ σ Y σ X (x µ X ) y varianza σy 2 (1 ρ2 ), y que la distribución condicional de Y dado que X = x es normal con media µ X + ρ σ X σy (y µ Y ) y varianza σx 2 (1 ρ2 ) σ 2 Y 113

115 Capítulo 4 Transformaciones Si X es una variable aleatoria con distribución conocida y φ es una función tal que Y = φ(x) es otra variable aleatoria cuál es la distribución de Y? En este capítulo se da respuesta a esta pregunta tanto en el caso unidimensional como en el caso de vectores aleatorios. En particular, se encuentran fórmulas explícitas para la función de densidad de la suma, resta, producto y cociente de dos variables aleatorias absolutamente continuas Transformación de una variable aleatoria Suponga que X es una variable aleatoria y φ es una función tal que Y = φ(x) es otra variable aleatoria. En esta sección se estudia un resultado que provee de una fórmula para la función de densidad de Y en términos de la función de densidad de X. Gráficamente Ω X R φ R Y =φ(x) Teorema 1 (Teorema de cambio de variable) Sea X una variable aleatoria continua con valores dentro del intervalo (a, b) R y con función de densidad f X (x). Sea φ : (a, b) R una función continua, estrictamente creciente o decreciente y con inversa φ 1 diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = φ(x) toma valores dentro del intervalo φ(a, b) y tiene función de densidad f Y (y) = f X (φ 1 (y)) d dy φ 1 (y) para y φ(a, b). 114

116 Demostración. Suponga primero el caso φ estrictamente creciente. Entonces Derivando Para φ estrictamente decreciente F Y (y) = P(Y y) = P(φ(X) y) = P(X φ 1 (y)) = F X (φ 1 (y)). f Y (y) = f X (φ 1 (y)) d dy φ 1 (y). F Y (y) = P(Y y) = P(φ(X) y) = P(X φ 1 (y)) = 1 F X (φ 1 (y)). Entonces [ f Y (y) = f X (φ 1 (y)) d ] dy φ 1 (y). En cualquiera caso se obtiene el resultado del teorema. Ejemplo 14 (Distribución log normal) Sea X con distribución N(µ, σ 2 ) y sea φ la función estrictamente creciente y = φ(x) = e x con inversa diferenciable φ 1 (y) = lny. Entonces la variable aleatoria Y = e X toma valores en el intervalo φ(, ) = (0, ) y aplicando la proposición anterior su función de densidad es f Y (y) = 1 y 2πσ 2 exp ( ) (lny µ)2 2σ 2 para y (0, ). A la distribución de Y se le conoce como la distribución log normal(µ, σ 2 ). Se puede demostrar que E(Y ) = exp(µ + σ2 2 ) Var(Y ) = exp(2µ + 2σ 2 ) exp(2µ + σ 2 ). EJERCICIOS 365. Sea X con distribución unif(0, 1) y sea λ > 0. Demuestre que la variable aleatoria Y = (lnx)/λ tiene distribución exp(λ) Sea X con distribución exp(λ). Encuentre la función de densidad y de distribución de Y = 1 exp( λx) Encuentre la distribución de Y = 1/X cuando X tiene distribución 115

117 a) unif(0, 1). b) exp(λ) Encuentre la distribución de Y = X n para cada n en N cuando X tiene distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ) Sea X con distribución unif( 1, 1). Encuentre la función de densidad de Y = X Sea X absolutamente continua con función de distribución F(x). Demuestre que Y = F(X) tiene distribución unif[0, 1] Encuentre la función de densidad de Y = 1/X cuando X tiene función de densidad 1/2 si 0 < x 1, f X (x) = 1/(2x 2 ) si x > 1, 0 otro caso Sea X con distribución unif(a, b). Encuentre la distribución de la variable aleatoria Y = X/(b X) Transformación de un vector aleatorio Suponga ahora que (X, Y ) es un vector con función de densidad conocida y φ es una función tal que (U, V ) = φ(x, Y ) es otro vector aleatorio. El problema es encontrar la función de densidad del nuevo vector (U, V ). Gráficamente Ω (X,Y ) R 2 φ R 2 (U,V )=φ(x,y ) Teorema 2 (Teorema de cambio de variable) Sea (X, Y ) un vector continuo con valores en I R 2 y con función de densidad f X,Y (x, y). Sea φ(x, y) : I R 2 una función continua con inversa φ 1 (u, v) diferenciable. Entonces el vector (U, V ) = φ(x, Y ) toma valores en φ(i) y tiene función de densidad f U,V (u, v) = f X,Y (φ 1 (u, v)) J(u, v) para (u, v) φ(i) (4.1) en donde J(u, v) = φ 1 1 u φ 1 2 u φ 1 1 v φ 1 2 v. 116

118 Demostración (intuitiva). Sea con inversa (U, V ) = φ(x, Y ) = (φ 1 (X, Y ), φ 2 (X, Y )) (X, Y ) = φ 1 (U, V ) = (φ 1 1 (U, V ), φ 1 2 (U, V )). Sea A el cuadrado de área infinitesinal de esquinas con coordenadas (x, y), (x+ dx, y), (x, y+dy) y (x+dx, y+dy). Bajo la transformación φ las coordenadas de las esquinas del cuadrado A se transforman en las siguientes coordenadas (x, y) (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)). (x + dx, y) (φ 1 (x + dx, y), φ 2 (x + dx, y)). = (φ 1 (x, y) + x φ 1(x, y)dx, φ 2 (x, y) + x φ 2(x, y)dx. (x, y + dy) (φ 1 (x, y + dy), φ 2 (x, y + dy)). = (φ 1 (x, y) + y φ 1(x, y)dy, φ 2 (x, y) + y φ 2(x, y)dy. (x + dx, y + dy) (φ 1 (x + dx, y + dy), φ 2 (x + dx, y + dy)). = (φ 1 (x, y) + x φ 1(x, y)dx + y φ 1(x, y)dy, φ 2 (x, y) + x φ 2(x, y)dx + y φ 2(x, y)dy). Sea B el elemento de área φ(a). Entonces P((X, Y ) A) = P((U, V ) B). Por lo tanto f X,Y (x, y)dxdy = f U,V (u, v) Área de B. En donde Área de B = φ 1 x φ 1 = x φ 2 x φ 2 y φ 2 x φ 1 y φ 2 y φ 1 y dxdy. dxdy Además J(x, y) = De esta ecuación obtenemos 1. Por lo tanto J(u, v) dxdy f X,Y (x, y)dxdy = f U,V (u, v) J(u, v). f U,V (u, v) = f X,Y (φ 1 1 (u, v), φ 1 2 (u, v)) J(u, v). 117

119 Como ejemplo de aplicación de la proposición anterior, en las secciones siguientes utilizaremos la fórmula (4.1) para encontrar expresiones para la función de densidad de la suma, diferencia, producto y cociente de dos variables aleatorias. Las fórmulas generales sobre transformaciones encontradas en estas dos primeras secciones se resumen en la siguiente tabla. Transformación de variables aleatorias 1. Y = φ(x) = f Y (y) = f X (φ 1 (y)) d dy φ 1 (y) 2. (U, V ) = φ(x, Y ) = f U,V (u, v) = f X,Y (φ 1 (u, v)) J(u, v) en donde J(u, v) = φ 1 1 u φ 1 2 u φ 1 1 v φ 1 2 v EJERCICIOS 373. Sean X y Y independientes ambas con distribución unif(0, 1). Encuentre la función de densidad del vector a) (X, X + Y ). b) (X + Y, X Y ) Sean X y Y independientes ambas con distribución unif( 1, 1). Encuentre la función de densidad de a) (X + Y, X Y ). b) Y X. c) (X Y, Y X) Sea (X, Y ) un vector con distribución uniforme en el círculo unitario {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Encuentre la función de densidad del vector (R, Θ) = ( X 2 + Y 2, arctan(y/x)) Distribución de la suma (convolución) El siguiente resultado proporciona una fórmula para la función de densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas. 118

120 Proposición 42 Sea (X, Y ) un vector continuo con función de densidad conjunta f X,Y (x, y). Entonces X + Y tiene función de densidad f X+Y (u) = f X,Y (u v, v)dv. (4.2) Demostración. Sea φ : R 2 R 2 la transformación con inversa φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)) = (x + y, y) = (u, v) φ 1 (u, v) = (φ 1 1 = (u v, v) = (x, y). (u, v), φ 1 2 (u, v)) El Jacobiano de la transformación inversa es φ 1 1 φ 1 1 J(u, v) = u v φ 1 2 φ 1 = u v = 1. Por la fórmula (4.1) la función de densidad de (X + Y, Y ) es f X+Y,Y (u, v) = f X,Y (u v, v). Integrando respecto de v se obtiene (4.2). Observe que haciendo el cambio de variable z(v) = u v en (4.2) se obtiene la expresión equivalente f X+Y (u) = f X,Y (z, u z)dz. (4.3) En particular, cuando X y Y son independientes la fórmula (4.2) se reduce a f X+Y (u) = f X (u v)f Y (v)dv. Segunda demostración. Se puede demostrar la proposición anterior mediante el procedimiento usual de encontrar primero la función de distribución de X+Y y después derivar para encontrar la función de densidad. Por definición F X+Y (u) = P(X + Y u) = f X,Y (x, y)dy dx = {x+y u} u x 119 f X,Y (x, y)dy dx.

121 Derivando respecto de u se obtiene f X+Y (u) = f X,Y (x, u x)dx, que corresponde a la expresión (4.3) equivalente a (4.2). Definición 36 La convolución de dos funciones de densidad continuas f 1 y f 2, es una función denotada por f 1 f 2 y definida como sigue (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x y)f 2 (y)dy. En consecuencia, si X y Y son dos variables aleatorias continuas con correspondientes funciones de densidad f 1 (x) y f 2 (x) entonces la función de densidad de X + Y es la convolución (f 1 f 2 )(x). EJERCICIOS 376. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y). Demuestre que X + Y tiene función de densidad f X+Y (u) = f X,Y (u v, v)dv Encuentre la función de densidad de X +Y para (X, Y ) un vector con función de densidad a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = e x y para x, y > 0. c) f(x, y) = e y para 0 < x < y. d) f X,Y (x, y) = 8xy para 0 < x < y < 1. e) f X,Y (x, y) = 4x(1 y) para 0 < x, y < Encuentre la función de densidad de X + Y cuando X y Y son independientes y ambas con distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ) Encuentre la función de densidad de X + Y cuando X y Y son independientes y ambas con densidad a) f(x) = 2x para 0 < x < 1. b) f(x) = 6x(1 x) para 0 < x <

122 c) f(x) = 1 2 (1 + x) para 1 < x < Sea (X, Y, Z) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y,Z (x, y, z). Demuestre que X+Y +Z tiene función de densidad f X+Y +Z (u) = f X,Y,Z (u y z, y, z)dydz Sea (X 1,...,X n ) un vector aleatorio absolutamente continuo con función de densidad f X1,...,X n (x 1,...,x n ). Demuestre que Y = X X n tiene función de densidad f Y (u) = f X1,...,X n (u v 2 v n, v 2,...,v n )dv 2 dv n Encuentre la función de densidad de X + Y cuando X y Y tienen distribución conjunta uniforme en el cuadrado ( 1, 1) ( 1, 1) Encuentre la función de densidad de X+Y +Z cuando X, Y y Z tienen distribución conjunta uniforme en el cubo ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) Encuentre la función de densidad de X X n para (X 1,...,X n ) un vector con distribución uniforme en el hipercubo ( 1, 1) ( 1, 1). }{{} n 385. Sean X y Y independientes con distribución N(µ 1, σ 2 1 ) y N(µ 2, σ 2 2 ) respectivamente. Demuestre que X+Y tiene distribución N(µ 1 +µ 2, σ σ 2 2 ) Sean X 1,...,X n independientes en donde X i tiene distribución N(µ i, σi 2) para i = 1,...,n. Sean c 1,...,c n constantes dadas no todas cero. Demuestre que n n n c i X i N( c i µ i, c 2 i σi 2 ). i= Sean X 1,...,X n independientes y con idéntica distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que 1 n X i N(µ, σ 2 /n). n i= Sean X y Y independientes ambas con distribución exp(λ). Demuestre que X + Y tiene distribución gama(λ, 2) Sean X y Y independientes con distribución gama(λ, n) y gama(λ, m) respectivamente. Demuestre que X + Y tiene distribución gama(λ, n + m). i=1 i=1 121

123 Distribución de la resta Se encontrará ahora una fórmula para la función de densidad de la diferencia de dos variables aleatorias. Proposición 43 Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y). Entonces X Y tiene función de densidad f X Y (u) = f X,Y (u + v, v)dv. (4.4) Demostración. Procedemos como en la sección anterior. Sea φ : R 2 R 2 la transformación con inversa φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)) = (x y, y) = (u, v) φ 1 (u, v) = (φ 1 1 = (u + v, v) = (x, y). (u, v), φ 1 2 (u, v)) El Jacobiano de la transformación inversa es φ 1 1 φ 1 1 J(u, v) = u v φ 1 2 φ 1 = u v Por la fórmula (4.1), = 1. f X Y,Y (u, v) = f X,Y (u + v, v). Integrando respecto de v se obtiene (4.4). Con el cambio de variable z(v) = u + v en (4.4) se obtiene la expresión equivalente f X Y (u) = f X,Y (z, z u)dz. (4.5) Cuando X y Y son independientes la fórmula (4.4) se reduce a f X Y (u) = f X (u + v)f Y (v)dv. Segunda demostración. Nuevamente se puede demostrar la proposición anterior mediante el procedimiento usual de encontrar primero la función de 122

124 distribución y después derivar para encontrar la función de densidad. Por definición F X Y (u) = P(X Y u) = f X,Y (x, y)dy dx = {x y u} x u f X,Y (x, y)dy dx. Derivando respecto de u se obtiene (4.5) equivalente a (4.4). Tercera demostración. A partir de la fórmula para la suma de dos variables aleatorias se puede construir una tercera demostración de (4.4). Por la fórmula para la suma, f X Y (u) = f X+( Y ) (u) = Haciendo el cambio de variable ν = v se obtiene f X, Y (u v, v)dv. f X Y (u) = = f X, Y (u + ν, ν)dν f X,Y (u + ν, ν)dν. EJERCICIOS 390. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y). Demuestre que X Y tiene función de densidad f X Y (u) = f X,Y (u + v, v)dv Encuentre la función de densidad de X Y para (X, Y ) un vector con función de densidad conjunta a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = e x y para x, y > 0. c) f(x, y) = e y para 0 < x < y. d) f X,Y (x, y) = 8xy para 0 < x < y < 1. e) f X,Y (x, y) = 4x(1 y) para 0 < x, y < Encuentre la función de densidad de X Y cuando X y Y son independientes y ambas con distribución a) unif(0, 1). 123

