Ejemplos: 1) De una urna que contiene 6 bolillas blancas y 4 negras se extraen sin reposición 3 bolillas. Se definen
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- Ángeles Aguirre Figueroa
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1 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Vectores aleatorios Hasta ahora hemos estudiado modelos de robabilidad ara una única variable aleatoria. Sin embargo en muchos casos interesa construir modelos que involucren a más de una variable. Consideraremos inicialmente el caso de vectores aleatorios bidimensionales luego etenderemos las deiniciones roiedades a vectores de dimensión maor que. Deinición: Sean e v.a. discretas deinidas sobre un esacio muestral S. La unción de robabilidad conjunta del ar se deine como El conjunto R { / R R } Dado cualquier conjunto P es el recorrido o rango del vector aleatorio. A R P A Σ Σ A Una unción de robabilidad conjunta satisace: Ejemlos: De una urna que contiene bolillas blancas negras se etraen sin reosición bolillas. Se deinen : número de bolillas blancas etraídas si el número de bolillas negras etraídas es ar ó si el número de bolillas negras etraídas es imar Hallemos la unción de robabilidad conjunta del vector. Observemos que los osibles valores de son los osibles valores de son. Podemos resumir la inormación en una tabla de la orma siguiente: / / 9/ / 8
2 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez En eecto P equivale al suceso se etraen bolillas negras or lo tanto tiene robabilidad /. P equivale al suceso se etraen bolillas negras el número de bolillas negras es ar or lo tanto tiene robabilidad. De esta orma se comleta la tabla de robabilidades conjuntas. Reetir el Ejemlo suoniendo que las etracciones se realizan con reosición. Deinición: Sea un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta las unciones de robabilidad marginal de e están dadas or Ejemlos: En el ejemlo resentado antes hallemos las unciones de robabilidad marginal. En rimer lugar hallemos. Resecto a Observemos que las unciones de robabilidad marginal se obtienen sumando sobre ilas o columnas las unciones de robabilidad conjunta contenidas en la tabla de ahí su nombre. 8
3 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / / 9/ / / / 9/ / / Deinición: Sea un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta la unción de distribución acumulada conjunta de está dada or F R s t s t Deinición: Sean e v.a. continuas deinidas sobre un esacio muestral S. El vector aleatorio es continuo si eiste una unción denominada unción de densidad conjunta : R R tal que En articular si A [ a b] [ c d] P A d d A R A b d A P d d. a c Una unción de densidad conjunta satisace: d d Ejemlo: Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta k si en otro caso 87
4 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez 88 a Hallar el valor de la constante k. d d k d d k d d - k k k d k d k or lo tanto. k b Calcular. P / / / / d d d P / / 78 8 d Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta I k T siendo { }. / T
5 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez a Hallar el valor de la constante k. b Hallar P. c Hallar P. - a d d k d d k d d k k d k k k / b P d d d d / / / / /
6 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / d c P d d / d 8 7 / d / En este ejemlo resentaremos a la distribución Uniorme sobre una región la cual generaliza a la distribución Uniorme sobre un intervalo estudiada en el caso de variables aleatorias. Diremos que el vector aleatorio tiene distribución Uniorme sobre una región A R si su densidad es constante sobre la región uera de ella es decir ~ U A k si si A A Es inmediato veriicar que k ues área A d d k d d k k área A. A También es inmediato veriicar que área A B P B B R. área A A 9
7 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Deinición: Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta la unción de distribución acumulada conjunta de está dada or F s t dt ds R Deinición: Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta las unciones de densidad marginal de e están dadas or d d Ejemlos: Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta si en otro caso Hallemos las unciones de densidad marginal. ues ara esos valores de la densidad conjunta. Si [ ] Sea [ ] d. Entonces I [ ]. Si [ ] ues ara esos valores de la densidad conjunta. 9
8 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Sea [ ] d. Entonces I [ ]. Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta I siendo T { / }. Si [ ] T ues ara esos valores de la densidad conjunta. Sea [ ] d Entonces I [ ]. Si [ ]. ues ara esos valores de la densidad conjunta. Sea [ ] d. Entonces I [ ]. Deinición: Sea un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta marginales sea tal que > la unción de robabilidad condicional de dado está dada or. 9
