GRADO de TELECOMUNICACIONES

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1 GRADO de TELECOMUNICACIONES ESTADISTICA PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS OBJETIVOS: Introducción a la probabilidad y a las variables aleatorias 1. Probabilidad 1. Simular 1000 lanzamientos de una moneda cuya probabilidad de obtener cara (codificada como 1) es de 0,4 y la de obtener cruz (codificada como 0) es de 0,6. Cómo se podría ver que la simulación está funcionando según lo esperado? >> n=1000; p=0.4; >> u=rand(n,1); >> m=1*(u<=p)+0*(u>p); >> mean(m) % aprox Simular 10 lanzamientos de una moneda cuya probabilidad de obtener cara (codificada como 1) es de 0,4 y la de obtener cruz (codificada como 0) es de 0,6 y localizar en un vector los lanzamientos que son cara. >> n=10; p=0.4; >> u=rand(n,1); >> m=1*(u<=p)+0*(u>p); >> lanza=(1:n) >> data=[lanza m]; >> donde=data(find(data(:,2)==1)) 3. La probabilidad de lluvia en un día es de p = 0,5. Indicar el código MATLAB/Octave para saber cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana (asumiendo independencia de lluvia entre días) Compararla con la teórica. Sea A el suceso llueve en sábado y B el suceso llueve en domingo, y la probabilidad de lluvia P (A) = P (B) = 0,5. Por tanto, la probabilidad de que llueva el fin de semana es: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0,5 + 0,5 0,5 0,5 = 0,75 Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 1

2 % mediante simulacion: >> u=rand(10000,2) ; % simulamos 2 columnas (sábado y domingo) >> x=(u<=p); % si u<=p, toma valor 1 y 0 en caso contrario >> w=(x(:,1)==1 x(:,2)==1); % si llueve el sábado % domingo o ambos, w=1 y w=0 en caso % contrario >> prob = sum(w)/10000; % aprox Indicar el código MATLAB para calcular la fiabilidad de un sistema de 5 componentes en serie cuya probabilidad de fallo es de 0.05 para cada uno de ellos y donde se supone que los fallos se producen de forma independiente entre sí. Compararla con la fiabilidad teórica. Sea p = 1 0,05 la probabilidad de que cada componente no falle, la probabilidad teórica es p 5 = 0,7738. % mediante simulación: >> u=rand(1000,5); >> x=(u<=p); >> w=(x(:,1)==1 & x(:,2)==1 & x(:,3)==1 & x(:,4)==1 & x(:,5)==1); >> prob=sum(w)/1000; % aprox La empresa Aikon tiene una planta de fabricación de teléfonos móviles. Se sabe que el 30 % de los teléfonos fabricados en dicha planta son defectuosos. Si un teléfono es defectuoso, la probabilidad de que un robot del Departamento de Calidad de la empresa lo detecte es 0, 9 y si no es defectuoso, la probabilidad de que el robot lo considere defectuoso y lo saque de producción es de 0, 2. Si un cliente compra dos teléfonos que no han sido sacados de la cadena de producción, cuál es la probabilidad de que sean ambos no defectuosos? Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 2

3 La solución teórica es la siguiente: Sean los sucesos A = ser defectuoso, Ā = no ser defectuoso, R = el robot dice que es defectuoso, y R = el robot dice que no es defectuoso. Los datos del problema nos dice que: P (A) = 0,3, P (R A) = 0,9 y que P (R Ā) = 0,2, por lo que P (Ā) = 1 P (A) = 0,7, P ( R A) = 0,1 y P ( R Ā) = 0,8. Se tiene por tanto que la probabilidad de que un teléfono que no haya sido sacado de la cadena de producción sea no defectuoso es: P (Ā R) = P ( R Ā)P (Ā) P ( R) = P ( R Ā)P (Ā) P ( R Ā)P (Ā) + P ( R A)P (A) = 0,949 Y por tanto, que dos lo sean es 0, 949 0, 949 = 0, En MATLAB, podemos calcular la probabilidad, sin necesidad de aplicar el teorema de Bayes. Mediante simulación y a partir de las probabilidades dadas en el problema: 1. Simulamos la fabricación de n móviles (por ej: n = 10000). Sabiendo que el 30 % son defectuosos (el 70 % no son defectuosos). >> n=10000; >> n_def=0.3*n; % n o de defectuosos >> n_no_def=0.7*n; % n o de no defectuosos 2. Crearemos el vector M, formado por los vectores DEF, y NDEF, que toma valor 1 si el móvil fabricado es defectuoso y 0 si no lo es. >> DEF = repmat(1,n_def,1) ; >> NDEF = repmat(0,n_no_def,1) ; >> M = [DEF ; NDEF]; 3. Generamos números aleatorios mediante el comando rand, de tamaño n_def y n_no_def. >> u_def=rand(n_def,1); >> u_no_def=rand(n_no_def,1); 4. Mediante la condición booleana, y con las probabilidades P (R A) = 0,9 y P (R Ā) = 0,2, generamos un vector R, que indica que el Robot detecta que el móvil es defectouso y en efecto lo es (1) y toma valor 0 si lo detecta cuando no lo es. >> R_DEF = 1*(u_def<=0.9) + 0*(u_def>0.9); >> R_NDEF = 1*(u_no_def<=0.2) + 0*(u_no_def>0.2); >> R =[ R_DEF ; R_NDEF ]; Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 3