125 b) exp(λ) Encuentre la función de densidad de X Y cuando X y Y son independientes y ambas con densidad a) f(x) = 2x para 0 < x < 1. b) f(x) = 6x(1 x) para 0 < x < 1. c) f(x) = 1 2 (1 + x) para 1 < x < Sean X y Y independientes con distribución unif(a 1/2, a + 1/2) en donde a es un parámetro de valor real. Demuestre que { 1 u si 1 < u < 1, f X Y (u) = 0 otro caso Sean X y Y independientes con distribución N(µ 1, σ1 2) y N(µ 2, σ2 2) respectivamente. Demuestre que X Y tiene distribución N(µ 1 µ 2, σ1 2+ σ2 2 ). Observe que las medias se restan y las varianzas se suman Distribución del producto Ahora se encontrará una fórmula para la función de densidad del producto de dos variables aleatorias absolutamente continuas. Proposición 44 Sea (X, Y ) un vector continuo con función de densidad conjunta f X,Y (x, y). Entonces XY tiene función de densidad f XY (u) = f X,Y (u/v, v) 1 v dv. (4.6) Demostración. Se usa nuevamente la fórmula (4.1). Sea φ : R 2 R 2 la transformación φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)) = (xy, y) = (u, v). La inversa de esta transformación es, para v 0, φ 1 (u, v) = (φ 1 1 = (u/v, v) = (x, y). (u, v), φ 1 2 (u, v)) 124

126 El Jacobiano de la transformación inversa es φ 1 1 φ 1 1 J(u, v) = u v φ 1 2 φ 1 = 1/v u/v u v Por la fórmula (4.1), para v 0, = 1 v. f XY,Y (u, v) = f X,Y (u/v, v) 1 v. Integrando respecto de v se obtiene (4.6). Haciendo x(v) = u/v en (4.6) se obtiene la expresión equivalente f XY (u) = f X,Y (x, u/x) 1 dx. (4.7) x Cuando X y Y son independientes la fórmula (4.6) se reduce a f XY (u) = f X (u/v)f Y (v) 1 v dv. Segunda demostración. Usaremos el procedimiento usual de encontrar primero la función de distribución de XY y después derivar para encontrar la función de densidad. Por definición F XY (u) = P(XY u) = f X,Y (x, y)dy dx = {xy u} 0 Derivando respecto de u, u/x f X,Y (x, y)dydx + u/x 0 f X,Y (x, y)dydx. f XY (u) = = 0 f X,Y (x, u/x)( 1/x)dydx + f X,Y (x, u/x) 1/x dx, 0 f X,Y (x, u/x)(1/x)dydx. que corresponde a (4.7) equivalente a (4.6). EJERCICIOS 396. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y). Demuestre que XY tiene función de densidad f XY (u) = f X,Y (u/v, v) 1 v dv 125

127 397. Encuentre la función de densidad de XY cuando X y Y son independientes ambas con distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ). c) N(0, 1) Encuentre la función de densidad de XY cuando X y Y tienen función de densidad conjunta a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = e x y para x, y > 0. c) f(x, y) = e y para 0 < x < y. d) f X,Y (x, y) = 8xy para 0 < x < y < 1. e) f X,Y (x, y) = 4x(1 y) para 0 < x, y < Encuentre la función de densidad de XY cuando X y Y son independientes y ambas con densidad a) f(x) = 2x para 0 < x < 1. b) f(x) = 6x(1 x) para 0 < x < 1. c) f(x) = 1 2 (1 + x) para 1 < x < Distribución del cociente Finalmente se encontrará una fórmula para el cociente de dos variables aleatorias absolutamente continuas. Proposición 45 Sea (X, Y ) un vector continuo con función de densidad conjunta f X,Y (x, y) y tal que Y 0. Entonces X/Y tiene función de densidad f X/Y (u) = f X,Y (uv, v) v dv. (4.8) Demostración. Procederemos como en las secciones anteriores. Sea φ : R 2 R 2 la transformación φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)) = (x/y, y) = (u, v) 126

128 para y 0 y con inversa φ 1 (u, v) = (φ 1 1 (u, v), φ 1 2 (u, v)) = (uv, v) = (x, y). El Jacobiano de la transformación inversa es φ 1 1 φ 1 1 J(u, v) = u v φ 1 2 φ 1 = 2 v u 0 1 u v Por la fórmula (4.1) = v. f X/Y,Y (u, v) = f X,Y (uv, v) v. De donde se obtiene (4.8). Haciendo x(v) = uv en (4.8) se obtiene la expresión equivalente f X/Y (u) = f X,Y (x, x/u) x/u 2 dx. (4.9) Observe nuevamente que cuando X y Y son independientes el integrando en la fórmula (4.8) se escribe como el producto de las densidades marginales. Segunda demostración. Ahora usaremos el procedimiento usual de encontrar primero la función de distribución y después derivar para encontrar la función de densidad. F X/Y (u) = P(X/Y u) = f X,Y (x, y)dy dx = {x/y u} 0 x/u Derivando respecto de u, f X,Y (x, y)dydx + 0 x/u f X,Y (x, y)dydx. f X/Y (u) = = 0 f X,Y (x, x/u)( x/u 2 )dx + f X,Y (x, x/u) x/u 2 dx, 0 f X,Y (x, x/u)(x/u 2 )dx que corresponde a (4.9) equivalente a (4.8). Tercera demostración. A partir de la fórmula para el producto de dos variables aleatorias se puede construir una tercera demostración de (4.8) de la forma siguiente. f X/Y (u) = f X (1/Y ) (u) = f X,1/Y (u/v, v) 1 v dv. 127

129 Haciendo el cambio de variable x = 1/v se obtiene f X/Y (u) = = f X,1/Y (ux, 1/x) x dx f X,Y (ux, x) x dx. EJERCICIOS 400. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y) tal que Y 0. Demuestre que X/Y tiene función de densidad f X/Y (u) = f X,Y (uv, v) v dv 401. Encuentre la función de densidad de X/Y para (X, Y ) un vector con función de densidad conjunta a) f(x, y) = 1 ab para 0 < x < a, 0 < y < b. b) f(x, y) = e x y para x, y > 0. c) f(x, y) = e y para 0 < x < y. d) f(x, y) = 8xy para 0 < x < y < 1. e) f(x, y) = 4x(1 y) para 0 < x, y < 1. f ) f(x, y) = 2e x y para 0 < x < y Encuentre la función de densidad de X/Y cuando X y Y son independientes y ambas con distribución a) exp(λ). b) unif(0, 1) Encuentre la función de densidad de X/Y cuando X y Y son independientes y ambas con densidad a) f(x) = 2x para 0 < x < 1. b) f(x) = 6x(1 x) para 0 < x < 1. c) f(x) = 1 2 (1 + x) para 1 < x < Sean X y Y independientes con distribución exp(λ). Encuentre la función de densidad de a) X/(X + Y ). b) Y/(X + Y ) Sean X y Y independientes ambas con distribución normal estándar. Demuestre que la variable aleatoria Y/X tiene distribución Cauchy. 128

130 Las fórmulas encontradas se resumen en la siguiente tabla. Fórmulas para la suma, diferencia, producto y cociente de dos v.a.s 1. f X+Y (u) = 2. f X Y (u) = 3. f XY (u) = 4. f X/Y (u) = f X,Y (u v, v)dv f X,Y (u + v, v)dv f X,Y (u/v, v) 1 v dv f X,Y (uv, v) v dv 129

131 Capítulo 5 Distribuciones muestrales y estadísticas de orden Se estudian ahora algunas distribuciones de probabilidad que surgen en la estadística y otras áreas de aplicación de la probabilidad. Primeramente se define una muestra aleatoria como una colección de variables aleatorias X 1,...,X n que cumplen la condición de ser independientes y de tener cada una de ellas la misma distribución de probabilidad. Al número n se le llama tamaño de la muestra aleatoria. A menudo se escribe m.a. para abreviar el término muestra aleatoria y se usan las siglas v.a.i.i.d. para denotar el término variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Por lo tanto una m.a. es una colección de v.a.i.i.d. Se define también una estadística como una variable aleatoria de la forma g(x 1,...,X n ) en donde X 1,...,X n es una m.a. y g es una función de R n en R que es Borel medible. Por ejemplo la media muestral es una estadística denotada por X y definida como sigue X = 1 n n X i. i=1 Observe que X es una combinación lineal de los elementos de la m.a. y por lo tanto es una v.a. Otro ejemplo importante de estadística es la varianza muestral, denotada por S 2 y definida como sigue S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2. i=1 Observe que en el denominador aparece el término n 1. La media y la varianza muestrales tienen la característica de ser estimadores insesgados para la media y la varianza respectivamente de una distribución cualquiera. En particular, cuando la muestra aleatoria proviene de una distribución normal resulta que la media y la varianza muestrales son variables aleatorias 130

132 independientes. Utilizaremos este interesante e inesperado resultado más adelante y cuya demostración puede encontrarse en [13]. Proposición 46 Sea X 1,...X n una m.a. de la distribución N(µ, σ 2 ). Entonces las estadísticas X y S 2 son independientes. Este resultado no es válido para cualquier distribución de probabilidad, por ejemplo no es difícil verificar lo contrario para una muestra aleatoria de la distribución Ber(p). En la siguiente esección se estudian algunas distribuciones de probabilidad estrechamente relacionadas con la media y la varianza muestral. EJERCICIOS 406. Sea X 1,...,X n una m.a. tomada de una distribución con media µ y varianza σ 2. Demuestre que a) E( X) = µ. b) E(S 2 ) = σ 2. Estos resultados son de importancia en estadística y muestran que X y S 2 son estimadores insesgados de los parámetros µ y σ 2 respectivamente Sea X 1,...,X n una m.a. tomada de una distribución con media µ y varianza σ 2. Demuestre que a) Var( X) = σ 2 /n Sea X 1,...X n una m.a. de la distribución Ber(p). Demuestre que las estadísticas X y S 2 no son independientes Distribuciones muestrales Estudiamos a continuación algunas distribuciones de probabilidad que surgen en la estadística al considerar funciones de una muestra aleatoria. Distribución ji-cuadrada. Se dice que X tiene una distribución ji-cuadrada con n > 0 grados de libertad si su función de densidad es, para x > 0, f(x) = 1 Γ(n/2) ( ) 1 n/2 x n/2 1 e x/2. 2 En este caso se escribe X χ 2 (n). En la figura 5.1 puede apreciarse el comportamiento de la función de densidad de esta distribución para varios 131

133 valores del parámetro n. Se puede demostrar que E(X) = n Var(X) = 2n. f x x Figura 5.1: Función de densidad de la distribución χ 2 (n) para n = 1, 2, 3, 4 de arriba hacia abajo sobre el eje vertical. Observe que la distribución χ 2 (n) con n = 2 se reduce a la distribución exp(λ) con λ = 1/2. La distribución ji-cuadrada puede encontrarse como indica el siguiente resultado. Proposición 47 Si X N(0, 1) entonces X 2 χ 2 (1). Demostración. Para x > 0, F X 2(x) = P(X 2 x) = P( x X x) = F X ( x) F X ( x). Derivando f X 2(x) = f X ( 1 x) 2 x + f X( 1 x) 2 x = f X ( x) 1 x = 1 e x/2 1 2π x = 1 Γ(1/2) correspondiente a la densidad χ 2 (1). ( ) 1 1/2 x 1/2 1 e x/2 2 La suma de dos o mas variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada es nuevamente una variable aleatoria ji-cuadrada y sus grados de 132

134 libertad son la suma de los grados de libertad de cada uno de los sumandos. Este es el contenido de la siguiente proposición. Proposición 48 Sean X 1,...,X m independientes tales que X i χ 2 (n i ), para i = 1,...,m. Entonces n X i χ 2 (n n m ). i=1 Demostración. Es suficiente demostrar el resultado para el caso de dos variables aleatorias. Sean X y Y independientes con distribución ji-cuadrada con grados de libertad n y m respectivamente. Este ligero cambio en la notación nos evitará el uso de subíndices. Por la fórmula (4.2), para u > 0, f X+Y (u) = = = u 0 u f X (u v)f Y (v)dv ( ) 1 1 n/2 (u v) n/2 1 e (u v)/2 0 Γ(n/2) 2 ( ) 1 1 m/2 v m/2 1 e v/2 dv Γ(m/2) 2 ( ) 1 1 (n+m)/2 e u/2 Γ(n/2)Γ(m/2) 2 u 0 (u v) n/2 1 v m/2 1 dv. Haciendo el cambio de variable w(v) = v/u en la integral se obtiene ( ) 1 1 (n+m)/2 f X+Y (u) = e u/2 u (n+m)/2 1 Γ(n/2)Γ(m/2) (1 w) n/2 1 w m/2 1 dw. La integral resultante es B(n/2, m/2). Entonces f X+Y (u) = = B(n/2, m/2) Γ(n/2)Γ(m/2) 1 Γ((n + m)/2) ( ) 1 (n+m)/2 e u/2 u (n+m)/2 1 2 ( ) 1 (n+m)/2 e u/2 u (n+m)/ Esta última expresión es la función de densidad de la distribución χ 2 (n+m). El resultado anterior puede demostrarse de una manera más simple y elegante usando la función generadora de momentos o la función característica, presentadas en el siguiente capítulo. 133

135 Proposición 49 Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(µ, σ 2 ). Entonces n (X i µ) 2 χ 2 (n). i=1 σ 2 Demostración. Esto es una consecuencia sencilla de las dos proposiciones anteriores. Como cada X i tiene distribución N(µ, σ 2 ) para i = 1,...,n, entonces (X i µ)/σ tiene distribución N(0, 1). Por lo tanto En consecuencia i=1 (X i µ) 2 σ 2 χ 2 (1). n (X i µ) 2 χ 2 (n). σ 2 Enunciamos el siguiente resultado cuya demostración se pide realizar en el ejercicio 517 de la página 170, una vez que contemos con la poderosa herramienta de las funciones generadoras de momentos. Proposición 50 Sean X y Y independientes tales que X tiene distribución χ 2 (n) y X + Y tiene distribución χ 2 (m). Suponga m > n. Entonces Y tiene distribución χ 2 (m n). Con ayuda de esta proposición se demuestra ahora el siguiente resultado de particular importancia en estadística. Proposición 51 Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(µ, σ 2 ). Entonces n 1 σ 2 S 2 χ 2 (n 1). Demostración. n (X i µ) 2 = i=1 = n [(X i X) + ( X µ)] 2 i=1 n (X i X) 2 + n( X µ) 2. i=1 Diviendo entre σ 2 n i=1 (X i µ) 2 σ 2 = n 1 σ 2 S ( ) 2 X µ σ/. n

136 El término del lado izquierdo tiene distribución χ 2 (n) mientras que el segundo sumando del lado derecho tiene distribución χ 2 (1). Por la Proposición 50 y recordando que X y S 2 son independientes, se concluye que el primer sumando del lado derecho tiene distribución χ 2 (n 1). EJERCICIOS 409. Demuestre que la función de densidad de la distribución χ 2 (n) efectivamente lo es Demuestre que la distribución χ 2 (n) con n = 2 se reduce a la distribución exp(λ) con λ = 1/ Demuestre que la distribución gama(n/2, λ) con λ = 1/2 se reduce a la distribución χ 2 (n) Sea X con distribución χ 2 (n). Demuestre que a) E(X) = n. b) E(X m ) = 2mΓ(m + n/2) Γ(n/2) c) Var(X) = 2n. para m = 1, 2, Demuestre que si X N(0, 1) entonces X 2 χ 2 (1) Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que ( X µ) 2 σ 2 χ 2 (1). /n 415. Demuestre que si X 1,...,X m son independientes tales que X i χ 2 (n i ) para i = 1,...,m entonces m X i χ 2 (n n m ). i= Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(0, 1). Demuestre que n Xi 2 χ 2 (n). i= Sean X 1,...,X n independientes tales que cada X i tiene distribución N(µ i, σi 2 ) para i = 1,...,n. Demuestre que n (X i µ i ) 2 σ 2 i=1 i χ 2 (n). 135

