3 Curvas alabeadas (curvas en R 3 )

Transcripción

1 3 Curvas alabeadas (curvas en R 3 ) El estudio de curvas en el espacio es, en varios aspectos, similar al de curvas en el plano. En este capítulo consideraremos como parametrización (I, α) a un par formado por un intervalo abierto I de R, siendo α : I R 3 una aplicación de lase C en I. Como en el caso de curvas en el plano, una parametrización será regular si I y α(i) son conjuntos homeomorfos y además se cumple que α (t) 0 para todo t I. La definición de arco de curva regular es análoga a la dada en el primer capítulo. Dada una palicación f = (f, f ) : R 3 R de clase C en R 3 y (c, c ) R un punto fijo de R, si el conjunto C = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = (c, c )} es no vacío, éste definirá una curva en R 3. Como anteriormente, una curva es regular si para cada punto P perteneciente a la curva, es posible encontrar una parametrización regular (I, α) de parte de (o de toda) la curva, siendo P α(i). Dicho de otra manera, si sucede que para cada punto de la curva, éste forma parte de un arco de curva regular que determina una parametrización de un subconjunto de la curva inicial al que pertenece dicho punto. Ejemplo: La parametrización (R, α) dada por α(t) = (cos(t), sin(t), t) resulta ser una parametrización regular de la curva (regular) que representa una hélice. También nos encontramos con una versión para el caso de curvas alabeadas de un teorema para determinar si una curva dada en forma implícita determina una curva regular: Teorema: Sea C = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = (c, c )} una curva en R 3. Si se verifica que ( f x rango (P ) f (P ) f (P ) ) y z f (P ) f (P ) f (P ) = x y z para todo P C, entonces C determina una curva regular. Los puntos que no cumplen el anterior teorema se dice que son puntos singulares de la curva. Ejemplo: La intersección de los planos x + y + z = 3 y x y z = determina la curva regular C = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = (f (x, y, z), f (x, y, z)) = (x+y+z, x y z) = (3, )}.

2 Ésta es una curva regular (de hecho es una recta en el espacio) ya que si P = (x 0, y 0, z 0 ) C, entonces ( f x rango (P ) f (P ) f (P ) ) ( ) y z f (P ) f (P ) f (P ) = rango = x y z Nota: En general, la intersección de dos superficies S = {(x, yz) R 3 : f (x, y, z) = c } y S = {(x, y, z) R 3 : f (x, y, z) = c } suele determinar una curva en R 3 dada por C = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = (f (x, y, z), f (x, y, z)) = (c, c )}. Dada una parametrización regular (I, α), para cada t 0 I se define la recta tangente a (I, α) en el punto α(t 0 ) como la recta que pasa por α(t 0 ) y tiene vector de dirección el vector velocidad, α (t 0 ). Dada una curva regular C, la recta tangente a C en P C es la recta tangente relativa a una parametrización cualquiera de un arco de curva que contenga a P. La no dependencia de la parametrización elegida queda reflejada al notar que la recta tangente coincide con el límite de rectas secantes, tal y como ocurría en el caso bidimensional. Ejemplo: Para la curva C determinada por la parametrización α(t) = (cos t, sin t, t), t R, la recta tangente a C en α(t 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) viene dada por x = x 0 sin(t 0 )s y = y 0 + cos(t 0 )s z = z 0 + s, con s R. Equivalentemente, la recta tangente vendrá dada por (x, y, z) = α(t 0 ) + s α (t 0 ), s R. a Cuando la curva regular viene dada de forma implícita, la recta tangente C = {(x, y, z) R 3 : f(x, yz) = (f (x, y, z), f (x, y, z)) = (c, c )} en el punto P = (x 0, y 0, z 0 ) C viene dada por la intersección de los planos f x (P )(x x 0) + f y (P )(y y 0) + f z (P )(z z 0) = 0

3 y f x (P )(x x 0) + f y (P )(y y 0) + f z (P )(z z 0) = 0. Dada la parametrización regular (I, α), el vector velocidad asociado a ésta en el punto α(t 0 ) se define como α (t 0 ). También, se llama vector tangente a la curva en α(t) al vector t(t) := T α (t) := t := α (t) α (t). De la misma forma que en el primer capítulo, la longitud de arco entre dos puntos α(t) y α(s) de una curva parametrizada viene determinada por L = s t α (u) du. Ejemplo: Considerando la curva C dada por α(t) = (cos t, sin t, t), t R, la longitud entre los puntos α(t 0 ) y α(s 0 ) viene dada de esta forma: si α (u) = ( sin u, cos u, ), entonces α (u) = ( sin u) + (cos u) + = (sin u) + (cos u) + =. De ahí que L = (s t). Si α (t) = para todo t I, entonces diremos que la parametrización es natural o que está dada por longitud de arco. Dada una parametrización (I, α), si los vectores α (t 0 ) y α (t 0 ) son proporcionales, entonces diremos que el punto α(t 0 ) de la curva es un punto de inflexión. En el caso de no trabajar sobre α(t) que no sea un punto de inflexión, es posible calcular: - El vector binormal: b(t) := B α (t) := α (t) α (t) α (t) α (t) y - el vector normal: n(t) := N α (t) = B α (t) T α (t), asociados a la parametrización (I, α) en el punto α(t). Así, podemos determinar un sistema de referencia móvil de R 3 dado por {α(t), (T α (t), N α (t), B α (t))}. Los tres vectores del anterior conjunto forman una base ortonormal de R 3. 3