4 5. Finalmente creamos un matriz datos, que contiene en la primera columna el vector M y en la segunda el vector R. Por tanto la probabilidad P (Ā R), se puede aproximar contando las veces que R=0 y M=1, para ello utilizamos en comando find. >> datos = [ M R ]; >> AIKON = datos(find(datos(:,2)==0)); % finalmente con tabulate >> tabulate(aikon) Value Count Percent % % Obtenemos P (Ā R) 0, 949, en nuestro caso hemos obtenido Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 4

5 2. Variables aleatorias 2.1. Funciones preliminares útiles La siguienta tabla resume algunas de las funciones más importantes para la generación de números aleatorios en MATLAB/Octave: Función Descripción Sintaxis rand n. aleatorios [0, 1] rand(m,n) unifrnd n. aleatorios [a, b] unifrnd(a,b,m,n) unidrnd n. aleatorios discretos {1, 2,..., N} unidrnd(n,m,n) donde m y n, son respectivamente en nâo de filas y columnas a generar. Ejemplos: 1. Genera 100 datos de la distribución uniforme contínua U(0, 1). >> x=rand(100,1) % ó x=unifrnd(0,1,100,1) 2. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de un dado. >> x=unidrnd(6,5,1) % generamos los 5 lanzamientos % a partir de una unif. discreta entre 1 y 6 % otra manera: >> u=rand(6,1) >> x=floor(6*u+1) 3. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de 3 dados. >> x=unidrnd(6,5,3) % generamos los 5 lanzamientos de los 3 dados % a partir de una uniforme discreta entre 1 y 6 % otra manera: >> u=rand(5,3) >> x=floor(6*u+1) 2.2. Generación de variables aleatorias 1. Supongamos el experimento del lanzamiento de dos monedas. Sea X, la variable aleatoria número de cruces. Determina con MATLAB/Octave la función de probabilidad de X. Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 5

6 >> n=10000; >> u1=rand(n,1); >> u2=rand(n,1); >> m1=1*(u1<=1/2)+0*(u1>1/2); % generamos los n lanzamientos de las >> m2=1*(u2<=1/2)+0*(u2>1/2); % monedas 1 y 2, con probabilidad % 1/2 de cruz (=1) y de cara (=0) >> x=m1+m2; % x es la suma de las cruces de ambas monedas >> tabulate(x) % con tabulate, obtenemos la tabla de frecuencias % absoluta y relativa Value Count Percent % % % De este modo hemos aproximado la función de probabilidad teórica: p(x) = P (X = x) >> tab=tabulate(x) % guardamos la tabla en una matriz tab >> bar(tab(:,3)) % representamos el diagrama de barras de las % frecuencias relativas X p(x) 0 1/4 1 1/2 2 1/ Dada la variable aleatoria X, del ejercicio anterior, comprueba los valores teóricos E[X] y Var[X]. Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 6

7 La esperanza de X es: µ = E[X] = n x i P (X = x i ) = = 1 i=1 Y la varianza: σ 2 = Var[X] = n (x i µ) 2 P (X = x i ) i=1 Recuerda: En MATLAB podemos comprobar que: = (0 1) (2 1)2 1 2 = 1 2 Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 >> mean(x) % es aproximadamente 1 >> var(x) % es aproximadamente El método de la inversa 1 de la función de distribución, F X (x), afirma que si una variable aleatoria X tiene una función de distribución F X (x) que admite inversa, entonces se verifica que la variable transformada U = F X (X) sigue siempre una distribución uniforme continua U. Este resultado se aplica en la vida real considerando la igualdad u = F X (x) y despejando x en función de u, que vendrá dado por x = F 1 X (u), con lo que si se genera u U(0, 1) se tiene que x = F 1 X (u) sigue la distribución de X. Para generar u U con MATLAB/Octave podemos utilizar rand ó unifrnd. a) Sea X una variable aleatoria con función de distribución F X (x), dada por: { 0 x < 0 F X (x) = 1 e 2x 0 x Cómo simularías valores de la v.a. X? b) Comprueba con MATLAB/Octave los valores de E[X] y de Var[X]. 1 Para más detalles: link Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 7

