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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 00- TIPO DURACIÓN MÁXIMA. HORAS DICIEMBRE 8 DE 009 NOMBRE. La siguiente información es el resultado de las calificaciones obtenidas por un grupo de 30 estudiantes de probabilidad y estadística a) Completar la tabla de frecuencias considerando los datos arriba citados. Clase Calificaciones en límites Calificaciones en intervalos Marcas de clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada absoluta Frecuencia acumulada relativa i f i f i * F i F i * Con base en los datos de la tabla anterior contesta las siguientes preguntas: b) Cuál es el rango o recorrido de los datos agrupados? Cuál es el ancho de los límites? c) Cuál es el promedio de calificaciones del grupo? d) Entre qué valores se encontrarán la mayoría de las calificaciones de este grupo (desviación estándar)? e) Qué tipo de simetría tiene este modelo? Qué tipo de curtosis tiene este modelo? Puntos a) La Distribución de frecuencias queda como: Clase Calificaciones en límites Calificaciones en intervalos Marcas de clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada absoluta Frecuencia acumulada relativa i f i f i * F i F i * b) El rango de los datos agrupados es: R =.. El ancho de los límites y de los intervalos, es: c = o bien, VM Vm 0 c = =. n 30 por lo tanto, se redondea al siguiente entero: PyE_ EF_TIPO_00-

2 c = c) El promedio de las calificaciones, utilizando los datos agrupados, se define por: m m * i i i i n = f = f 8 = i fi = (.)( ) + (.)( 9) + ( 6.)( 8) + ( 8.)( 6) + ( 0.)( 3) = = d) La desviación estándar de las calificaciones para la muestra, está definida por la raíz de la variancia, entonces: m s ( ) n = i fi n sn = sn.8 (. 8 / 30) ( ) (. 8 / 30) ( 9) ( 6. 8 / 30) ( 8) ( 8. 8 / 30) ( 6) ( 0. 8 / 30) ( 3) obteniendo la raíz: m s ( ) n = i fi n sutituyendo: sn =.8 sn =. e) La simetría se define como el tercer momento con respecto de la media entre la desviación estándar al cubo, entonces: a a 3 3 * m ( ) m i fi ( i ) fi n 3 = = 3 3 ( Sn ) ( Sn ) 30 = ( / 30 ) ( ) + (. 8 / 30 ) ( 9 ) + ( 6. 8 / 30 ) ( 8 ) + ( 8. 8 / 30 ) ( 6 ) + ( 0. 8 / 30 ) ( 3 ) (.) 3 3 realizando operaciones: a < 0.9 por lo tanto, es una muestra de calificaciones con ligero sesgo positivo. La curtosis se define como el cuarto momento con respecto de la media entre la desviación estándar elevado a la cuarta, entonces: a * m ( ) m i fi ( i ) fi n = = ( Sn ) ( Sn ) PyE_ EF_TIPO_00-

3 a 30 = (. 8 / 30 ) ( ) + (. 8 / 30 ) ( 9 ) + ( 6. 8 / 30 ) ( 8 ) + ( 8. 8 / 30 ) ( 6 ) + ( 0. 8 / 30 ) ( 3 ) (.) realizando operaciones: a < 3 por lo tanto es una muestra con aplanamiento del tipo platicúrtica.. Si los eventos A y B son independientes y, P( A ) = 0. y P( B ) = 0.0, calcular: P ( A B) P ( A B ), P ( A B) P A B ; y ( ) Puntos Por independencia de los eventos: P( A B) = P( A) P( B) = = ( 0.)( 0.) = = Entonces: P( A B) = P( A) = = 0. De los Teoremas de probabilidad: + 8 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + = = = Se sabe que: 9 P( A B) = P( A B) = P( A B) = = = , 3. Para construir tres subestaciones, una empresa eléctrica cuenta con dos compañías constructoras, la probabilidad de que una de estas compañías realice la construcción de cualquiera de las tres subestaciones es de 0.6. Si X es la variable aleatoria que representa el número de subestaciones que puede construir una compañía: a) Construir la función de probabilidad de la variable aleatoria X. b) Calcular la probabilidad de que una compañía construya dos de las tres obras. c) Obtener la desviación estándar de la variable aleatoria X. 8 Puntos a) Sea C el evento que representa la compañía construye una subestación. P( C ) = 0.6 Sea X la variable aleatoria que representa el número de subestaciones que puede construir la compañía. X Binomial ( n = 3, p = 0.6) por lo que la función de probabilidad en forma analítica, es: 3 ( 0.6 ) ( 0.6 ) 3 ; = 0,,,3 fx ( ) = la función de probabilidad en forma tabular es: PyE_ EF_TIPO_00-3

