Ejemplos: 1) De una urna que contiene 6 bolillas blancas y 4 negras se extraen sin reposición 3 bolillas. Se definen

Transcripción

1 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Vectores aleatorios Hasta ahora hemos estudiado modelos de robabilidad ara una única variable aleatoria. Sin embargo, en muchos casos interesa construir modelos que involucren a más de una variable. Consideraremos inicialmente el caso de vectores aleatorios bidimensionales luego etenderemos las deiniciones roiedades a vectores de dimensión maor que. Deinición: Sean e v.a. discretas deinidas sobre un esacio muestral S. La unción de robabilidad conjunta del ar,,, se deine como El conjunto R {, / R, R } Dado cualquier conjunto, P, es el recorrido o rango del vector aleatorio,. A R, P, A Σ Σ,, A Una unción de robabilidad conjunta satisace:,,, Ejemlos: De una urna que contiene bolillas blancas negras se etraen sin reosición bolillas. Se deinen : número de bolillas blancas etraídas si el número de bolillas negras etraídas es ar ó si el número de bolillas negras etraídas es imar Hallemos la unción de robabilidad conjunta del vector,. Observemos que los osibles valores de son,,, los osibles valores de son. Podemos resumir la inormación en una tabla de la orma siguiente: / / 9/ / 8

2 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez En eecto,, P, equivale al suceso se etraen bolillas negras or lo tanto tiene robabilidad /., P, equivale al suceso se etraen bolillas negras el número de bolillas negras es ar or lo tanto tiene robabilidad. De esta orma, se comleta la tabla de robabilidades conjuntas. Reetir el Ejemlo, suoniendo que las etracciones se realizan con reosición. Deinición: Sea, un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta,, las unciones de robabilidad marginal de e están dadas or,, Ejemlos: En el ejemlo resentado antes, hallemos las unciones de robabilidad marginal. En rimer lugar, hallemos. Resecto a,,,,,,,,,, 9 9,,,,,, 9, Observemos que las unciones de robabilidad marginal se obtienen sumando sobre ilas o columnas las unciones de robabilidad conjunta contenidas en la tabla, de ahí su nombre. 87

3 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / / 9/ / / / 9/ / / Deinición: Sea, un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta,, la unción de distribución acumulada conjunta de, está dada or F,,, R s t s t Deinición: Sean e v.a. continuas deinidas sobre un esacio muestral S. El vector aleatorio, es continuo si eiste una unción, denominada unción de densidad conjunta,, : R R, tal que P, A, d d A R En articular, si A [ a, b] [ c, d ], b d P, A A, d d. a c Una unción de densidad conjunta satisace:,,, d d Ejemlo: Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta k, si, en otro caso 88

4 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez 89 a Hallar el valor de la constante k. d d k d d k d d, - k k k d k d k, or lo tanto,. k b Calcular., P / / / /, d d d P / / 78 8 d

5 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta, k I,, siendo T {, /, }. T a Hallar el valor de la constante k. b Hallar P,. c Hallar P. - a, d d k d d k d d k k d k k k / b P, d d d d / / / / / 8 8 9

6 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / d c P d d / d 8 7 / d / En este ejemlo resentaremos a la distribución Uniorme sobre una región, la cual generaliza a la distribución Uniorme sobre un intervalo estudiada en el caso de variables aleatorias. Diremos que el vector aleatorio tiene distribución Uniorme sobre una región A R si su densidad es constante sobre la región uera de ella, es decir 9

7 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez, ~ U A k, si si, A, A Es inmediato veriicar que k, ues área A d d k d d k k área A. A También es inmediato veriicar que área A B P, B B R. área A A Deinición: Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta,, la unción de distribución acumulada conjunta de, está dada or F, s, t dt ds, R Deinición: Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta,, las unciones de densidad marginal de e están dadas or, d, d Ejemlos: Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta, si, en otro caso Hallemos las unciones de densidad marginal. Si [,], ues ara esos valores de la densidad conjunta,. 9

8 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Sea [,], d. Entonces, I [, ]. Si [,], ues ara esos valores de la densidad conjunta,. Sea [,], d. Entonces, I [, ]. Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta, I,, siendo T {, /, }. Si [,], T ues ara esos valores de la densidad conjunta,. Sea [,], d Entonces, I [ ]. Si [,],,. ues ara esos valores de la densidad conjunta,. Sea [,], 9

9 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez d. Entonces, I [ ]., Deinición: Sea, un vector aleatorio discreto con unción de robabilidad conjunta, marginales, sea tal que >, la unción de robabilidad condicional de dado está dada or,. Del mismo modo, sea tal que >, la unción de robabilidad condicional de dado está dada or,. Se uede veriicar que, en eecto estas unciones son unciones de robabilidad a que, or ejemlo, satisace ara todo La rimera condición se satisace a que >,,. Resecto a la segunda,,,. Ejemlo: Se arroja dos veces un tetraedro cuas caras están numeradas,,. Se deinen las variables aleatorias : suma de los untos obtenidos : número de ases Hallemos en rimer lugar la unción de robabilidad conjunta de, las unciones de robabilidad marginal. 9

