Curvas. 1 Representación analítica de curvas Cambio admisible de parámetro... 7

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1 Curvas M. Eugenia Rosado María Deartamento de Matemática Alicada Escuela Técnica Suerior de Arquitectura, UPM Avda. Juan de Herrera 4, 8040-Madrid, Sain Índice 1 Reresentación analítica de curvas 1.1 Cambio admisible de arámetro Longitud de arco 8 3 Estudio local de una curva Recta tangente y lano normal Curvatura. Normal rincial. Plano osculador Recta binormal y lano recti cante. Torsión Triedro móvil o de Frenet Triedro de Frenet ara una reresentación aramétrica arbitraria Fórmulas de Frenet-Serret Hélices Teorema de Lancret (180) Ejercicios Bibliografía 39 1

2 1 Reresentación analítica de curvas Podemos ensar en una curva C como la trayectoria que describe un unto moviéndose en el esacio. Considerando las coordenadas cartesianas (x; y; z) en R 3, las coordenadas del unto P de la curva vendrán exresadas en función de un arámetro que odemos denotar t y que toma valores en cierto intervalo I R: x x(t); y y(t); z z(t); t I. Esto es, la curva es el conjunto C de untos de R 3 con coordenadas (x(t); y(t); z(t)), con t I. A la alicación ~r : I! R 3, ~r(t) (x(t); y(t); z(t)) la llamaremos reresentación aramétrica de la curva C. También odemos considerar una C como el conjunto de untos intersección de dos suer cies; esto es, la curva es el conjunto de untos de R 3 con coordenadas (x; y; z) que satisfacen dos ecuaciones: F (x; y; z) 0 y G(x; y; z) 0. Las ecuaciones F (x; y; z) 0, G(x; y; z) 0 se denominan ecuaciones imlícitas o cartesianas de la curva. Veamos algunos ejemlos sencillos de curvas con distintas reresentaciones aramétricas e imlícitas. Ejemlos 1. Línea recta. Una línea recta en el esacio viene dada or una reresentación aramétrica de la forma: ~r(t) (a 1 + tb 1 ; a + tb ; a 3 + tb 3 ), donde a i, b i son constantes y al menos uno de los b i 6 0. También odemos considerar la línea recta como intersección de dos lanos. Por ejemlo, la recta de ecuaciones aramétricas x(t) a 1 + tb 1 ; y(t) a + tb ; z(t) a 3 + tb 3, se uede considerar como la intersección de los lanos 1 ; de ecuaciones: 1 x a 1 b 1 y a b ; x a 1 b 1 z a 3 b 3 :

3 . Circunferencia. Descrición geométrica: La circunferencia es el conjunto de untos de un lano que equidistan de un unto dado. La circunferencia es una curva lana ues está contenida en un lano. Una reresentación aramétrica de la circunferencia de radio a, centro el origen de coordenadas y contenida en el lano z 0 es: ~r(t) (a cos t; a sin t; 0), t [0; ), donde a es el radio de la circunferencia y t es el ángulo formado or el unto P ~r(0), el origen de coordenadas O y el unto genérico X ~r(t) de la circunferencia. Otra osible reresentacion aramétrica de la circunferencia es: ~r(t) (a cos t; a sin t; 0), t [0; ), en la que estamos recorriendo la circunferencia a doble velocidad. Consideramos el conjunto de untos con coordenadas (x; y; z) que satisfacen las siguientes ecuaciones: x + y + z a ; z 0; esto es, estamos considerando la circunferencia como la intersección de la esfera de ecuación x + y + z a con el lano de ecuación z 0. 3

4 La misma circunferencia la odemos considerar como la intersección del araboloide de ecuación x + y z a con el lano de ecuación z 0: x + y z a ; z 0: La misma circunferencia la odemos considerar como intersección del cilindro de ecuación x + y a con el lano de ecuación z Hélice circular. Esta curva está contenida en un cilindro circular or ejemlo, el cilindro de ecuación x + y a y lo rodea de manera que cuando x e y vuelven a sus resectivos valores iniciales, z se ha incrementado b. Véase la siguiente grá ca: Una reresentación aramétrica de la hélice circular es la siguiente: ~r(t) (a cos t; a sin t; bt), t [0; k), con k N. El arámetro t mide el ángulo que forma el eje x con la recta que une el unto O con la royección del unto genérico P C con el lano xy. 4. Curva de Viviani. Es la curva intersección de una semiesfera con un cilindro de eje aralelo a un diámetro de la esfera. Por ejemlo, consideremos la semiesfera de centro el origen de coordenadas y radio y el cilindro de base la circunferencia de centro el unto Z de coordenadas (1; 0; 0) y eje la recta x 0; y 0. La curva que se obtiene como 4

5 intersección de ambas suer cies es una curva de Viviani de ecuaciones cartesianas o imlícitas: x + y + z 4; z 0; (exresión analítica de la semiesfera), (x 1) + y 1; (exresión analítica del cilindro). La curva de Viviani es la siguiente: Vamos a buscar una reresentación aramétrica de dicha curva. La circunferencia base del cilindro se uede arametrizar como sigue: x(t) 1 + cos t; y(t) sin t; z(t) 0; con t [0; ). Sustituyendo los valores de x e y en la exresión de la esfera obtenemos: x + y + z 4 () (1 + cos t) + (sin t) + z 4 () 1 + cos t + cos t + sin t + z 4 () z cos t () z cos t sin t () z cos t + sin t cos t + sin t () z 4 sin t () z sin t ues z 0. 5

6 Obsérvese que ara valores de t [0; ), sin t es siemre ositivo o nulo. Por tanto, una arametrización de la curva de Viviani es: ~r(t) 1 + cos t; sin t; sin t ; t [0; ): NOTA: Para el estudio local de las curvas se verá que la reresentación analítica más cómoda será la reresentación aramétrica. De nición. Reresentación aramétrica regular. Se dice que una alicación ~r : I R! R 3, ~r(t) (x(t); y(t); z(t)), es una reresentación aramétrica regular de una curva C si se veri can las siguientes tres condiciones: 1. Im ~r C,. ~r es una alicación diferenciable de clase al menos 3, 3. El vector tangente a la curva en cualquier unto P C no se anula; esto es, ~r 0 (t) (x 0 (t); y 0 (t); z 0 (t)) 6 ~0 ara todo t I. De nición. Sea C una curva con reresentación aramétrica ~r : I R! R 3, ~r(t) (x(t); y(t); z(t)). Se dice que un unto P ~r(t 0 ) C es un unto singular si ~r 0 (t 0 ) ~0. Si ~r 0 (t 0 ) 6 ~0 entonces se dice que el unto P ~r(t 0 ) es un unto regular. Si existen dos valores t 1 ; t I tales que ~r(t 1 ) ~r(t ) P, entonces se dice que el unto P es un unto doble. De nición. Una curva C se dice que es lana si está contenida en un lano. En caso contrario se dice que es una curva alabeada. Ejercicio Reresentar las curvas cuyas arametrizaciones son las siguientes: 1. ~r(t) (t ; t 3 ; 1). ~r(t) cos 3 t; sin 3 t; 0, t [0; ), y estudiad si son curvas lanas y si sus resectivas arametrizaciones son regulares. Solución. 6

