RECEPTOR OPTIMO PARA TRANSMISION DE PULSOS POR CANALES AWGN

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Salvador Martínez Toledo
hace 5 años
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1 RECEPTOR OPTIMO PARA TRANSMISION DE PULSOS POR CANALES AWGN El receptor óptimo se determina bajo las siguientes premisas: Se asume que a la entrada del receptor llega una señal que es el pulso modificado por transmisor y canal y (p(t)) y el ruido(n(t)). Al pulso modificado por el filtro H R lo llamaremos y(t),mientras que al ruido filtrado por H R lo llamaremos n out.. Se busca maximizar la relación [y(t 0 )/σ] donde el tiempo t 0 es un punto de muestreo y σ es el voltaje r.m.s del ruido n out. Utilizando la desigualdad de Schwartz La igualdad ocurre cuando V(f)=kW(f) (son proporcionales) En ese caso En nuestro caso, podemos definir:

2 El máximo de la relación ocurre cuando Se observa que la respuesta en frecuencia del filtro óptimo es: a) Proporcional a P*(f) b) Inversamente proporcional a G n (f) y presenta una exponencial compleja que representa un retardo temporal igual al del pulso menos el tiempo t o. Con este filtro se logra un máximo que es igual a Desarrollaremos un ejemplo completo. Suponga una transmisión digital con pulsos p(t) que en el canal se contamina con ruido blanco. Determine h Róptimo y la relación [y(t 0 )/σ] máxima. Pero h R (t)= h R * (t)=2k/η p(t 0 -t) Por ejemplo si

3 Observe que el máximo de la convolución es igual a y(t 0 )=2kt b /η En cuanto al ruido: Aplicando directamente la formula: FILTRO ADAPTADO Cuando el ruido es blanco el filtro óptimo se le llama filtro adaptado ya que su respuesta impulsiva toma la forma de p(t). En este caso:

4 Ahora veamos un caso que será la base para los sistemas de modulación digital binaria: suponer asociada al "1" una forma p 1 (t) y al "0" una forma p 0 (t). Cuando se transmita el "1" el pulso a la salida lo llamaremos p 1o (t); cuando se transmita el "0" el pulso a la salida lo llamaremos p 0o (t) Se supondrá que a la entrada del sistema esta presente p 1 (t) o p 0 (t) mas el ruido n(t) y que a la salida tenemos p 1o (t) o p 0o (t) mas el ruido filtrado que llamaremos n out (t). Vamos a inducir mas que deducir el resultado: CASO A Suponga que a la salida de un sistema binario se pueden tener solo dos niveles 0.5A y 0.5A mas el ruido. La probabilidad de error se calcula como: Si los valores 0.5A y 0.5A son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calcularía como: U=0.5[0.5A + (-0.5A)]=0 Resultando que P e =P(n>0.5A) CASO B Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con +p(t) o p(t) se tiene a la salida y(t 0 ) 0 -y(t 0 ). La probabilidad de error se calcula como: Si los valores y(t 0 ) y y(t 0 ) son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calcularía como: U=0.5[y(t 0 ) + (-y(t 0 ))]=0 Resultando que

5 P e =P(n> y(t 0 )) CASO C Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con p 1 (t) o p 0 (t) se tiene a la salida p 1o (t) o p 0o (t). La probabilidad de error se calcula como: Cuando entra p(t) sale y(t 0 ). Cuando sale 0.5(p 1o (t) - p 0o (t)), es porque entra 0.5(p 1 (t) - p 0 (t)). Por lo tanto usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p 1 (t) - p 0 (t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P 1 (f) - P 0 (f)) Asi: Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro óptimo resultara: h R (t) optimo =k/η [p 1 (t 0 -t) -p 0 (t 0 -t)] Como p 1 (t) y p 0 (t) solo existen en un intervalo (0, t b ) h R (t) optimo también, pero la convolución de los pulsos con h R (t) optimo tiene el doble de duración y es máxima en t 0. En el caso de ruido blanco

6 Definamos: Si E 1 =E 0 =E Si en cambio p 1 (t) y p 0 (t) son ortogonales, el factor λ=0, en cuyo caso:

7 Si se trata de señales antípodas (λ=-1) Se observa que en este ultimo caso se obtiene la menor probabilidad de error, de hecho si empleamos pulsos ortogonales necesitaremos enviar el doble de la potencia para lograr la misma probabilidad de error que usando señales antípodas. REALIZACIONES PRACTICAS DEL FILTRO ADAPTADO Como sabemos: h R (t) optimo =k/η [p 1 (t 0 -t) p 0 (t 0 -t)] Esto puede implementarse con dos filtros conectados como se muestra: Matemáticamente: Evaluemos en t 0 =t b y coloquemos h k (t)=p k (t b -t) Hacemos el cambio de variable t b -τ=u

8 Esto se lograría con el siguiente sistema: Observe que si p o (t)=0 y p 1 (t)=constante=k entre o y t b, la multiplicación no es necesaria y el receptor optimo queda simplificado a un integrador seguido de un interruptor. Un circuito sencillo que logra este objetivo es: Se cierra momentaneamente el interruptor 1 y luego se cierra el interruptor 2 para descargar. Calculemos el valor de [y(t 0 ) 2 /σ 2 ] máximo El ruido por su parte tiene una

9 Para comparar este resultado con el obtenido con el receptor óptimo (2A 2 t b /η), dividimos los resultados obteniendo: Al graficar esta relación versus Bt b, se ve que crece hasta que Bt b es igual a 0.2 y luego comienza a decrecer. Cuando Bt b es igual a 0.2 la relación vale que es lo que mas se acerca el comportamiento del filtro RC al óptimo. Observe que si B crece el valor de y(t b ) crece pero también crece el ruido, esto implica un compromiso. Ejercicio: Encuentre el máximo entre la señal y el ruido cuando el receptor es un filtro pasabajo ideal y se transmiten pulsos NRZ. Veamos primero que pasa con la señal: La respuesta impulsiva de un filtro pasabajo ideal de ancho de banda B es igual a h(t)=2bsinc2bt La salida máxima se calcula como y(t)=x(t)*h(t)/máxima Aplicando la formula de convolución se observa que el producto entre el sinc y el pulso deslizándose, es máximo cuando t=0.5t b. En este caso: En cuanto al ruido como la DEP es constante solo pasa una porción por el LPF ideal igual a σ 2 =ηb. Al comparar la relación entre señal y ruido obtenida en este caso con la obtenida para el caso óptimo y graficarla versus Bt b, se ve que crece hasta que Bt b es igual a y luego comienza a decrecer. Cuando Bt b es igual a la relación vale que es lo que mas se acerca el comportamiento del filtro pasabajo ideal al óptimo. Todo este análisis ha sido realizado considerando solo el efecto del ruido. Si hay Interferencia Intersimbólica habría que aumentar el ancho de banda para reducir la dispersión de los pulsos. A continuación veremos el análisis del diseno de los filtros que combaten la ISI y el ruido de manera conjunta.

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