137 418. Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que (n 1) σ 2 S 2 χ 2 (n 1), 419. Sean X y Y independientes ambas con distribución normal estándar. Sean R = X 2 + Y 2 y θ = tan 1 (Y/X). Demuestre que a) R 2 tiene distribución χ 2 (n) con n = 2 grados de libertad. b) tan θ tiene distribución Cauchy. c) R y θ son independientes. Distribución t. La variable aleatoria X tiene una distribución t de Student con n > 0 grados de libertad si su función de densidad está dada por f(x) = Γ((n + 1)/2) nπ Γ(n/2) (1 + x 2 /n) (n+1)/2 para < x <. En este caso se escribe X t(n). Esta distribución apareció por primera vez en 1908 en un trabajo publicado por William Gosset bajo el el seudónimo de Student. En la figura 5.2 puede apreciarse el comportamiento de la función de densidad de la distribución t(n) para varios valores del parámetro n. Se puede demostrar que E(X) = 0, n y Var(X) = n 2 para n > 2. f x x Figura 5.2: Función de densidad de la distribución t(n) para n = 1, 2, 3, 4 de abajo hacia arriba. La primera igualdad establece entonces que la distribución t(n) se encuentra siempre centrada en cero para cualquier valor del parámetro n. Se muestran a continuación algunas formas en las que surge esta distribución. 136

138 Proposición 52 Sean X N(0, 1) y Y χ 2 (n) independientes. Entonces X Y/n t(n). Demostración. Por independencia, la función de densidad conjunta de X y Y es, para y > 0, f X,Y (x, y) = 1 2π e x2 /2 1 Γ(n/2) Se aplica la fórmula (4.1) para la transformación φ(x, y) = (x, x/ y/n) ( ) 1 n/2 y n/2 1 e y/2. 2 con inversa φ 1 (s, t) = (s, ns 2 /t 2 ). El Jacobiano de la transformación inversa es J(s, t) = x/ s x/ t y/ s y/ t = 1 0 2sn/t 2 2ns 2 /t 3 = 2ns2 /t 3. Por lo tanto f S,T (s, t) = f X (s)f Y (ns 2 /t 2 ) 2ns 2 /t 3 ( ) 1 = e s2 /2 1 1 n/2 n n/2 1 s n 2 2π Γ(n/2) 2 t n 2 e ns2 /2t 2 2ns 2 /t 3. Integrando respecto de s, f T (t) = 1 2π n n/2 2 n/2 1 Γ(n/2)t n+1 0 s n e s n 2t 2 ds. 2t 2 ), de donde obten- Ahora efectuamos el cambio de variable r(s) = s 2 ( 1 emos dr = 2s ( n ) 2t ds, y entonces n f T (t) = = 1 n n/2 2π 2 n/2 1 Γ(n/2)t n+1 2 ( n ) (n+1)/2 2t 2 Γ((n + 1)/2) 1 nπ Γ(n/2) (1 + t 2 /n) (n+1)/2, 0 r (n 1)/2 e r dr correspondiente a la función de densidad de la distribución t(n). El siguiente resultado es de particular importancia en estadística para efectuar estimaciones del parámetro µ de una población normal cuando la varianza σ 2 es desconocida. 137

139 Proposición 53 Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución N(µ, σ 2 ). Entonces X µ S/ t(n 1). n Demostración. Use la Proposición 52 aplicada a las variables aleatorias independientes X µ σ/ n N(0, 1) y n 1 σ 2 S 2 χ 2 (n 1). EJERCICIOS 420. Demuestre que la función de densidad de una distribución t(n) efectivamente lo es Sea X con distribución t(n). Demuestre que a) E(X) = 0. b) Var(X) = n n 2 para n > Demuestre que la distribución t(n+1) tiene momentos finitos de orden menor o igual a n pero ningún otro momento de orden superior Sean X N(0, 1) y Y χ 2 (n) independientes. Demuestre que X Y/n t(n) Sea X 1,...,X n una m.a. de una población N(µ, σ 2 ). Demuestre que X µ S/ n t(n 1). Distribución F. La variable aleatoria X tiene una distribución F de Snedecor con parámetros n > 0 y m > 0 si su función de densidad es, para x > 0, f(x) = Γ((n + m)/2) ( n ) ( n/2 x n/ n ) (n+m)/2 Γ(n/2) Γ(m/2) m m x. 138

140 f x f x x x (a) (b) Figura 5.3: Función de densidad de la distribución F(n, m) para (a) n = 1, 10, 100 y m = 5 de abajo hacia arriba sobre el eje vertical en x = 1, y (b) n = 5 y m = 1, 5, 50 de abajo hacia arriba sobre el eje vertical en x = 1. Se escribe X F(n, m). En la figura 5.3 se muestra el comportamiento de la función de densidad de la distribución F(n, m) para varios valores de los parámetros n y m. Puede demostrarse que E(X) = m m 2 para m > 2, Var(X) = 2m2 (m + n 2) n(m 2) 2 (m 4) para m > 4. Los siguientes resultados indican la forma de obtener la distribución F. Proposición 54 Sean X χ 2 (n) y Y χ 2 (m) independientes. Entonces X/n F(n, m). Y/m Demostración. Aplique la fórmula (4.8) para la función de densidad del cociente de dos variables aleatorias. Proposición 55 Si X t(n) entonces X 2 F(1, n). Demostración. Aplique la fórmula f X 2(x) = f X ( 1 x) 2 x + f X( 1 x) 2 x. 139

141 EJERCICIOS 425. Demuestre que la función de densidad de la distribución F(n, m) efectivamente lo es Sea X con distribución F(n, m). Demuestre que a) E(X) = m m 2 para m > 2. b) Var(X) = 2m2 (m + n 2) n(m 2) 2 (m 4) para m > Sea X con distribución F(n, m). Demuestre que Y = 1/X tiene distribución F(m, n). Observe el cambio en el orden de los parámetros. Este resultado es útil para obtener valores de F que no aparecen en tablas Sea X con distribución F(n, m). Demuestre que cuando m tiende a infinito la función de densidad de nx converge puntualmente a la función de densidad de la distribución χ 2 (n) Sean X χ 2 (n) y Y χ 2 (m) independientes. Demuestre que X/n F(n, m). Y/m 430. Demuestre que si X t(n) entonces X 2 F(1, n) Estadísticas de orden Dada una muestra aleatoria X 1,...,X n, podemos evaluar cada una de estas variables en un punto muestral ω cualquiera y obtener una colección de números reales X 1 (ω),..., X n (ω). Estos números pueden ser ordenados de menor a mayor incluyendo repeticiones. Si X (i) (ω) denota el i-ésimo número ordenado, tenemos entonces la colección no decreciente de números reales X (1) (ω) X (n) (ω). Ahora hacemos variar el argumento ω y lo que se obtiene son las así llamadas estadísticas de orden. Este proceso de ordenamiento resulta ser de importancia en algunas aplicaciones. Tenemos entonces la siguiente definición. 140

142 Definición 37 Sea X 1,...,X n una muestra aleatoria. A las variables aleatorias ordenadas X (1) = mín{x 1,...,X n }. X (n) = máx{x 1,...,X n } se les conoce con el nombre de estadísticas de orden A X (1) se le llama primera estadística de orden, a X (2) se le llama segunda estadística de orden, etc. A X (i) se le llama i-ésima estadística de orden, i = 1,...,n. Nuestro objetivo en esta sección es encontrar algunas fórmulas relacionadas con las distribuciones de probabilidad de las estadísticas de orden cuando se conoce la distribución de cada variable de la muestra aleatoria Distribuciones individuales Comenzamos encontrando la distribución de la primera y de la última estadística de orden de manera individual. Proposición 56 Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de densidad f(x) y función de distribución F(x). Entonces 1. f X(1) (x) = nf(x)[1 F(x)] n f X(n) (x) = nf(x)[f(x)] n 1. Demostración. Para verificar (1) se calcula primero la función de distribución Derivando F X(1) (x) = P(X (1) x) = P(mín{X 1,...,X n } x) = 1 P(mín{X 1,...,X n } > x) = 1 P(X 1 > x,...,x n > x) = 1 [P(X 1 > x)] n = 1 [1 F(x)] n. f X(1) (x) = nf(x)[1 F(x)] n 1. Para demostrar (2) se procede de manera análoga, F X(n) (x) = P(X (n) x) 141

143 Por lo tanto = P(máx{X 1,...,X n } x) = P(X 1 x,...,x n x) = [P(X 1 x)] n = [F(x)] n. f X(n) (x) = nf(x)[f(x)] n 1. Ahora presentamos el resultado general de la función de densidad de la i- ésima estadística de orden. Proposición 57 Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de densidad f(x) y función de distribución F(x). Entonces f X(i) (x) = ( n i ) i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i. Demostración. Sea Y i la variable aleatoria dada por { 1 si Xi x, Y i = 1 (,x] (X i ) = 0 si X i > x, en donde X i es el i-ésimo elemento de la muestra aleatoria. Las variables Y 1,...,Y n son independientes y cada una de ellas puede considerarse un ensayo Bernoulli con probabilidad de éxito, es decir tomar el valor 1, igual a P(X i x) = F(x). Entonces la suma Y 1 + +Y n corresponde al número de v.a.s X i que cumplen la condición X i x y por lo tanto esta suma tiene distribución bin(n, p) con p = F(x). Entonces F X(i) (x) = P(X (i) x) = P(Y Y n i) n ( ) n = [F(x)] j [1 F(x)] n j. j j=i Derivando y después simplificando, f X(i) (x) = = = n j=i n j=i ( n i ( n j ( n j ) f(x)[f(x)] j 1 [1 F(x)] n j 1 [j nf(x)] ) f(x)[f(x)] j 1 [1 F(x)] n j 1 [j(1 F(x)) (n j)f(x)] ) i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i. 142

144 Observe que la fórmula recién demostrada se reduce a las que aparecen en la Proposición 56 cuando i = 1 e i = n. Ahora presentamos una demostración corta e intuitiva del mismo resultado. Segunda demostración. Sea h > 0 arbitrario y considere los siguientes tres intervalos ajenos (, x], (x, x + h] y (x + h, ). La probabilidad de que i 1 variables de la muestra tomen un valor en el intervalo (, x], una de ellas en (x, x+h] y el resto n i en (x+h, ) es, de acuerdo a la distribución multinomial, n! (i 1)! 1! (n i)! [F(x)]i 1 [F(x + h) F(x)][1 F(x + h)] n i. Haciendo h tender a cero se obtiene ( ) n f X(i) (x) = i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i. i Sea X 1,...,X n una m.a. A la variable aleatoria R = X (n) X (1) se le conoce como el rango de la muestra. El siguiente resultado provee de una fórmula para la función de densidad de R. Proposición 58 Sea X 1,...,X n una m.a. tomada de una distribución continua con función de densidad f(x) y función de distribución F(x). Entonces para r > 0, f R (r) = n(n 1) f(y)f(y r)[f(y) F(y r)] n 2 dy. Demostración. Se calcula primero la distribución conjunta F X(1),X (n) (x, y). Para x y, F X(1),X (n) (x, y) = P(X (1) x, X (n) y) Por lo tanto, = P(X (n) y) P(X (n) y, X (1) > x) = [F(y)] n P(x < X 1 y,..., x < X n y) = [F(y)] n [F(y) F(x)] n. f X(n),X (1) (x, y) = 2 [F(y) F(x)]n x y = n(n 1)f(y)f(x)[F(y) F(x)] n

145 Ahora se usa la fórmula (4.4) para la diferencia de dos variables aleatorias. Para r > 0 y n 2, f X(n) X (1) (r) = n(n 1) f(y)f(y r)[f(y) F(y r)] n 2 dy. EJERCICIOS 431. Sea X 1,...,X n una m.a. tomada de una distribución continua F(x) con función de densidad f(x). Demuestre nuevamente que a) f X(1) (x) = nf(x)[1 F(x)] n 1. b) f X(n) (x) = nf(x)[f(x)] n Demuestre que las funciones f X(1) (x) y f X(n) (x) del ejercicio anterior son efectivamente funciones de densidad Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua F(x) con función de densidad f(x). Demuestre nuevamente que ( ) n f X(i) (x) = i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i i y compruebe que ésta es efectivamente una función de densidad Compruebe que la fórmula de la Proposición 57 se reduce a la fórmulas (1) y (2) de la Proposición 56 cuando i = 1 e i = n respectivamente Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución unif(0, 1). Demuestre que la i-ésima estadística de orden tiene distribución beta(i, n+1 i). Encuentre por lo tanto su esperanza y varianza Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución exp(λ). Encuentre la función de densidad de la i-ésima estadística de orden Sean X (1), X (2) las estadísticas de orden de una m.a. de tamaño dos de una distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que E[X (1) ] = µ σ/ π Sean X (1), X (2) las estadísticas de orden de una m.a. de tamaño dos de una distribución N(µ, σ 2 ). Calcule E[X (2) ] Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución F(x). Sea x un número real cualquiera y para i = 1,...,n defina Y i = 1 (,x] (X i ). Demuestre que Y 1,...,Y n son independientes cada una de ellas con distribución Ber(n, p) con p = F(x). Este hecho fue utilizado en el procedimiento para encontrar la función de densidad de la i-ésima estadística de orden en la Proposición

146 440. Sean X 1 y X 2 absolutamente continuas e independientes y defina Y = máx{x 1, X 2 }. Demuestre que a) F Y (y) = F X1 (y)f X2 (y). b) f Y (y) = F X1 (y)f X2 (y) + f X1 (y)f X2 (y). c) f Y (y) = 2F X (y)f X (y) cuando X 1 y X 2 tienen la misma distribución Use el ejercicio anterior para encontrar la función de densidad de Y = máx{x 1, X 2 } cuando X 1 y X 2 son independientes cada una con distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ) Sean X 1 y X 2 absolutamente continuas e independientes. Defina Y = mín{x 1, X 2 }. Demuestre que a) F Y (y) = 1 [1 F X1 (y)][1 F X2 (y)]. b) f Y (y) = [1 F X1 (y)]f X2 (y) + f X1 (y)[1 F X2 (y)]. c) f Y (y) = 2[1 F X (y)]f(y) cuando X 1 y X 2 tienen la misma distribución Use el ejercicio anterior para encontrar la función de densidad de Y = mín{x 1, X 2 } cuando X 1 y X 2 son independientes cada una con distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ) Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua F(x) con función de densidad f(x). Sea R = X (n) X (1) el rango de la muestra. Demuestre que para r > 0 y n 2, f R (r) = n(n 1) f(y)f(y r)[f(y) F(y r)] n 2 dy Se escogen n puntos al azar del intervalo unitario (0, 1). Demuestre que la función de densidad de la distancia máxima R entre cualesquiera dos puntos es { n(n 1)r f R (r) = n 2 (1 r) si 0 < r < 1, 0 otro caso Distribución conjunta Ahora presentamos dos resultados acerca de la distribución conjunta de las estadísticas de orden. El primer resultado es acerca de la distribución conjunta de todas ellas y después consideraremos la distribución de cualesquiera dos. 145