4 f X ( ) b) La probabilidad de que una compañía construya dos de las tres subestaciones, f X = = P X =, entonces de la función de probabilidad se obtiene: X ( ) ( ) P( X = ) = 0.3 c) Para calcular la desviación estándar, primero se debe calcular la variancia: ( ) ( ) = μ ( ) ( ) X = E X = μx = fx Var X E X E X E X La media es ( ) ( ) calculado: E( X ) = ( )( 0.88) + ( )( 0.3) + ( 3)( 0.6) =.8 El segundo momento con respecto al origen está definido por: E( X ) = fx ( ) calculando: E( X ) = ( )( 0.88) + ( )( 0.3) + ( 3 )( 0.6) = 3.96 sustituyendo en la variancia y realizando operaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) Var X = E X E X = = 0.7 Entonces la desviación estándar se define como: σ = X ( ) Var X σ = 0.7 = 0.89 X. La siguiente tabla muestra la relación que se presenta entre la pureza del oígeno producido en un proceso de destilación química, contra el porcentaje de hidrocarburos que están presentes en el condensador principal de la unidad de destilación. Nivel de hidrocarburos (%) Pureza y (%) (%) y (%) a) Ajustar un modelo de regresión lineal simple. b) Puede considerarse válido el modelo? Justificar su respuesta. Se sabe que: 0 Puntos a) El modelo es: ŷ = ˆ β + ˆ β 0 Sumas: y y y PyE_ EF_TIPO_00-

5 0 0 y ( 3.8)( 83.) 0 i i y i i ˆ β = =.63 ( 3.8) i 0 i 0 y ˆ β = y ˆ β 0 ˆ β0 = (.63) El modelo queda: yˆ = b) Para determinar si el modelo es válido debe obtenerse el coeficiente de determinación. El coeficiente de correlación, está definido por: SSy r = SS SS SS SS yy yy 0 0 i ( 3.8) i y 0 i ( 83.) y i 0 0 = = = = y i i 0 0 i i i y i ( 3.8)( 83.) = = SS = y 0 = r = SSy 0.0 = SS SS yy ( )( ) Entonces el coeficiente de determinación será: r ( ) ( )( ) SS = R = = SS SS y 0.0 yy El ajuste es regular y puede considerarse válido el modelo dependiendo del error que se esté dispuesto a cometer. PyE_ EF_TIPO_00-

