Tema 1. Introducción a los conceptos básicos de señales y sistemas. Parte 1. Señales

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1 Tema. Introducción a los conceptos básicos de señales y sistemas. Parte. Señales Señales y Sistemas Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

2 Índice Introducción Definiciones básicas Tipos de señales Representación Caracterización de las señales Valores máximos y de pico a pico Periodicidad Simetría Potencia y energía 3 Transformaciones de la variable independiente Desplazamiento Reflexión Cambio de escala Combinación de transformaciones 4 Señales básicas en tiempo continuo Impulso unidad delta de Dirac Escalón unidad Pulso rectangular Función exponencial Señal sinusoidal Función sinc 5 Señales básicas en tiempo discreto Impulso unidad delta de Kronecker Escalón unidad Pulso rectangular Función exponencial Señal sinusoidal Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

3 Introducción Definiciones básicas Introducción y definiciones Señal: Es una función que representa matemáticamente una magnitud cuya variación contiene información. Función: Asignación de una variable independiente a una variable dependiente. Por ejemplo, para cada valor de t le asigna un valor f(t). Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, real o entero (típicamente el tiempo). Rango: Conjunto de valores que puede tomar función, real o complejos. Ejemplos Voltajes o corrientes en un circuito. v(t) = 4sen(ωt)V Imágenes digitales. Índices bursátiles. Etc. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

4 Introducción Definiciones básicas Ejemplos de señales Señal unidimensional aleatoria. Índice Ibex35. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

5 Introducción Definiciones básicas Ejemplos de señales Otro ejemplo de señal unidimensional. Electrocardiograma Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

6 Introducción Definiciones básicas Ejemplos de señales Señales bidimensionales. Dos variables independientes X Y Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

7 Introducción Tipos de señales Tipos de señales Según su naturaleza Señales Deterministas. Para todo valor de la variable independiente es posible conocer el valor de la señal. Pueden ser expresadas mediante una relación matemática. Ejemplo: v(t) = 5cos(ωt + π/3)v Señales Aleatorias. El valor que puede tomar la señal para cada valor de la variable independiente es aleatorio. Como mucho podemos estudiar funciones densidad de probabilidad. Ejemplo: Ibex35 Según el número de variables independientes Señales unidimensionales. Son funciones de una sola variable independiente (generalmente el tiempo). Señales multidimensionales. Son funciones con más de una variable independiente. Según el dominio Señales de variable continua. La variable independiente es real. Señales de variable discreta. La variable independiente es entera. Según el rango Señales reales. La función toma valores reales. Señales complejas. La función toma valores complejos. Como es el dominio y rango de una señal digital? Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

8 Introducción Representación Representación de una sola variable Señal de tiempo continuo Señal de tiempo discreto x(t) t x[n] n x(t) t R Con dimensiones plot(t,x) x[n] n Z Adimensional stem(n,x) Secuencia Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

9 Introducción Representación Representación de señales complejas Recordatorio: Un número a C, se puede representar de dos formas: Rectangular: a = Re{a} + jim{a}, Polar: a = a e jφa donde j = Si una señal es compleja, x(t) C: Su representación implica dos funciones: Rectangular: x(t) = Re{x(t)} + jim{x(t)} Polar: x(t) = x(t) e jφx(t) Igual para el tiempo discreto Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

10 Introducción Representación Ejemplo Ejemplo: Rectangular: x[n] = Re{x[n]} + jim{x[n]} Polar: x[n] = x[n] e jφx[n] Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

11 Caracterización de las señales Caracterización de las señales Las señales se pueden caracterizar (medir, reconocer, analizar) mediante distintas propiedades. Algunas de ellas son: Valores máximos y de pico a pico. Medidas de amplitud. Periodicidad. Simetría. Potencia y energía. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

12 Caracterización de las señales Valores máximos y de pico a pico Valores máximos y de pico a pico V MAX x(t) V MIN El valor de pico a pico se define como: V pp = x(t) max x(t) min Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

13 Caracterización de las señales Periodicidad Señales periódicas Señal periodica en tiempo continuo x(t) = x(t+kt 0 ), t, T 0 R +, k Z donde T = kt 0 es el periodo de la señal y T 0 es el periodo fundamental. Dimensiones: Periodo T [s] Frecuencia f = /T [s, Hz] Frecuencia angular ω = π/t = pi f [rad/s] Señal periodica en tiempo discreto Una señal en tiempo discreto es periódica si: x[n] = x[n+kn 0 ], n N 0 Z +, k Z donde N = kn 0 es el periodo de la señal y N 0 es el periodo fundamental (debe ser un entero) Pensar en una señal constante Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