7 1. La alicación ~r es diferenciable de clase C 1. Es una curva lana contenida en el lano z 1. Se tiene: ~r 0 (t) (t; 3t ; 0). Como ~r 0 (0) ~0 el unto P ~r(0) (0; 0; 1) es un unto singular de la curva. El resto de untos de la curva son untos regulares ues ~r 0 (t) 6 ~0 si t La alicación ~r es diferenciable de clase C 1. Es una curva lana contenida en el lano z 0. Se tiene: ~r 0 (t) 3 cos t sin t; 3 sin t cos t; 0 (0; 0; 0) si sin t 0 ó cos t 0; esto es, si t 0; ; ; 3. Por tanto, los untos son untos singulares. ~r(0) (1; 0; 0) ; ~r() (0; 1; 0) ; ~r() ( 1; 0; 0) ; ~r(3) (0; 1; 0) ; 1.1 Cambio admisible de arámetro Se dice que una función t t(s), s J R, es un cambio admisible de arámetro si veri ca las siguientes condiciones: (a) t t(s) es una función diferenciable al menos de clase 3, (b) t 0 (s) 6 0, 8s J. NOTA: Nótese que en el cálculo integral cuando se considera un cambio de variable se está considerando un cambio admisible de arámetro. 7

8 Ejemlo La función t() tan, ;, es un cambio admisible de arámetro ara cualquier reresentación aramétrica regular ~r(t), t I R, de una curva C ya que la función t() tan es una función de clase 3 en el intervalo J ; y además dt d () 1 cos 1 Longitud de arco 1 + tan 6 0, 8 ; : Una reresentación aramétrica imortante será aquella en la que el arámetro a considerar es la longitud de la curva desde un unto que se considerará el unto inicial ara el cálculo de la distancia y un unto arbitario de la curva. Consideremos una curva C con reresentación aramétrica regular ~r(t) (x(t); y(t); z(t)), con t I. Recordamos que la longitud de arco entre un unto A ~r(t 0 ) con t 0 I y un unto arbitrario de la curva X ~r(t), t I viene dada or la siguiente integral: Z t t 0 k~r 0 (u)k du; donde k~r 0 (u)k x 0 (u) + y 0 (u) + z 0 (u) es la longitud del vector ~r 0 (u). La función s(t) que a cada valor de t I le asigna la longitud de arco desde el unto A ~r(t 0 ) al unto X ~r(t); esto es, s(t) Z t t 0 k~r 0 (u)k du se denomina longitud de arco de la curva C. Nótese que s 0 (t) k~r 0 (t)k 6 0; 8t I; ues ~r(t) es una reresentación aramétrica regular. Por tanto la longitud de arco es un cambio admisible de arámetro. Como s 0 (t) 6 0, 8t I, la función s(t) es invertible y su inversa t t(s) tiene derivada 1 k~r 0 (t(s))k; esto es, t 0 1 (s) k~r 0 (t(s))k 8

9 Podemos considerar una reresentación aramétrica de la curva con arámetro la longitud de arco de la curva; esto es, ~: J! R 3 ; ~(s) ~r(t(s)): Dicha reresentación se denomina la reresentación aramétrica natural de la curva C. Ejercicios 1. Se considera la curva C intersección de las suer cies de ecuaciones: S 1 y + (z 1) 1; S x + y 1: Se ide una reresentación aramétrica regular de dicha curva y la función longitud de arco. Solución. Una reresentación aramétrica de C es: ~r(t) (1 sin (t); sin(t); 1 + cos(t)); con t [0; ): Y el siguiente dibujo muestra dicha curva: Como ~r 0 (t) ( sin(t) cos(t); cos(t); sin(t)) 6 ~0; 8 t [0; ); 9

10 la reresentación aramétrica ~r(t) es regular. Se tiene: s(t) Z t 0 Z t 0 Z t 0 Z t 0 k~r 0 (u)k du q ( sin(u) cos(u)) + cos (u) + sin (u)du q 4 sin (u) cos (u) + 1du q sin (u) + 1du:. Se considera la curva C con reresentación aramétrica: t ~r(t) (t + ) cos(t); (t + ) sin(t); + t + ; con t [ ; ] : Se ide la función longitud de arco. Solución. Se tiene: ~r 0 (t) (cos(t) (t + ) sin(t); sin(t) (t + ) cos(t); t + ) ; con t [ ; ], luego k~r 0 (t)k (cos(t) (t + ) sin(t)) + ( sin(t) (t + ) cos(t)) + (t + ) cos (t) (t + ) cos(t) sin(t) + (t + ) sin (t) + sin (t) + (t + ) sin(t) cos(t) + (t + ) cos (t) + (t + ) 1 + (t + ) + (t + ) 1 + 5t + 6t + : Por tanto, k~r 0 (t)k 0 si y sólo si 1 + 5t + 6t + 0 () t ( + 1) : 10 Luego k~r 0 (t)k 6 0, ara t [ s(t) Z t k~r 0 (u)k du ; ]. Se tiene: 10 Z t 1 + 5u + 6u + du:

11 3. Se considera la curva C con reresentación aramétrica:! ~r(t) sin(t); t; cos(t) ; 8 t [0; ): Se ide la reresentación natural de dicha curva. Solución. Se tiene: ~r 0 (t) cos(t); ;! sin(t) ; 8 t [0; ): Luego k~r 0 (t)k v u t! cos(t) +! +! sin(t) r 1 cos (t) sin (t) r ; or tanto, la longitud de arco viene dada or la función: s(t) Z t 0 k~r 0 (u)k du Z t 0 1du t: Por tanto, t es el arámetro arco y la reresentación dada en el enunciado es la reresentación natural. 4. Se considera la curva C con reresentación aramétrica: ~r(t) (a cos(t); a sin(t); bt) ; 8t [0; +1): Se ide la reresentación natural de dicha curva. Solución. Se tiene: ~r 0 (t) ( a sin(t); a cos(t); b) ; 8t [0; +1): 11

