Estadística. Soluciones ejercicios: Procesos estocásticos. Versión 8. Emilio Letón

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1 Estadística Soluciones ejercicios: Procesos estocásticos Versión 8 Emilio Letón. Nivel. Calcular la media del proceso estocástico X (t) = A+t con A U (0; ). Utilizar dos métodos distintos: propiedades de la esperanza y la función de densidad de primer orden del proceso estocástico. Qué método es más fácil? El más fácil es mediante las propiedades de la esperanza: E [X (t)] = E [A + t] = E [A] + t = + t: El segundo método, más difícil, se basa en la función de densidad de primer orden. Intuitivamente si se tiene una v.a. U (0; ) y se traslada ésta en t unidades, se tiene una U (0 + t; + t) : Esto se puede demostrar de forma análitica mediante el teorema de transformación de variables aleatorias: ( ( f X (x; t) = f A (x t) da dx = 0 < x t < = t < x < t + 0 resto 0 resto Con lo que = Z t+ x=t E [X (t)] = Z + x= xf X (x; t) dx x dx = x t+ = t t + + t t = + t. Calcular la media del proceso estocástico X (t) = At con A U (0; ).Utilizar dos métodos distintos: propiedades de la esperanza y la función de densidad de primer orden del proceso estocástico. Qué método es más fácil? El más fácil es mediante las propiedades de la esperanza: E [X (t)] = E [At] = te [A] = t : El segundo método, más difícil, se basa en la función de densidad de primer orden. Intuitivamente si se tiene una v.a. U (0; ) y se multiplica ésta por t, se tiene una U (0 t; t) : Esto

2 se puede demostrar de forma análitica mediante el teorema de transformación de variables aleatorias: x ( ( f X (x; t) = f A da t dx = t 0 < x t < = t 0 < x < t 0 resto 0 resto Con lo que E [X (t)] = Z + x= xf X (x; t) dx = Z t x=0 x t dx = x t t 0 = t t = t 3. Calcular la media del proceso estocástico X (t) = cos (At) con A U (0; ). E [X (t)] = R + cos (at) f A (a) da = R 0 cos (at) da = t [sen (at)] 0 = tsen (t). 4. Calcular la media del proceso estocástico X (t) = ABt con A y B variables aleatorias independientes. E [X (t)] = te [A] E [B]. 5. A partir de las siguientes identidades trigonométricas: sen ( ) = sencos cossen cos ( ) = coscos sensen y utilizando que cos + sen =, probar que sen = sencos cos = cos sen = r sen cos cos = r + cos sen ( + ) + sen ( ) = sencos sen ( + ) sen ( ) = cossen cos ( + ) + cos ( ) = coscos cos ( + ) cos ( ) = sensen Se deja para el alumno.

3 . Nivel. Ejercicio (pág. 7 PP) Sea el proceso estocástico X (t) = Acos(ft + ) con f constante y A; v.a.i., siendo A exp () y U ( ; ). Calcular la función de autocorrelación de X (t). Se deja para el alumno.. Sea el proceso estocástico X (t) = a cos (f 0 t + ) con a y f 0 constantes y U (0; ) : Es estacionario en sentido débil? Se deja para el alumno. 3. Sea el proceso estocástico X (t) = a cos () + Y (t) con a constante, U ( ; ) e Y (t) un proceso estocástico ergódico independiente de. a) Calcular la media y la autocorrelación de X (t) en términos de la media y la autocorrelación de Y (t). b) Es X (t) estacionario en sentido débil? c) Calcular la media temporal y la autocorrelación temporal de X (t) en términos de la media temporal y la autocorrelación temporal de Y (t). d) Es X (t) ergódico con respecto a la media? Es ergódico con respecto a la autocorrelación? Se deja para el alumno. 4. Sea X (t) un proceso estocástico estacionario en sentido débil e Y (t) = X (t)cos(wt + ) con w constante, U ( ; ) independiente de X (t) : Demostrar que Y (t) un proceso estocástico estacionario en sentido débil (' Feb 007 Ing. el. P; ' Jun 004 eoría de la Comunicación). Al ser X (t) un proceso estocástico estacionario en sentido débil, se tiene que E [X (t)] = X independiente del tiempo y que R X (t ; t ) = R X () sólo depende del tiempo a través de = t t. Para ver si Y (t) es un proceso estocástico estacionario en sentido débil, se comprueba, en primer lugar la primera condición de estacionariedad débil que a rma que E [Y (t)] es independiente del tiempo, E [Y (t)] = E [X (t) cos (wt + )] ind: = E [X (t)] E [cos (wt + )] Z = X cos (wt + ) d = X [sen (wt + )] = X [sen (wt + ) sen (wt )] = X [sen (wt) cos () + cos (wt) sen () sen (wt) cos ( ) cos (wt) sen ( )] 3

