Algebra y Geometría Analítica. Ing. Carlos A. LOPEZ Prof. Ricardo Massucco. Con la colaboración del Ing. Carlos CHONG

Transcripción

1 Algebra Geometría Analítica Ing. Carlos A. LOPEZ Prof. Ricardo Massucco Con la colaboración del Ing. Carlos CHONG

2 Para comenar : Quien nos uede decir ué es 1?

3 Lo rimero ue nos deberíamos reguntar es Dónde? En ue esacio? La recta, E o E 3? Un unto 1 Una recta Un lano

4 Las Curvas Cónicas

5 Suerficies Cilíndricas Recibe este nombre la suerficie ue es generada or una recta ue se mueve manteniéndose aralela a una recta fija llamada generatri asa siemre or una curva fija dada ue recibe el nombre de directri. Para nuestro estudio articular consideraremos a la directri como una curva erteneciente a uno de los lanos coordenados la generatri como una recta erendicular a dicho lano.

6 Cilindro circular o elítico Cilindro de directri arabólica. Cilindro de directri hierbólica + o r b a 1 a + b 1

7 Estudio del Paraboloide Hierbólico

8 Estudio de una Suerficie 1- Estudio de la Simetría. - Verificar si la suerficie contiene o no el Origen del Sistema de coordenadas. 3- Intersección con los ejes coordenados. 4- Intersección con los lanos coordenados. 5- Intersección con lanos aralelos a los lanos coordenados.

9 Estudio de la Simetría Si la ecuación de una suerficie no se altera cuando se cambia de signo de: Una de las variables, la suerficie es simétrica con resecto al lano coordenado a artir del cual se mide esa variable. Dos de sus variables, la suerficie es simétrica con resecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuo signo no se cambio. Las tres variables, la suerficie es simétrica con resecto al origen de coordenadas

10 1-Simetría ( ) ( ) ( ) ( ) - simetría resecto del lano 3- es decir simetría resecto del eje. 1- simetría resecto del lano.

11 - Verificar si la suerficie contiene o no el Origen del Sistema de coordenadas. Reemlaando or el unto P(,,). Se verifica, or lo tanto la suerficie contiene al origen de coordenadas

12 3- Intersección con los ejes coordenados a) Intersección con el eje : ( ),, P o sea :

13 3- Intersección con los ejes coordenados a) Intersección con el eje : ( ),, P o sea :

14 3- Intersección con los ejes coordenados a) Intersección con el eje : ( ),, P o sea :

15 4- Intersección con los lanos coordenados a) Intersección con el lano coordenado () + Es un ar de lanos cortados con el lano, nos da un ar de rectas en el lano coordenado

16 4- Intersección con los lanos coordenados b) Intersección con el lano coordenado () Es un cilindro arabólico cortado con el lano, nos da una arábola en E 3

17 4- Intersección con los lanos coordenados c) Intersección con el lano coordenado () Es un cilindro arabólico de eje, ue abre sus ramas hacia las negativas cortado con el lano, cua ecuación es, nos da una arábola sobre el lano en E 3.

18 5. Intersección con lanos // a los lanos coordenados a) Intersección con lanos aralelos al lano (k) k + k k k k Es un cilindro de directri arabólica de eje, ue abre sus ramas hacia las negativas cortado con un lano // al lano. Para cada valor de k, con indeendencia de su signo, se obtiene como intersección una arábola en E 3 de eje aralelo al eje.

19 5. Intersección con lanos // a los lanos coordenados k k k b) Intersección con lanos aralelos al lano (k) Es un cilindro de directri arabólica de eje, ue abre sus ramas hacia las ositivas cortado con un lano // al lano. Para cada valor de k, con indeendencia de su signo, se obtiene como intersección una arábola en E 3 de eje aralelo al eje. + k k

20 5. Intersección con lanos // a los lanos coordenados c) Intersección con lanos aralelos al lano (k) k si k k k< k> k k Corresonde al lano. Seccion 4 a

21 5. Intersección con lanos // a los lanos coordenados c) Intersección con lanos aralelos al lano (k) si k< k + k k k k Es un cilindro de directri hierbólica cortado con un lano // al lano, la intersección es una hiérbola en E 3 ubicada en un lano aralelo al lano de eje.

22 5. Intersección con lanos // a los lanos coordenados k k k c) Intersección con lanos aralelos al lano (k) si k> k k Es un cilindro de directri hierbólica cortado con un lano // al lano, la intersección es una hiérbola en E 3 ubicada en un lano aralelo al lano de eje.

23

24

25 La geometría en la ejecución de las suerficies no comlica, sino ue simlifica la construcción" A. Gaudí

26 L Oceanogràfic de la Ciudad de las Artes de las Ciencias de Valencia, durante su construcción.

27 Restaurante Los Manantiales del arue de Choimilco en la ciudad de Méico. El techo está formado or ocho araboloides hierbólicos.

28

29 Puente eatonal ue está en la calle Cororation de Manchester, Inglaterra. Hierboloide de una hoja

30 El castillo de agua en Fedala (Marruecos), diseñado or Torroja, tiene la forma de un hierboloide de una hoja, el cual uede ser recomrimido a lo largo de sus dos conjuntos de rectas generatrices

31 Basílica de Brasilia

32 Planetario de Buenos Aires

33 Arco Gatewa en San Luis Missouri (Estados Unidos),

34 FIN