Cálculo II 8 de junio de 2016

Transcripción

1 Cálculo II 8 de junio de 6 Publicación de notas: Revisión del examen: Problema (3 untos). Se de ne la siguiente función en R : f (x; y) x 4 + y 4 4xy: (a) Calcula la derivada de f en el unto (; ) en la dirección del vector w 3 ;. (b) Escribe la ecuación del lano tangente a la grá ca de f en el unto (x; y) (; ). (c) Determina los máximos locales, los mínimos locales y los untos de silla de f. (d) Sean u : R R y v : R R dos funciones derivables con las roiedades siguientes: u () ; u () ; v () ; v () 3: Calcula la derivada de la función g (t) f (u (t) ; v (t)) en t. Solución. (a) En rimer lugar se calculan las derivadas arciales de (x; y) 4x3 (x; y) 4y3 4x: Como y son funciones R, se deduce que f es diferenciable en todo unto. Por tanto, la derivada de f en el unto (; ) en la dirección de w se uede calcular del siguiente modo: D w f (; ) rf (; ) w (4; (b) Ecuación del lano tangente: z f (; ) + (; ) >: 4) 3 ; 3 : ) + (; ) y + 4 (x ) z 4x 4y 3: (c) En rimer lugar se determinan los untos críticos de f: 8 9 (x; y) 4x3 4y > (x; y) 4y3 4x x y 3 x 9 ; >;, x 3 y y 3 x

2 x 9 x x x 8 : Por tanto, x ó x ó x, con lo cual los untos críticos de f son (; ), (; ) y ( ; ). La matriz hessiana de f es x 4 H f (x; y) 4 y : Matriz hessiana en los untos críticos: 4 H f (; ) 4 ; H f (; ) 4 4 H f ( ; ) : Como det (H f (; )) <, se deduce que f tiene un unto de silla en (; ). Como det (H f (; )) > (; ) >, se obtiene que f tiene un mínimo local en (; ). Igualmente, det (H f ( ; )) > ( ; ) >, or lo que f también tiene un mínimo local en ( ; ). (d) Derivada de g (t) f (u (t) ; v (t)) en t : g (u () ; v ()) u () (u () ; v ()) v () (; ) + (; )

3 Problema ( untos).. Se considera la integral doble continua en R. x (x; y) dy dx, en la que f reresenta una función x f (a) Determina la región de integración. (b) Exresa la integral en el otro orden de integración osible al utilizar coordenadas cartesianas.. Sea D f(x; y) R / y, 4 x + y 6g. (a) Reresenta grá camente el conjunto D e indica claramente los bordes que lo limitan. (b) Calcula la integral (x + 3y ) dxdy utilizando un cambio a coordenadas olares. D Solución.. Para calcular los límites del recinto de integración R observamos que y x es una arábola que tiene el máximo en el unto (; ) y que corta al eje de abscisas en x y x. Ésta es la curva que delimita el recinto de integración en su arte suerior. Si elevamos al cuadrado la exresión y x, obtenemos y x, que es la ecuación de la circunferencia de centro (; ) y radio, or lo que y x, con x, es la semicircunferencia inferior. El recinto de integración R es la zona sombreada de la siguiente gura: La variable y recorre el intervalo [ ; ]. Fijado un valor de y entre y y desejando x en la ecuación y x, tenemos que x varía desde y hasta + y. Si y ertenece al intervalo [; ] y se deseja x en y x, tenemos que x varía desde y hasta + y. Por tanto, x (x; y) dy dx x f y f (x; y) dx y dy + y y f (x; y) dx dy:

4 . Por ser y, el conjunto D se encuentra en el semilano suerior. Las curvas x + y 4 y x + y 6 son dos circunferencias centradas en (; ) de radios y 4, resectivamente. Por tanto, D es la mitad de la corona circular comrendida entre ambas circunferencias y situada en el semilano suerior: Para calcular la integral del enunciado se utilizarán coordenadas olares. El radio, que llamaremos, varía entre y 4, mientras que el ángulo, que llamaremos, varía entre y. El valor absoluto del jacobiano de la transformación es, or lo que D x + 3y dxdy cos () + 3 sen () dd + sen () dd 3 ( cos ()) dd 4 3 d 4 4 j4 : cos () sen () d dd