12 Luego k~r 0 (t)k q a sin (t) + a cos (t) + b a + b ; or tanto, la longitud de arco viene dada or la función: s(t) Z t 0 Z t 0 k~r 0 (u)k du a + b du a + b t; que es una alicación lineal. Se tiene, s 0 (t) a + b 6 0; or lo que es un cambio admisible de arámetro. Se tiene: t(s) s a + b ; y, or tanto, la reresentación natural de la curva C es la siguiente: s s s ~r(t(s)) a cos ; a sin ; b ; a + b a + b a + b donde el arámetro arco s toma valores en el intervalo [0; +1). 3 Estudio local de una curva Sea una curva C R 3 con reresentación aramétrica regular ~r(t), t I R, de clase mayor o igual a 3 y sea s s(t) Z t t 0 k~r 0 (u)k du; el arámetro arco. Por tanto, también odemos considerar la reresentación natural de C: ~(s) ~r(t(s)); s J R: 1

13 3.1 Recta tangente y lano normal. El vector ~r 0 (t) (x 0 (t); y 0 (t); z 0 (t)) es un vector tangente a la curva C en el unto P ~r(t). En general, dicho vector no es unitario. Denotaremos ~t(t) al vector unitario tangente a la curva C en el unto P ~r(t); esto es, ~t(t) ~r 0 (t) k~r 0 (t)k : (1) Si consideramos la reresentación natural de la curva C, ~(s) ~r(t(s)), se tiene: ~ 0 (s) ~r 0 (t(s))t 0 (s) y ~ 0 (s) k~r 0 (t(s))k jt 0 (s)j 1 jt 0 (s)j jt0 (s)j 1: Nota. Cuando consideramos la reresentación natural de la curva, al calcular el vector tangente obtenemos directamente un vector unitario; esto es, ~t(s) ~ 0 (s): () De nición. La recta tangente a una curva C en un unto P es la recta que tiene el mismo vector tangente en P que la curva C. Se dice que la recta tangente tiene un orden de contacto 1 con la curva C en el unto P. Por tanto, la recta tangente a la curva C con vector tangente ~t (v 1 ; v ; v 3 ) en el unto P (a; b; c) tiene la siguiente arametrización natural: ~r()! OP + ~t, esto es, x() a + v 1 ; y() b + v ; z() c + v 3 : De nición. El lano normal a una curva C en un unto P es el lano ortogonal a la recta tangente y que contiene al unto P. 13

14 En el siguiente dibujo se han reresentado las rectas tangente y el lano normal de la curva con arametrización ~r(t) (1 sin (t); sin(t); 1 + cos(t)), con t [0; ), en el unto P ~r(4). Sea el lano normal de la curva C con vector tangente ~t (v 1 ; v ; v 3 ) en el unto P (a; b; c). Un unto X ertenece al lano normal si veri ca la siguiente ecuación vectorial:!! OX OP ~t 0 Esto es, si (x; y; z) son las coordenadas del unto X, la ecuación imlícita o cartesiana del lano normal es: Ejemlos (x a)v 1 + (y b)v + (z c)v 3 0: 1. Consideramos la curva C de ecuación aramétrica: ~r(t) (a cos(t); a sin(t); b); t [0; ); con a 6 0. Se ide calcular: (a) El vector tangente unitario a C en el unto P de coordenadas (0; a; b). 14

15 (b) La recta tangente a C en el unto P de coordenadas (0; a; b) y en un unto arbitrario de la curva; esto es, un unto de coordenadas (a cos(t 0 ); a sin(t 0 ); b). (c) El lano normal de C en el unto P de coordenadas (0; a; b) y en un unto arbitrario de la curva; esto es, un unto de coordenadas (a cos(t 0 ); a sin(t 0 ); b). Solución. El vector tangente a C en un unto arbitario de la curva es: ~r 0 (t) ( a sin(t); a cos(t); 0): Se tiene: k~r 0 (t)k a 6 0 ues a 6 0. Por tanto, el vector tangente unitario en un unto arbitario es: ~t(t) ~r 0 (t) k~r 0 (t)k ( sin(t); cos(t); 0) : El unto P se alcanza cuando cos(t 0 ) 0, sin(t 0 ) 1, luego ara el valor del arámetro: t 0. Por tanto, el vector tangente unitario a la curva C en el unto P es el vector: ~t() ( 1; 0; 0) : La recta tangente a C en el unto P viene dada or la siguiente arametrización: ~r() OP! + ~t() (0; a; b) + ( 1; 0; 0) ( ; a; b): Y la recta tangente en un unto arbitrario de la curva tiene la siguiente arametrización: ~r() OX! + ~t(t 0 ) (a cos(t 0 ); a sin(t 0 ); b) + ( sin(t 0 ); cos(t 0 ); 0) (a cos(t 0 ) sin(t 0 ); a sin(t 0 ) + cos(t 0 ); b): El lano normal en el unto P tiene la siguiente ecuación vectorial: ( OX!! OP ) ~t() 0. La ecuación imlícita del lano normal en P es: (x 0; y a; z b) ( 1; 0; 0) 0 () x 0: 15

16 El lano normal en el unto arbitario tiene la siguiente ecuación vectorial: ( OX!! OX 0 ) ~t(t 0 ) 0. La ecuación imlícita del lano normal en un unto arbitario es: 0 (x a cos(t 0 ); y a sin(t 0 ); z b) ( sin(t 0 ); cos(t 0 ); 0) x sin(t 0 ) + a sin(t 0 ) cos(t 0 ) + y cos(t 0 ) a cos(t 0 ) sin(t 0 ) x sin(t 0 ) + y cos(t 0 ):. Consideramos la curva C de ecuación aramétrica: Se ide calcular: ~r(t) ( cos(t); sin(t); 5t); t [0; +1): (a) El vector tangente unitario a C en el unto P de coordenadas 0; ; 5. (b) La recta tangente a C en el unto P de coordenadas 0; ; 5. (c) El lano normal de C en el unto P de coordenadas 0; ; 5. Solución. El vector tangente a C en un unto arbitario de la curva es: ~r 0 (t) ( sin(t); cos(t); 5): Se tiene: k~r 0 (t)k , luego t no es el arámetro arco. Por tanto, el vector tangente unitario en un unto arbitario es: ~t(t) ~r 0 (t) k~r 0 (t)k 5 sin(t); cos(t); : El unto P se alcanza cuando cos(t 0 ) 0, sin(t 0 ) 1, luego ara el valor del arámetro: t 0. Por tanto, el vector tangente unitario a la curva C en el unto P es el vector: ~t() 9 ; 0; 5 : 9 La recta tangente a C en el unto P viene dada or la siguiente arametrización: ~r() OP! + ~t() 0; ; ; 0; ; ; :