14 Caracterización de las señales Periodicidad Ejemplos x (t) T 0 =? 4 3 x (t) Es periódica x (t)? 3 4 T =? t t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

15 Caracterización de las señales Periodicidad Periodicidad en tiempo discreto. Ejemplo x [n] N 0 =? n Es periódica x [n]? x [n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

16 Caracterización de las señales Simetría Simetría Dos tipos de simetría: Par e impar. Simetría Par x(t) = x( t) x[n] = x[ n] Simetría Impar x(t) = x( t) x[n] = x[ n] Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

17 Caracterización de las señales Simetría Ejemplos. Simetría par x(t) t x[n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

18 Caracterización de las señales Simetría Ejemplos. Simetría impar x(t) t x[n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

19 Caracterización de las señales Simetría Partes par e impar de una señal Cualquier señal se puede descomponer en una parte par y otra impar. Siendo : Siendo : x(t) = x p (t)+x i (t) x p (t) = (x(t)+x( t)) x i (t) = (x(t) x( t)) x[n] = x p [n]+x i [n] x p [n] = (x[n]+x[ n]) x i [n] = (x[n] x[ n]) Demostrarlo!!!! Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

20 Caracterización de las señales Simetría Ejemplo. Partes par e impar de una señal x(t) t x p(t) x i(t) t t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

21 Caracterización de las señales Potencia y energía Energía Tiempo continuo Tiempo discreto E x = E x = x(t) dt x[n] n= Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

22 Caracterización de las señales Potencia y energía Potencia media Tiempo continuo T P m = lím x(t) dt T T T Tiempo discreto P m = lím N N + x[n] Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

23 Caracterización de las señales Potencia y energía Señales definidas en potencia y en energía Señales definidas en energía: E x < Energía finita y potencia media nula. Ejemplo: señales limitadas en el tiempo { si t t t x(t) = 0 resto Señales definidas en potencia: P m <. Energía infinita y Potencia media finita. Ejemplo: x(t) = 3sen(5t) Señales no definidas ni en potencia ni en energía. Energía y potencia media infinitas. Ejemplo: x(t) = t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

24 Transformaciones de la variable independiente Desplazamiento Desplazamiento Definición El desplazamiento se produce cuando a la variable independiente se le suma una constante. La transformación sería: x(t+t 0 ) donde t 0 R x[n+n 0 ] donde n 0 Z Resultado El resultado sería un retardo o un adelanto de la señal: Un desplazamiento del mismo signo que la variable independiente implica un adelanto. Un desplazamiento de distinto signo que la variable independiente implica un retardo. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

25 Transformaciones de la variable independiente Desplazamiento Efecto del desplazamiento x(t ) x(t) Retardo 3 t t x(t+) Adelanto 4 3 t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

26 Transformaciones de la variable independiente Desplazamiento Ejercicio Representar las señales x(t 3) y x(t+) 5 x(t) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

27 Transformaciones de la variable independiente Desplazamiento Ejercicio Representar las señales x[n ] y x[n+] 5 x[n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

28 Transformaciones de la variable independiente Reflexión Reflexión Definición La reflexión se produce cuando se cambia el signo de la variable independiente. x( t) x[ n] Resultado El resultado sería una reflexión respecto al origen. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

29 Transformaciones de la variable independiente Reflexión Efecto de la reflexión en tiempo continuo x(t) x( t) t t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

30 Transformaciones de la variable independiente Reflexión Efecto de la reflexión en tiempo discreto x[n] x[ n] n n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

31 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Cambio de escala Cambio de escala Se produce cuando la variable independiente se multiplica o divide por una constante. Se producen distintos efectos en tiempo continuo y discreto. Tiempo continuo, x(at) Si a > se produce es una compresión en el tiempo. Si a < se produce una expansión en el tiempo. Si a es negativa se producirá además una reflexión. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

32 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Compresión x(t) t x(t) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

33 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Expansión x(t) t x(t/) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

34 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Cambio de escala en tiempo discreto. Diezmado e interpolación La operación de multiplicar la variable independiente por una constante entera (de módulo mayor que ) se llama diezmado porque produce pérdida de datos de la señal. Diezmado de orden M Se define como: y[n] = x[mn] El resultado sería una señal que conservaría sólo una de cada M muestras. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

