f (x; y) = a) Calcula la derivada direccional en el punto (1; 1) y en la dirección del vector! v = (2; 2).

Transcripción

1 Ejercicios de clase Ejercicio. Dada la función f (x; y) xy + x + y. a) alcula la derivada direccional en el unto (; ) y en la dirección del vector v ;. b) En qué dirección crece la función f lo más ráidamente osible en (; )? alcula un vector unitario en esta dirección. Solución: a) omo la función es diferenciable en el unto (; ), odemos alicar la fórmula roocionada or el Teorema.. ara calcular la derivada direccional como roducto del gradiente de la función en el unto v kvk. dado y el vector dirección unitario El gradiente de la función f es el vector formado or las derivadas arciales rimeras: y + y x + x rf (x; y) ; ( + x + y ) ( + x + y ) En el unto (; ) el gradiente toma el valor rf (; ) ; El vector es v ; or lo tanto, unitario queda v k v k ; q + ; Por lo tanto la derivada direccional es D v f (; ) rf (; ) v k v k ; ; b) Por el Teorema.., el vector que roorciona la dirección de máximo crecimiento de f en (; ) es el gradiente de f en dicho unto. Es decir, w rf (; ) alcula un vector unitario en esta dirección: w k w k ; q + ; ; Ejercicio. Dada la función f (x; y) xy x + y a) alcula la derivada direccional en el unto (; ) y en la dirección del vector v (; ). b) alcula la derivada direccional en el unto (; ) y en la dirección del vector v (; ) si la función considerada es ( xy (x; y) 6 (; ) f (x; y) x +y (x; y) (; )

2 c) En qué dirección crece la función f lo más ráidamente osible en (; )? alcula un vector unitario en esta dirección. Solución: a) omo la función es diferenciable en el unto (; ), odemos alicar la fórmula roocionada or el Teorema.. ara calcular la derivada direccional como roducto del gradiente de la función en el unto v kvk. dado y el vector dirección unitario El gradiente de la función f es el vector formado or las derivadas arciales rimeras: y x rf (x; y) ; (x + y ) (x + y ) En el unto (; ) el gradiente toma el valor rf (; ) ; El vector es v (; ) or lo tanto, unitario queda v k (; ) v k + ; Por lo tanto la derivada direccional es D v f (; ) rf (; ) v k v k ; ; b) En el unto (; ) alicaremos la de nición de la ágina 5. f + h; + h f (; ) D v f (; ) lim h h lim h h r h h + h h lim h h lim h h c) Por el Teorema.., el vector que roorciona la dirección de máximo crecimiento de f en (; ) es el gradiente de f en dicho unto. Es decir, w rf (; ) ; alcula un vector unitario en esta dirección: w k w k r ; + ; Ejercicio. La temeratura en el unto (x; y) de una lámina metálica es T (x; y) ey x + y a) Halla su derivada direccional en el unto (; ) en la dirección v i j. b) Halla la dirección de máximo crecimiento de la temeratura en el unto (; ), y dicho valor máximo.

3 Solución: a) El gradiente de T es T r (x; y) x ; T y xe y (x + y ) ; ey x + y y (x + y ) En el unto (; ) toma el valor r (; ) ( ; ) Por lo tanto, la derivada direccional es D v T (; ) r (; ) (; ) ( ; ) ; q + ( ) b) La dirección de máximo crecimiento en el unto (; ) es r (; ) ( ; ) y su valor máximo es r (; ) q ( ) + 5 Ejercicio 4. La ecuación x xy + cos x y de ne y(x) como función imlícita de x en un entorno del unto (; ), en el que se satisface y(). a) alcula la recta tangente a y(x) en (; ). b) alcula d y dx (; ).. Solución: a) La recta tangente en el unto (x ; y ) viene dada or la ecuación y y (x ) y (x ) (x x ) o bien or Tenemos que si (x ; y ) (; y y (x ) + y (x ) (x x ) ) entonces y () y que or el Teorema.5.., si llamamos F (x; y) x xy + cos x y, entonces dy dx (x) F x x x xy + (cos (x)) y x y sin x F y x xy + (cos (x)) y x Por lo tanto y x y sin x x + La recta tangente quedará dy dx () y () sin + + sin + rt (x) + [y () ] 4 sin 4 sin (x )