17 El lano normal en el unto P tiene la siguiente ecuación vectorial: ( OX!! OP ) ~t() 0. La ecuación imlícita del lano normal en P es: x 0; y ; z ; 0; 9 9 x z : Curva de Viviani. Consideramos la curva C de ecuación aramétrica: Se ide calcular: ~r(t) 1 + cos t; sin t; sin t ; t [0; ): (a) El vector tangente unitario a C en el unto P de coordenadas (0; 0; ). (b) La recta tangente a C en el unto P de coordenadas (0; 0; ). (c) El lano normal de C en el unto P de coordenadas (0; 0; ). Solución. El vector tangente a C en un unto arbitario de la curva es: ~r 0 t (t) sin(t); cos(t); cos : q Se tiene: k~r 0 (t)k 1 + cos t 6 1, luego t no es el arámetro arco. El unto P se alcanza cuando 1 + cos(t 0 ) 0, sin(t 0 ) 0 y sin t 0, luego ara el valor del arámetro: t0. Por tanto, el vector tangente unitario a la curva C en el unto P es el vector: ~t() 1 k~r 0 ()k ~r 0 () cos () (0; 1; 0) : sin(); cos(); cos La recta tangente a C en el unto P viene dada or la siguiente arametrización: ~r() OP! + ~t() (0; 0; ) + (0; 1; 0) (0; ; ) : 17

18 El lano normal en el unto P tiene la siguiente ecuación vectorial: (! OX! OP ) ~t() 0: La ecuación imlícita del lano normal en P es: 0 (x 0; y 0; z ) (0; 1; 0) y: 3. Curvatura. Normal rincial. Plano osculador.! R la arame- El vector tangente varía a lo largo de la curva. Sea ~: I trización natural de la curva C. El vector ~ 00 (s) d ~t ds (s); mide la variación del vector tangente en un entorno del unto P ~(s). De nición. Llamamos vector curvatura de la curva C con arametrización natural ~: I! R en el unto P ~(s) al vector ~ 00 (s). LLamaremos curvatura o curvatura de exión al módulo del vector curvatura; esto es, la curvatura de exión es la función (s) ~ 00 (s) : (3) Interretación geométrica de la curvatura de exión. La curvatura de exión mide la variación del ángulo que forman las resectivas rectas tangentes de untos róximos de la curva. Sea (s) el ángulo que forma la recta tangente a C en el unto ~(s 0 ) con la recta tangente a C en el unto ~(s). Se tiene: lim s!s 0 (s) js s 0 j lim s!s 0 y teniendo en cuenta la igualdad obtenemos: sin (s) lim s!s 0 js s 0 j ~ 0 (s) (s) js s 0 j sin (s) (s) ~ 0 (s 0 ) sin (s) ; ~ 0 (s) lim s!s0 js 18 sin (s) lim s!s0 js s 0 j ; ~ 0 (s 0 ) ~ 00 (s 0 ) : s 0 j

19 Nota. El vector curvatura (si (s) 6 0) es erendicular al vector tangente ya que derivando la igualdad: ~t(s) ~t(s) 1 tenemos: 0 (~t(s) ~t(s)) 0 ~t 0 (s) ~t(s): De nición. Llamamos vector normal rincial y lo denotamos or ~n al vector unitario en la direccción del vector curvatura; esto es, Se tiene: ~n(s) ~t 0 (s) ~ 00 (s) ~ 00 (s) ~00 (s) ~ 00 (s) ~00 (s) ~ 00 (s) : (4) (s)~n(s): (5) De nición. La recta normal rincial a una curva C en un unto P es la recta que contiene al unto P y tiene vector director el vector normal a la curva en P. Por tanto, la recta normal rincial a la curva C con vector normal ~n (n 1 ; n ; n 3 ) en el unto P (a; b; c) tiene la siguiente arametrización natural: ~r() OP! + ~n, esto es, x() a + n 1 ; y() b + n ; z() c + n 3 : De nición. El lano osculador de una curva C en un unto P es el lano que contiene a las rectas tangente y normal de la curva en el unto P. Sea la curva C con vector tangente ~t (v 1 ; v ; v 3 ) y vector normal rincial ~n (n 1 ; n ; n 3 ) en el unto P (a; b; c). Un unto X ertenece al lano! osculador si y sólo si el vector P X es combinación lineal de los vectores ~t y ~n. Por tanto, si (x; y; z) son las coordenadas del unto X estas deben veri car la siguiente ecuación: 0 x a y b z c t 1 t t 3 n 1 n n 3 Llamamos circunferencia osculatriz de la curva C en el unto P ~(s 0 ) a una circunferencia contenida en el lano osculador de C en P cuyo centro, llamado centro de curvatura, se encuentra sobre la recta normal rincial en la dirección del vector ~n y cuyo radio es R(s 0 ) 1(s 0 ). Veáse el siguiente dibujo. 19 :

20 La circunferencia osculatriz tiene un orden de contacto máximo con la curva (tiene el mismo vector tangente y mismo vector normal que la curva en el unto P ). El centro Z de la circunferencia osculatriz en el unto P ~(s 0 ) satisface la siguiente ecuación:! OZ OP! + R(s 0 )~n(s 0 ): La ecuación de la circunferencia osculatriz es: OX!! OZ R(s 0 ): 3.3 Recta binormal y lano recti cante. Torsión. Sea C una curva con arametrización natural ~: I! R. De nición. Llamamos vector binormal y lo denotamos or ~ b al vector unitario ortogonal al vector tangente y al vector normal; esto es, ~ b(s) ~t(s) ^ ~n(s): (6) De nición. La recta binormal a una curva C en un unto P es la recta que contiene al unto P y cuyo vector director es el vector binormal a la curva en P. Por tanto, la recta binormal a la curva C con vector binormal ~ b (b1 ; b ; b 3 ) en el unto P (a; b; c) tiene la siguiente arametrización 0