6 . La presión de aire de un neumático seleccionado al azar, instalado en un automóvil nuevo, está distribuido normalmente con valor medio de 3 y desviación estándar de 0.. a) Calcular la probabilidad de que la presión de un neumático, seleccionado al azar, eceda de 30.. b) Determinar la probabilidad de que la presión de un neumático, seleccionado al azar, se encuentre entre 30. y 3.. c) Supóngase que un neumático se considera con presión baja si está debajo de 30., cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro neumáticos de un automóvil se encuentre bajo? Puntos Sea X la variable aleatoria que representa la presión del aire de un neumático instalado en un automóvil nuevo. a) Del enunciado: X N( 3, ( 0.) ) se pide calcular, PX> ( 30.) : estandarizando: PX ( > 30.) = P Z> = PZ ( >.) 0. Usando la tabla de la función de distribución acumulativa normal estándar: PX ( > 30.) = F z (.) = = b) Se pide determinar, P(30. X 3.) Estandarizando: P(30. X 3.) = P Z = P. Z Usando la tabla de la función de distribución acumulativa normal estándar: ( ) ( ) ( ) P(30. X 3.) = Fz. Fz. = = c) Un neumático tiene la presión baja con una probabilidad de: PX ( 30.) = P Z< = PZ ( 3) = Sea Y la variable aleatoria que representa el número de neumáticos con la presión baja de los cuatro que tiene un automóvil. Y Binomial ( n =, p = 0.003) entonces la probabilidad es: PY ( ) = PY ( = ) + PY ( = ) + PY ( = 3) + PY ( = ) o bien, PY = PY= 0 ( ) ( ) 0 ( ) = ( 0.003) ( 0.003) PY 0 PyE_ EF_TIPO_00-6

7 PY ( ) = ( 0.998) = Supóngase que en cierto tipo de lavadora, tanto el espesor como el diámetro de la cavidad son diferentes en cada unidad. Sea X la variable aleatoria que representa el espesor, en milímetros, y Y la variable aleatoria que representa el diámetro de la cavidad, en milímetros, de una lavadora seleccionada al azar. Supóngase que la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y está dada por: k( + y) ; fxy (, y) = y a) Calcular el valor de k que hace una función de densidad. b) Determinar la probabilidad de que una lavadora seleccionada aleatoriamente tenga un espesor entre.0 y. [mm] y una cavidad con un diámetro entre. y [mm]. c) Obtener la función de densidad si se sabe que el espesor es de. [mm]. d) Cuál es el diámetro esperado, si el espesor es de. [mm]. 6 Puntos a) De las propiedades de una función de densidad, se tiene: f XY ( ), y ddy = ( ) ( ) k + y ddy = k + y ddy = integrando con respecto de : 3 k + y dy = k + y y dy = k y + dy = integrando con respecto de y: y k y+ dy = k + y = k + = k = 6k = por lo tanto: k = 6 ( + y) ; fxy (, y) = 6 y P X.,. Y, como la región de la función de densidad es cuadrada, entonces:.. P( X.,. Y ) = ( + y) ddy = ( + y) ddy = = b) Se pide calcular ( ) integrando con respecto a : y dy = + y y dy = y + dy integrando con respecto de y: PyE_ EF_TIPO_00-7

8 y 8 y+ dy = + y = + = = = c) Se pide determinar la función de densidad, dado que el espesor es de 3, entonces: f 3 YX= 3 fxy, y 3 ; y Y X = = 3 fx X = Para lo cual, se requiere calcular la función marginal de X, entonces: y 6 fx ( ) = fxy (, y) dy = ( + y) dy = y+ = fx ( ) = 6 + por lo tanto queda definida por: 9 + ; fx ( ) = 6 Ahora, sustituyendo en la función de densidad condicional, se tiene: 3 + y 6 3 ; y f Y X 3 9 YX= 0 = = + 6 desarrollando y simplificando: 3+ y 3 ; y f 3 Y X = = YX= d) El diámetro esperado, si el espesor es de. [mm], es el valor esperado de la función de densidad condicional, entonces: 3 3 E Y X = = y f 3 Y X = dy YX= 3 3+ y 3 3 E Y X = = y dy = ( 3y + y ) dy= y + y = = ( ) + ( ) ( 6) ( 6) = + = = PyE_ EF_TIPO_00-8

9 7. Se etrae una muestra aleatoria de tamaño 0 de una distribución normal con media. La estadística t X μx de Student T =, donde t = es calculada. Cuál es la probabilidad de que Sn s n 0 PT> (.833)? 8 Puntos Esta estadística t tiene 0 - = 9 grados de libertad. De la tabla t de Student, P ( T >.833 ) = 0.0 Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar Distribución t de Student z ν PyE_ EF_TIPO_00-9