8 a) Por el método de la inversa tenemos que considerando la igualdad u = F X (x), tenemos que para 0 x, se verifica que: 1 e 2x = u 1 u = e 2x 1 log(1 u) = x 2 Con lo que si generamos u U(0, 1), obtendremos que x f(x). El pseudocódigo sería: 1: Fijar n = 100 2: Generar n datos u U(0, 1) 3: Aplicar transformación inversa (x = 1 2 4: Tenemos que x f(x) log(1 u)) En MATLAB, sobre el Command Window: >> n=100000; >> u=rand(n,1); >> x = (-1/2)*log(1-u); >> hist(x) NOTA: El método de la inversa permite simular variables aleatorias de manera sencilla a partir de v.a. s uniformes. En este ejercicio se han simulado v.a. s Exponenciales de parámetro λ = 2. b) Dada la función de distribución de X, F X (x), podemos obtener la función de densidad f(x), sabiendo que f(x) = df X(x) dx y por tanto: { 2e 2x x 0 f(x) = 0 en otro caso µ = E[X] = σ 2 = Var[X] = xf(x)dx = 1 2 (x µ) 2 f(x)dx = ( x 1 ) 2 f(x)dx = Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 8

9 >> mean(x) % es aprox. 0.5 >> var(x) % es aprox NOTA: como se indicó en el apartado anterior, X Exp(λ = 2), donde E[X] = 1/λ y Var[X] = 1/λ Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo o su valor correcto: El código en MATLAB/Octave para generar 100 valores de una v.a Gompertz generalizada con función de distribución { 1 exp ( exp (x)) 0 < x F (x) = 0 resto es >> x=rand(100,1); >> g=-log(1-x); % log es logaritmo neperiano Es falsa. Para generar una v.a. continua cuya función de distribución admita inversa, se considera F (x) = u con u U (0, 1) y se despeja la x. Por lo que Por tanto el código en MATLAB sería: >> u=rand(1000,1); >> x=log(-log(1-u)); F (x) = 1 exp ( exp (x)) = u 1 u = exp ( exp (x)) ln (1 u) = exp (x) x = ln ( ln (1 u)) Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 9

10 Ejercicios para entregar Probabilidad Ejercicio 1 (2.5 puntos) Dado el circuito de la figura, formado por los componentes A, B y C, que funcionan de manera independiente: B A C a) Calcula mediante simulación con MATLAB/Octave, la probabilidad de que el sistema funcione, suponiendo que P (A) = P (B) = P (C) = 0,8. A qué valor teórico se aproximará la solución mediante la simulación? Justifica tu respuesta. b) Calcula mediante simulación con MATLAB/Octave, la probabilidad de que el sistema funcione, suponiendo que P (A) = 0,08, P (B) = 0,3 y P (C) = 0,1. A qué valor teórico se aproximará la solución mediante la simulación? Justifica tu respuesta. Variables aleatorias Ejercicio 2 (2.5 puntos) Sea p = P (S = s) una función de probabilidad definida para el espacio de sucesos S = {1, 2, 3, 4, 5} con las siguientes probabilidades S p a) Genera en MATLAB/Octave dos variables aleatorias independientes (x1 y x2) con función de probabilidad p. Qué valores aproximados deberían dar la media y la varianza de x1 y x2? b) Calcula mediante simulación en MATLAB/Octave la probabilidad P (X 1 = X 2 ). A qué resultado teórico se aproximado deberá parecerse el resultado obtenido? Justifica tu respuesta. c) Comprueba mediante una tabla de frecuencias y gráficamente mediante un diagrama de barras que la generación de X 1 y X 2 es correcta. Explica los resultados obtenidos. Ejercicio 3 (2.5 puntos) Utiliza el método de la transformación inversa de la función de distribución para generar una variable aleatoria continua cuya función de densidad sea { 0 resto f(x) = 1 18 x 0 < x < 6 Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 10

11 a) Determina analíticamente la función de distribución F X (x). b) Escribe el PSEUDOCÓDIGO para generar números aleatorios de la variable aleatoria X. c) Escribe el código MATLAB/Octave que genera las variables aleatorias de X mediante el método de la transformación inversa. d) Calcula analíticamente E[X] y Var[X]. Cómo se podría comprobar que se ha generado de forma correcta la v.a. X en el apartado anterior? Ejercicio 4 (2.5 puntos) Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad f (x) viene dada por { ( γx exp γ f(x) = 2 x2) x > 0 0 resto a) Cómo generarías la variable aleatoria X? Justifica tu respuesta. b) Indica el código de MATLAB/Octave para generar n valores X con γ = 0, 15. Justifica tu respuesta. c) Sabiendo que la variable aleatoria anterior tiene media y varianza dadas por µ = E [X] = π 2γ y σ 2 = Var [X] = 4 π 2γ Cómo se podría comprobar que se ha generado de forma correcta la v.a. X en el apartado anterior? Grado de Telecomunicaciones - Estadistica ( ), PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y V.A s 11