21 natural: ~r()! OP + ~ b, esto es, x() a + b 1 ; y() b + b ; z() c + b 3 : En el siguiente dibujo se han reresentado las rectas tangente, normal rincial y binormal de la curva con arametrización ~r(t) (1 sin (t); sin(t); 1 + cos(t)), con t [0; ), en el unto P ~r(4): De nición. El lano recti cante de una curva C en un unto P ~(s 0 ) (a; b; c) es el lano que contiene a las rectas tangente y binormal de la curva en el unto P. Por tanto, el lano recti cante tiene la siguiente ecuación vectorial: ( OX!! OP ) ~n(s 0 ) 0 () (x a) n 1 + (y b) n + (z c) n 3 0: Para medir la searación de la curva de su lano osculador en un unto o equivalentemente la variación del lano osculador de un unto a otro de la curva, estudiamos la variación del vector binormal. Se tiene: ~ b 0 (s) ~t 0 (s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ ~n 0 (s): Vamos a calcular la variación del vector normal. El vector normal es un vector unitario y or tanto ~n 0 (s) es un vector ortogonal a ~n(s). Por tanto, ~n 0 (s) es combinación lineal de los vectores tangente y binormal. Esto es, ~n 0 (s) (s)~t(s) + (s) ~ b(s): (7) 1

22 Derivando la identidad ~n(s) ~t(s) 0 se obtiene: 0 ~n(s) ~t(s) 0 ~n 0 (s) ~t(s) + ~n(s) ~t 0 (s) (s)~t(s) + (s) ~ b(s) ~t(s) + ~n(s) (s)~n(s) (s) + (s): Por tanto, (s) Por tanto: (s). ~ b 0 (s) ~t 0 (s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ ~n 0 (s) (s)~n(s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ (s)~t(s) + (s) ~ b(s) (s)~t(s) ^~b(s) (s)~n(s): (8a) La función (s) mide la variación del lano osculador en untos róximos de la curva. Teniendo en cuenta ~n(s) ~n(s) 1 obtenemos: ~ b 0 (s) ~n(s) (s): De nición. Llamamos torsión o curvatura de torsión a la función (s); esto es, (s) ~ b 0 (s) ~n(s): Observación. Si (s) 0, 8s, entonces ~ b 0 (s) ~0 y el vector binormal ermanece constante y la curva C esta contenida en el lano osculador; esto es, C es una curva lana. Proosición. Sea C una curva de clase 3, entonces: C es lana si y sólo si su torsión es idénticamente nula. 3.4 Triedro móvil o de Frenet. Sea C una curva de clase al menos 3 con reresentación natural ~: J R! R 3, y vector tangente ~t(s), vector normal ~n(s) y vector binormal ~ b(s) en cada unto de la curva n P ~(s). De nición. El triedro ~ t(s); ~n(s); ~ o b(s) se denomina triedro de Frenet y en cada unto P ~(s) de la curva C forma una referencia afín de R 3. El

23 triedro de Frenet nos da una referencia afín a lo largo de la curva C y or ello también se denomina triedro móvil. Los vectores ~t(s); ~n(s); ~ b(s) satisfacen las siguientes relaciones: ~t(s) ~t(s) 1; ~n(s) ~n(s) 1; ~ b(s) ~ b(s) 1; ~t(s) ~n(s) 0; ~t(s) ~ b(s) 0; ~n(s) ~ b(s) 0: Las rectas tangente, normal y binormal forman los ejes del triedro en cada unto de la curva y los lanos normal, osculador y recti cante forman los lanos cartesianos resecto de dicha referencia. En el siguiente dibujo se han reresentado los elementos del Triedro de Frenet en el unto P ~r(4) de la curva con arametrización ~r(t) (1 sin (t); sin(t); 1 + cos(t)), con t [0; ): 3.5 Triedro de Frenet ara una reresentación aramétrica arbitraria. Sea C una curva con reresentación natural ~: J R! R 3 y una reresentación aramétrica regular arbitraria ~r : I R! R 3. Con la reresentación aramétrica natural, los elementos del triedro de Frenet se ueden 3

24 calcular con las siguientes fórmulas: ~t(s) ~ 0 (s); ~n(s) ~00 (s) ~ 00 (s) ; ~ b(s) ~t(s) ^ ~n(s) ~0 (s) ^ ~ 00 (s) ~ 00 (s) ; s J: Y las curvaturas de exión y de torsión se obtienen or las fórmulas: (s) ~ 00 (s) ~n(s) ~ 00 (s) ; (s) ~ b 0 (s) ~n(s) ~t(s) ^ ~n(s) 0 ~n(s) ~t 0 (s) ^ ~n(s) ~n(s) ~t(s) ^ ~n 0 (s) ~n(s) ~t(s) ^ ~n 0 (s) ~n(s) ~ 0 (s) ^ (s) 1 ~ 00 (s) 0 (s) 1 ~ 00 (s) (s) ~ 0 (s) ^ ~ 000 (s) ~ 00 (s) (s) ~ 0 (s); ~ 00 (s); ~ 000 (s) ~ 0 (s); ~ 00 (s); ~ 000 (s) ~ 00 (s) : Veamos cuáles son las exresiones de los elementos del triedro de Frenet y de las curvaturas de torsión y de exión cuando tenemos una reresentación aramétrica arbitraria ~r(t) de la curva. Se tiene: ~r(t) ~(s(t)). Por tanto, ~r 0 (t) ~ 0 (s(t))s 0 (t) ~ 0 (s(t)) k~r 0 (t)k ~t(t) k~r 0 (t)k ; ~r 00 (t) ~ 00 (s(t))s 0 (t) + ~ 0 (s(t))s 00 (t); ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) ~ 0 (s(t))s 0 (t) ^ ~ 00 (s(t))s 0 (t) + ~ 0 (s(t))s 00 (t) s 0 (t) 3 ~ 0 (s(t)) ^ ~ 00 (s(t)) s 0 (t) 3 (s(t))~t(t) ^ ~n(t) k~r 0 (t)k 3 (s(t)) ~ b(t): 4