147 Proposición 59 Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de densidad f(x). Para x 1 < < x n, f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = n!f(x 1 ) f(x n ). Demostración. Se considera la función de distribución conjunta de todas las estadísticas de orden y después se deriva n veces para encontrar la función de densidad. Para x 1 < x 2 < < x n, F X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = P(X (1) x 1, X (2) x 2,...,X (n) x n ). Como (X (2) x 2 ) = (x 1 < X (2) x 2 ) (X (2) x 1 ) se obtiene la expresión F X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = P(X (1) x 1, x 1 < X (2) x 2,...,X (n) x n ) + PX (1) x 1, X (2) x 1,...,X (n) x n ). Observe que el segundo sumando no depende de x 2 asi que al tomar la derivada respecto de esta variable, éste término desaparece. De manera análoga procedemos con los eventos (X (3) x 3 ) hasta (X (n) x n ). Al final se obtiene f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = n x 1 x n P(X (1) x 1, x 1 < X (2) x 2,...,x n 1 < X n x n ). Como ahora los intervalos involucrados son disjuntos, la distribución multinomial asegura que P(X (1) x 1, x 1 < X (2) x 2,...,x n 1 < X n x n ) = n! P(X 1 x 1, x 1 < X 2 x 2,...,x n 1 < X n x n ) = n! F(x 1 )[F(x 2 ) F(x 1 )] [F(x n ) F(x n 1 )], en donde la última igualdad se sigue de la independencia e idéntica distribución de las variables de la muestra. Ahora solo resta derivar para encontrar el resultado. La siguiente es una prueba corta pero no formal del mismo resultado. Segunda demostración. Sea x 1 < x 2 < < x n y h > 0 suficientemente pequeño tal que los intervalos (x 1, x 1 + h], (x 2, x 2 + h],...,(x n, x n + h] son ajenos. La probabilidad de que las variables aleatorias tomen valores cada una de ellas en uno y solo uno de estos intervalos es, de acuerdo a la distribución multinomial, n! 1! 1! [F(x 1 + h) F(x 1 )] [F(x n + h) F(x n )]. Haciendo h tender a cero se obtiene f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = n!f(x 1 ) f(x n ). 146

148 Ahora nos interesa encontrar una fórmula para la densidad conjunta de cualesquiera dos estadísticas de orden. Proposición 60 Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de distribución F(x) y función de densidad f(x). Sea i < j. Para x < y, f X(i),X (j) (x, y) = ( n i, j i, n j ) i(j i)f(x)f(y) [F(x)] i 1 [F(y) F(x)] j i 1 [1 F(y)] n j. Demostración intuitiva. Para x < y considere los intervalos ajenos (, x], (x, x + h], (x + h, y], (y, y + h] y (y + h, ) para h > 0 suficientemente pequeña. La probabilidad de que i 1 variables de la muestra tomen un valor en (, x], una de ellas en (x, x + h], j i + 1 variables en (x + h, y], otra en (y, y + h] y el resto n j variables tomen un valor en (y + h, ) es, de acuerdo a la distribución multinomial, n! (i 1)! 1! (j i 1)! 1! (n j)! [F(x + h) F(x)][F(y) F(x + h)]j i 1 [F(x)] i 1 [F(y + h) F(y)][1 F(y + h)] n j. Haciendo h tender a cero se obtiene la fórmula anunciada. EJERCICIOS 446. Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de densidad f(x). Demuestre nuevamente que para x 1 < x 2 < < x n, f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) = n!f(x 1 ) f(x n ) y compruebe que ésta es efectivamente una función de densidad A partir de la fórmula para f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) calcule la función de densidad marginal de X (1) encontrando nuevamente que f X(1) (x) = nf(x)[1 F(x)] n A partir de la fórmula para f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) calcule la función de densidad marginal de X (n) encontrando nuevamente que f X(n) (x) = nf(x)[f(x)] n

149 449. A partir de la fórmula para f X(1),...,X (n) (x 1,...,x n ) calcule la función de densidad marginal de X (i) para i = 1,...,n encontrando nuevamente que f X(i) (x) = ( n i ) i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua con función de distribución F(x) y función de densidad f(x). Sea i < j. Demuestre nuevamente que para x < y, f X(i),X (j) (x, y) = ( n i, j i, n j ) i(j i)f(x)f(y) [F(x)] i 1 [F(y) F(x)] j i 1 [1 F(y)] n j y compruebe que ésta es una función de densidad bivariada A partir de la fórmula para f X(i),X (j) (x, y) calcule la función de densidad marginal de X (i) encontrando nuevamente que f X(i) (x) = ( n i ) i f(x)[f(x)] i 1 [1 F(x)] n i Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución unif(0, 1). Encuentre la función de densidad de a) X (1) y X (2) conjuntamente. b) R = X (n) X (1) Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución unif(0, 1). Encuentre la función de densidad de la mediana muestral a) para n impar. b) para n par Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución unif(0, 1). Encuentre la función de densidad del vector (X (1),...,X (n) ) Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución unif(0, 1). Calcule el coeficiente de correlación entre X (i) y X (j) Sea X 1,...,X n una m.a. de una distribución continua F(x) con función de densidad f(x). Demuestre directamente que para x < y, f X(1),X (n) (x, y) = n(n 1)f(x)f(y)[F(y) F(x)] n Utilice el ejercicio anterior para obtener la densidad conjunta de X (1) y X (n) para una m.a. de tamaño n de una distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ). 148

150 458. Calcule la covarianza entre X (1) y X (n) para una m.a. de tamaño n de una distribución a) unif(0, 1). b) exp(λ). 149

151 Capítulo 6 Convergencia En este capítulo se presenta una introducción al tema de convergencia de variables aleatorias. Se estudian distintas formas en que una sucesión de variables aleatorias puede converger Convergencia puntual Sea X 1, X 2,... una sucesión infinita de variables aleatorias. Al evaluar cada variable de la sucesión en algún ω de Ω se obtiene la sucesión numérica X 1 (ω), X 2 (ω),.... Suponga que esta sucesión converge a un cierto número real denotado por X(ω). Si lo anterior se cumple para todos y cada uno de los elementos de Ω entonces se dice que la sucesión de variables aleatorias converge puntualmente y su límite es la función X : Ω R definida naturalmente por X(ω) = lím n X n(ω). Hemos demostrado al inicio de nuestro curso que en esta situación la función límite X es efectivamente una variable aleatoria. Formalmente tenemos entonces la siguiente defininición. Definición 38 La sucesión X 1, X 2,... converge puntualmente a X si para cada ω en Ω X(ω) = lím n X n(ω). Por ejemplo, suponga el espacio medible ([0, 1], B[0, 1]) y defina la sucesión de variables aleatorias X n (ω) = ω n. Entonces para ω [0, 1), X n (ω) 0. Mientras que para ω = 1, X n (ω) = 1. De esta manera la sucesión converge puntualmente a la variable aleatoria { 0 si ω [0, 1), X(ω) = 1 si ω =

152 La convergencia puntual resulta ser muy fuerte pues se pide la convergencia de la sucesión evaluada en cada uno de los elementos de Ω. Uno puede ser menos estricto y pedir por ejemplo que la convergencia se efectúe en todo el espacio Ω excepto en un subconjunto de probabilidad cero. Este tipo de convergencia más relajada se llama convergencia casi segura y se estudia en las siguientes secciones junto con otros tipos de convergencia menos restrictivos Convergencia casi segura Definición 39 La sucesión X 1, X 2,... converge casi seguramente a X si P {ω Ω : lím n X n(ω) = X(ω)} = 1. Por lo tanto, en la convergencia casi segura se permite que para algunos valores de ω la sucesión numérica X 1 (ω), X 2 (ω),... pueda no converger, sin embargo el subconjunto de Ω en donde esto suceda debe tener probabilidad cero. Para indicar la convergencia casi segura se escribe X n X o c.s. bien lím X n = X c.s. A menudo se utiliza el término convergencia casi n dondequiera o bien convergencia casi siempre para denotar este tipo de convergencia. Observe que omitiendo el argumento ω, la condición para la convergencia casi segura se escribe en la forma más corta P( lím n X n = X) = 1. En donde se asume que el conjunto ( lím n X n = X) es medible de tal forma que aplicar la probabilidad tiene sentido. Veamos un ejemplo. Considere el espacio de probabilidad ([0, 1], B[0, 1], P) con P la medida uniforme, es decir, P(a, b) = b a. Defina la sucesión de variables aleatorias { 1 si 0 ω 1/n, X n (ω) = 0 otro caso. Entonces X n converge casi seguramente a la variable aleatoria constante cero. Para demostrar esto se necesita verificar que P(lím n X n = 0) = 1. Pero esta igualdad es evidente a partir del hecho de que {ω Ω : lím n X n(ω) = 0} = (0, 1] cuya probabilidad es uno. El punto ω = 0 es el único punto muestral para c.s. el cual X n (ω) no converge a cero. Esto demuestra que X n

153 EJERCICIOS 459. Sean a y b constantes. Demuestre que si X n c.s. X entonces a) ax n c.s. ax. b) X n + b c.s. X + b Suponga que X n c.s. X y Y n c.s. Y. Demuestre que c.s. a) X n + Y n X + Y. c.s. b) X n Y n XY. c.s. c) X n /Y n X/Y si Y, Y n Considere el espacio de probabilidad ([0, 1], B[0, 1], P) con P la medida de probabilidad uniforme. Demuestre que n1 [0,1/n) c.s Convergencia en probabilidad Definición 40 La sucesión X 1, X 2,... converge en probabilidad a X si para cada ǫ > 0 lím n P {ω Ω : X n(ω) X(ω) > ǫ} = 0. p X, y omi- Para denotar la convergencia en probabilidad se escribe X n tiendo el argumento ω la condición se escribe lím P( X n X > ǫ) = 0. n Más adelante se demostrará que la convergencia en probabilidad es un tipo de convergencia aún más relajada que la convergencia casi segura. EJERCICIOS 462. Sean a y b constantes. Demuestre que si X n p X entonces p a) ax n ax. p b) X n + b X + b. p 463. Suponga que X n x y Y n reales fijos. Demuestre que a) X n + Y n p x + y. p y, en donde x y y son dos números 152

154 b) X n Y n p xy. c) X n /Y n p x/y si Y n, y 0. d) Si g es continua en x entonces g(x n ) p g(x). p p 464. Demuestre que si X n X y Y n Y entonces X n + Y n p X + Y Sean X 1, X 2,... variables aleatorias independientes cada una con distribución unif(a, b). Demuestre que cuando n tiende a infinito a) mín{x 1,...,X n } p a. b) máx{x 1,...,X n } p b Convergencia en media Definición 41 La sucesión X 1, X 2,... converge en media a X si lím E X n X = 0. n Observe que para este tipo de convergencia tanto los elementos de la sucesión como el límite mismo deben ser variables aleatorias con esperanza finita. A este tipo de convergencia también se le llama convergencia en L 1 y se le m L denota por X n X o 1 Xn X. EJERCICIOS 466. Sean a y b constantes. Demuestre que si X n m X entonces a) ax n m ax. b) X n + b m X + b. m m 467. Suponga que X n X y Yn Y. Demuestre que a) X n + Y n m X + Y. Proporcione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones b) X n Y n m XY. c) X n /Y n m X/Y si Y, Yn Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si X n m X entonces lím n E(X n) = E(X). 153

155 6.5. Convergencia en media cuadrática Definición 42 La sucesión X 1, X 2,... converge en media cuadrática a X si lím n E X n X 2 = 0. En la convergencia en media cuadrática se asume que tanto los elementos de la sucesión como el límite mismo son variables aleatorias con segundo momento finito. A este tipo de convergencia también se le llama convergencia en L 2 m.c. L y se le denota por X n X o X 2 n X. EJERCICIOS 469. Sean a y b constantes. Demuestre que si X n m.c. X entonces a) ax n m.c. ax. b) X n + b m.c. X + b. m.c Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si X n m.c. X y Y n Y entonces X n + Y n m.c. X + Y Convergencia en distribución Definición 43 La sucesión X 1, X 2,... converge en distribución a X si lím n F X n (x) = F X (x) para todo punto x en donde F X (x) es continua. d En este caso se escribe X n X. A este tipo de convergencia se le conoce también con el nombre de convergencia débil y ello se debe a que esta forma de convergencia es la menos restrictiva de todas las mencionadas anteriormente. Por ejemplo considere la sucesión X 1, X 2,... en donde X n tiene distribución 154

156 N(0, σ 2 /n). Demostraremos que X n 0. Como d F Xn (x) = 1 2πσ 2 /n x e u2 /2(σ 2 /n) du, entonces lím n F X n (x) = 0 si x < 0, 1/2 si x = 0, 1 si x > 0. Por otro lado, la variable aleatoria constante X = 0 tiene función de distribución { 0 si x < 0, F X (x) = 1 si x 0. d Tenemos entonces que X n 0 pues lím F X n n (x) = F X (x) para todo punto x donde F X (x) es continua, esto es, para todo x en el conjunto R \ {0}. Observe que no hay convergencia de las funciones F Xn (x) en el punto de discontinuidad x = 0. En resumen tenemos la siguiente tabla con las definiciones de los distintos tipos de convergencia mencionados. Convergencia Puntual Definición X n (ω) X(ω) para cada ω en Ω Casi segura P(X n X) = 1 En media E X n X 0 En media cuadrática E X n X 2 0. En probabilidad P( X n X > ǫ} 0 En distribución F Xn (x) F X (x) en puntos de continuidad x de F X EJERCICIOS 471. Considere el espacio de probabilidad ([0, 1], B[0, 1], P) en donde P es la medida de probabilidad uniforme. Sea X n = 1 [0,1/2+1/n) y X = 1 [1/2,1]. d Demuestre que X n X Sea X n con distribución unif[1/2 1/n, 1/2 + 1/n]. Demuestre que X n d

157 473. Sea X n con distribución unif{0, 1,...,n}. Demuestre que 1 n X n d unif[0, 1] Sea c una constante. Demuestre que X n p c X n d c Relaciones generales entre los tipos de convergencia En esta sección se establecen las relaciones entre los distintos tipos de convergencia de variables aleatorias vistos en la sección anterior. En la figura 6.1 se ilustran de manera gráfica estas relaciones. En esta gráfica la contención se interpreta como implicación, por ejemplo la convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad y ésta a su vez implica la convergencia en distribución. Éstos y otros resultados se demuestran a continuación. Figura 6.1: Relación entre los tipos de convergencia. Proposición 61 Convergencia c.s. = convergencia en prob. Demostración. Suponga X n c.s. X. Sea ǫ > 0 y defina los eventos A n = ( X k X > ǫ). k=n Esta sucesión es decreciente y su límite es entonces la intersección de todos los eventos. Como ( X n X > ǫ) A n entonces P( X n X > ǫ) P(A n ). 156