9 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Del mismo modo sea tal que > la unción de robabilidad condicional de dado está dada or. Se uede veriicar que en eecto estas unciones son unciones de robabilidad a que or ejemlo satisace ara todo La rimera condición se satisace a que >. Resecto a la segunda. Ejemlo: Se arroja dos veces un tetraedro cuas caras están numeradas. Se deinen las variables aleatorias : suma de los untos obtenidos : número de ases Hallemos en rimer lugar la unción de robabilidad conjunta de las unciones de robabilidad marginal. 7 8 / / / / / 9/ / / / / / / / / / / / / / Obtengamos or ejemlo la unción de robabilidad condicional de dado 9
10 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / que odemos resumir en la siguiente tabla: / / / / / En cambio la unción de robabilidad condicional de dado estará dada or De la misma orma ueden obtenerse todas las unciones de robabilidad condicional de dado las de dado. En cuanto al caso continuo suongamos que en el Ejemlo en el cual la densidad conjunta estaba dada or I deseamos hallar P. siendo T { / } T P P P Por un lado P / / d d d / / 9
11 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / d or otro Entonces / / P d 9. / 8 8 P. 9 / 9 Cómo calcularíamos P? Ahora no es alicable directamente la deinición de robabilidad condicional orque P. Se requiere la siguiente deinición. Deinición: Sea un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta marginales sea tal que > la unción de densidad condicional de dado está dada or. Del mismo modo sea tal que > la unción de densidad condicional de dado está dada or. Se uede veriicar que en eecto estas unciones son unciones de densidad a que or ejemlo satisace ara todo d La rimera condición se satisace a que >. 9
12 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Resecto a la segunda d d. d Ejemlo: Volviendo al ejemlo a la regunta que motivó esta deinición P / / d Hallemos la densidad condicional de dado /. / / I / / I /. / Notemos que dado toma valores en el intervalo -. De ahí que como / toma valores en el intervalo ¾. Finalmente P / d / 8 7. Indeendencia de variables aleatorias Deinición: Sean e dos variables aleatorias discretas e son indeendientes si sólo si Si esta condición no se satisace diremos que e son deendientes. Observemos que si e son indeendientes las unciones de robabilidad condicional coinciden con las corresondientes marginales. Deinición: Sean e dos variables aleatorias continuas e son indeendientes si sólo si 9
13 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Si esta condición no se satisace diremos que e son deendientes. Como en el caso discreto si e son indeendientes las unciones de densidad condicional coinciden con las corresondientes marginales. Ejemlos: Consideremos el rimer ejemlo resentado ara el caso discreto cua unción de robabilidad conjunta sus unciones de robabilidad marginal están dadas or: / / / 9/ / / / 9/ / / Claramente e no son indeendientes a que or ejemlo. Sean e v.a. indeendientes con distribución eonencial de arámetro λ entonces la unción de densidad conjunta del vector estará dada or λ λ e λ λ e I I λ e λ I I. Eseranza de una unción de dos variables aleatorias Hemos visto que dada una v.a. una unción real h h también es una v.a. que ara calcular su eseranza no necesitamos hallar la distribución de h a que se obtiene a artir de la unción de robabilidad untual o de densidad de la v.a. según sea ésta discreta o continua en la orma E h h ó E h h d Un resultado similar se obtiene en el caso de una unción real de un vector aleatorio. 97
14 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Deinición: Sean e dos variables aleatorias discretas con unción de robabilidad conjunta sea h :R R entonces h es una variable aleatoria h siemre que esta eseranza eista. E h Deinición: Sean e dos variables aleatorias continuas con unción de densidad conjunta sea h :R R entonces h es una variable aleatoria h E siemre que esta eseranza eista. h d d Proosición: Sean e dos v.a. discretas o continuas con unción de robabilidad conjunta o de densidad ó resectivamente sean a b números reales entonces E a b ae be Dem: Haremos la demostración ara el caso continuo. La demostración ara el caso discreto es similar. Sea h a b entonces E h h d d a b d d a d d b d d a d d b d d a d b d ae be como queríamos demostrar. Proosición: Si e son v.a. indeendientes E E E. Dem: Ejercicio. 98