25 Como ~ b(t) es un vector unitario en la dirección del vector ~r 0 (t) ^~r 00 (t) y ~n(t) es un vector unitario ortogonal a ~t(t) y a ~ b(t) se tiene: ~t(t) ~r 0 (t) k~r 0 (t)k ; ~ b(t) ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k ; ~n(t) Teniendo en cuenta la igualdad: se obtiene: ~ b(t) ^ ~t(t): ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) k~r 0 (t)k 3 (s(t)) ~ b(t); Además, teniendo en cuenta la siguiente igualdad: (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k k~r 0 (t)k 3 : (9) ~r 000 (t) ~ 000 (s(t))s 0 (t) 3 + 3~ 00 (s(t))s 0 (t)s 00 (t) + ~ 0 (s(t))s 000 (t); y la exresión del vector ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t), obtenemos: (~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)) ~r 000 (t) s 0 (t) 3 ~ 0 (s(t)) ^ ~ 00 (s(t)) ~ 000 (s(t))s 0 (t) 3 + 3~ 00 (s(t))s 0 (t)s 00 (t) + ~ 0 (s(t))s 000 (t) s 0 (t) 6 ~ 0 (s(t)) ^ ~ 00 (s(t)) ~ 000 (s(t)) k~r 0 (t)k 6 ~ 0 (s(t)); ~ 00 (s(t)); ~ 000 (s(t)) k~r 0 (t)k 6 (s(t))(s(t)) k~r 0 (t)k 6 (s(t)) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k (s(t)) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k : Por tanto, k~r 0 (t)k 6 (t) [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k ; (10) donde [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] denota el roducto mixto de los vectores ~r 0 (t), ~r 00 (t) y ~r 000 (t); esto es, [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] (~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)) ~r 000 (t). 5

26 3.6 Fórmulas de Frenet-Serret. Sea C una curva con reresentación natural n ~: J R! R 3 de clase al menos 3. Los vectores del triedro de Frenet ~ t(s); ~n(s); ~ b(s)o en cualquier unto P ~(s) de la curva, satisfacen las siguientes ecuaciones: ~t 0 (s) (s)~n(s); ~n 0 (s) (s)~t(s) + (s) ~ b(s); ~ b 0 (s) (s)~n(s); (véanse las fórmulas (5), (7) y (8a)), llamadas las fórmulas de Frenet-Serret. Las fórmulas de Frenet-Serret consituyen n un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ara los vectores ~ t(s); ~n(s); ~ b(s)o. Teniendo en cuenta el Teorema de existencia y unicidad de soluciones de un roblema de valores iniciales ara un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se tiene el siguiente resultado. Proosición. Dadas dos funciones ; : J R! R de clase al menos 1 con (s) > 0, 8s J, existe, salvo su osición en el esacio, una única curva C tal que (s) es su función curvatura y (s) es su función torsión. El resultado anterior nos dice que las funciones torsión y curvatura, (s) y (s), determinan de manera única la curva. Por esta razón, las ecuaciones (s) y (s) reciben el nombre de ecuaciones intrínsecas de la curva. Ejemlos 1. Hallar los elementos del triedro de Frenet y la torsión y curvatura de la curva C con reresentación aramétrica: ~r(t) ( cos(t); sin(t); 5t); t [0; +1); en el unto P de coordenadas 0; ; 5. Solución. El unto P se alcanza ara el valor t. Se tiene: ~r 0 (t) ( sin(t); cos(t); 5): Como k~r 0 (t)k , el arámetro t no es el arámetro arco. Vamos a considerar la arametrización natural de la curva. Se tiene: s(t) Z t 0 k~r 0 (u)k du 6 Z t 0 9du 9t:

27 Por tanto, t(s) s 9 ; y la arametrización natural de la curva C es: s ~(s) ~r(t(s)) cos ; sin s ; 5 s ; s [0; +1): El unto P se alcanza cuando t y, or tanto, cuando s 9. Se tiene: ~ 0 (s) sin s s 5 ; cos ; ; ~ 00 (s) 9 cos s ; 9 9 sin s ; 0 ; 9 ~ 000 (s) 9 9 sin s ; cos s ; 0 : 9 Luego, Por tanto,! 9 ~t ~n 9 ~ b 9!!! 9 ~ 0 ~ 00 9 ~ 000 9!! 9 ; 0; 0; 1 ~ 00 ( 9) ; 0; ; 0; 9 ; 0; 9 ; 0 ; 9 9 ; 0; 0 5 ; 9 0; 5 ; 9 : 9 ; 0 (0; 1; 0) ; 5 9 ^ (0; 1; 0) : 9 7

28 Los vectores 9; 0; 5 9, (0; 1; 0) y (5 9; 0; 9) forman el triedro de Frenet de C en el unto P. La curvatura de C en P es: ( 9) ~ 00 ( 9) 9 : Y la torsión de C en P es: ~ 0 ( 9); ~ 00 ( 9); ~ 000 ( 9) ( 9) Por tanto, C no es una curva lana. ~ 00 ( 9) :. Hallar los elementos del triedro de Frenet de la curva C con reresentación aramétrica: ~r(t) (t; t ; 1 + t 3 ); t [0; +1); en el unto P de coordenadas (0; 0; 1) y la curvatura y torsión en un unto genérico de la curva. Solución. Se tiene: ~r 0 (t) (1; t; 3t ); t [0; +1): Como k~r 0 (t)k 1 + 4t + 9t 4 6 1, el arámetro t no es el arámetro arco. Derivando la reresentación aramétrica obtenemos: ~r 00 (t) (0; ; 6t); ~r 000 (t) (0; 0; 6) ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) ( 6t ; 6t; ); k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k 36t t + 4 9t 4 + 9t + 1: 8

29 Por tanto, ~t(t) ~r 0 (t) k~r 0 (t)k t + 9t 4 (1; t; 3t ); ~ b(t) ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k 1 9t 4 + 9t + 1 ( 6t ; 6t; ); ~n(t) ~ b(t) ^ ~t(t): El unto P se alcanza ara el valor 0 del arámetro t. Por tanto, los vectores tangente, binormal y normal en P son: Se tiene: ~t(0) (1; 0; 0) ; ~ b(0) (0; 0; 1) ; ~n(0) ~ b(0) ^ ~t(0) (0; 1; 0) : ; luego efectivamente el triedro tiene la orientación ositiva. La curvatura de C viene dada or la función: (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k k~r 0 (t)k 3 9t4 + 9t + 1 (1 + 4t + 9t 4 ) : 3 Y la torsión de C viene dada or la función: (t) [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k 1 1 t 3t 36t t t t t t 4 + 9t + 1 : 9