158 Por lo tanto lím P( X n X > ǫ) n lím P(A n) n = P( lím A n) n = P( A n ) n=1 = P( X n X > ǫ para cada n 1 ) = P( lím n X n X) = 0. El recíproco de la proposición anterior es falso, es decir, la convergencia en probabilidad no implica necesariamente la convergencia casi siempre. Para ilustrar esta afirmación se proporciona a continuación un contraejemplo. Convergencia en prob. Convergencia c.s. Considere el espacio ((0, 1), B(0, 1), P) con P la medida de probabilidad uniforme. Defina los eventos A 1 = (0, 1/2), A 2 = (1/2, 1), A 3 = (0, 1/3), A 4 = (1/3, 2/3), A 5 = (2/3, 1), A 6 = (0, 1/4), A 7 = (1/4, 2/4), A 8 = (2/4, 3/4), A 9 = (3/4, 1), Sea X n = 1 An. Entonces X n p 0 pues para cualquier ǫ tal que 0 < ǫ < 1 lím P( X n 0 > ǫ) = lím P(A n) = 0. n n Sin embargo la sucesión no converge casi seguramente pues {w Ω : lím n X n(w) existe } =. Convergencia en m. Convergencia c.s. Considere la sucesión de variables m X n como en el ejemplo anterior. Entonces X n 0 pues E Xn 0 = 1/n 0. Sin embargo esta sucesión no converge c.s. pues P(límX n = 0) = P( ) = 0. Convergencia c.s. convergencia en m. Considere el espacio ((0, 1), B(0, 1), P) con P la medida de probabilidad uniforme. Defina la suceción X n = n1 (0,1/n). Entonces X n converge a 0 c.s. pues P(límX n = 0) = P(Ω) = 1. Sin embargo no hay convergencia en media pues E X n 0 = 1. Proposición 62 Convergencia en m.c. = convergencia en media. 157

159 Demostración. La desigualdad de Jensen establece que para u convexa Tomando u(x) = x 2 se obtiene u(e(x)) E(u(X)). E 2 X n X E X n X 2, de donde se sigue el resultado. Alternativamente la última desigualdad es consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Proposición 63 Convergencia en media = convergencia en prob. Demostración. Para cualquier ǫ > 0 sea A n = ( X n X > ǫ). E X n X = E( X n X 1 An ) + E( X n X (1 1 An )) E( X n X 1 An ) ǫp( X n X > ǫ). Por hipótesis el lado izquierdo tiende a cero cuando n tiende a infinito. Por lo tanto lím n P( X n X > ǫ) = 0. Proposición 64 Convergencia en prob. = convergencia en dist. Demostración. Sea x un punto de continuidad de F X (x). Para cualquier ǫ > 0 F Xn (x) = P(X n x) = P(X n x, X n X ǫ) + P(X n x, X n X > ǫ) P(X x + ǫ) + P( X n X > ǫ). El segundo sumando del lado derecho tiende a cero cuando n tiende a infinito p pues por hipótesis X n X. Entonces para cualquier ǫ > 0, Por la continuidad lateral, lím sup F Xn (x) F X (x + ǫ). n lím sup F Xn (x) F X (x). n 158

160 Ahora se demuestra la desigualdad inversa. Para cualquier ǫ > 0 F X (x ǫ) = P(X x ǫ) = P(X x ǫ, X n X ǫ) + P(X x ǫ, X n X > ǫ) P(X n x) + P( X n X > ǫ). Nuevamente el segundo sumando tiende a cero cuando n tiende a infinito. Entonces F X (x ǫ) lím inf n F X n (x). Por la continuidad en x, En resumen F X (x) lím inf n F X n (x). F X (x) lím inf F X n n (x) lím sup F Xn (x) F X (x). n El converso de la proposición anterior es falso, es decir, la convergencia en distribución no siempre implica la convergencia en probabilidad. Convergencia en dist. convergencia en prob. Sea X con distribución N(0, 1) y sea { X si n es par, X n = X si n es impar. Entonces claramente cada X n también tiene distribución N(0, 1) y por lo tanto lím F d X n n (x) = F X (x), es decir, X n X. Sin embargo la sucesión no converge en probabilidad a X pues para valores impares de n, P( X n X > ǫ) = P(2 X > ǫ) > 1/2 para ǫ pequeña. Lo anterior demuestra que lím n P( X n X > ǫ) 0. EJERCICIOS 475. Enuncie con precisión la definición de convergencia de variables aleatorias: casi segura, en media, en media cuadrática, en probabilidad, en distribución Establezca las relaciones existentes entre los siguientes tipos de convergencia de variables aleatorias: convergencia en distribución, en probabilidad, convergencia casi segura, convergencia en media y convergencia en media cuadrática. 159

161 477. Demuestre que la convergencia casi siempre implica la convergencia en probabilidad Demuestre que la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en media Demuestre que la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en probabilidad Demuestre que la convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución Sea A 1, A 2,... una sucesión de eventos tal que lím n A n = A. En qué sentido la sucesión de variables aleatorias 1 An converge a 1 A? d d 482. Demuestre que si X n X y Y n Y entonces no necesariamente a) cx n d cx, c constante. b) X n + Y n d X + Y Sea X n con distribución N(µ n, σ 2 n) y X con distribución N(µ, σ 2 ). Suponga µ n µ y σ 2 n σ 2, con σ 2 n, σ 2 > 0. En qué sentido X n X? 484. Suponga X n d X en donde X n y X son variables aleatorias absolutamente continuas. Bajo qué condiciones f Xn (x) f X (x)? 6.8. Dos resultados importantes de convergencia Sea X 1, X 2,... una sucesión de variables aleatorias con esperanza finita. Suponga que X n converge puntualmente a X. Es natural preguntarse si la sucesión de números E(X n ) converge a E(X). Tal convergencia numérica equivaldría a poder intercambiar las operaciones de límite y esperanza. En esta sección se enuncian sin demostración dos resultados que establecen condiciones bajo las cuales se cumple que E(X n ) converge a E(X). Teorema 3 (Teorema de convergencia monótona) Si X n converge puntualmente a X y es tal que 0 X 1 X 2 entonces lím E(X n) = E(X). n Por lo tanto la condición de que la sucesión de variables aleatorias sea monótona no decreciente es suficiente para poder afirmar que E(X n ) converge a E(X). El segundo resultado que se enuncia a continuación establece otro tipo de condición suficiente para obtener la misma conclusión. 160

162 Teorema 4 (Teorema de convergencia dominada) Si X n converge puntualmente a X y existe Y con esperanza finita tal que X n Y para toda n, entonces lím n E(X n) = E(X). Es decir, es suficiente que exista una variable aleatoria con esperanza finita que sea cota superior de la sucesión para poder afirmar que E(X n ) converge a E(X). Estos dos resultados son de suma utilidad y su demostración aparece en textos avanzados de probabilidad [11], [16], [21]. Se utilizan en la última parte de este curso para formalizar algunas demostraciones. 161

163 Capítulo 7 Funciones generadoras En este capítulo se estudia la función generadora de probabilidad, la función generadora de momentos y la función característica. Estas funciones son transformaciones de las distribuciones de probabilidad y constituyen una herramienta muy útil en la teoría moderna de la probabilidad Función generadora de probabilidad Definición 44 La función generadora de probabilidad de X es la función G(t) = E(t X ) definida para valores reales de t tal que la esperanza existe. Cuando sea necesario especificarlo se escribe G X (t) en lugar de G(t) y se usan las letras f.g.p. en lugar de función generadora de probabilidad. Esta función se utiliza principalmente en el caso de variables aleatorias discretas, por comodidad supondremos que éstas toman valores en el conjunto {0, 1,...} que corresponde al caso de las variables aleatorias discretas estudiadas en este curso. Entonces G(t) = t k P(X = k). k=0 Por lo tanto la f.g.p. es una serie de potencias en t con coeficientes dados por la distribución de probabilidad (por ende el nombre) y cuyo radio de convergencia es por lo menos uno. La existencia de la f.g.p. no está garantizada para toda distribución de probabilidad. Sin embargo cuando existe, determina de manera única a la dis- 162

164 tribución en el siguiente sentido. Si X y Y tienen la misma distribución de probabilidad entonces claramente G X (t) = G Y (t) para valores de t donde esta esperanza exista. Inversamente, sean X y Y tales que G X (t) y G X (t) existen y coinciden en algún intervalo no trivial alrededor del cero. Entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad. Ésta y otras propiedades generales de la f.g.p. se estudian a continuación y más adelante se ilustran estos resultados con un ejemplo. Proposición Sean X y Y variables aleatorias con valores en {0, 1,...} tales que G X (t) y G Y (t) existen y coinciden en algún intervalo no trivial alrededor de t = 0. Entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad. 2. Si G X (t) existe entonces d n dt ng X(t) = E[X(X 1) (X n + 1)]. t=1 3. Si X y Y son independientes y cuyas f.g.p. existen entonces G X+Y (t) = G X (t)g Y (t). Demostración. (1) Sean a n = P(X = n) y b n = P(Y = n) para n 0. La condición G X (t) y G X (t) se escribe t n a n = n=0 t n b n. Para que estas dos series de potencias en t coincidan en algún intervalo no trivial alrededor del cero, sus coeficientes deben forzosamente coincidir. Es decir a n = b n para n 0. (2) Como las series de potencia se pueden derivar término a término conservándose el mismo radio de convergencia se tiene que n=0 G (t) = = = d dt k=0 t k P(X = k) k=0 d dt tk P(X = k) kt k 1 P(X = k). k=1 163

165 Al evaluar en t = 1 se obtiene G (1) = kp(x = k) = E(X). k=1 De manera análoga se demuestra para las derivadas superiores. (3) Cuando X y Y son independientes, G X+Y (t) = E(t X+Y ) = E(t X t Y ) = E(t X )E(t Y ) = G X (t)g Y (t). Ejemplo 15 Sea X con distribución Poisson(λ). Entonces la f.g.p. de X es G(t) = e λ(1 t). En efecto, G(t) = n=0 t n e λλn n! = e λ (λt) n n! n=0 = e λ e λt = e λ(1 t). Observe que en este caso la f.g.p. se encuentra definida para cualquier valor de t. Calculamos a continuación la esperanza y varianza de la distribución Poisson(λ) con ayuda de la f.g.p. Al derivar una vez se obtiene G (t) = λe λ(1 t) y al evaluar en t = 1, E(X) = G (1) = λ. Derivando por segunda vez, G (t) = λ 2 e λ(1 t), y en t = 1 se obtiene E(X(X 1)) = G (1) = λ 2. Por lo tanto Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = λ 2 + λ λ 2 = λ. Ahora se muestra el uso de la f.g.p. para determinar la distribución de una variable aleatoria. Suponga que X y Y son independientes con distribución Poisson(λ 1 ) y Poisson(λ 2 ) respectivamente. Entonces M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) = e λ1(1 t) e λ 2(1 t) = e (λ 1+λ 2 )(1 t). Esta expresión corresponde a la f.g.p. de la distribución Poisson con parámetro λ 1 + λ 2. Se concluye entonces que X + Y se distribuye Poisson(λ 1 + λ 2 ). Las funciones generadoras de probabilidad para algunas otras distribuciones discretas se encuentran en la sección de ejercicios y también en el primer apéndice al final del libro. 164

166 EJERCICIOS 485. Sea X con varianza finita y con f.g.p. G(t). Demuestre que a) E(X) = G (1). b) E(X 2 ) = G (1) + G (1). c) Var(X) = G (1) + G (1) [G (1)] Sea X con f.g.p. G X (t) y sean a y b dos constantes. Demuestre que G ax+b (t) = t b G X (t a ) Sea X con distribución Ber(p). Demuestre que a) G(t) = 1 p + pt. b) E(X) = p usando G(t). c) Var(X) = p(1 p) usando G(t) Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que a) G(t) = (1 p + pt) n. b) E(X) = np usando G(t). c) Var(X) = np(1 p) usando G(t) Sean X 1,...,X n independientes cada una con distribución Ber(p). Use la f.g.p. para demostrar que X 1 + +X n tiene distribución bin(n, p) Sean X y Y independientes con distribución bin(n, p) y bin(m, p) respectivamente. Use la f.g.p. para demostrar que X + Y tiene distribución bin(n + m, p) Sea X con distribución bin(n, p) en donde N es una v.a. con distribución bin(m, r). Use la f.g.p. para demostrar que X tiene distribución bin(m, rp) Sea X con distribución geo(p). Demuestre que a) G(t) = p/[1 t(1 p)]. b) E(X) = (1 p)/p usando G(t). c) Var(X) = (1 p)/p 2 usando G(t) Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) G(t) = e λ(1 t). b) E(X) = λ usando G(t). c) Var(X) = λ usando G(t) Sean X y Y independientes con distribución Poisson con parámetros λ 1 y λ 2 respectivamente. Use la f.g.p. para demostrar nuevamente que X + Y tiene distribución Poisson(λ 1 + λ 2 ). 165

167 495. Sea X con distribución bin neg(r, p). Demuestre que a) G(t) = [p/(1 t(1 p))] r. b) E(X) = r(1 p)/p usando G(t). c) Var(X) = r(1 p)/p 2 usando G(t) Sean X 1,...,X n independientes tales que X k tiene f.g.p. G k (t) para k = 1,...,n. Demuestre que G X1 + +X n (t) = n G k (t) Demuestre que la condición G X+Y (t) = G X (t)g Y (t) no implica que X y Y son independientes Sea X 1, X 2,... una sucesión de v.a.i.i.d. con f.g.p. G X (t). Sea N otra v.a. con valores en N, independiente de la sucesión y con f.g.p. G N (t). Sea Y = X X N. Demuestre que a) G Y (t) = G N (G X (t)). k=1 b) E(Y ) = E(N)E(X) usando G Y (t). c) Var(Y ) = E 2 (X)Var(N) + E(N)Var(X) usando G Y (t) Función generadora de momentos La función generadora de momentos es otra función que se puede asociar a algunas distribuciones de probabilidad aunque su existencia no está garantizada para todas las distribuciones. Cuando existe, determina de manera única a la distribución de probabilidad asociada y tiene propiedades semejantes a las de la f.g.p. estudiada en la sección anterior. La función generadora de momentos se utiliza tanto para variables aleatorias discretas como continuas. Definición 45 La función generadora de momentos de X es la función M(t) = E(e tx ) definida para valores reales de t para los cuales esta esperanza existe. Nuevamente, cuando sea necesario especificarlo se escribe M X (t) en lugar de M(t) y se usan las letras f.g.m. en lugar de función generadora de momentos. La parte importante de esta función es su existencia en una vecindad 166

168 no trivial alrededor del cero. Observe que la f.g.m. y la f.g.p. están relacionadas, cuando existen, por la igualdad M(t) = G(e t ). Se demuestran a continuación algunas propiedades básicas de la f.g.m. y después se muestra su utilidad mediante un ejemplo. Proposición Sea X tal que su f.g.m. M(t) existe. Entonces todos los momentos X existen y d n dt nm(t) = E(X n ). t=0 2. Sean X y Y son independientes y cuyas f.g.m. existen. Entonces M X+Y (t) = M X (t)m Y (t). 3. Las variables X y Y tienen la misma distribución si y solo si M X (t) = M Y (t) para cada t ( ǫ, ǫ) con ǫ > 0. Demostración. (1) El teorema de convergencia dominada permite obtener la derivada a través de la esperanza de modo que d dt M(t) = d dt E(etX ) = E( d dt etx ) = E(Xe tx ). Al evaluar en t = 0 se obtiene el primer momento. Análogamente se prueba para derivadas superiores. (2) Cuando X y Y son independientes se tiene que M X+Y (t) = E(e t(x+y ) ) = E(e tx e ty ) = E(e tx )E(e ty ) = M X (t)m Y (t) (3) Si X es tal que su función generadora de momentos existe entonces todos sus momentos existen y éstos determinan de manera única a la distribución de probabilidad. Ejemplo 16 Sea X con distribución gama(n, λ). Entonces para t < λ, tx (λx)n 1 M(t) = e 0 Γ(n) = λ n (λ t) n 0 λe λx dx [(λ t)x] n 1 Γ(n) (λ t)e (λ t)x dx 167

