Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.

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José Antonio Fernández Padilla
hace 7 años
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1 Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Primavera 15 FECHA: de Junio de 15 Fecha publicación notas: 11 de Junio de 15 Fecha revisión examen: 16 de Junio de 15 APELLIDOS Y NOMBRE: DNI: TITULACIÓN: Duración: 3 horas Ejercicio 1 1 punto Se tiran dos dados. A continuación se vuelven a tirar los dados en los que no se haya obtenido un seis que pueden ser ninguno uno o los dos. Calcula la probabilidad de obtener finalmente dos seises es decir que después de este proceso queden sobre la mesa dos seises. Sea A obtener al final seises y Entonces S obtener en la primera tirada seises S 1 obtener en la primera tirada 1 seis S obtener en la primera tirada seises P A P S P A/S + P S 1 P A/S 1 + P S P A/S / Ejercicio 1 punto Se realiza una prueba para separar los objetos A de los objetos que no son A. Si el objeto no es A la prueba da N con probabilidad.99. Si el objeto es A la prueba da N con probabilidad.. El 4 % de los objetos son A. a Calcula la probabilidad de que un objeto que ha dado N sea A. La probabilidad de que un objeto que ha dado N sea A es P A N P A/N P N P AP N/A P AP N/A + P AP N/A b Calcula la probabilidad de que un un objeto que no ha dado N sea A. La probabilidad de que un un objeto que no ha dado N sea A es P A N P A/N P N P AP N/A P AP N/A + P AP N/A

2 Ejercicio 3 1 punto Supongamos que la probabilidad de que una persona tenga un virus es.1. Se pretende analizar la sangre de 1 personas. Para ello las dividimos en 1 grupos de 1 personas. Que una persona tenga el virus es independiente de que lo tengan los demás. a Cual es la probabilidad de que en un grupo de 1 personas exactamente tengan el virus? El número de personas con el virus X es una variable aleatoria con distribución binomial Binn 1 p.1. Entonces la probabilidad de que dos tengan el virus es 1 P X b Calcula la función de probabilidad de Y número de grupos en los que alguna persona tiene el virus. Y B1 p donde p y entonces 1 P X n p n q 1 n n n Ejercicio 4 1 punto Sea X una variable aleatoria con función de densidad 3 8 fx x < x < en otro caso X 3 a Calcula P 1 X 3 P 1 1 P X 5 3 1/ 8 x dx b Calcula el cuantil q.3 de orden.3 de X. Para x [ ] F x El cuantil q.3 es el número que cumple x 3 8 ξ dξ x 3 /8 Entonces F q.3 q q /

3 Ejercicio 5 puntos Para contrastar si la media de una variable aleatoria con distribución normal de varianza 4 es 7 se utiliza una muestra de tamaño n 1. Se considera como hipótesis alternativa µ 7. a Con un nivel de significación α.4 cuál sería el intervalo de aceptación del estadístico de contraste X µ σ/? Para que valores de la media muestral x se aceptaría la hipótesis nula µ 7? n Utilizamos el estadístico de contraste X µ σ/ n X 7. que suponiendo que la hipótesis nula se verifica tiene distribución N 1. Como el cuantil de orden.98 de una N 1 es q.98.6 la hipótesis nula se aceptaría si o equivalentemente si.6 x x b Si se obtiene una media muestral x 7.6 cuál sería el p-valor? El estadístico de contraste tomaría el valor y entonces el p-valor sería p P Z > 3 [1 P Z < 3] [1 Φ3] [ ].7 Ejercicio puntos Un experimento consiste en lanzar dos veces una moneda en la que la probabilidad de cara es el triple que la de cruz. Si sale cara en el primer lanzamiento hacemos X 1 y si sale cruz X. La misma asignación se hace para el resultado Y del segundo lanzamiento. a Calcula la función de probabilidad conjunta de X Y. El espacio muestral es Ω {cc c+ +c ++} P cara 3 P cruz 4 P cruz 1 P cara 3/4 P cruz 1/4 P {cc} 9/16 P {c+} 3/16 P {+c} 3/16 P {++} 1/16 La variable aleatoria X Y está definida del siguiente modo: 3

4 Ω XY R ++ +c 1 c + 1 cc 1 1 Su función de probabilidad vendrá dada por: Y \X 1 1/16 3/16 1 3/16 9/16 b Definimos la variable aleatoria Z XY. Halla la función de probabilidad de Z. P Z P X Y + P X Y 1 + P X 1 Y P Z 1 P X 1 Y c Calcula E XY. E XY De otro modo 1 1 i j i j P X i Y j E XY E Z P Z + 1 P Z Ejercicio 7 1 punto La función de densidad conjunta del vector aleatorio X Y viene dada por fx y ye xy si x > < y < en otro caso a Calcula la distribución marginal de Y y la media de Y. f Y y Como Y U será E[Y ] 1 y e xy dx 1 e xy 1 si < y < en otro caso 4

5 b Calcula P 1/ < X < 1 Y < P 1/ < X < 1 Y < 1 ye xy dx 1/ 1 dy 1 1 e xy 1 1/ dy 1 e y e y/ dy 1 e y e y/ e 1 e 1/ Ejercicio puntos Dado el proceso aleatorio Xt Y + Zt donde Y y Z son dos variables aleatorias normales independientes ambas de media y varianza 1 halla a La media autocorrelación y varianza del proceso. E[Xt] E[Y ] + t E[Z] R X t t + τ E[XtXt + τ] E[Y + ZtY + Zt + τ] E[Y + Y Zt + τ + Z tt + τ] E[Y ] + t + τe[y Z] + tt + τe[z ] 1 + tt + τ VARXt R X t t 1 + t b Las distribuciones de primer orden del proceso. Para cada t fijo Xt Y Z Como Y Z N 1 1 por ser Y y Z variables aleatorias normales independientes de media y varianza 1 Resulta finalmente Xt N c Las distribuciones de segundo orden del proceso t N σ 1 + t Como Xt Xt + τ + τ Y Z 5

6 resulta que Xt Xt + τ N + τ + τ t t + τ Operando resultaría: Xt Xt + τ N 1 + t 1 + tt + τ 1 + tt + τ 1 + t + τ d La distribución de X1 + X5. Como X1 X1 + X5 1 X5 resulta que X1 + X5 sigue una distribución normal de media µ 1 X1 y teniendo en cuenta que la matriz de covarianzas de es X5 σ la varianza es es decir X1 + X5 N σ 13 6

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