Sistemas de comunicación

Transcripción

1 Sistemas de comunicación Práctico Repaso de procesos estocásticos Cada ejercicio comienza con un símbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básica, media, avanzada, y difícil. Además puede tener un número, como 3.- que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 3th. edition. Bruce A. Carlson. Ejercicio Sea el proceso v(t = x(t cos(ω 0 t + φ donde x es un proceso estacionario de valor medio cero y de autocorrelación R x (t. (a (b Si φ = 0, hallar E(v, R v (t, s y E(v. Averiguar si v es un proceso estacionario. Idem si φ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en [0, π], independiente de x(t. Cómo queda G v (f en este caso? Ejercicio Sea una secuencia binaria aleatoria cuyos elementos llamaremos 0 y. Los dígitos tienen una duración, son equiprobables e independientes de los dígitos anteriores. El tiempo de comienzo de la secuencia, u origen de tiempos, es aleatorio y uniformemente distribuido en [0, ]. Si se codifica en código bipolar sin retorno a 0, es decir 0 A, A (A es un nivel de tensión, hallar la autocorrelación de la secuencia y su densidad espectral de potencia. Estimar el ancho de banda necesario para la transmisión. Ejercicio 3 Considerar que en el problema, x es una onda binaria aleatoria, y se cumple que f 0 /. Hallar R v (t, G v (ω y la potencia media de la señal y graficarlas.

2 Ejercicio Solución (a Para ver si es estacionario en sentido amplio debemos ver si la media y la autocorrelación dependen del instante observado. E{v(t} = E{x(t cos(ω 0 t + φ} Como φ = 0, cos(ω 0 t + φ toma un valor constante y por lo tanto: Como E{x(t} = 0, tenemos que: En cuanto a la autocorrelación: E{v(t} = cos(ω 0 t + φe{x(t} E{v(t} = 0 R v (t, t + τ = E{v(tv(t + τ} = E{x(t cos(ω 0 t + φx(t + τ cos(ω 0 (t + τ + φ} De la misma manera que antes, los cosenos toman valores constantes, entonces: R v (t, t + τ = E{v(tv(t + τ} = E{x(tx(t + τ} cos(ω 0 t cos(ω 0 (t + τ ( cos(ω0 τ + cos(ω 0 (t + τ R v (t, t + τ = R x (τ Por lo que la autocorrelación es dependiente de t. Por lo tanto el proceso no es estacionario en sentido amplio y entonces no es estacionario. (b Al ser φ una variable aleatoria, ahora cos(ω 0 t+φ es un proceso. Entonces, planteando el valor medio y la independencia entre los procesos: E{v(t} = E{x(t cos(ω 0 t + φ} = E{x(t}E{cos(ω 0 t + φ} E{v(t} = m x E{cos(ω 0 t + φ} = 0 Planteando la autocorrelacion e independencia entre los procesos entre x y el coseno tenemos: R v (t, t+τ = E{v(tv(t+τ} = E{x(tx(t+τ}E{cos(ω 0 t+φ cos(ω 0 (t+τ+φ} Como x es estacionario: R v (t, t + τ = R x (τ R v (t, t + τ = R x (τ π ( π R v (t, t + τ = R x (τ π π cos(ω 0t + φ cos(ω 0 (t + τ + φdφ cos(ω 0 τ + cos(ω 0 (t + τ + φ dφ cos(ω 0 τ dφ + π cos(ω 0 (t + τ + φ dφ La primera integral, es la integral de una constante y la segunda es la integral de un coseno en una cantidad entera de ciclos, entonces: R v (τ = R x (τ cos(ω 0τ y el proceso es estacionario en sentido amplio.

