Examen de Estadística

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Joaquín Aranda López
hace 5 años
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1 Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 6 de Mayo de 6 Cuestiones solución h 45m C (.5 puntos). Considera tres eventos A, B, C S tales que P (A) = P (B) =.5, P (A B) =.5, y P (C) =.4. a) Son A y B eventos independientes? b) Calcula P (A B) y P (A B). c) Calcula P (B A). d) Sabiendo que P (A C) =.65, calcula P (C A). a) Como P (A) =.5, se tiene que P (A) =.5 =.5. Luego, P (A) P (B) =.5.5 =.5 = P (A B). De aquí se obtiene que A y B son independientes. Esto implica que A y B también lo son. b) Como P (A B) =.5, se tiene que P (A B) = P (A B) = P (A B) =.5 =.75. Otra manera de obtener P (A B) es usando el hecho de que A y B son independientes. Así, P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) = P (A)+P (B) P (A) P (B) =.5+.5 (.5.5) =.75. Con respecto a P (A B), dado que A y B son independientes, se tiene que P (A B) = P (A) =.5. También se podría haber utilizado la fórmula general para el cálculo de una probabilidad condicionada. c) Como A y B son independientes, A y B también lo son. Luego, P (B A) = P (B) P (A) =.5.5 =.5. d) Usando el Teorema de Bayes, se tiene que: P (C A) = P (A C)P (C) P (A) = =.5. C ( puntos). Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo o su valor correcto: a) Sea X(t) un proceso Gaussiano que verifica: E[X(t)] = 6 y R X (τ) = e τ. Entonces, el proceso es estacionario en sentido débil, en sentido fuerte (o estricto) y su potencia (E[X (t)]) es 6. b) Sea (X, Y ) la variable aleatoria bidimensional correspondiente al modelo uniforme continuo en el recinto delimitado por los vértices (, ), (, ), (, ) y (, ). Entonces P (X Y.5) =.5. c) Si X U (, ), entonces E [ e X] =.

2 a) Es verdadera. El proceso es estacionario en sentido débil ya que la media es constante y la autocorrelación sólo depende de τ. Es estacionario en sentido fuerte, ya que al ser un proceso Gaussiano, estacionariedad en sentido débil y fuerte son equivalentes, y la potencia es 6 ya que la potencia está definida como: E[X(t) ] = R X (τ = ) = e = 6. b) Es falsa. Se tiene que: P (X Y.5) = P (X Y >.5) = dydx.5 /(x) ( = ) [ dx = x ].5 x ln x (.5 = + ln ) = ln = c) Es falsa. Se verifica que: E [ e X] = = + e x f X (x) dx = [ e e ] = [ e e [ e x ] e x dx = ] = e =.8. e En particular,.8 = E [ e X] e E[X] = e +( ) = e =. C3 (.5 puntos). Los diseñadores de un nuevo tipo de cabina de avión quieren colocar un interruptor de forma que la mayoría de los pilotos puedan alcanzarlo sin tener que cambiar de posición. Se sabe que la distribución de la distancia máxima (en cms) que pueden alcanzar los pilotos sin moverse (medida desde el respaldo del asiento) es N(µ = 5, σ = ). a) Si se pone el interruptor a cms del respaldo del asiento, qué proporción de pilotos no podrá alcanzarlo sin moverse del asiento? b) Cuál es la distancia máxima desde el respaldo a la que se podría poner el interruptor si queremos que el 95 % de los pilotos pueda alcanzarlo sin moverse? a) La proporción viene dada por P (X < ), donde X N(µ = 5, σ = ) : P (X < ) = ( ) 5 P Z < = P (Z <.5) = P (Z <.5) =.385 b) Se busca la distancia d que cumple con.95 = P (X > d) = P ( Z > d 5 ) ( = P Z d 5 )

3 de donde sabemos que y por tanto d 5 =.65 d = = 8.5 cms. Probabilidad El valor de la tabla para z es el área bajo la curva de la normal estándar a la izquierda de z z TABLA A: Probabilidades de la normal estándar (cont.) z

4 Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 6 de Mayo de 6 Problemas solución h 45m P (.5 puntos). Sea (X, Y ) un vector aleatorio del cual se conoce la función de densidad marginal de X, f X (x), y la función de densidad de Y X = x, f Y (y X = x): x+ f X (x) = x en otro caso f Y (y X = x) = a) Calcula P (Y.5 X =.5). b) Calcula P (.5 X.5, Y.5). c) Calcula la covarianza de X e Y. d) Calcula la función de densidad de U = X + Y. (x+y) x+ x, y en otro caso a) Sustituyendo x =.5 en f Y (y X = x) obtenemos: y + f Y (y X =.5) = y en otro caso Luego, P (Y.5 X =.5) =.5 f Y (y X =.5)dy =.5 y + dy = [ y + y ].5 = = 3 8. b) Para calcular la probabilidad pedida, debemos obtener primero f (X,Y ) (x, y). Esta función de densidad conjunta se obtiene como f (X,Y ) (x, y) = f X (x) f Y (y X = x). Por lo tanto: Luego, f (X,Y ) (x, y) = x + y x, y en otro caso P (.5 X.5, Y.5) = = x + y dydx = x + 8 dx = [ x 4 + x ].5.5 ].5 [xy + y dx = =