169 = λ n (λ t) n. Calculamos ahora la esperanza y varianza de X con ayuda de la f.g.m. Derivando una vez, M (t) = λ n n(λ t) n 1, al evaluar en t = 0 se obtiene E(X) = n/λ. Derivando nuevamente, M (t) = λ n n(n+1)(λ t) n 2, por lo tanto E(X 2 ) = M (0) = n(n + 1)/λ 2. Entonces Var(X) = n(n + 1)/λ 2 n 2 /λ 2 = n/λ 2. Suponga que X y Y son independientes cada una con distribución gama(n, λ) y gama(m, λ) respectivamente. Entonces la f.g.m. de X + Y es M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) = λ n (λ t) n λ m (λ t) m = λ n+m (λ t) n m. Ésta es nuevamente la expresión de la f.g.m. de la distribución gama, ahora con parámetros n + m y λ. Se concluye entonces X + Y tiene distribución gama(n + m, λ). Como hemos mencionado antes, no todas las distribuciones de probabilidad permiten calcular la función generadora de momentos dentro de un intervalo alrededor del cero, ni todos los cálculos son tan sencillos como en el ejemplo mostrado. Por ejemplo la f.g.m. de la distribución Cauchy estándar no existe para valores de t distintos de cero como se pide demostrar en el ejercicio 522. Finalizamos esta sección con el enunciado sin demostración de un resultado acerca de convergencia de funciones generadoras. Proposición 67 Sea X 1, X 2,... una sucesión de variables aleatorias cuyas funciones generadoras de momentos existen todas ellas en algún intervalo no trivial alrededor del cero. Entonces X n d X si y solo si MXn (t) M X (t). En la sección de ejercicios se pueden encontrar las funciones generadoras de momentos de algunas otras distribuciones discretas y continuas, asi como en el primer apéndice al final del libro. EJERCICIOS 499. Sea X con varianza finita y con f.g.m. M(t). Demuestre que a) E(X) = M (0). b) E(X 2 ) = M (0). c) Var(X) = M (0) (M (0))

170 500. Sean X y Y independientes e idénticamente distribuidas con f.g.m. M(t). Demuestre que M X Y (t) = M(t)M( t) Sea X con f.g.m. M X (t) y sean a y b dos constantes. Demuestre que M ax+b (t) = e tb M X (at) Sea X con f.g.m. M X (t). Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso. a) M X (t) 0. b) M 2X (t) = M X (2t) Sea X con distribución Ber(p). Demuestre que a) M(t) = 1 p + pe t. b) E(X) = p usando M(t). c) E(X n ) = p usando M(t). d) Var(X) = p(1 p) usando M(t) Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que a) M(t) = (1 p + pe t ) n. b) E(X) = np usando M(t). c) Var(X) = np(1 p) usando M(t) Sean X 1,...,X n independientes cada una con distribución Ber(p). Use la f.g.m. para demostrar que X 1 + +X n tiene distribución bin(n, p) Sean X y Y independientes con distribución bin(n, p) y bin(m, p) respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribución bin(n + m, p) 507. Sea X con distribución geo(p). Demuestre que p a) M(t) = 1 (1 p)e t. b) E(X) = (1 p)/p usando M(t). c) Var(X) = (1 p)/p 2 usando M(t) Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) M(t) = exp[λ(e t 1)]. b) M (t) = M (t) + λe t M (t). c) E(X) = λ usando M(t). d) Var(X) = λ usando M(t). e) E[(X λ) 3 ] = λ usando M(t) Sea X con distribución unif(a, b). Demuestre que a) M(t) = ebt e at (b a)t. 169

171 b) E(X) = (a + b)/2 usando M(t). c) Var(X) = (b a) 2 /12 usando M(t) Sea X con distribución exp(λ). Demuestre que a) M(t) = λ/(λ t) para t < λ. b) E(X) = 1/λ usando M(t). c) Var(X) = 1/λ 2 usando M(t) Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que a) M(t) = exp(µt σ2 t 2 ). b) E(X) = µ usando M(t). c) Var(X) = σ 2 usando M(t) Sean X y Y variables aleatorias independientes con distribución N(µ 1, σ1 2) y N(µ 2, σ2 2 ) respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribución N(µ 1 + µ 2, σ1 2 + σ2 2 ) Sea X con distribución gama(n, λ). Demuestre que a) M(t) = [λ/(λ t)] n para t < λ. b) E(X) = n/λ usando M(t). c) Var(X) = n/λ 2 usando M(t) Sean X y Y independientes ambas con distribución exp(λ). Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribución gama(2, λ) Sean X y Y independientes con distribución gama(n, λ) y gama(m, λ) respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribución gama(n + mλ) Sea X con distribución χ 2 (n). Demuestre que a) M(t) = [1/(1 2t)] n/2 para t < 1/2. b) E(X) = n usando M(t). c) Var(X) = 2n usando M(t) Use la f.g.m. para demostrar que si X y Y son independientes tales que X tiene distribución χ 2 (n) y X + Y tiene distribución χ 2 (m) con m > n, entonces Y tiene distribución χ 2 (m n). Este es el contenido de la proposición 50 en la página Sean X y Y independientes con distribución χ 2 (n) y χ 2 (m) respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribución χ 2 (n + m) Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Use la f.g.m. para demostrar que a) X tiene distribución N( µ, σ 2 ). 170

172 b) ax + b tiene distribución N(aµ + b, a 2 σ 2 ) con a 0. c) X 2 tiene distribución χ 2 (1) Sean X 1,...,X n independientes tales que X k tiene f.g.m. M k (t) para k = 1,...,n. Demuestre que M X1 + +X n (t) = n M k (t) Demuestre que la condición M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) no implica que X y Y son independientes. Considere la distribución conjunta k=1 f(x, y) = 1 4 [1 + xy(x2 y 2 )] para 1 < x, y < Sea X con distribución Cauchy estándar. Demuestre que { 1 si t = 0, M X (t) = si t Función característica Finalmente se estudia en esta sección la función característica y se enuncian algunas de sus propiedades. Ésta es una función definida para cada distribución de probabilidad y a diferencia de las funciones generadoras de probabilidad y de momentos estudiadas antes, siempre existe. Su definición es la siguiente. Definición 46 La función característica de X es la función φ(t) = E ( e itx) definida para cualquier número real t, en donde i es la unidad de los números imaginarios. Observe que la función característica es una función de los números reales en los números complejos y puede escribirse de la forma siguiente φ(t) = E(cos tx) + ie(sen tx). Nuevamente se escribe φ X (t) cuando sea necesario especificar que se trata de la función característica de X. Se escribe simplemente f.c. en lugar de función característica. Observe que la f.c., la f.g.m. y la f.g.p. están 171

173 relacionadas, cuando existen, por las igualdades φ(t) = M(it) = G(e it ). La existencia de la f.c. se sigue del siguiente análisis φ(t) = e itx df(x) = = 1. e itx df(x) df(x) De modo que φ(t) es un número complejo de norma menor o igual a uno para cualquier valor de t. Los momentos de la variable aleatoria pueden ser generados con la f.c. a través de la fórmula φ (n) (0) = i n E(X n ), en efecto, por el teorema de convergencia dominada se puede derivar a través de la esperanza y entonces d dt φ(t) = d dt E(eitX ) ( ) d = E dt eitx = E(iXe itx ). Evaluando en t = 0 se obtiene el resultado cuando n = 1. Análogamente se calculan las derivadas superiores. Como en las funciones generadoras anteriores, cuando X y Y son independientes se cumple que φ X+Y (t) = φ X (t)φ Y (t) pues φ X+Y (t) = E(e it(x+y ) ) = E(e itx e ity ) = E(e itx )E(e ity ) = φ X (t)φ Y (t). El siguiente resultado permite determinar la función de distribución de una variable aleatoria cuando se conoce su función de distribución. Proposición 68 (Fórmula de inversión de Lèvy) Sea X con función de distribución F y función característica φ(t). Si x < y son puntos de continuidad de F entonces 1 T e itx e ity F(y) F(x) = lím φ(t) dt. T 2π T it Con ayuda de este teorema de inversión probaremos que las funciones de distribución determinan de manera única a las distribuciones de probabilidad. 172

174 Proposición 69 (Teorema de unicidad) Si X y Y son tales que φ X (t) = φ Y (t) para todo t entonces X y Y tienen la misma distribución. Demostración. Por el teorema de inversión de Lèvy, la igualdad φ X (t) = φ Y (t) implica que para cualesquiera dos puntos de continuidad x < y para ambas distribuciones se tiene que F X (y) F X (x) = F Y (y) F X (x). Al hacer x tender a, se obtiene que F X (y) = F Y (y), para todos los valores y puntos de continuidad de ambas funciones de distribución. Como las funciones de distribución tienen a lo sumo un número numerable de discontinuidades, F X = F Y. En el caso absolutamente continuo se tiene la siguiente fórmula. Proposición 70 (Fórmula de inversión en el caso abs. continuo) Sea X absolutamente continua con función de densidad f(x) y función característica φ(t). Entonces f(x) = 1 2π e itx φ(t)dt. Demostración. Para x < y dos puntos de continuidad de F, por el teorema de inversión de Lèvy, F(y) F(x) = lím 1 2π T = 1 2π = 1 2π = y x [ 1 2π T T e itx e ity φ(t) dt it e itx e ity φ(t) dt it [ y ] e itx dx φ(t) dt. x ] e itx φ(t)dt dx. Por lo tanto el integrando debe ser la función de densidad de X. Observe que se puede utilizar la fórmula de inversión anterior únicamente cuando se conoce que la función característica proviene de una variable aleatoria absolutamente continua. Ahora se demuestra un resultado que será de utilidad en la última parte del curso. Establece que la convergencia en distribución es equivalente a la convergencia puntual de las correspondientes funciones características. 173

175 Proposición 71 (Teorema de Continuidad) Sean X, X 1, X 2,... variables aleatorias. Entonces X n d X si y solo si φxn (t) φ X (t). Demostración. ( ) Suponga X n d X. Entonces por el teorema de convergencia dominada, lím φ X n n (t) = lím E(cos tx n) + ie(sen tx n ) n = E(cos tx) + ie(sen tx) = φ X (t). ( ) Suponga φ Xn (t) φ X (t). Entonces para dos puntos de continuidad x < y comunes a cada F Xn y F X, el teorema de inversión de Lèvy establece que F X (y) F X (x) = lím T = lím T Haciendo x tender a, 1 T 2π 1 2π T T T e itx e ity φ(t) dt. it e itx e ity [ ] lím it φ X n n (t) dt. T = lím lím 1 e itx e ity n T 2π T it = lím F X n n (y) F Xn (x). F X (y) = lím n F X n (y). [φ Xn (t)] dt. Finalmente se muestra con ejemplos la forma de encontrar la función característica para algunas distribuciones. Ejemplo 17 Sea X con distribución bin(n, p). Encontraremos la función característica de X. n ( ) φ(t) = e itx n p x (1 p) n x x x=0 n ( ) n = (pe it ) x (1 p) n x x x=0 = (1 p + pe it ) n. 174

176 Ejemplo 18 Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Entonces la función característica de X se calcula como sigue, φ(t) = = e itx 1 2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx 1 2πσ 2 e (x2 2x(µ itσ 2 )+µ 2 )/2σ 2 dx = e ( µ2 +(µ itσ 2 ) 2 )/2σ 2 = e itµ t2 σ 2 /2. 1 )] 2 /2σ 2 2πσ 2 e [x (µ itσ2 }{{} N(µ itσ 2,σ 2 ) dx EJERCICIOS 523. Defina con precisión la función característica y mencione tres de sus propiedades Encuentre la f.c. de una v.a. con función de densidad a) f(x) = 1 x!(e 1) b) f(x) = 1 2 e x Demuestre que φ(t) 1. para x = 1, 2, Demuestre que φ ax+b (t) = e itb φ X (at), con a, b constantes Demuestre que si x F(x) es simétrica entonces t φ(t) es real Demuestre que si t φ(t) es real entonces x F(x) es simétrica Demuestre que la función característica es una función uniformemente continua Demuestre que la f.c. satisface φ( t) = φ(t), en donde z denota el complejo conjugado de z Sean X y Y independientes y con idéntica distribución. Demuestre que φ X Y (t) = φ X (t) Sea X con distribución Ber(p). Demuestre que a) φ(t) = (1 p + pe it ). b) E(X) = p usando φ(t). c) Var(X) = p(1 p) usando φ(t). d) E(X n ) = p usando φ(t), n 1 entero Sea X con distribución bin(n, p). Demuestre que 175

177 a) φ(t) = (1 p + pe it ) n. b) E(X) = np usando φ(t). c) Var(X) = np(1 p) usando φ(t) Sea X con distribución Poisson(λ). Demuestre que a) φ(t) = e λ(1 eit). b) E(X) = λ usando φ(t). c) Var(X) = λ usando φ(t) Sea X con distribución geo(p). Demuestre que a) φ(t) = p/(1 qe it ). b) E(X) = (1 p)/p usando φ(t). c) Var(X) = (1 p)/p 2 usando φ(t) Sea X tiene distribución bin neg(r, p). Demuestre que a) φ(t) = [p/(1 (1 p)e it )] r. b) E(X) = r(1 p)/p usando φ(t). c) Var(X) = r(1 p)/p 2 usando φ(t) Sea X con distribución unif( a, a). Demuestre que φ(t) = (sen at)/at Sea X con distribución unif(a, b). Demuestre que a) φ(t) = [e ibt e iat ]/[it(b a)]. b) E(X) = (a + b)/2 usando φ(t). c) Var(X) = (b a) 2 /12 usando φ(t) Sea X con distribución N(µ, σ 2 ). Demuestre que a) φ(t) = exp(iµt σ 2 t 2 /2). b) E(X) = µ usando φ(t). c) Var(X) = σ 2 usando φ(t) Sea X con distribución exp(λ). Demuestre que a) φ(t) = λ/(λ it). b) E(X) = 1/λ usando φ(t). c) Var(X) = 1/λ 2 usando φ(t) Sea X con distribución gama(n, λ). Demuestre que a) φ(t) = [λ/(λ it)] n. b) E(X) = n/λ usando φ(t). c) Var(X) = n/λ 2 usando φ(t). 176