3 Ejercicio El proceso estocástico que resulta de codificar la secuencia binaria aleatoria puede escribirse como, v(t = k= Ax[k]p(t k + ɛ. Donde x es la secuencia binaria aleatoria, ɛ es el retardo aleatorio de distribución uniforme en el intervalo [0, ] (que representa la dessincrinización entre emisor y receptro y p(t es el pulso con que se codifica. En el caso de este problema p(t es un pulso rectangular que vale uno de en el intervalo [0, ] y cero en el resto. Intentaremos probar que el proceso v(t es estacionario en sentido amplio. Para ello es necesario demostrar que tiene media constante y que su autocorrelación depende únicamente de la diferencia entre los instantes de tiempo comparados. A partir de la linealidad del operador esperanza y dado que x[k] es independiente de ɛ para todo valor de k, la esperanza de v(t puede hallarse como E{v(t} = k= AE{x[k]}E{p(t k + ɛ}. Como x[k] es un proceso IID E{x[k]} = 0 para todo k entero y por lo tanto se deduce que para todo instante t R, E{v(t} = 0. Con esto se tiene que v(t es un proceso de media constante. La autocorrelación está dada por, R v (t, s = E{v(tv(s}. El cálculo de la autocorrelación del proceso v(t se realizará en dos pasos. Primero se estudiará R v (t, s cuando t s >. Luego se estudiara el caso complementario. Caso t s > La autocorrelación del proceso v(t está dada por, R(t, s = k= h= A E{x[k]x[h]}E{p(t k + ɛp(s h + ɛ}. En la ecuación anterior aparece la auto correlación de la secuencia x[k], E{x[k]x[h]} = R x (k h = δ(k h que depende sólo de k h ya que x es estacionaria por ser IID. Por lo tanto en la suma anterior el término que depende de x sólo sera distinto de cero (y valdrá σ x = cuando k y h sean iguales. Por lo tanto la autocorrelación puede escribirse como 3

4 R v (t, s = A n= E{p(t n + ɛp(s n + ɛ}. La función φ(t, s = p(t n + ɛp(s n + ɛ vale cero para cualquier combinación de t, s y n, ya que la separación entre t y s es mayor que la duración de los pulsos. Por lo tanto, R v (t, s = 0 si t s > Caso t s En este caso los instantes t y s pueden o no pertenecer a un mismo pulso. Llamemos Γ al suceso t y s no son instantes de un mismo pulso (o tiempo de bit, la esperanza que define a la autocorrelación puede calcularse como, R v (t, s = E{v(tv(s Γ}P (Γ + E{v(tv(s Γ c }( P (Γ. La primera esperanza de la ecuación anterior puede calcularse de manera análoga lo que se hizo para el caso t s >, ya que está condicionada a que suceda Γ. eniendo en cuenta de que Γ sólo depende del valor que tome ɛ y operando como se hizo antes, la segunda esperanza puede expresarse como, E{v(tv(s Γ c } = A n= E{p(t n + ɛp(s n + ɛ Γ c }. La condiciónalidad a Γ c implica que el ɛ es tal que t y s caen en un mismo pulso. Por otro lado, dados t y s habrá un único valor de n 0 para el cual φ(t, s sea distinto de cero (el pulso al que pertenecen dichos instantes. Es decir, E{v(tv(s Γ c } = A E{p(t n 0 + ɛp(s n 0 + ɛ Γ c } = A. Donde la última igualdad se deduce de que p(t n 0 + ɛp(s n 0 + ɛ =, es decir es independiente de ɛ. Finalmente queda calcular la probabilidad dé que se de el suceso Γ, es decir que t corresponda a un pulso distinto que s, o dicho de otro modo que haya una transición de pulso entre ellos. Matematicamente hay que calcular la probabilidad de que se cumpla s < n 0 + ɛ < t asumiendo t < s y siendo n 0 el único entero para el cual t n 0 y s n 0 son menores que. La condición anterior puede escribirse de la forma, s n 0 < ɛ < t n 0. Como ɛ tiene distribución U[0, ], la probabilidad puede calcularse como, P (s n 0 < ɛ < t n 0 = t n0 s n 0 dɛ = t s. El caso en que s t se calcula en forma análoga, con lo cual

5 t s P (Γ =. Finalmente, sustituyendo las expresiones halladas en los dos casos estudiados, la autocorrelación de v(t queda dada por, ( R v (t, s = E{v(tv(s} = A t s. Puede verse entonces que la autocorrelación depende únicamente de la diferencia entre los instantes comparados. Por lo tanto el proceso es estacionario en sentido amplio y su autocorrelación puede escribirse de la forma, ( τ R v (τ = A Λ Ejercicio 3 Como vimos en el problema, R v (τ = R x (τ cos(ω 0τ Em este caso tenemos, R x (τ = A Λ( τ. Por lo tanto la ecuación de arriba puede expresarse como, ( τ R v (τ = A cos(ω0 τ Λ La densidad espectral de potencia G v (f es la transformada de fourier de la autocorrelación, es decir: Finalmente: G v (f = A sinc (f δ(f f 0 + δ(f + f 0 G v (f = A [sinc ( (f f 0 + sinc ( (f + f 0 ] La potencia de la señal la podemos obtener evaluando la autocorrelación en 0: ( 0 cos(0 R v (0 = A Λ = A 5