35 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Resultado del diezmado x[n] n x[3n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

36 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Interpolación La operación de dividir la variable independiente por una constante entera (de módulo mayor que ) se llama interpolación. Supone la aparición de datos nuevos en la señal. Interpolación de orden L Se define como: y[n] = { x[n/l], si n = L 0, n L Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

37 Transformaciones de la variable independiente Cambio de escala Resultado de la interpolación 4 3 x[n] n x[n/3] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

38 Transformaciones de la variable independiente Combinación de transformaciones Combinación de transformaciones Las transformaciones de la variable independiente pueden aparecer combinadas en una sola expresión. En ese caso es importante seguir un orden a la hora de realizar las transformaciones. Uno posible (pero no único) sería: Desplazamiento. Reflexión. 3 Cambio de escala. Es importante comprobar la señal resultante dando varios valores a la variable independiente. Ejemplos: ( x t ) x[3n+] Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

39 Transformaciones de la variable independiente Combinación de transformaciones Ejercicio Ejercicio Representar la señal x ( t ) 5 x(t) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

40 Transformaciones de la variable independiente Combinación de transformaciones Ejercicio Ejercicio Representar la señal x[3n+] 5 x[n] n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

41 Señales básicas en tiempo continuo Impulso unidad delta de Dirac Impulso unidad delta de Dirac. δ(t) Se trata de una función generalizada (distribución) que se caracteriza por: {, t = 0 δ(t) = 0, t 0 ; δ(t)dt = Se puede obtener como aproximación de otras funciones. Por ejemplo: δ (t) Área unidad δ(t) t δ(t) = lím 0 δ (t) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

42 Señales básicas en tiempo continuo Impulso unidad delta de Dirac Propiedades de la delta de Dirac Integración t t δ(t)dt = { si t 0 t 0 resto Multiplicación En particular: x(t)δ(t) = x(0)δ(t) Mezclando ambas: x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ) x(τ)δ(t τ)dτ = x(t) Cualquier señal se puede obtener como combinación lineal de deltas desplazadas. Otras propiedades: δ(at) = a δ(t) δ( t) = δ(t) Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

43 Señales básicas en tiempo continuo Escalón unidad Escalón unidad. u(t) El escalón unidad se define como: u(t) = { 0, t < 0, t > 0 u(t) Está relacionado con la delta de Dirac con las siguientes expresiones: u(t) = t δ(τ)dτ δ(t) = du(t) dt t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

44 Señales básicas en tiempo continuo Pulso rectangular Pulso rectangular Se define como: (t) = {, t < / 0, t > / Se puede definir en función del escalón: ( ) t t ( ( 0 = u t t 0 τ )) ( ( u t t 0 + τ )) τ Ejemplo: ( t 3 4 ) t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

45 Señales básicas en tiempo continuo Función exponencial Función exponencial La función exponencial tiene la siguiente forma: x(t) = Ae ct ; con A,c C Dependiendo de los valores que tomen las constantes A y c se obtienen señales distintas: Si A y c son reales tendremos una exponencial real. Si A y c son complejas tendremos una exponencial compleja. Si c es imaginaria pura tendremos una señal exponencial compleja periódica. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

46 Señales básicas en tiempo continuo Función exponencial Exponencial real x(t) = Ae ct ; con A,c R Con c > 0 exponencial creciente. x(t) = e 0,3t Con c < 0 exponencial decreciente. x(t) = e 0,3t t t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

47 Señales básicas en tiempo continuo Función exponencial Exponencial compleja x(t) = Ae ct ; con A,c C A = A e jθ,c = σ +jω 0 x(t) = A e σt (cos(ω 0 t+θ)+jsen(ω 0 t+θ)) Parte real Re{x(t)} 4 3 Parte imaginaria Im{x(t)} donde: e jω0t = cos(ω 0 t)+jsen(ω 0 t) Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

48 Señales básicas en tiempo continuo Función exponencial Exponencial compleja periódica Definición x(t) = e jω0t Periodicidad: x(t) = x(t+t), t e jω0t = e jω0(t+t) = e jω0t e jω0t Se debe cumplir: e jω0t = ω 0 T = πk, k Z. Por lo tanto: T = π ω 0 k, k Z El periodo fundamental: T 0 = π ω 0 [s] La frecuencia fundamental: ω 0 = π T [rad/s] Para ω 0 = 0 tendríamos x(t) = y el periodo sería indefinido. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

