Determinar si las siguientes relaciones satisfacen cada una de las siguientes propiedades: completa, transitiva y re exiva

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1 Ejercicios 1) Determinar si las siguientes relaciones satisfacen cada una de las siguientes propiedades: completa, transitiva y re exiva Sea X = f1; 2; 3g y %= f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 3) ; (3; 1)g Sea X = R y % la relacion: x % y si jx yj > 1 Sea X = R y % la relacion: x % y si x y es multiplo de 2. 2) Una relacion binaria % es: negativamente transitiva si para todo x; y; z 2 X; (x; y) =2% y (y; z) =2% implican que (x; z) =2% : asimetrica si para todo x; y 2 X; x % y implica que (y; x) =2% Dar un ejemplo de una relacion negativamente transitiva Dar un ejemplo de una relacion asimetrica Dar un ejemplo de una relacion negativamente transitiva que no sea asimetrica Dar un ejemplo de una relacion asimetrica que no sea negativamente transitiva 3) Demostrar que % es negativamente transitiva si y solo si, para todo x; y; z 2 X; x % z implica que para todo y; x % y o y % z 4) Presentamos ahora un falso teorema, con una demostracion incorrecta. Falso Teorema: Si una relacion binaria B X X es simetrica y transitiva, entonces es re exiva. Demostracion incorrecta: Tomo x 2 X y cualquier y 2 X tal que xby. Por simetria, obtengo que ybx. Ahora, xby y ybx implican, por transitividad, xbx, como queriamos demostrar. Encontrar el error en la demostracion. Encontrar un contraejemplo al teorema. Es decir, encontrar o inventar una relacion B tal que B es simetrica y transitiva, pero no re exiva. 5) R es circular si para todo x; y; z 2 X; xry y yrz implican zrx: Demostrar que R es re exiva y circular si y solo si es re exiva, simetrica y transitiva. 1

2 6) Demuestre que si una relacion de preferencias es convexa, entonces para cualquier conjunto convexo C; el conjunto fx 2 C : x % y para todo y 2 Cg es convexo 7) Demuestre que si una relacion de preferencias es estrictamente convexa, entonces para cualquier conjunto convexo C, el conjunto fx 2 C : x % y para todo y 2 Cg consiste de un solo elemento. 8) Demostrar que si A; B son convexos, entonces A \ B es convexo. 9) Sea X = R +. Suponga que 0 x para todo x 6= 0 y que para todo x; y 2 R ++ x y si y solo si x > y Demuestre que estas preferencias no son continuas Encuentre una funcion de utilidad que represente a estas preferencias La funcion de utilidad del apartado anterior, podria ser continua? 10) Suponga que X = R 2 + y que x % y () x % y para todo > 0: Suponga tambien que u representa a % y que u (s; s) = s: Si (1; 3) ~ (2; 2), cuanto es u (2; 6)? 11) Sea X = R 2 : La relacion de preferencias % esta de nida por x1 x 2 y1 y 2 x % y () > x 1 + x 2 y 1 + y 2 Determinar cuales de las siguientes propiedades satisface esta relacion de preferencias: completa, transitiva y continua. Para cada propiedad que se cumpla, de una demostracion. Para las que no se cumplan, de un contraejemplo. 2

3 12) Sean % unas preferencias de nidas sobre X = R 2 + con la propiedad que (a; 0) ~ (0; 2 para todo a > 0; tal que (a; 0) (b; 0) si y solo si a > b: Tambien, asuma que son transitivas y que para todo x; y 2 X; 2 [0; 1] x~y () x~x + (1 ) y Encuentre una funcion de utilidad para estas preferencias. Sugerencia: para cada x encuentre un numero u (x) tal que u (x) (1; 0) ~x 13) Sea X = R 2 +: Las preferencias % de un individuo se pueden describir de la siguiente manera. Dados x e y; si x 1 y y 1 son "similares" (la diferencia es menor que 1) y x 2 y y 2 son similares, el individuo elige la canasta con mas unidades del bien 1 e ignora al bien 2. Asi, si por ejemplo, jx 1 y 1 j 6 1, jx 2 y 2 j 6 1 y x 1 > y 1 ; tenemos que x y; si x 1 = y 1 ; x~y: Si las canastas son similares en una sola dimension y no en la otra, el individuo elige la que tiene mas bienes en la dimension que no es similar. Asi, si por ejemplo, jx 1 y 1 j 6 1, y 2 > x 2 + 1; tenemos que y x: Si ninguna de las dos dimensiones son similares, tenemos que x~y: Demostrar que estas preferencias no se pueden representar con una funcion de utilidad. 14) Sea X = R + y sean las preferencias % en X de nidas por x % y () sen (x) > sen (y) : Indique cual de las siguientes funciones de utilidad representan a % : En cada caso demuestre su respuesta. v (x) = [sen (x)] 2 w (x) = asen (x) + b,a > 0 f (x) = sen (x) (sen (x) 1) d) g (x) = p sen (x) 15) Sea X = fx; y; zg y sea E = (B; C ()) una estructura de eleccion. En cada uno de tres dias consecutivos, vemos al tomador de decisiones elegir una sola canasta de B 1 = fx; yg, B 2 = fy; zg ; y B 3 = fx; y; zg : Como esta persona es una inconformista, sabemos que si un dia elige una canasta, no la elegira en ningun dia futuro. Demuestre que para cualquiera de los tres posibles tripletes de elecciones que haya hecho el individuo, se viola el ADPR. 3

4 Encuentre tres restricciones presupuestales B i ; distintas a las del enunciado, y una funcion C; con las cuales el inconformista igual cumpliria con el ADPR Demuestre su respuesta del apartado anterior. 16) Sean X = R + ; B = f[a; b] : a; b 2 R + ; a < bg y C de nida mediante C [a; b] = fbg Demuestre que para la estructura de eleccion E = (B; C ()) la relacion de preferencia revelada % E es completa y transitiva Demuestre que % E = 17) Sean X = fx; y; zg y B = ffx; yg ; fy; zg ; fx; zgg ; C (fx; yg) = fxg ; C (fy; zg) = fyg y C (fx; zg) = fzg Sea E = (B; C ()) una estructura de eleccion. La estructura de eleccion, satisface el ADPR? Existe una relacion de preferencias que racionaliza a E? 18) Suponga que E = (B; C ()) es una estructura de eleccion en la cual C es generada por una relacion de preferencias % que se puede representar por una funcion de utilidad u que mapea el espacio X (que contiene a todos los B 2 B) a R. Se puede asegurar que C satisface el ADPR? 4

5 19) 20) Ejercicio 15.B.6 del libro de Mas-Colell 21) Supongamos que la funcion u representa a la relacion de preferencias % : Asuma que u es continua y estrictamente cuasiconcava. Muestre entonces que la demanda esta bien de nida (que existe y que es una funcion) y que es continua para todo p >> 0: 5

6 22) 6

7 23) 7