30 3. La evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura. Se ide calcular la evoluta de la arábola de ecuación y 1 x. Solución. Una arametrización de la arábola de ecuación y 1 x es: Se tiene: ~r(t) t; 1 t ; 0. ~r 0 (t) (1; t; 0) ; ~r 00 (t) (0; 1; 0) ; ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) (0; 0; 1); or tanto, ~t(t) 1 ; t ; 0 ; 1 + t 1 + t El radio de curvatura es: ~ b(t) (0; 0; 1); t ~n(t) ; 1 ; 0 : 1 + t 1 + t R(t) k~r 0 (t)k 3 k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k 1 + t 3. Por tanto, el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva tiene la siguiente arametrización: ~ (t) ~r(t) + R(t)~n(t) t; 1 t ; t 3 t t ; 1 ; t 1 + t! t (1 + t ) 3 ; t t + (1 + t ) 3 ; 0 : 1 + t Esto es, la curva en el lano z 0 de ecuación exlícita: y 1 x x 3 : 30

31 4. Hallar las ecuaciones intrínsecas de la curva con reresentación aramétrica: ~r(t) (e t cos(t); e t sin(t); e t ); t [0; +1): Solución. La siguiente grá ca nos muestra la curva: Se tiene: ~r 0 (t) (e t (cos(t) sin(t)) ; e t (sin(t) + cos(t)) ; e t ); ~r 00 (t) ( e t sin(t); e t cos(t); e t ); ~r 000 (t) ( e t (sin(t) + cos(t)) ; e t (cos(t) sin(t)) ; e t ); ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) e t (sin(t) cos(t); cos(t) sin(t); ) ; [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] e 3t : Por tanto, (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k k~r 0 (t)k 3 et 6 e 3t (3) 3 3e t ; y Como s (t) [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k Z t 0 k~r 0 (u)k du Z t 0 e3t 6e 4t 1 3e t : e u 3du 3 e t 1 ; 31

32 se tiene: e t s y las ecuaciones intrínsecas de C son: y (s) (s) 6 3 s + 3 ; 3 3 s + 3 : 5. Hallar las ecuaciones intrínsecas de la curva C con reresentación aramétrica: con a; b 6 0. Solución. Se tiene: Por tanto, y ~r(t) (a cos(t); a sin(t); bt); t [0; +1); ~r 0 (t) ( a sin(t); a cos(t); b); ~r 00 (t) ( a cos(t); a sin(t); 0); ~r 000 (t) (a sin(t); a sin(t); 0); ~r 0 (t) ^ ~r 00 (t) ab sin(t); ab cos(t); a : (t) k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k k~r 0 (t)k 3 (a b + a 4 1 ) jaj (b + a ) (a + b ) 3 (a + b ) 3 jaj 6 0; a + b (t) [~r 0 (t); ~r 00 (t); ~r 000 (t)] k~r 0 (t) ^ ~r 00 (t)k a b a (a + b ) b 6 0: a + b 3 1 a (a + b ) 1 a sin(t) a cot s(t) b a cos(t) a sin(t) 0 a sin(t) a cos(t) 0

33 Nóta. Nótese que las ecuaciones intrínsecas de la anterior curva son constantes; esto es, no deenden del arámetro t. La curva anterior es una hélice circular. Se uede a rmar que si una curva es tal que su torsión y su curvatura son constantes no nulas, entonces es una hélice de base circular. 3.7 Hélices Las hélices circulares son un caso esecial de una clase de curvas denominadas hélices. Las hélices están caracterizadas or la roiedad de que la recta tangente en cada unto de la curva forma un ángulo constante con una recta l en el esacio que se denomina eje de la hélice. Sea C una hélice de ángulo y eje l, con reresentación aramétrica natural ~: J R! R 3. Sea ~v un vector unitario en la dirección del eje l. Entonces la hélice C está de nida or la ecuación: ~t(s) ~v cos. Derivando la exresión anterior obtenemos: ~n(s) ~v 0: Por tanto, el vector ~v se uede escribir de la forma: ~v ~t(s) cos + ~ b(s) sin : Derivando la exresión ~n(s) ~v 0 0 obtenemos: Por tanto, 0 ~n 0 (s) ~v (s)~t(s) + (s) ~ b(s) (s) cos + (s) sin : (s) (s) sin cos ~ t(s) cos + ~ b(s) sin tan : Recírocamente, si una curva regular satisface la condición: (s) (s) a R; 33

34 entonces odemos encontrar un ángulo de manera que: a tan y or tanto, (s) cos (s) sin 0. Teniendo en cuenta las fórmulas de Frenet obtenemos: tenemos: Luego el vector es constante y ~t 0 (s) a(s)~n(s) tan (s)~n(s); ~ b 0 (s) (s)~n(s); (~t(s) cos + ~ b(s) sin ) 0 ~t 0 (s) cos + ~ b 0 (s) sin (s) (tan cos sin ) ~n(s) 0: ~v ~t(s) cos + ~ b(s) sin ; ~v ~t(s) cos : Por tanto, la curva es una hélice. Hemos obtenido el siguiente resultado: Teorema de Lancret (180). Una curva alabeada con arametrización regular ~r(t), t I R, es una hélice si y sólo si el cociente k(t)(t) es constante 8t I. Ejemlos. Veamos si la curva con reresentación aramétrica es una hélice. Se tiene: y torsión: Por tanto, ~r(t) (e t cos(t); e t sin(t); e t ); t [0; +1); (t) 3e t ; (t) 1 3e t : (t) (t) ; luego se trata de una hélice de ángulo con tan y cuyo eje tiene vector director el siguiente: ~v ~t(s) cos arctan + ~ b(s) sin arctan : 34

35 3.8 Ejercicios 1. Hallar la ecuación del lano osculador en el unto P de coordenadas 1 ; 1 ; 1 de la curva C de nida como la intersección de las siguientes suer cies: S 1 x + y z; S x + y 1 y:. Determínese la curvatura de la curva intersección de las suer cies: S 1 x + y + z 11; S x + y ; z > 0; en el unto P de coordenadas (0; ; 3). 3. Sea la curva C con arametrización: ~r(t) t 3 ; t + 1; t t : Hallar el radio de curvatura en el unto P de coordenadas (1; ; 0). 4. Se considera la curva C intersección de las suer cies: Se ide: S 1 x + y + z 4; z 0; S (x 1) + y 1: (a) Los vectores del triedro de Frenet en el unto P de coordenadas (; 0; 0). (b) La curvatura y la torsión de la curva en el unto P. (c) Es C una curva lana? 5. Probar que si la curva es tal que todas sus tangentes asan or un unto jo del esacio, entonces la curva es una recta. 6. Sea la curva C con arametrización: ~r(t) Se ide: (t + ) cos (t) ; (t + ) sin(t); t + t + 35 ; t [ ; ] :