15 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Covarianza correlación Deinición: Sean e dos v.a. con eseranzas µ µ resectivamente la covarianza entre e se deine como Cov E [ µ µ ] según sean e discretas o continuas. µ µ µ µ d d Observación: Cov V. Idea intuitiva: Si e tienen una uerte relación ositiva en el sentido que valores grandes de aarecen asociados con valores grandes de valores equeños de aarecen asociados con valores equeños de entonces la maoría de los roductos µ µ serán ositivos or lo tanto la covarianza será ositiva. Por otra arte si e tienen una uerte relación negativa en el sentido que valores grandes de aarecen asociados con valores equeños de valores equeños de aarecen asociados con valores grandes de entonces la maoría de los roductos µ µ serán negativos or lo tanto la covarianza será negativa. 99
16 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Cov > Cov < Cov Proosición: Cov E E E. Dem: Lo haremos sólo ara el caso discreto. Para el caso continuo se demuestra en orma similar. Denotemos E µ E µ
17 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Cov [ µ µ ] µ E µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ E µ µ µ µ E µ µ E µ µ µ µ µ µ E µ µ como queríamos demostrar. Ejemlos: Consideremos nuevamente el rimer ejemlo resentado ara el caso discreto cua unción de robabilidad conjunta sus unciones de robabilidad marginal están dadas or: / / / 9/ / / / 9/ / / calculemos Cov. Cov E E E k j k j k j k i k k i i 9 9 Consideremos nuevamente el rimer ejemlo resentado ara el caso continuo es decir un vector aleatorio con unción de densidad conjunta
18 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez en otro caso si marginales [ ] I [ ]. I Calculemos Cov. En rimer lugar d d d d E 8 d d Por otra arte d d E d d E Entonces 7 Cov. Proiedad: Si e son v.a. indeendientes Cov. La recíroca no es cierta en general. Dem: Hemos visto que si e son indeendientes E E E or lo tanto es inmediato que Cov.
19 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Para ejemliicar que la recíroca no es en general cierta consideremos un vector aleatorio discreto con la siguiente unción de robabilidad conjunta / / / / / / / / / / / / / Se observa que e no son indeendientes a que or ejemlo Sin embargo se uede veriicar que Cov. En eecto E E E Entonces Cov. Observación: La covarianza deende de las unidades en que se eresan las variables aleatorias. Este inconveniente uede salvarse standarizándolas. De este modo se obtiene una medida de la uerza de la relación entre las v.a. que no deende de sus unidades. Deinición: Sean e dos v.a. con eseranzas µ µ resectivamente varianza ositiva el coeiciente de correlación entre e se deine como Cov ρ σ σ siendo σ σ los desvíos standard de e resectivamente. Proosición: Sean a b c d números reales e dos v.a. cualesquiera con varianza ositiva entonces ρ a b c d sg ac ρ
20 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez donde sg denota la unción signo. ρ ρ a b con robabilidad ara ciertos valores reales a b a. Observemos que el coeiciente de correlación mide relación lineal entre las v.a. Dem: Cov a [ a b c d ] E a b E c d b c d E [ ac ad bc bd] ae b ce E d ace ade bce bd [ ace E ade bce bd] [ E E E ] ac Cov. ac Por otra arte σ a b a σ σ c d c σ or lo tanto ρ Cov a b c d ac Cov a b c d sg ac ρ σ σ a c σ σ a b c d como queríamos demostrar. Consideremos la siguiente unción real [ µ t ] E[ V ] q t E µ tw siendo V µ W µ. Observemos que q t t. Como [ t W ] E V t E V W t E W q t E V es una unción cuadrática en t que toma valores maores o iguales que su gráico o no corta al eje t o lo corta en un solo unto. Es decir que la ecuación q t tiene a lo sumo una raíz or lo tanto su discriminante es menor o igual que. Recordemos que el
21 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez discriminante de una ecuación de segundo grado a b c es b ac. En nuestro caso el discriminante es or lo tanto [ E V W ] [ E V W ] E V E W [ E V W ] [ E µ µ ] [ µ ] E[ µ ] E V E W E V E W E [ ρ ] ρ. Demostraremos las dos imlicaciones. Si ρ volviendo a la demostración de la roiedad anterior eiste t o que q o sea tal que t o tal [ V t W ] E o Pero además E V to W ues V W tienen eseranza igual a. Entonces la v.a. V t W tiene varianza cero or lo tanto es constante con robabilidad es decir o o sea P V t W E V t W P V t W o o t µ P t µ t P µ µ. o Entonces a b con robabilidad siendo a to b µ t o µ. Falta veriicar que a t. o En eecto si t o uese igual a ésto imlicaría que E V Var. Sea a b ara ciertos valores a b. Entonces ρ ρ a ae Cov a b σ σ b E o o a b a b σ o E E a b a σ be a[ E ] be a E E como queríamos demostrar. a σ a σ a σ a σ ±
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