Paquetes de ondas (Ondas de materia) Page 1

Transcripción

1 Paquetes de ondas (Ondas de materia) Page 1

2 Ondas de materia: Tal como lo laneado or De Broglie existe una onda de materia asociada al movimiento de una artícula, sin embargo no es osible hablar de la trayectoria de una artícula, como en el sentido clásico, menos aún tiene sentido hablar de los electrones que se mueven en órbitas elíticas, or lo que ara describir su movimiento consideraremos la llamada función de onda. Page

3 Consideremos una onda de De Broglie roagándose a lo largo del eje x, con velocidad angular ω y longitud de onda λ, con amlitud constante A, ésta onda uede ser reresentada or ψ(x, t π/k x Page 3

4 Al esecificar la función de onda como un aquete de ondas de extensión infinita, entonces la osición exacta de la artícula no es esecificada. Una osible solución sería tratar de ubicar la artícula dentro de un ulso de amlitud variable, ara ello consideremos dos ondas: ( x, 1 ( x, Siendo A cos( kx A cos [( k + k) x ( + ) t] k«k y «5 3 4 Reresentando la suma de ambas ondas como: Ψ ( x, 1( x, + ( x, 6 Page 4

5 Acomodando los términos tal que se adate a una suma de cosenos, se obtiene: Ψ k Acos x t cos( kx 9 A Entonces Ψ( x, A cos(kx - 10 De 9 : cos ( kx k cos x k kg ; t Fase g de Gruo onda de ondas 11 Page 5

6 ψ 1 + ψ ψ 1 x ψ x ψ 1 + ψ x Región de osible localización Page 6

7 Velocidad de fase: v f Es la velocidad de roagación de cada una de las ondas. v f, ero, v f k k 1 Velocidad de gruo: v g Cuando a una artícula se le asocia una onda, ésta se roaga con la velocidad gruo. Se le define como: v g d dk emleando v g c v la 13, Hiótesis 14 v f, de De Broglie : v Velocidad v f de la h E h artícula E mc mv Page 7

8 , 4 Sabemos que: E c + m c 0 derivando E resecto a, tenemos: de d v c c + m 0 c 4 de 15 d c E c mc mv m De 13 : d d() d vg dk 1 d d 1 de h de vg vg 1 d d h 16 De 15 y 16, se tiene v v 17 g Page 8

9 Ψ(x, t0 λ g / x x v f v g Page 9

10 Princiio de Incertidumbre de Heisemberg Consideremos un ulso asociado a una artícula Sabemos que: v g d dk d d d ( 1 ) h vg h d d d Tomando diferencias, considerando que v g v, y que Δx Imrecisión en la localización de una artícula. x De 1: v g h v h t x t 1 Sabemos que : 1 t x h 3 T t 1 1 f 1 de : h(1) Donde Δ Indeterminación de x la cantidad de movimiento de la artícula. Page 10

11 x x Si es conocido (Δ 0) 0 esto significa que al conocer con recisión, no es osible ubicar con exactitud dicha artícula. Sabemos que E Pero h, tomando in det er min aciones E h h t h, multilica ndo 4 or t, h se tiene E t 4 h t E t h 5 Page 11

12 Mecánica Ondulatoria de Schrödinger Page 1

13 Ψ ( r, Ecuación de Schrödinger Es una ecuación que se aceta como un ostulado básico Según Einstein- De Broglie: E h, h Schrödinger tomó las ideas anteriores considerando a su vez la energía clásica: 1 E + U m a la cual le asoció una función de onda (describe la asociación onda-materia). Ψ( r, Si consideramos dvdxdydz Ψ * : Conjugada comleja de Ψ( r, Page 13

14 * dv Donde dv dv... 3 Probabilidad de encontrar una artícula entre el volumen V y V+dV Densidad de robabilidad, o robabilidad or unidad de volumen Probabilidad de hallar una artícula en todo el esacio del volumen (condición de normalización) Para la formulación de la ecuación de Schrödinger, la función de onda y la onda asociada con deben satisfacer los siguientes requisitos: Page 14

15 Page La ecuación que se ueda hallar debe ser consistente con 1 y..-si Ψ 1 y Ψ son soluciones de la ecuación de onda, su combinación lineal: Ψ c 1 Ψ 1 + c Ψ, también debe ser una solución. 3.- deben ser continuas ; ; ; t t x x Partiendo de: ( ) 5, t r y U m E Ψ + Multilicaremos la ecuación de la energía or la función de onda: ( ) ( ) 6,, t r E t r U m Ψ Ψ +

16 Page 16 Postulados Asociaremos al momentum y a la energía E un oerador, tal que: 8 ˆ ˆ ˆ ˆ 7 ˆ t i E E z i y i x i m m i z y x

17 De 7 y 8 en 6: m + U Ψ ( r, i Ψ ( r, t 9 Ecuación de Schrödinger deendiente del tiemo Si deseamos hallar la ecuación corresondiente ara la teoría de Bohr, la ecuación 9 debe ser indeendiente del tiemo, uesto que las órbitas son estacionarias y no deenden del tiemo. Luego en la función de onda su U es indeendiente del tiemo y uede ser reresentada or: Ψ ( r, t ) Ψ ( r ) ( t ) 10 De 10 en 9: m + U Ψ ( r ) ( i Ψ( r ) (, alicando la searación de variables t Page 17

18 ( r) U m Ψ + 1 Ψ 1 ( ( r) i 11 ( t El rimer miembro deende totalmente del esacio y el segundo miembro del tiemo, en esa medida odríamos considerar tranquilamente que como E no deende del tiemo es una constante, entonces: Luego: Ψ 1 ( r ) m + U Ψ 1 ( i ( t ( r ) E + U ( r ) EΨ( r ) 1 m Ψ E La cual constituye la Ecuación de Schrödinger indeendiente del tiemo Page 18

19 En el caso de una dimensión adota la forma: m d dx + U E 13 Ec. de Schrödinge r uni dim ensional Para sistemas conservativos: E + U H 14 H Función de Hamilton m de 7: ˆ i, reemlazando en 14 Hˆ m De 15 en 1: Hˆ Ψ + U 15 Oerador Hamiltoniano ( r ) EΨ( r ) 16 Ec. de Schrödinger indeendiente del tiemo Page 19

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