36 (a) Ecuaciones de los lanos del triedro de Frenet en el unto P de coordenadas 0; ;. 4 (b) Puntos en los cuales el lano osculador es aralelo al lano de ecuación z 0. (c) Punto interseción del lano normal en el unto P y la recta tangente en el unto Q de ecuación ; 0;. 7. Se considera la curva C intersección de las suer cies: Se ide: S 1 y + (z 1) 1; S x + y 1: (a) Vectores del triedro de Frenet en el unto P de coordenadas (1; 0; 0). (b) Curvatura y torsión de la curva C en el unto P. (c) Es C una curva lana? En caso a rmativo, obtener la ecuación cartesiana del lano que contiene a la curva. 8. Se considera la curva C con arametrización: ~(t) sin t; t; cos t, t R; y el unto P de coordenadas ; ; 0. Se ide: (a) Comrobar que t es el arámetro arco de la curva dada. Hallar la longitud de la curva desde el unto A de coordenadas 0; 0; hasta el unto B de coordenadas 0; ;. (b) Hallar el lano oculador y la recta binormal en el unto P. (c) Hallar la torsión y la curvatura (esto es, curvaturas de exión y de torsión) en un unto genérico de la curva. (d) Estudiar si la curva es una hélice y en caso a rmativo calcular el eje. 36

37 9. Hallar el centro de curvatura de la curva C con arametrización: ~(t) te t ; e t ; t + 1 en el unto P de coordenadas (0; 1; 1). 10. Hallar la curvatura de la curva intersección de las suer cies y ln 1 z 0, x ;, en el unto P de coordenadas ; ln 6 3 ; 0. cos x, 11. Hallar la ecuación del lano osculador en el unto P de coordenadas (1; 1; 1), de la curva de nida or las siguientes ecuaciones cartesianas: x + y z; x + y 1 y: 1. La cicloide es el lugar geométrico de los untos P de una circunferencia de radio r que rueda sin deslizar or una recta. Hallar los untos singulares de la cicloide con arametrización ~r(t) (t sin t; 1 cos t) ; t [0; ]: Hallar el vector tangente a la cicloide en un unto regular arbitrario. Cuál es el límite de los vectores unitarios tangentes cuando tendemos a un unto singular? 13. Hallar la evoluta de la elise con arametrización ~r(t) (a cot t; a sin t), t [0; ). 14. Probar que la curva con arametrización ~r(t) (t cos t; t sin t; t) ; t [0; ); está contenida en un cono. Hallar la curvatura y la torsión en el unto que corresonde al vértice del cono. 15. Demostrar que la curva con arametrización ~r(t) sin t; sin t cot st; cos t ; t [0; ); está contenida en una esfera y que todos los lanos normales a dicha curva contienen al origen de coordenadas. 37

38 16. Determínese la curvatura de la curva de ecuaciones cartesianas x + y + z 11; z 0; x + y ; en el unto P de coordenadas (0; ; 3). 17. Determínese una base del lano normal a la curva x +y z, x+y+z en el unto P de coordenadas (1; 1; ). 18. Hállese la curvatura de la curva y ln(1 cos x), x ( ; ) en el unto de coordenadas (6; ln 3). 19. Determínese la ecuación cartesiana del lano normal a la curva determinada or x + y + z 3 y x y + z en el unto P de coordenadas (1; 1; 1). 0. Calcular unas ecuaciones aramétricas de la curva cuyas ecuaciones intrínsecas son (s) 4 y (s) 3 y tal que ara el valor del arámetro s 0 sea ~t(0) 0; 4 5 ; 3 ; ~n(0) ( 1; 0; 0) ; ~ b(0) 0; ; 4 : 5 Sitúese el origen de coordenadas de modo que el unto de la curva corresondiente a s 0 tenga coordenadas 4 5 ; 0; Las ecuaciones intrínsecas de una curva regular de clase in nito vienen dadas or (s) 0, (s) 0. Señálense las roosiciones ciertas: (a) El enunciado nunca se uede cumlir. (b) Se trata de una circunferencia. (c) El triedro de Frenet es el mismo en todos los untos de la curva. (d) Se trata de una arábola. (e) Se trata de una hélice.. Probar que si una curva C es tal que todas sus rectas normales rinciales contienen a un unto jo F del esacio, entonces la curva es una circunferencia. 38

39 Solución. Sea C la curva con arametrización natural ~r(s). La ecuación de la recta normal rincial or un unto P ~r(s) de la curva es la siguiente:! OX ~r(s) + ~n(s); R: Como el unto F está contenido en todas las rectas normales rinciales se veri ca:! OF ~r(s) + (s)~n(s): Derivando la exresión anterior y teniendo en cuenta las fórmulas de Frenet-Serret obtenemos: ~0 ~r 0 (s) + 0 (s)~n(s) + (s)~n 0 (s) ~t(s) + 0 (s)~n(s) + (s) (s)~t(s) + (s) ~ b(s) (1 (s)(s))~t(s) + 0 (s)~n(s) + (s)(s) ~ b(s): n Como ~ t(s); ~n(s); ~ o b(s) es un sistema de vectores linealmente indeendiente ara cada valor de s, de la ecuación anterior se deduce: 8 8 < < : 0 1 (s)(s); 0 0 (s); 0 (s)(s); ) : (s)(s) 1; (s) 6 0 ues (s)(s) 1 0 (s)(s); luego de la tercera ecuación se deduce: (s) 0, y or tanto la curva C es lana y de la rimera ecuación se deduce: (s) 1 constante, luego C es una circunferencia. 4 Bibliografía 1. A. F. Costa, M. Gamboa, A. M. Porto, Ejercicios de Geometría Diferencial de curvas y suer cies, Sanz y Torres, Manfredo P. do Carmo, Di erential geometry of curves and surfaces, Englewood Cli s, New Jersey: Prentice Hall, C. G. Gibson, Elementary Geometry of Di erentiable Curves, Cambridge University Press, Dirk J. Struik, Lectures on Classical Di erential Geometry, Dover Publications, Inc., N.Y.,