4 = X [sen (wt) cos () + 0 sen (wt) cos () 0] = X 0 = 0 E [Y (t)] = 0 es independiente del tiempo. En segundo lugar se comprueba la segunda condición de estacionariedad débil que a rma que R Y (t ; t ) = R Y () sólo depende del tiempo a través de = t t, R Y (t ; t ) = E [Y (t ) Y (t )] = E [X (t ) cos (wt + ) X (t ) cos (wt + )] ind: = E [X (t ) X (t )] E [cos (wt + ) cos (wt + )] = R X () E cos (wt + + wt + ) + cos (wt wt ) Z = R X () cos (wt + wt + ) d + cos (wt wt ) = R X () 4 [sen (wt + wt + )] + cos ( w) R X () = R X () [sen (wt + wt ) cos () + cos (wt + wt ) sen ()] 8 R X () [sen (wt + wt ) cos ( ) + cos (wt + wt ) sen ( )] 8 + R X () = 0 + R X () y, por tanto, R Y (t ; t ) = R Y () = cos(w) R X () sólo depende del tiempo a través de = t t. Como se cumplen las dos condicones para estacionariedad débil (E [Y (t)] es independiente del tiempo y R Y (t ; t ) sólo depende del tiempo a través de = t t ), se tiene que Y (t) es un proceso estocástico estacionario débil. 5. Sea X (t) un proceso estocástico estacionario en sentido débil e Y (t) = X (t)cos(wt + ) con w constante, U ( ; ) independiente de X (t) : Si se supone que X (t) = A para todo t con A v.a. de media A y varianza A : a) Es Y (t) ergódico respecto a la media? b) Es Y (t) ergódico respecto a la autocorrelación? a) Para ver si Y (t) es ergódico respecto a la media, hay que estudiar si M Y = Y : Por una parte Y = E [Y (t)] = E [X (t) cos (wt + )] ind: = E [X (t)] Z cos (wt + ) d = X 0 = 0 Se observa que Y no depende del tiempo (cumple la primera condición de estacionariedad débil) 4

5 Por otra parte M Y = lm! = Z Y (t) dt = Z Acos (wt + ) dt = A w [sen (wt + )] = A [sen (w + ) sen ( w + )] w = A [sen (w ) cos () + cos (w ) sen () w sen ( w ) cos () cos ( w ) sen ()] = 0 M Y = lm! = lm! 0 = 0 y por tanto M Y = Y, por lo que Y (t) es ergódico respecto a la media. b) Para ver si X (t) es ergódico respecto a la autocorrelación, hay que estudiar si A X () = R X () : Por una parte, por un ejercicio anterior, se tiene que R Y () = R X () = E [X (t) X (t + )] = E A = A + A Por otra parte A 8 w A Y () = lm = " Z = A = A Z Z Y (t) Y (t + ) dt A cos (wt + ) cos (wt + w + ) dt cos (wt + w + ) dt + Z # cos ( w) dt w [sen (wt + w + )] + A = A [sen (w ) cos (w + ) + cos (w ) sen (w + )] 8 w A [sen ( w ) cos (w + ) + cos ( w ) sen (w + )] +! = A 4 w A 4 w A [sen (w ) cos (w + )] + [sen (w ) cos (w + )] + A A = 0 + y por tanto A Y () 6= R Y (), por lo que Y (t) no es ergódico respecto a la autocorrelación. 6. Ejercicio (pág. 4 PP) Sea el proceso estocástico X (t) = Acos(wt) + Bsen (wt) con A; B v.a.i.i.d U ( ; ) 5

6 a) Es ergódico respecto a la media? b) Es ergódico respecto a la autocorrelación? a) Para ver si X (t) es ergódico respecto a la media, hay que estudiar si M X = X : Por una parte ya que X = E [X (t)] = E [Acos (wt) + Bsen (wt)] = cos (wt) E [A] + sen (wt) E [B] = cos (wt) 0 + sen (wt) 0 = 0 E [A] = Z af A (a) da = Z a da = 3 a3 = 0 = E [B] que corresponde al punto medio de los extremos donde la función de densidad uniforme toma valores no nulos, en este caso ( )+. Se observa que X no depende del tiempo (cumple la primera condición de estacionariedad débil) Por otra parte = = M X = lm! = Z X (t) dt = = A sen (wt) w B Z Acos (wt) + Bsen (wt) dt w cos (wt) A w sen (w ) B w cos (w ) A w sen ( w ) + B w cos ( w ) A w sen (w ) B w cos (w ) + A w sen (w ) + B w cos (w ) = A w sen (w ) sen (w ) = A w M X = lm (w ) = lm Asen = 0!! w por estar acotado sen (w ) y por tanto M X = X, por lo que X (t) es ergódico respecto a la media. b) Para ver si X (t) es ergódico respecto a la autocorrelación, hay que estudiar si A X () = R X () : Por una parte X (t) X (t + ) = [Acos (wt) + Bsen (wt)] [Acos (wt + w) + Bsen (wt + w)] = Acos (wt) Acos (wt + w) +Acos (wt) Bsen (wt + w) +Bsen (wt) Acos (wt + w) +Bsen (wt) Bsen (wt + w) 6