4 b) dy dx (x) x y sin x x + 6x d y dx (x) dy dx cos (x) (x + ) x y sin x (x + ) 6x x y sin x x+ cos (x) (x + ) x y sin x (x + ) Ejercicio 5. La ecuación x + yz + z, de ne z(x; y) como función imlícita de (x; y) en un entorno de (; ), en el que se satisface z(; ). a) alcula el lano tangente a z(x; y) en (; ; ). b) alcula z x y z y. c) alcula z y. Solution: Si de nimos f (x; y; z) x + yz + z, entonces rf (x; y; z) x; z; y + z y en el unto (; ; ) tenemos rf (; ; ) (; ; ) el vector normal a la suer cie en ese unto. Por lo tanto el lano tangente es b) (x ) + (y ) + (z ) x + y + z 5 f z x x x f y + z z y z f y f z z y + z c) z y z y y + z + z + 6z z y (y + z ) z y+z y + z + z z y z + 6z y+z (y + z ) z + y+z yz z (y + z ) z y + z z y + z + yz z (y + z ) yz (y + z ) Ejercicio 6. Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria T es y x +, siendo 4; 5 x 8 e y, estando situado el Sol en el unto (; ). Obtener razonadamente, escribiendo todos los asos del razonamiento utilizado: a) El unto P de la trayectoria T donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol. b) Distancia mínima del meteorito al Sol. 4

5 Solución: Grá camente La función distancia del Sol a un unto (x; y) es q d ((; ) ; (x; y)) (x ) + (y ) x + y y considernado la distancia al cuadrado ara simli car cálculos, tenemos d ((; ) ; (x; y)) x + y siendo (x; y) un unto de la trayectoria del meteorito. Por el método de Lagrange, de nimos Derivamos resecto de x; y; e igualamos a cero L (x; y; ) x + y + y x L x L y L x y + y y x Resolvemos el sistema y obtenemos tres soluciones x ; y 7; ; x ; y 7; ; x ; y ;. La rimera solución odemos descartarla, ues en el enunciado del roblema se eseci ca que y. Para averiguar cuál de las dos soluciones nos roorciona la mínima distancia, sustituiremos en la función distancia: d (; ) ; ; 7 d (; ) ; ; r ( ) + 7 : 88 4 s + () 4:5 Por lo tanto, la mínima distancia se alcanza en el unto ; 7 y la distancia es de u. Ejercicio 7. alcula los máximos y mí nimos libres de z x + y 6xy x + 8y +. Solución: First we calculate the rst artial derivatives z x x 6y z y 6x + 8 x 5

6 Solving the system x 6y y 6x + 8 we obtain the solutions The Hessian in this case is: n the oint [x ; y [x ; y 6] [x 5; y 6] Hz (x; y) 6x 6 6 6] we have a saddle oint because Hz (; 6) < n the oint [x 5; y 6] we have that the function reaches a minimum because Hz (5; 6) > > Ejercicio 8. La función de roducción de obb-douglas ara un cierto fabricante viene dada or la función f (x; y) x 4 y 4 siendo x las unidades de trabajo (5 euros cada unidad) e y las unidades de caital (5 euros cada unidad). Encuentra el máximo nivel ermisible de roducción, si la cantidad máxima disonible ara gastar es de 5 euros, i.e., si 5x + 5y 5. Solución: La función de roducción es sujeta a la condición De nimos Derivamos resecto de x; y; e igualamos a cero f (x; y) x 4 y 4 5x + 5y 5 L (x; y; ) x 4 y 4 + (5x + 5y 5) L x L y L De la rimera ecuación se tiene que 4 x 4 y x 4 y x + 5y 5 4 x 4 y x 4 y 4 x 4 y 4 6

7 De la segunda ecuación desejamos también gualando ambas exresiones Sustituyendo en la última ecuación Por lo tanto x 4 x 4 y x 4 y 4 x 4 y 4 x 4 y 4 x 4 y 4 y 4 y 4 x 4 x 4 y x 5 y + 5y 5 y 5 y 5 y y el nivel máximo de roducción es de f (x; y) u Ejercicio. alcula la masa de la suer cie encerrada or y x, y x, cuya densidad es (x; y) +y. Solution: The functions intersect in x and x Then the limits of integration are x x y x and the integral is M Z Z Z D x ( + y) dxdy x x4 Z Z x ( + y) dy dx x dx 7 u:o:m: Z yx y + y dx yx Ejercicio. Prueba que el camo de fuerzas F y 4 + yz 4 i + sin z + 4xy + xz 4 j + y cos z + 4xyz k 7