49 Señales básicas en tiempo continuo Señal sinusoidal Señal sinusoidal Una señal relacionada directamente con la exponencial compleja periódica es la señal sinusoidal: x(t) = Acos(ω 0 t+φ) x(t) A Acosφ T 0 = π ω 0 t mediante la fórmula de Euler: e jω0t = cos(ω 0 t)+jsen(ω 0 t) Ejemplo: Calcular el periodo de la señal x(t) = cos(πt)+cos(t). Calcular el periodo de la señal x(t) = cos(t)+cos( 3 t) Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

50 Señales básicas en tiempo continuo Función sinc Función sinc La función sinc normalizada se define como: sinc(t) = sen(πt) ; con sinc(0) = πt t Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

51 Señales básicas en tiempo discreto Impulso unidad delta de Kronecker Impulso unidad ó delta de Kronecker: δ[n] δ[n] = {, n = 0 0, n 0 δ[n] n Propiedades: δ[n] = n= x[n]δ[n n 0 ] = x[n 0 ]δ[n n 0 ] Consecuenicia: k= x[k]δ[n k] = x[n] Cualquier señal discreta se puede obtener como combinación lineal de deltas desplazadas Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

52 Señales básicas en tiempo discreto Escalón unidad Escalón unidad. u[n] u[n] = { 0, n < 0, n 0 u[n] Está relacionado con la delta: n n u[n] = δ[k] δ[n] = u[n] u[n ] k= Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

53 Señales básicas en tiempo discreto Pulso rectangular Pulso rectangular 0, n < N p[n] =, N n N 0, n > N Se puede expresar en función del escalón: p[n] = u[n N ] u[n (N +)] Ejemplo: n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

54 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Función exponencial La función exponencial tiene la siguiente forma: x[n] = Cα n ; con C,α C Dependiendo de los valores que tomen las constantes C y α se obtienen señales distintas: Si C y α son reales tendremos una exponencial real. Si C y α son complejas tendremos una exponencial compleja genérica. Si α = tendremos una señal exponencial compleja. Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

55 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Exponencial real x(t) = Cα n ; con C,α R Con α > y α > 0 exponencial creciente. ( ) n 3 x[n] = Con α < y α > 0 exponencial decreciente. ( ) n x[n] = n n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

56 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Exponencial real Con α > y α < 0 exponencial creciente alterna. ( x[n] = 3 ) n Con α < y α < 0 exponencial decreciente alterna. ( x[n] = ) n n n Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

57 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Exponencial compleja genérica x[n] = Cα n ; con C,α C C = C e jθ,α = α e jω0 x[n] = C α n (cos(ω 0 n+θ)+jsen(ω 0 n+θ)) Parte real Re{x[n]} Parte imaginaria Im{x[n]} Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

58 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Exponencial compleja Periodicidad Cálculo del periodo: x[n] = e jω0n x[n] = x[n+n] Ae jω0n = Ae jω0(n+n) Ω 0 N = πk N = πk Ω 0, N,k Z + No todas son periódicas!!! La frecuencia es Ω 0 = πk N, los múltiplos de π/n, N Z+. Existen muchas frecuencias que generan la misma señal: Ω 0 y Ω 0 +πk, k Z: Ae jω0n = Ae j(ω0+πk)n solo necesitamos un intervalo de longitud π para obtener todas las frecuencias!!! Número de frecuencias finito Para un N dado, las únicas frecuencias diferentes son: Ω k = πk N, k [0,N) Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

59 Señales básicas en tiempo discreto Función exponencial Periodicidad Diferencias entre tiempo continuo y discreto e jω0t Señales distintas para distintos valores de ω 0 Periódica para cualquier valor de ω 0 e jω0n Señales iguales para valores de Ω 0 separados por múltiplo de π Periódica sólo si Ω 0 = k π N Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

60 Señales básicas en tiempo discreto Señal sinusoidal Señal sinusoidal x[n] = Acos(Ω o n+φ) x[n] = cos ( π 5 n) n x[n] = cos(n) n Ejemplo: Calcular el periodo de la señal x[n] = cos(πn)+cos(n). Calcular el periodo de la señal x[n] = cos( π 3 n)+cos(3π n) Señales y Sistemas Tema. Parte. Señales / 6

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