178 542. Sean X y Y independientes ambas con distribución exp(λ). Use la f.c. para demostrar que X + Y tiene distribución gama(2, λ) Sean X y Y independientes con distribución gama(n, λ) y gama(m, λ) respectivamente. Use la f.c. para demostrar que X + Y tiene distribución gama(n + m, λ) Demuestre que si X y Y son independientes entonces φ X+Y (t) = φ X (t)φ Y (t) Demuestre que la condición φ X+Y (t) = φ X (t)φ Y (t) no implica que X y Y son independientes considerando por ejemplo la distribución conjunta f(x, y) = 1 4 [1 + xy(x2 y 2 )] para 1 < x, y < Sea X con función de distribución F(x) = ex 1 + e x. Demuestre que F(x) es efectivamente una función de distribución y calcule φ(t). Con ayuda de ésta encuentre E(X) y Var(X) Sean X y Y independientes. Demuestre que φ XY (t) = φ Y (tx)df X (x) = φ X (ty)df Y (y) Mediante el cálculo de residuos se puede demostrar que la distribución Cauchy estándar tiene función característica φ(t) = e itx 1 π(1 + x 2 ) dx = e t. Suponiendo este resultado, encuentre el error en el siguiente argumento para encontrar la f.g.m. de la distribución Cauchy: Como φ(t) = e t y M(t) = φ( it) entonces M(t) = e it = e t Sean X 1,...,X n v.a.i.i.d. con distribución Cauchy estándar, es decir, la función característica de cada una de estas variables es φ(t) = e t. Use este resultado para demostrar que la v.a. S n = (X X n )/n tiene distribución Cauchy estándar para cualquier valor de n. 177

179 Capítulo 8 Teoremas límite En este capítulo estudiamos dos de los teoremas más importantes en probabilidad, la ley de los grandes números y el teorema del límite central Desigualdades de Markov y de Chebyshev Proposición 72 (Desigualdad de Markov) Sea X 0 con esperanza finita. Para cualquier ǫ > 0, P(X > ǫ) E(X). (8.1) ǫ Demostración. E(X) = E( X 1 (X>ǫ) + X 1 (X ǫ) ) E( X 1 (X>ǫ) ) E( ǫ 1 (X>ǫ) ) = ǫp(x > ǫ). La desigualdad de Markov establece que la probabilidad de que X exceda un valor ǫ está acotada superiormente por la media entre ǫ. Las siguientes desigualdades equivalentes a la demostrada también se conocen como desigualdades de Markov. Para cualquier ǫ > 0, 1. P( X > ǫ) E X. ǫ 2. P( X > ǫ) E X n ǫ n. 178

180 Figura 8.1: Andrei Andreyevich Markov (Rusia ). Proposición 73 (Desigualdad de Chebyshev) Sea X con media µ y varianza σ 2 <. Para cualquier ǫ > 0, P( X µ > ǫ) σ2 ǫ 2. (8.2) Demostración. σ 2 = E [ (X µ) 2] = E [ (X µ) 2 1 ( X µ >ǫ) + (X µ) 2 1 ( X µ ǫ) ] E [ (X µ) 2 1 ( X µ >ǫ) ] E [ ǫ 2 1 ( X µ >ǫ) ] = ǫ 2 P( X µ > ǫ). La desigualdad de Chebyshev dice que la probabilidad de que X difiera de su media en mas de ǫ está acotada superiormente por la varianza entre ǫ 2. A esta desigualdad también se le conoce con el nombre de desigualdad de Chebyshev-Bienaymé. Las siguientes desigualdades son versiones equivalentes de la desigualdad de Chebyshev. Para cualquier ǫ > 0, 1. P( X µ > ǫσ) 1/ǫ P( X µ ǫσ) 1 1/ǫ P( X µ) ǫ) 1 σ2 ǫ

181 Figura 8.2: Pafnuty Lvovich Chebyshev (Rusia ). Proposición 74 (Desigualdad de Chebyshev extendida) Sea X una variable aleatoria y sea g 0 una función no decreciente tal que g(x) tiene esperanza finita. Para cualquier ǫ > 0, P(X > ǫ) E[g(X)]. (8.3) g(ǫ) Demostración. E[g(X)] = E[ g(x) 1 (X>ǫ) + g(x) 1 (X ǫ) ] E[ g(x) 1 (X>ǫ) ] E[ g(ǫ) 1 (X>ǫ) ] = g(ǫ)p(x > ǫ). A partir de la desigualdad de Chebyshev extendida y con una función g adecuada se pueden obtener tanto la desigualdad de Chebyshev como la desigualdad de Markov. En la siguiente sección se usará la desigualdad de Chebyshev para demostrar la ley débil de los grandes números. 180

182 En resumen tenemos la siguiente tabla. Desigualdades de Markov y de Chebyshev 1. Markov: Para ǫ > 0 a) X 0 = P(X > ǫ) E(X)/ǫ b) P( X > ǫ) E X /ǫ c) P( X > ǫ) E X n /ǫ n 2. Chebyshev: Para ǫ > 0 a) P( X µ > ǫ) Var(X)/ǫ 2 b) P(X > ǫ) E[g(X)]/g(ǫ) con g 0 no decreciente EJERCICIOS 550. Enuncie y demuestre la desigualdad de Markov Demuestre la desigualdad de Markov siguiendo los siguientes pasos. Suponga X 0. a) Para ǫ > 0 defina X ǫ = b) Compruebe que X ǫ X. { ǫ si X > ǫ, 0 si X ǫ. c) Tome esperanzas de ambos lados y calcule E(X ǫ ) Demuestre directamente las siguientes versiones de la desigualdad de Markov. Para cualquier ǫ > 0, a) P( X > ǫ) E X. ǫ b) P( X > ǫ) E X n ǫ n Demuestre que la convergencia en media implica la convergencia en probabilidad usando la desigualdad de Markov aplicada a la variable aleatoria no negativa X n X Enuncie y demuestre la desigualdad de Chebyshev Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar directamente que la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en probabilidad Demuestre la desigualdad de Chebyshev (8.2) usando la desigualdad de Markov (8.1) aplicada a la v.a. no negativa X µ. 181

183 557. Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar que si X es una variable aleatoria tal que E(X) = a y E(X 2 ) = 0 entonces X es constante casi seguramente, es decir, P(X = a) = Sea X con media µ y varianza σ 2. Use la desigualdad de Chebyshev para estimar la probabilidad de que X tome valores entre µ ǫσ y µ + ǫσ para ǫ > 0 constante Enuncie y demuestre la versión de Chebyshev extendida A partir de la desigualdad de Chebyshev extendida (8.3) demuestre la desigualdad de Chebyshev (8.2) y la desigualdad de Markov (8.1) Demuestre que P( X > ǫ) E X ǫ para ǫ > 0, a) usando la desigualdad de Chebyshev extendida. b) de manera directa Demuestre que P( X > ǫ) E X n ǫ n para ǫ > 0 y n N, a) usando la desigualdad de Chebyshev extendida. b) de manera directa Demuestre que P(X > ǫ) E(etX ) e ǫt para ǫ > 0 y t > 0, a) usando la desigualdad de Chebyshev extendida. b) de manera directa Sea X con función de densidad 1/18 si x = 1, 1, f(x) = 16/18 si x = 0, 0 otro caso. Demuestre que P( X µ > 3σ) y la estimación dada por la desigualdad de Chebyshev para esta probabilidad coinciden. Este ejercicio demuestra que en general la cota superior dada por la desigualdad de Chebyshev es óptima, es decir, no puede establecerse una cota superior más pequeña Considere la siguiente versión de la desigualdad de Chebyshev P( X µ ǫσ) 1 1/ǫ 2. Encuentre el mínimo valor de ǫ > 0 de tal modo que la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores entre µ ǫσ y µ + ǫσ sea al menos

184 8.2. Ley de los grandes números En esta sección se estudia uno de los teoremas más importantes de la teoría clásica de la probabilidad. Se conoce como la ley de los grandes números y establece que, bajo ciertas condiciones, el promedio de variables aleatorias converge a una constante cuando el número de sumandos crece a infinito. Más precisamente el resultado es el siguiente. Teorema 5 (Ley débil de los grandes números) Sean X 1, X 2,... independientes tales que E(X i ) = µ. Para cualquier ǫ > 0, lím n P( 1 n n X i µ ǫ) = 0. i=1 Demostración. (Suponiendo segundo momento finito.) Sea S n = (X X n )/n. Entonces E(S n ) = µ y Var(S n ) σ 2 /n asumiendo Var(X i ) σ 2 <. La desigualdad de Chebyshev aplicada a S n establece que para cualquier ǫ > 0 se cumple P ( S n µ ǫ) σ 2 /nǫ 2. Basta ahora tomar el límite cuando n tiende a infinito para obtener el resultado requerido. La ley débil de los grandes números establece entonces que la variable aleatoria S n = (X X n )/n converge en probabilidad a la media común µ. Observe que para la demostración de este resultado no hemos supuesto idéntica distribución para las variables aleatorias involucradas, únicamente que tengan la misma media, que sean independientes y aunque las varianzas pueden ser diferentes, se ha necesitado que sean uniformemente acotadas. Damos a continuación un ejemplo sencillo de aplicación de este resultado y más adelante demostraremos una versión más fuerte de la ley de los grandes números. Ejemplo 19 (Definición de probabilidad frecuentista) Considere un experimento aleatorio cualquiera y sea A un evento. Se repite sucesivamente el experimento y se observa en cada ensayo la ocurrencia o no ocurrencia del evento A. Sea X k la variable que toma el valor uno si en el k-ésimo ensayo se observa A y cero en caso contrario. Entonces X 1, X 2,... son variables aleatorias independientes con distribución Ber(p) en donde p es la probabilidad desconocida del evento A. Entonces E(X k ) = p y Var(X k ) = p(1 p). La ley débil de los grandes números asegura que la fracción de ensayos en los que se observa el evento A converge, en probabilidad, a la constante desconocida p cuando el número de ensayos crece a infinito. Esta es la definición frecuentista de la probabilidad y hemos entonces corroborado su validez con ayuda de la ley de los grandes números. La siguiente versión de la ley de los grandes números asegura que bajo ciertas 183

185 condiciones la convergencia de (X 1 + +X n )/n a la media µ es más fuerte, es casi segura. Teorema 6 (Ley fuerte de los grandes números) Sean X 1, X 2,... independientes e identicamente distribuidas tales que E(X i ) = µ. Entonces 1 P( lím n n n X i = µ) = 1. i=1 Demostración. (Suponiendo cuarto momento finito.) Dada la idéntica distribución cualquier elemento de la sucesión se denota simplemente por X. Observe que E(X µ) = 0. Entonces por independencia, E[( n (X i µ)) 4 ] = ne[(x µ) 4 ] + 3n(n 1)σ 4 i=1 = an + bn 2, para ciertas constante a y b. Por la desigualdad de Chebyshev (8.3) aplicada a la v.a. n i=1 (X i µ) y la función g(x) = x 4 se obtiene, para ǫ > 0, n P( (X i µ) nǫ) i=1 an + bn2 (nǫ) 4. Sea el evento A n = ( 1 n n i=1 X i µ ǫ). Entonces n=1 P(A n) <. Por el lema de Borel Cantelli la probabilidad de que ocurra una infinidad de eventos A n es cero, es decir, con probabilidad uno, solo un número finito de estos eventos ocurre. Por lo tanto con probabilidad uno, existe un número natural n a partir del cual ningún evento A n se verifica. Es decir, P( lím n 1 n n X i µ < ǫ) = 1. Como esta afirmación vale para cualquier ǫ > 0, se cumple que 1 P( lím n n i=1 n X i = µ) = 1. i=1 EJERCICIOS 566. Enuncie la ley débil de los grandes números y use la desigualdad de Chebyshev para demostrarla. 184

186 567. Use la ley débil de los grandes números para demostrar que si X n tiene distribución bin(n, p) entonces cuando n, 1 n X p n p Enuncie la ley fuerte de los grandes números (Ley de los grandes números en media cuadrática.) Demuestre que si X 1, X 2,... es una sucesión de v.a.s independientes con media µ y varianza σ 2 entonces 1 n n i=1 X i m.c. µ. Observe que no se pide la hipótesis de idéntica distribución para las variables aleatorias y que este resultado no es consecuencia de la ley fuerte Sean X 1,...,X n independientes con distribución N(µ, σ 2 ). Para cualquier valor de n, X X n N(µ, σ 2 /n). n Contradice esto la ley de los grandes números? 571. En el ejercicio 549 se pide usar la f.c. para demostrar que si X 1,...,X n son v.a.i.i.d. con distribución Cauchy estándar entonces el promedio S n = (X X n )/n tiene distribución Cauchy estándar independientemente del valor de n. Contradice esto la ley de los grandes números? 8.3. Teorema del límite central Concluimos el curso con el célebre y famoso teorema del límite central. Este resultado es de amplio uso en estadística y otras ramas de aplicación de la probabilidad. Teorema 7 (Teorema del límite central) Sean X 1, X 2... independientes e identicamente distribuidas tales que E(X i ) = µ y Var(X i ) = σ 2 <. Para cualquier x en R, lím P n [ (X1 + + X n ) nµ nσ en donde Z tiene distribución N(0, 1). ] x = P(Z x), 185

187 Este resultado establece entonces que la variable aleatoria (X X n ) nµ nσ converge en distribución a una variable aleatoria normal estándar sin importar la distribución original de las variables X. Observe que la suma (X 1 + +X n ) tiene media nµ y varianza nσ 2, de modo que la expresión de arriba es una especie de estandarización de esta variable. Equivalentemente este resultado puede enunciarse del siguiente modo 1 n (X X n ) µ σ/ n d N(0, 1). A fin de dar una demostración simple de este resultado supondremos adicionalmente que los elementos de la sucesión tienen momentos finitos de cualquier orden. Esta demostración hace uso de la función característica. Demostración.(Suponiendo todos los momentos finitos.) Observe que (X X n ) nµ nσ = [(X 1 µ)/σ + + (X n µ)/σ] n en donde cada sumando del numerador en el lado derecho es una variable con media cero y varianza uno. Asi pues, sin pérdida de generalidad supondremos que cada X i tiene media cero y varianza uno y consideraremos la suma Z n = X X n n. Se desea probar que Z n d N(0, 1). Para ello es suficiente demostrar que lím n φ Z n (t) = e t2 /2. Tenemos que por independencia e idéntica distribución, [ φ Zn (t) = E e it(x 1+ +X ] n)/ n = [ ( )] n φ X t/ n. Por lo tanto, lnφ Zn (t) = n lnφ X (t/ n) ( = n ln 1 + ite(x) + i2 t 2 E(X 2 ) + i3 t 3 E(X 3 ) ) n 2!n 3!n 3/2 +. Usando la fórmula ln(1 + x) = x 1 2 x x3 y factorizando potencias de it se obtiene lnφ Zn (t) = ( E(X 2 ) E 2 (X) ) i 2 t 2 /2 ( E(X 3 ) ) + 3! n E(X)E(X2 ) 2 + E3 (X) i 3 n 3 t 3 + n n 186

188 El primer sumando es t 2 /2 y todos los términos a partir del segundo sumando se anulan cuando n tiende a infinito. Por lo tanto, lím n lnφ Z n (t) = t 2 /2. Como la función logaritmo es una función continua tenemos que ( ) ln lím φ Z n n (t) = t 2 /2. De donde se obtiene lím n φ Z n (t) = e t2 /2. EJERCICIOS 572. Enuncie con precisión el teorema del límite central Use el teorema del límite central para estimar la probabilidad de obtener mas de 520 águilas en 1000 lanzamientos de una moneda honesta Sea {X n : n = 1, 2,...} una sucesión de v.a.i.i.d. con distribución Poisson(λ) con λ = 1. Use el teorema del límite central para demostrar que lím n 1 e n n k=0 n k k! = La probabilidad de ocurrencia de un evento en un ensayo es de 0.3. Cuál es la probabilidad de que la frecuencia relativa de este evento en 100 ensayos se encuentre entre 0.2 y 0.5? 187