8 . es conservativo y calcula, en caso de que sea osible, la función otencial de F de forma que en el unto A (8; ; ), esta valga cero. alcula además el trabajo de dos formas diferentes al deslazar el unto de alicación de F desde A (8; ; ) a lo largo de la hélice x (t) 8 cos (t) y (t) sin (t) t [; ] z (t) t Solución: alculamos el rotacional de F F i j k rot x y z y 4 + yz 4 sin z + 4xy + xz 4 y cos z + 4xyz i y y cos z + 4xyz z sin z + 4xy + xz 4 j y cos z + 4xyz x z y4 + yz k x sin z + 4xy + xz 4 y y4 + yz 4 (; ; ) Por lo tanto el camo es conservativo. alculamos ahora la función otencial. or lo que la función otencial queda U x y 4 + yz 4 U xy 4 + xyz 4 U y sin z + 4xy + xz 4 U y sin (z) + xy 4 + xyz 4 U z y cos z + 4xyz U y sin (z) + xyz 4 U (x; y; z) xy 4 + xyz 4 + y sin (z) + Queremos que la función otencial valga cero en A (8; ; ) or lo que U (8; ; ) + y la función otencial edida es U (x; y; z) xy 4 + xyz 4 + y sin (z) Alicando el Teorema.7.. y la nota.7.4. vamos a calcular además el trabajo de dos formas diferentes al deslazar el unto de alicación de F desde A (8; ; ) a lo largo de la hélice x (t) 8 cos (t) y (t) sin (t) t [; ] z (t) t Por una arte, vamos a utilizar la función otencial ara calcular el trabajo, teniendo en cuenta que el unto inicial de la trayectoria es A (8; ; ) y el unto nal es B (8; ; ) T F dr U (8; ; ) U (8; ; ) () 4 + sin () sin () Por otra arte, dado que el camo es conservativo y no deende del camino elegido, vamos a tomar el segmento de línea que une el unto A (8; ; ) con el unto B (8; ; ). 8

9 Este camino será Por lo tanto T Z F dr Ambos resultados coinciden. r (t) (8; ; ) ( t) + (8; ; ) t (8; ; t) x (t) 8 x (t) y (t) y (t) z (t) t z (t) t [; ] y 4 + yz 4 dx + sin z + 4xy + xz 4 dy + y cos z + 4xyz dz ( + + ( + ) ) dt Ejercicio. alcula la integral ye xy + z dx + (xe xy + z cos (yz)) dy + (xz + y cos (yz)) dz a lo largo de la hélice cuando t [; ]. x (t) cos (t) y (t) sin (t) z (t) t Solución: alculamos el rotacional de F F i j k rot x y z ye xy + z xe xy + z cos (yz) xz + y cos (yz) i (xz + y cos (yz)) y z (xexy + z cos (yz)) j (xz + y cos (yz)) x z yexy + z + + k x (xexy + z cos (yz)) y yexy + z (; ; ) Por lo tanto el camo es conservativo. alculamos ahora la función otencial. Z U x ye xy + z U ye xy + z dx e xy + xz Z U y xe xy + z cos (yz) U (xe xy + z cos (yz)) dy sin (yz) + e xy Z U z xz + y cos (yz) U (xz + y cos (yz)) dz sin (yz) + xz or lo que la función otencial queda U (x; y; z) e xy + xz + sin (yz) +

10 Alicando el Teorema.7.. y la nota.7.4. vamos a calcular además el trabajo de dos formas diferentes al deslazar el unto de alicación de F a lo largo de la hélice x (t) cos (t) y (t) sin (t) z (t) t cuando t [; ]. Por una arte, vamos a utilizar la función otencial ara calcular el trabajo, teniendo en cuenta que el unto inicial de la trayectoria es A (; ; ) y el unto nal es B (; ; ) T F dr U (; ; ) U (; ; ) e + () + sin ( ) ( + ) e + + sin ( ) + Por otra arte, dado que el camo es conservativo y no deende del camino elegido, vamos a tomar el segmento de línea que une el unto A (; ; ) con el unto B (; ; ). Este camino será Por lo tanto T Z F dr Ambos resultados coinciden. r (t) (; ; ) ( t) + (; ; ) t (; ; t) x (t) x (t) y (t) y (t) z (t) t z (t) t [; ] ye xy + z dx + (xe xy + z cos (yz)) dy + (xz + y cos (yz)) dz ( + + ( t + cos ( t)) ) dt Z 4 tdt u:o:w Ejercicio. alculate the area of the surface 4 z x + y bounded by z. Solution: We have the surface z 4 x + y y x z

11 therefore z x x z y y and the rojection of S on the lane XOY is a circle of radius. Then Z Z q A (S) + ( x) + ( y) dxdy D Z Z x cos y sin + 4x + 4y dxdy D Z Z Z + 4 d d 4 + d Ejercicio. alcula la masa de la suer cie x + y z 4 z 6 si su función de densidad es (x; y; z) z. limitada sueriormente or el lano Solution: We have the surface z x + y z.5 5 x y therefore z x x z y y The intersection with z 6 is 6 x + y + 4 x + y 6 4 4

12 and the rojection of S on the lane XOY is a circle of radius. Then Z Z q M (S) z + (x) + (y) dxdy Z Z D D Z Z Z Z 4 x + y + + 4x + 4y 4 dxdy Z Z + 4 d d u:o:m: 4 + d 4 d Z d x cos y sin + 4 s 4 Z Z Z 4 + d d d d d