5 Problema 3 ( untos). Se considera el camo vectorial F (x; y) (F (x; y) ; F (x; y)) x + y + kx y; xy + x 3 ; donde k reresenta una constante real. (a) Determina el valor de k ara que F sea un camo conservativo en R. (b) Calcula la integral de línea R F (x; y) dx + F (x; y) dy cuando F es un camo conservativo y reresenta la curva de ecuación y x sen x desde el unto (; ) hasta el unto (; ). (c) Calcula la integral de línea R F (x; y) dx+f (x; y) dy cuando k es un número real cualquiera y es la curva de ecuación y x desde el unto (; ) hasta el unto (; ). Solución. (a) F y F tienen derivadas arciales continuas en todo R or ser funciones olinómicas y (x; y) y kx (x; y) y + 3x : (x; (x; y) si y sólo si k 3. Por R es simlemente conexo, si k 3 se tendrá que F es conservativo. (b) Según se ha demostrado en el aartado anterior, F es conservativo si y sólo si k 3. En ese caso, existe un camo escalar f : R R tal que rf (x; y) F (x; y) en todo R, es decir, (x; y) ; (x; y) x + y + 3x y; xy + x Como (x; y) x y + 3x y, se cumle que f (x; y) x + y + 3x y dx x + xy + x 3 y + ' (y) ; donde ' es una función derivable en R. Por (x; y) xy + x3 + d' dy (y) : Como también (x; y) (x; y) xy + x 3, se deduce que d' (y) ara todo y, luego ' es dy constante. En consecuencia, ara todo c R, la función f (x; y) x + xy + x 3 y + c tiene la roiedad de que rf F. Como F es conservativo, la integral de línea no deende de la curva, sino sólo de sus extremos y se uede calcular del siguiente modo: F (x; y) dx + F (x; y) dy f (; ) f (; ) :

6 (c) La curva de ecuación y x desde (; ) hasta (; ) se uede arametrizar como x t, y t, con t [; ]. Entonces F (x; y) dx + F (x; y) dy 9 + k 4 : t + t + kt t + t t + t 3 dt t + 3t + ( + k) t 3 dt

7 Problema 4 (3 untos).. Determina una función u : R R con la roiedad de que F (x + jy) u (x; y)+j (x y ) sea una función analítica (es decir, holomorfa) en todo C.. Se llama f a la siguiente función de variable comleja: f (z) ez z (z + ) : (a) Determina todos los olos de f en el lano comlejo y el orden de cada uno de ellos. (b) Calcula el residuo de f en cada olo. (c) Calcula la integral de f a lo largo de la circunferencia C de ecuación jzj 3 orientada en sentido ositivo. Solución.. Se de ne v (x; y) x y. Para que F (x + jy) u (x; y) + jv (x; y) sea derivable en todo unto x + jy C, las funciones u y v deben cumlir las ecuaciones de (x; y) u (x; y) ydx xy + ' (y) ; donde ' : R R es una función (x; y) x + ' (x; y) (x; y) Se deduce que ' (y) ara todo y, luego ' es constante. Por tanto, si k R, las funciones u (x; y) xy + k; v (x; y) x y tienen derivadas arciales continuas y cumlen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo unto, luego F (x + jy) u (x; y) + jv (x; y) es una función analítica en todo C.. Las funciones g (z) e z y h (z) z (z + ) son derivables en todo C. Por tanto, las únicas singularidades de f gh son los untos en los que se anula h, es decir, z y z. El unto z es un cero simle de g y un cero doble de h. Por tanto, f tiene un olo simle en z. Además, h tiene un cero doble en z y g ( ) 6, or lo que f tiene un olo doble en z. Las dos singularidades se encuentran en el interior de la circunferencia C. El residuo de f en z es Res z f (z) lim z C zf (z) lim z e z z (z + ) lim z e z (z + ) + z (z + ) 4 : El residuo de f en z es d Res f (z) lim (z + ) f (z) d e z lim z z dz z dz z z e z z (e z ) lim 8e 4 e z z 4 6 Por último, la integral se calcula alicando el teorema de los residuos: f (z) dz j Resf (z) + Res f (z) j z z e : 4 :