Modulación y Procesamiento de Señales

Transcripción

1 Modulación y Procesamiento de Señales Práctico Señales en Tiempo Discreto Cada ejercicio comienza con un símbolo el cual indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básico, medio, avanzado, y difícil. Además puede tener un número, como (.) que indica el número de ejercicio del libro Discrete-time signal processing, Oppenheim/Schafer, nd edition, o (., Proakis) que indica el número de ejercicio del libro Digital Signal Processing, Proakis/Manolakis, rd edition. Ejercicio (., Proakis) Determinar cuál de las siguientes señales sinusoidales son periódicas y en caso de serlo, calcular el periodo. (a) x[n] = cos.πn ( ) πn (b) x[n] = cos (c) x[n] = cosπn (d) x[n] = sinn ( ) 6πn (e) x[n] = sin Ejercicio (., Proakis) Determinar cual de las siguientes señales sinusoidales son periódicas y en caso de serlo, calcular el periodo. (a) x a (t) = cos(t+π/6) (b) x[n] = cos(n+π/6) (c) x[n] = exp[j(n/6 π)] (d) x[n] = cos(n/8) cos(πn/8) (e) x[n] = cos(πn/) sin(πn/8)+cos(πn/+π/) Ejercicio (.-.) Determine si cada una de las señales siguientes es periódica. Para las que sean periódicas, indique su periodo. (a) x[n] = e j(πn/6) (b) x[n] = e j(πn/) (c) x[n] = [sen(πn/)]/(π/n) (d) x[n] = e j(πn/ ) (e) x[n] = ne j(πn) (f) x[n] = e jn

2 Ejercicio (., Proakis) Considere la siguiente señal sinusoidal analógica: x a (t) = sin(πt). (a) Esbozar la señal x a (t) en t ms. (b) La señal se muestrea a una frecuencia de muestreo de f s = muestras/s. Determinar la frecuencia de la señal discreta x[n] = x a (nt), donde T es el período de muestreo, T = /f s. Mostrar además que x[n] es periódica y calcular el periodo. (c) Calcular los valores de las muestras en un periodo. Esbozar x[n] en el mismo diagrama que x a (t). Ejercicio (., Proakis) Una señal en tiempo discreto se define como + n n x[n] = n en otro caso. (a) Esbozar la señal x[n]. (b) Esbozar las señales que resultan de: () Invertir temporalmente y luego retardar la señal resultante muestras. () Retardar la señal muestras y luego invertir temporalmente la señal resultante. (c) Demostrar que el procedimiento realizado en () resulta en x[ n+] y el realizado en () resulta en x[ n ] (d) Delos resultados delas partes (b)y(c), indicar unareglaparadeterminar laseñalx[ n+k] a partir de x[n]. Ejercicio 6 (., Proakis) Considere la señal mostrada en la siguiente figura: x[n].. 6 Esbozar cada una de las siguientes señales. (a) x[n ] (b) x[ n] (c) x[n+] (d) x[n] (e) x[n]u[ n] (f) x[n ]δ[n ] (g) x[n ]

3 Ejercicio Considere la señal definida como n x[n] = n en otro caso. Escribir x[n] en términos de la señal escalón u[n] y en términos de impulsos δ[n] escalados y retardados.

4 Ejercicio Solución La condición de periodicidad es que existan (k,n) enteros tal que ωn = kπ, donde ω es la frecuencia en radianes. El periodo es el menor entero N que cumple la condición. (a) ω =.π = π (b) ω = π = π πn = kπ N = k N =, con k = πn (c) ω = π, que es lo mismo que ω = π, ya que Se tiene entonces que (d) ω = = kπ N = k N =, con k = x[n] = cosπn = cos(πn πn) = cos(πn) πn = kπ N = k N =, con k = N = kπ N k = π No periodica ya que π es irracional. (e) Como ( ) 6πn sin por lo tanto, ω = π. Ejercicio πn ( ) 6πn = sin πn = sin ( ) ( πn πn = sin = kπ N = k N =, con k = (a) La señal es analógica, o equivalentemente, de tiempo continuo. Una sinusoide analógica siempre es periódica, y en este caso, la frecuencia es ω = rad/s. El periodo es (b) ω = rad. T = π ω = π seg. ), N = πk N k = π No periodica ya que π es irracional. (c) ω = 6 N 6 = πk N = π No periodica ya que π es irracional. k (d) Siguiendo el mismo razonamiento que en los casos anteriores es fácil ver que cos(n/8) no es periódica y cos(πn/8) es periódica. Como x[n] es el producto de una señal no periódica con una señal periódica, no es periódica. (e) cos(πn/) es periódica con periodo N =, sin(πn/8) es periódica con periodo N = 6 y cos(πn/+π/) es periódica con periodo N = 8. Por lo tanto, x[n] es periódica con periodo N = 6, ya que 6 es el mínimo común múltiplo de, 8 y 6.

5 Ejercicio (a) Periódica, N =. (b) Periódica, N = 8. (c) No periódica. (d) No periódica. (e) No periódica. (f) No periódica. Ejercicio (a) La señal se muestra en la siguiente figura: x a (t) t(ms) (b) La señal discreta resultante del muestreo es x[n] = x a (nt) = sin(πnt), con n entero. Teniendo en cuenta que el periodo de muestreo es T = /f s = / segundos, resulta en ( πn ) x[n] = sin. La frecuencia de la señal discreta es por lo tanto ω = π radianes/muestra. La condición para que sea periódica es que existan N y k enteros tal que ωn = kπ. En este caso, se tiene que πn = kπ N = 6k N = 6, con k =, concluyendo que la señal es periódica de periodo N = 6 muestras. (c) Los valores de las muestras de x[n] en un periodo son los siguientes x[] = sin() = ( π x[] = sin = ) ( ) π x[] = sin = x[] = sin(π) = ( ) π x[] = sin ( ) π x[] = sin = = Un esbozo de la señal discreta se muestra en la siguiente figura:

6 x a (t) x[] x[] x[] x[8] x[] x[] x[6] t(ms) x[] x[] Ejercicio (a) La señal se muestra en la siguiente figura: x[n] / / (b) () A continuación la señal x[ n]: / / 6 8 () A continuación la señal x[ n ]: / / 8 6 (c) Seax [n] = x[ n],unainversióntemporaldex[n],siluegoefectuamos unretardotemporal de muestras a x [n] resulta x [n] = x [n ] = x[ (n )] = x[ n], que es lo que queríamos demostrar. (d) Sea x [n] = x[n ], un retardo temporal de muestras de x[n], si luego efectuamos una inversión temporal a x [n] resulta x [n] = x [ n] = x[ n ], que es lo que queríamos demostrar. Ejercicio 6 (a) x a[n] = x[n ]

7 (b) x b [n] = x[ n] (c) x c[n] = x[n+].. 6 (d) x d[n] = x[n]. 6 (e) x e[n] = x[n]u[ n] 6 (f) x f[n] = x[n ]δ[n ] 6 (g) x g [n] = x[n ].. 6 Ejercicio En términos de la señal escalón: x[n] = u[n] u[n ] /(u[n ] u[n ]). En términos de señales impulso: x[n] = δ[n k] / δ[n k]