7 = A cos (wt + w) + cos ( w) +AB sen ( w) sen (wt + w) +BA sen (wt + w) + sen ( w) +B cos (wt + w) + cos ( w) = A A cos (wt + w)+ +ABsen (wt + w) B cos (wt + w)+ B = ya que 3 Por otra parte = A B cos (wt + w) + A + B + ABsen (wt + w) cos (wt + w) + 3 E A = = Z = A B 8 w Z R X () = E [X (t) X (t + )] a f A (a) da = Z + 0 0sen (wt + w) = 3 a da = 3 a3 = 3 = E B Z X (t) X (t + ) dt + ABsen (wt + w) dt = 4 A B Z cos (wt + w) dt A B cos (wt + w) + A + B + + AB A + B Z Z dt sen (wt + w) dt = 4 A B w [sen (wt + w)] + A + B AB w [cos (wt + w)] = 4 A B [sen (w + w) sen (w ( ) + w)] w AB + A + B [cos (w + w) cos (w ( ) + w)] w [sen (w ) + cos (w ) sen (w) sen ( w ) cos ( w ) sen (w)] 7

8 AB + A + B [cos (w ) sen (w ) sen (w) cos ( w ) + sen ( w ) sen (w)] w + AB = sen (w ) w A A X () = lm = 4 A B [sen (w ) ] w + A + B! Z [sen (w ) sen (w)] w B + ABsen (w) + A + B X (t) X (t + ) dt = 0 + A + B y por tanto A X () 6= R X (), por lo que X (t) no es ergódico respecto a la autocorrelación. 7. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones. En caso de que sean verdaderas demostrarlo y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo: a) La media de un proceso estocástico es siempre un parámetro (constante aunque desconcocida). b) Sea X (t) = Acos 4 t + un proceso estocástico con A exp(), U ( ; ) y A y independientes. Se pide si el siguiente razonamiento para determinar R X (t ; t ) es correcto: R X (t ; t ) = E A cos 4 t + = E cos 4 t + E cos cos 4 t + 4 t + c) Sea X (t) un proceso estocástico débilmente estacionario, entonces la potencia del proceso no depende del tiempo. a) Es falsa. En un proceso estocástico la media es en general una función que depende del tiempo. b) El razonamiento es incorrecto. Por una parte: Debería ser: R X (t ; t ) = V [A] = E A E [A] E A = V [A] + E [A] = + = E cos 4 t + cos 4 t + y partiendo de dicha expresión, descomponer el producto de cosenos como suma de cosenos para utilizar la linealidad de la esperanza. c) Es verdadera. h Se tiene que la potencia del proceso es E X (t) i = R X (0) que no depende del tiempo por la segunda condición de estacionariedad débil. 8

9 3. Nivel 3. Decir si es verdadera o falsa la siguiente a rmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo: Si X (t) e Y (t) son procesos estocásticos estacionarios en sentido débil y se de ne Z (t) = X (t)+y (t), entonces se veri ca que R Z () = R X () + R Y (), por lo que también Z (t) es estacionario en sentido débil. Es falsa. Se veri ca que la función de autocorrelación de Z (t) es R Z () = E [Z (t) Z (t + )] = E [(X (t) + Y (t)) (X (t + ) + Y (t + ))] = E [X (t) X (t + )] + E [X (t) Y (t + )] + E [Y (t) X (t + )] + E [Y (t) Y (t + )] = R X () + E [X (t) Y (t + )] + E [Y (t) X (t + )] + R Y () Por tanto, aunque Z (t) no depende de t, ya que Z (t) = E [Z (t)] = E [X (t) + Y (t)] = E [X (t)] + E [Y (t)] = X + Y, no está asegurado que R Z () dependa sólo de, con lo que no se puede asegurar que Z (t) sea estacionario en sentido débil.observar que en el caso de que los procesos estocásticos X (t) e Y (t) sean conjuntamente estacionarios, se tiene que E [X (t) Y (t + )] = R XY () y que E [Y (t) X (t + )] = R Y X (). Si además son X (t) e Y (t) ortogonales, se tiene que R XY () = R Y X () = 0, en ese caso sí se veri caría que R Z () = R X () + R Y () y Z (t) sería estacionario en sentido débil. Sea (X; Y ) un vector aleatorio con función de densidad conjunta: ( x 0; y 0; x + y f (x; y) = 0 resto Sea X (t) = t X + Y a) Calcula la media de X (t), qué información te da este resultado sobre el proceso? b) Calcula la función de densidad de X () : 3. Sea un proceso estocástico X (t) de nido por X (t) = N cos ($t + ), t 0 ; ) respecti- donde N y son dos v.a. independientes con ditribuciones Poisson () y U ( vamente, y $ es una constante conocida. a) Determina la media y la autocorrelación de X (t) : b) Estudia la estacionariedad de X (t) en sentido débil. c) Si N es una constante, cómo cambian tus respuestas a las preguntas anteriores? d) Si N =, cuál es P X (0) > y P X $ >? ener en cuenta que: sen ( ) = sencos cossen cos ( ) = coscos sensen 9