10 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez 7 8 / / / / / 9/ / / / / / / / / / / / / / Obtengamos, or ejemlo, la unción de robabilidad condicional de, dado, / /,, que, odemos resumir en la siguiente tabla: / / / / / En cambio, la unción de robabilidad condicional de, dado, estará dada or De la misma orma, ueden obtenerse todas las unciones de robabilidad condicional de dado, las de dado. En cuanto al caso continuo, suongamos que en el Ejemlo en el cual la densidad conjunta estaba dada or, I,,, deseamos hallar P. siendo T {, /, } T 9

11 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez 9, P P P Por un lado, / / / /, d d d P / / d, or otro / / 9 d P. Entonces, / / 8 P. Cómo calcularíamos? P Ahora no es alicable directamente la deinición de robabilidad condicional orque P. Se requiere la siguiente deinición. Deinición: Sea, un vector aleatorio continuo con unción de densidad conjunta, marginales, sea tal que >, la unción de densidad condicional de dado está dada or,. Del mismo modo, sea tal que >, la unción de densidad condicional de dado está dada or

12 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez,. Se uede veriicar que, en eecto estas unciones son unciones de densidad a que, or ejemlo, satisace ara todo d La rimera condición se satisace a que >,,. Resecto a la segunda,, d d,. d Ejemlo: Volviendo al ejemlo a la regunta que motivó esta deinición, P / / d Hallemos la densidad condicional de, dado /.,/ / I, / / I, /. / Notemos que, dado, toma valores en el intervalo,-. De ahí que, como /, toma valores en el intervalo, ¾. Finalmente, P / d /

13 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Indeendencia de variables aleatorias Deinición: Las variables aleatorias e son indeendientes si sólo si ara todo se satisace Si esta condición no se satisace, diremos que e son deendientes. Caso : Si el vector, es discreto, la condición de indeendencia es equivalente a la siguiente: e son indeendientes si sólo si,, Luego, ara robar que dos variables discretas no son indeendientes, es suiciente con ehibir un unto, en el que,. Caso : Si el vector, es continuo,, entonces, claramente, e son indeendientes. Para robar que dos variables continuas no son indeendientes deberíamos ehibir un conjunto,, es decir un conjunto de medida no nula en el que no se satisaga la condición,. Se denomina soorte de una densidad al conjunto de valores en los cuales la densidad es ositiva. Si el soorte de la densidad conjunta no es igual al roducto cartesiano de los soortes de las densidades de e es inmediato encontrar un conjunto así: bastaría con ehibir un rectángulo,, tal que el intervalo, esté contenido en el soorte de, el intervalo, en el soorte de el rectángulo,, no esté contenido en el soorte de,. Otra orma de robar que e no son indeendientes es encontrar un unto, en el cual, en el cual todas las densidades sean continuas. Por continuidad, la condición se cumlirá en un entorno rectangular del unto. Observemos que si e son indeendientes, las unciones de robabilidad o densidad condicional coinciden con las corresondientes marginales. Ejemlos: Consideremos el rimer ejemlo resentado ara el caso discreto, cua unción de robabilidad conjunta sus unciones de robabilidad marginal están dadas or: 98

14 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / / 9/ / / / 9/ / / Claramente e no son indeendientes a que, or ejemlo,,. Sean e v.a. indeendientes con distribución eonencial de arámetro λ, entonces la unción de densidad conjunta del vector, estará dada or λ, λ e λ λ e I, I, λ e λ I, I,. Eseranza de una unción de dos variables aleatorias Hemos visto que, dada una v.a. una unción real h, h también es una v.a. que ara calcular su eseranza no necesitamos hallar la distribución de h a que se obtiene a artir de la unción de robabilidad untual o de densidad de la v.a., según sea ésta discreta o continua, en la orma E h h ó E h h d Un resultado similar se obtiene en el caso de una unción real de un vector aleatorio está dado or las dos roosiciones siguientes, cua demostración no haremos. Proosición: Sean e dos variables aleatorias discretas con unción de robabilidad conjunta, sea h, :R R, entonces h, es una variable aleatoria h, siemre que esta eseranza eista. E h,, 99

15 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Proosición: Sean e dos variables aleatorias continuas con unción de densidad conjunta, sea h, :R R, entonces h, es una variable aleatoria h, E siemre que esta eseranza eista. h,, d d Proosición: Sean e dos v.a. discretas o continuas con unción de robabilidad conjunta o de densidad, ó, resectivamente sean a b números reales, entonces E a b ae be Dem: Haremos la demostración ara el caso continuo. La demostración ara el caso discreto es similar. Sea h, a b, entonces E h, h,, d d a b, d d a, d d b, d d a, d d b como queríamos demostrar., d d a d b d ae be Proosición: Si e son v.a. indeendientes, E E E. Dem: Ejercicio.