5 c) La esperanza de X es: E[X] = ( ) [ ] x + x 3 x dx = 3 + x = = 7. Para obtener la esperanza de Y, primero calculamos la función de densidad de Y : f Y (y) = f (X,Y ) (x, y)dx = [ x (x + y)dx = + xy ] = + y, si y. Luego, Además, E[Y ] = ( ) [ ] y y + y dx = 4 + y3 = = 7. E[XY ] = = En consecuencia, xy(x + y)dydx = x + x 3 dx = [ x x 6 ] x y + xy dydx = = = 3. [ x y Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = = 44. ] + xy3 dx 3 d) En primer lugar, completemos U con otra coordenada, por ejemplo, V = Y, y calculamos la densidad conjunta del nuevo vector (U, V ). Es sencillo obtener que x(u, v) = u v e y(u, v) = v. Entonces, la matriz Jacobiana viene dada por [ ] J =, cuyo determinante es det(j) =. Teniendo en cuenta que f (U,V ) (u, v) = f (X,Y ) (x(u, v), y(u, v)) det(j), se obtiene que: u v, v u v + f (U,V ) (u, v) = en otro caso Por lo tanto, la función de densidad de U = X + Y es: f U (u) = f (U,V )(u, v)dv = u udv = u u u udv = u u < u P (.5 puntos). Sea el proceso estocástico Z(t) = Xsen(πt + Φ) + Y cos(πt), con X, Y y Φ variables aleatorias independientes; X N (, ), Φ Uniforme(, π) e Y discreta con función de probabilidad P (Y = ) =.5, P (Y = ) =.5 y P (Y = ) =.5. a) Calcula la media estadística de Z(t). b) Calcula la función de autocorrelación de Z(t). c) Es Z(t) débilmente estacionario? 5

6 d) Es Z(t) ergódico en media?, y en autocorrelación? Relaciones trigonométricas: cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sen(α) sen(β) sen(α ± β) = sen(α) cos(β) ± cos(α) sen(β) a) Dado que X, Y, Φ son independientes, y que E[X] =, y E[Y ] = =, obtenemos que: E[X(t)] = E[X sen(πt + Φ) + Y cos(πt)] ind = E[X]E[sen(πt + Φ)] + E[Y ] cos(πt) =. b) La función de autocorrelación de Z(t) es: R Z (t, t + τ) = E[Z(t)Z(t + τ)] = E[(X sen(πt + Φ) + Y cos(πt))(x sen(π(t + τ) + Φ) + Y cos(π(t + τ)))] ind = E[X ]E[sen(πt + Φ) sen(π(t + τ) + Φ)] + E[X]E[Y ]E[sen(πt + Φ)] cos(π(t + τ)) + E[X]E[Y ]E[sen(π(t + τ) + Φ)] cos(πt) + E[Y ] cos(πt) cos(π(t + τ)) = E[X ]E[sen(πt + Φ) sen(π(t + τ) + Φ)] + E[Y ] cos(πt) cos(π(t + τ)) = cos(πτ) + cos(πt) cos(π(t + τ)), donde hemos utilizado las siguientes expresiones: E[X ] = Var[X] + (E[X]) = + = ; E[Y ] = ( ) =.5; E[sen(πt + Φ) sen(π(t + τ) + Φ)] = π π = cos(πτ) = cos(πτ) = cos(πτ). sen(πt + φ) sen(π(t + τ) + φ)dφ π cos(4πt + πτ + φ)dφ 4π [ ] π sen(4πt + πτ + φ) 8π c) Z(t) no es débilmente estacionario, ya que la función de autocorrelación no solo depende del tiempo a través de τ sino que también a través de t. d) Para comprobar si es ergódico en media calculamos la media temporal de Z(t): lim T T T T T Z(t)dt = lim (X sen(πt + Φ) + Y cos(πt))dt T T T [ X cos(πt + Φ) = lim + Y sen(πt) ] T T T π π T = lim ( X cos(πt + Φ) + Y sen(πt ) + X cos( πt + Φ) Y sen( πt )) T 4πT =, 6

7 donde hemos empleado el hecho de que las funciones seno y coseno están acotadas entre y. Como la media temporal de Z(t) es igual a su media estadística, el proceso Z(t) es ergódico en media. El proceso no puede ser ergódico en autocorrelación, porque su función de autocorrelación depende del tiempo. 7

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