189 Apéndice A Distribuciones de probabilidad Se presenta a continuación una lista con algunas distribuciones de probabilidad de uso común. Las letras µ y σ 2 denotan la esperanza y varianza respectivamente. La función generadora de probabilidad es G(t), la generadora de la momentos es M(t) y la función característica es φ(t). DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS DISCRETAS Distribución uniforme X unif{x 1,...,x n } con n N. f(x) = 1/n para x = x 1,...,x n. E(X) = 1 n n j=1 x j. Var(X) = 1 n n j=1 (x j µ) 2. M(t) = 1 n n j=1 ex jt. Distribución Bernoulli X Ber(p) con p (0, 1). f(x) = p x (1 p) 1 x para x = 0, 1. E(X) = p. Var(X) = p(1 p). G(t) = 1 p + pt. M(t) = (1 p) + pe t. Distribución binomial X bin(n, p) con n {1, 2,...} y p (0, 1). 188

190 ( n f(x) = x E(X) = np. Var(X) = np(1 p). G(t) = (1 p + pt) n. M(t) = [(1 p) + pe t ] n. ) p x (1 p) n x para x = 0, 1,...,n. Distribución geométrica X geo(p), con p (0, 1) y q = 1 p f(x) = p(1 p) x para x = 0, 1,... E(X) = q/p. Var(X) = q/p 2. G(t) = p/[1 t(1 p)]. M(t) = p/[1 (1 p)e t ]. Distribución Poisson X Poisson(λ) con λ > 0. f(x) = e λλx para x = 0, 1,... x! E(X) = λ. Var(X) = λ. G(t) = e λ(1 t). M(t) = exp[λ(e t 1)]. Distribución binomial negativa X bin ( neg(r, p) con ) p (0, 1) y r {1, 2,...}. r + x 1 f(x) = p x r (1 p) x para x = 0, 1,... E(X) = r(1 p)/p. Var(X) = r(1 p)/p 2. G(t) = [p/(1 t(1 p))] r. M(t) = [p/(1 qe t )] r. Distribución hipergeométrica X hipergeo(n, ( )( K, n) con ) N, ( K, n ) {1, 2,...} y n K N. K N K N f(x) = / para x = 0, 1,...,n. x n x n E(X) = nk/n. Var(X) = n K N K N n N N N 1. DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS CONTINUAS 189

191 Distribución uniforme X unif(a, b) con a < b. f(x) = 1/(b a) para x (a, b). F(x) = (x a)/(b a) para x (a, b). E(X) = (a + b)/2. Var(X) = (b a) 2 /12. M(t) = (e bt e at )/(bt at). Distribución exponencial X exp(λ) con λ > 0. f(x) = λe λx para x > 0. F(x) = 1 e λx para x > 0. E(X) = 1/λ. Var(X) = 1/λ 2. M(t) = λ/(λ t) para t < λ. Distribución gama X gama(n, λ) con λ > 0 y n > 0. f(x) = (λx)n 1 λe λx para x > 0. Γ(n) F(x) = 1 e λx n 1 j=0 (λx)j /j! para x > 0. E(X) = n/λ. Var(X) = n/λ 2. M(t) = [λ/(λ t)] n para t < λ. Distribución beta X beta(a, b) con a > 0, b > 0. f(x) = x a 1 (1 x) b 1 /B(a, b) para x (0, 1). E(X) = a/(a + b). Var(X) = ab/[(a + b + 1)(a + b) 2 ]. Distribución normal X N(µ, σ 2 ) con µ R y σ 2 > 0. 1 /2σ f(x) = 2 2πσ 2 e (x µ)2. E(X) = µ. Var(X) = σ 2. M(t) = exp(µt + σ 2 t 2 /2). φ(t) = exp(iµt σ 2 t 2 /2). Cuando µ = 0 y σ 2 = 1 se obtiene la distribución normal estándar. 190

192 Distribución ji-cuadrada X χ 2 (n) con n > 0. ( ) 1 1 n/2 f(x) = x n/2 1 e x/2 para x > 0. Γ(n/2) 2 E(X) = n. Var(X) = 2n. M(t) = (1 2t) n/2 para t < 1/2. Distribución t X t(n) con n > 0. Γ(n + 1/2) f(x) = (1 + x2 nπ Γ(n/2) n ) n 1/2. E(X) = 0. Var(X) = n/(n 2) para n > 2. M(t) no existe para t 0. φ(t) = exp( t ). Distribución log normal X log normal(µ, σ 2 ) con µ R y σ 2 > 0. 1 f(x) = x 2πσ exp[ (lnx 2 µ)2 /2σ 2 ] para x > 0. E(X) = exp(µ + σ 2 /2). E(X n ) = exp(nµ + n 2 σ 2 /2). Var(X) = exp(2µ + 2σ 2 ) exp(2µ + σ 2 ). Distribución Pareto X Pareto(a, b) con a, b > 0. ab a f(x) = (a + x) a+1 para x > 0. F(x) = 1 [b/(b + x)] a para x > 0. E(X) = b/(a 1) para a > 1. Var(X) = ab 2 /[(a 1) 2 (a 2)] para a > 2. Distribución Weibull X Weibull(r, λ) con r, λ > 0. f(x) = e (λx)r rλ r x r 1 para x > 0. F(x) = 1 e (λx)r para x > 0. E(X) = Γ(1 + 1/r)/λ. Var(X) = [Γ(1 + 2/r) Γ 2 (1 + 1/r)]/λ 2. Distribución Cauchy 191

193 X Cauchy(a, b) con b > 0. 1 f(x) = bπ[1 + ((x a)/b) 2 ]. E(X) y Var(X) no existen. Cuando a = 0 y b = 1 se obtiene la distribución Cauchy estándar. En este caso, 1 f(x) = π(1 + x 2 ). F(x) = 1/2 + (arctanx)/π. 192

194 Apéndice B Formulario El alfabeto griego A α alpha I ι iota P ρ, rho B β beta K κ kappa Σ σ, ς sigma Γ γ gamma Λ λ lambda T τ tau δ delta M µ mu Υ υ upsilon E ǫ, ε epsilon N ν nu Φ φ, ϕ phi Z ζ zeta Ξ ξ xi X χ chi H η eta O o omikron Ψ ψ psi Θ θ, ϑ theta Π π pi Ω ω omega 1. σ-álgebra a) Ω F. b) A F A c F. c) A 1, A 2,... F A n F. n=1 2. Axiomas de la probabilidad a) P(Ω) = 1. b) P(A) 0, para A F. c) A 1, A 2,... F ajenos dos a dos P( A n ) = P(A n ). 3. Esperanza E(X) = a) E(c) = c b) E(cX) = ce(x) n=1 n=1 x df(x) 193

195 c) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) d) X 0 = E(X) 0. e) X Y = E(X) E(Y ). 4. Varianza Var(X) = E(X µ) 2. Es un número no negativo que indica el grado de dispersión de la variable aleatoria. Cumple a) Var(cX) = c 2 Var(X). b) Var(X + c) = Var(X). c) Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X). d) Var(X + Y ) Var(X) + Var(Y ) (excepto caso independencia). 5. Covarianza Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))]. a) Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). b) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). c) Cov(X, X) = Var(X). d) Cov(a, Y ) = 0, a constante. e) Cov(aX, Y ) = acov(x, Y ), a constante. f ) Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ). g) X, Y indep = Cov(X, Y ) = 0. h) Cov(X, Y ) = 0 X, Y indep (excepto caso normal). 6. Coeficiente de correlación ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ). Es un número en [ 1, 1] que representa una medida del grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias. Cuando Y = ax + b con a 0 y b constantes se cumple ρ(x, Y ) = 1 y viceversa. Si X y Y son independientes entonces ρ(x, Y ) = 0, el recíproco es falso excepto en el caso normal. 7. Transformaciones Si X es una variable aleatoria y φ es una función estrictamente monótona y con inversa diferenciable entonces la variable aleatoria Y = φ(x) tiene función de densidad f Y (y) = f X (φ 1 (y)) d dy φ 1 (y). En el caso bidimensional, si (U, V ) = φ(x, Y ) con φ continua y con inversa diferenciable entonces f U,V (u, v) = f X,Y (φ 1 (u, v)) J(u, v), φ 1 1 φ 1 1 en donde J(u, v) = u v φ 1 2 φ 1. 2 u v En particular se cumplen las siguiente fórmulas 194

196 a) f X+Y (u) = b) f X Y (u) = c) f XY (u) = d) f X/Y (u) = f X,Y (u v, v)dv f X,Y (u + v, v)dv f X,Y (u/v, v) 1 v dv f X,Y (uv, v) v dv 8. Función generadora de probabilidad G(t) = E(t X ). Se utiliza principalmente para distribuciones discretas. Cuando existe determina de manera única a la distribución de probabilidad. Genera los momentos factoriales a través de la fórmula G (n) (1) = E[X(X 1) (X n + 1)], cuando estos momentos existen. Cumple además a) X, Y indep G X+Y (t) = G X (t)g Y (t), el recíproco es falso. 9. Función generadora de momentos M(t) = E(e tx ). Esta función no existe para todas las distribuciones de probabilidad. Cuando existe en algún intervalo no trivial alrededor de t = 0 determina de manera única a la distribución de probabilidad. Genera los momentos a través de la fórmula M (n) (0) = E(X n ). Además cumple a) X, Y indep M X+Y (t) = M X (t)m Y (t), el recíproco es falso. b) X n d X si y solo si MXn (t) M X (t) para cada t en ( ǫ, ǫ), ǫ > Función característica φ(t) = E(e itx ). Es una función que siempre existe y determina de manera única a la distribución de probabilidad. Genera los momentos a través de la fórmula φ (n) (0) = i n E(X n ) cuando estos momentos existen. Además cumple a) X, Y indep φ X+Y (t) = φ X (t)φ Y (t), el recíproco es falso. b) X n d X si y solo si φxn (t) φ X (t) para cada t en R. c) F(x + h) F(x) = lím T 1 2π T T 1 T d) f(x) = lím e itx φ(t)dt. T 2π T 11. Ley de los grandes números 12. Teorema del límite central 1 n 1 e ith e itx φ(t)dt (Lèvy). it n X i µ i=1 (X X n ) nµ nσ d N(0, 1) 195

197 Apéndice C Tabla de la distribución normal estándar Φ(x) = 1 2π x e t2 /2 dt x

198 Bibliografía [1] Blake I.F. (1979) An introduction to applied probability. Wiley. [2] Cohn D.L. (1980) Measure theory. Birkhäuser. [3] Feller W. (1978) Introducción a la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones. Vol. I y II. Limusa. [4] Grimmett G.R., Stirzaker D.R. (1982) Probability and random processes. Clarendon Press. [5] Grimmett G.R., Stirzaker D.R. (1986) Probability: an introduction. Oxford University Press. [6] Grimmett G.R., Stirzaker D.R. (2001) One thousand exercises in probability. Oxford University Press. [7] Halmos P.R. (1960) Measure theory. Van Nostrand. [8] Harris B. (1966) Theory of probability. Addison Wesley. [9] Hoel P., Port S., Stone C. (1971) Probability theory. Houghton Mifflin Co. [10] Jacod D., Protter P. (2000) Probability essentials. Springer Verlag. [11] Karr A.F. (1993) Probability. Springer Verlag. [12] Laha R. G., Rohatgi V. K. (1979) Probability theory. John Wiley & Sons. [13] Miller I., Miller M. (1999) John E. Freund s mathematical statistics - 6th ed. Prentice Hall. [14] Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C. (1974) Introduction to the theory of statistics. McGraw Hill. [15] Parzen E. (1960) Modern probability theory and its applications. Wiley. [16] Resnick S.I. (1999) A probability path. Birkhäuser. [17] Rincón L. (2004) Qué es la esperanza condicional? Miscelánea Matemática. No. 37, Agosto 2004, SMM. 197

199 [18] Romano J.P., Siegel A.F. (1986) Counterexamples in probability and statistics. Chapman & Hall. [19] Rosenthal J.S. (2000) A first look at rigorous probability theory. World Scientific. [20] Ross S. (1976) A first course in probability. Prentice Hall. [21] Williams D. (1991) Probability with martingales. Cambridge University Press. [22] Williams D. (2001) Weighing the odds: a course in probability ans statistics. Cambridge University Press. 198

200 Índice σ-álgebra, 5 generada, 8 mínima generada, 8 σ-álgebra, 4 de Borel, 11 Borel-Cantelli, 34 Coeficiente de correlación, 105 Conjunto Borel medible, 11 Boreliano, 11 de Borel, 11 medible, 5 Continuidad de la prob, 29, 30 Convergencia casi dondequiera, 151 casi segura, 151 casi siempre, 151 débil, 154 de eventos, 15 en distribución, 154 en media, 153 en media cuadrática, 154 en probabilidad, 152 puntual, 150 puntual de v.a.s, 150 Convolución, 120 Covarianza, 102 Desigualdad de Bonferroni, 28 de Boole, 24 de Cauchy-Schwarz, 62 de Chebyshev, 179, 180 de Kounias, 28 de Markov, 178 Distribución arcoseno, 75 Bernoulli, 64, 188 beta, 74, 190 binomial, 65, 188 binomial negativa, 68, 189 Cauchy, 191 exponencial, 71, 190 exponencial doble, 72 F de Snedecor, 138 gama, 72, 190 geométrica, 66, 189 hipergeométrica, 69, 189 hipergeométrica multivariada, 111 ji-cuadrada, 131, 191 log normal, 78, 115, 191 multinomial, 110 normal, 76, 190 normal bivariada, 112 Pareto, 191 Poisson, 67, 189 t de Student, 136, 191 uniforme continua, 70, 190 uniforme discreta, 63, 188 Weibull, 191 Espacio de probabilidad, 4, 5 medible, 5 muestral, 4 Esperanza condicional, 96 de un vector, 99 de una función de un vector, 99 de una v.a., 55 Estadísticas de orden, 141 Estadística, 130 Evento, 4 Función característica, 171 fórmula de inversión, 172, 173 teorema de continuidad, 174 teorema de unicidad,

201 Función de densidad condicional, 89 conjunta, 84 marginal, 87 Función de distribución, 44 condicional, 89 conjunta, 81 marginal, 87 Función generadora de momentos, 166 de probabilidad, 162 de un vector, 99 de una v.a., 59 muestral, 130 Vector aleatorio, 80 continuo, 81 discreto, 81 Independencia de σ-álgebras, 33 de eventos, 32 de v.a.s, 91 Integral de Riemann-Stieltjes, 53 Límite inferior, 15 Límite superior, 15 Ley de los grandes números, 183 débil, 183 fuerte, 184 Matriz de varianzas, 99 Media, 56 muestral, 130 Medida de probabilidad, 5, 20 Momentos, 61 absolutos, 61 centrales, 61 centrales absolutos, 61 Muestra aleatoria, 130 Teorema de cambio de variable, 114, 116 de convergencia dominada, 160 de convergencia monótona, 160 del límite central, 185 Valor esperado, 56 Valor medio, 56 Valor promedio, 56 Variable aleatoria, 36 continua, 51 discreta, 50 mixta, 51 Varianza condicional,