16 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Covarianza correlación Deinición: Sean e dos v.a. con eseranzas μ μ resectivamente, la covarianza entre e se deine como Cov, E [ μ μ ] según sean e discretas o continuas. Observación: Cov, V. μ μ μ μ,, d d Idea intuitiva: Si e tienen una uerte relación ositiva, en el sentido que valores grandes de aarecen asociados con valores grandes de valores equeños de aarecen asociados con valores equeños de, entonces la maoría de los roductos μ μ serán ositivos or lo tanto la covarianza será ositiva. Por otra arte, si e tienen una uerte relación negativa, en el sentido que valores grandes de aarecen asociados con valores equeños de valores equeños de aarecen asociados con valores grandes de, entonces la maoría de los roductos μ μ serán negativos or lo tanto la covarianza será negativa.

17 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez Cov, > Cov, < Cov, Proosición: Cov, E E E. Dem: Lo haremos sólo ara el caso discreto. Para el caso continuo se demuestra en orma similar. Denotemos E μ E μ, Cov [ μ μ ] μ μ,, E

18 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez μ μ μ μ,, μ, μ,, μ μ, μ, μ μ E μ μ μ μ E μ E μ μ μ μ μ μ E μ como queríamos demostrar. μ Ejemlos: Consideremos nuevamente el rimer ejemlo resentado ara el caso discreto, cua unción de robabilidad conjunta sus unciones de robabilidad marginal están dadas or: / / / 9/ / / / 9/ / / calculemos Cov,. Cov, E E E k j k, j k j k i k k i i 9 9 Consideremos nuevamente el rimer ejemlo resentado ara el caso continuo, es decir un vector aleatorio, con unción de densidad conjunta, si, en otro caso

19 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez marginales [ ], I [ ]., I Calculemos Cov,. En rimer lugar, d d d d E 8 d d Por otra arte, d d E d d E Entonces, 7, Cov. Proiedad: Si e son v.a. indeendientes, Cov,. La recíroca no es cierta en general. Dem: Hemos visto que si e son indeendientes, E E E or lo tanto es inmediato que Cov,. Para ejemliicar que la recíroca no es en general cierta, consideremos un vector aleatorio discreto con la siguiente unción de robabilidad conjunta / / / / / / / /

20 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez / / / / / Se observa que e no son indeendientes a que, or ejemlo,, Sin embargo, se uede veriicar que Cov,. En eecto, E E E Entonces, Cov,. Observación: La covarianza deende de las unidades en que se eresan las variables aleatorias. Este inconveniente uede salvarse standarizándolas. De este modo se obtiene una medida de la uerza de la relación entre las v.a. que no deende de sus unidades. Deinición: Sean e dos v.a. con eseranzas μ μ resectivamente varianza ositiva, el coeiciente de correlación entre e se deine como Cov, ρ, σ σ siendo σ σ los desvíos standard de e resectivamente. Proosición: Sean a, b, c d números reales, a, c e dos v.a. cualesquiera con varianza ositiva, entonces donde sg denota la unción signo. ρ, ρ a b, c d sg ac ρ,

21 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez ρ, a b con robabilidad, ara ciertos valores reales a b, a. Observemos que el coeiciente de correlación mide relación lineal entre las v.a. Dem: Cov a [ a b c d ] E a b E c d b, c d E [ ac ad bc bd ] ae b ce E d ace ade bce bd [ ace E ade bce bd ] [ E E E ] ac Cov,. ac Por otra arte, σ a b a σ σ c d c σ, or lo tanto ρ Cov a b, c d ac Cov, a b, c d sg ac ρ, σ σ a c σ σ a b c d como queríamos demostrar. Consideremos la siguiente unción real, [ μ t ] E[ V ] q t E μ tw siendo V μ W μ. Observemos que q t t. Como [ t W ] E V t E V W t E W q t E V es una unción cuadrática en t que toma valores maores o iguales que, su gráico, o no corta al eje t o lo corta en un solo unto. Es decir que la ecuación q t tiene a lo sumo una raíz or lo tanto su discriminante es menor o igual que. Recordemos que el discriminante de una ecuación de segundo grado a b c es b ac. En nuestro caso, el discriminante es, or lo tanto, [ E V W ] E V E W

22 Probabilidades Estadística Comutación Facultad de Ciencias Eactas Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco Elena J. Martínez [ E V W ] [ E V W ] [ E μ μ ] E V E W E V E W E [ μ ] E[ μ ] [ ρ, ] ρ,. Demostraremos las dos imlicaciones. Si ρ,, volviendo a la demostración de la roiedad anterior, eiste t o que q, o sea tal que t o tal [ V t W ] E o, Pero además E V to W, ues V W tienen eseranza igual a. Entonces la v.a. V t W tiene varianza cero or lo tanto es constante con robabilidad, es decir o o sea, P P V t W E V t W P V t W o o t μ P t μ t μ μ. o Entonces, a b con robabilidad, siendo a to b μ t o μ. Falta veriicar que a t. o En eecto, si t o uese igual a, ésto imlicaría que E V Var. o o o Sea a b ara ciertos valores a b. Entonces ρ, ρ, a Cov, a b σ σ b E a b E E a σ a σ a b b ae be a[ E ] be a E E como queríamos demostrar. a σ a σ a σ a σ ± 7