4 Ejemplo: Dada la hélice parametrizada por α(t) = (cos t, sin t, t), t R, el sistema de referencia móvil asociado al punto de la curva α(0) = (, 0, 0) se calcula de la siguiente manera: Se tiene que α (t) = ( sin t, cos t, ), luego α (t) = para todo t R. De ahí que T α (0) = α (0) α (0) = (0,, ). Por otro lado, α (t) = ( cos t, sin t, 0) por lo que x y z α (0) α (0) = 0 = (0,, ). 0 0 Así que α (0) α (0) = y B α (0) = (0,, ). Por último, el vector normal viene dado por x y z N α (0) = B α (0) T α (0) = 0 0 = (, 0, 0). Esto indica que el sistema de referencia local viene dado por {(, 0, 0), {(0,, ), (, 0, 0), (0,, )}}. Sea (I, α) una parametrización regular y t 0 I de forma que α (t 0 ) y α (t 0 ) son vectores linealmente independientes (es decir, no son proporcionales). Se define el plano osculador a (I, α) en α(t 0 ) como el plano que contiene al punto α(t 0 ) y está generado por los vectores T α (t 0 ) y N α (t 0 ). Para calcularlo, si α(t 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ), α (t 0 ) = (x 0, y 0, z 0) y N α (t 0 ) = (nx 0, ny 0, nz 0 ), entonces el plano osculador viene dado por la fórmula x x 0 y y 0 z z 0 x 0 y 0 z 0 nx 0 ny 0 nz 0 = 0. De forma paramétrica se escribe como (x, y, z) = α(t 0 ) + tα (t 0 ) + sn α (t 0 ), t, s R. 4

5 El plano osculador es el plano que más se acerca a la curva en cierto sentido. Es posible demostrar que este plano no depende de la parametrización elegida y que es intrínseco a la curva. Ejemplo: Vamos a determinar el plano osculador de la hélice α(t) = (cos t, sin t, t) en α(0) = (, 0, 0). La velocidad viene dada por α (t) = ( sin t, cos t, ), luego α (0) = (0,, ). Además, α (t) = ( cos t, sin t, 0) por lo que α (0) = (, 0, 0). El vector binormal será proporcional a x y z = (0,, ), luego B α () = (0,, ). El plano osculador viene dado por (x, y, z) = (, 0, 0) + t(0,, ) + s(0,, ), t, s R. O bien, x y z 0 0 = 0, es decir, el plano x =. Se puede comprobar que son el mismo plano. El plano normal (resp. plano rectificante) en un punto de una parametrización que no es un punto de inflexión se define como el que pasa por dicho punto y su subespacio vectorial asociado está generado por los vectores normal y binormal (resp. tangente y binormal). En último lugar nos disponemos a definir de forma breve otros términos y lugares geométricos utilizados en el estudio de curvas alabeadas. Dada una parametrización natural (I, α), se llama curvatura asociada a dicha parametrización a la función que en cada punto α(t) se le asocia la curvatura en un punto de la curva dada por α (t). κ α (t) = α (t), t I. Se llama torsión de la parametrización natural (I, α) a la función que asocia a cada punto α(t) el valor llamado torsión de (I, α) en α(t). τ α (t) := B α (t), N α(t), 5

6 Como su nombre indica, la curvatura de una parametrización indica numéricamente cómo la curva se separa de la recta tangente en cada punto, mientras que la torsión da información acerca de la capacidad de incluir una curva alabeada en un plano. De hecho, una curva alabeada sin puntos de inflexión será plana (es decir, puede dibujarse dentro de un plano en el espacio) si y sólo si la torsión en cada punto de la curva es 0. Las famosas fórmulas de Frenet que relacionan unos datos con otros para parametrizaciones naturales de curvas alabeadas son las siguientes: 3. Ejercicios:. Se considera el conjunto T α(t) = κ α (t)n α (t), N α(t) = κ α (t)t α (t) + τ α (t)b α (t), B α(t) = τ α (t)n α (t). C = {(x, y, z) R 3 : x y + z = x 3 y + z = 0}. Encontrar los puntos singulares de la curva C.. Calcular la longitud del arco entre los puntos α(0) y α() de la curva α(t) = (t, t, t ). Comprobar que no es una curva regular y calcular la recta tangente a dicha curva en el punto (,, ). 3. Determinar el triedro de Frenet de la curva y = x, z = x en el punto P = (, 0, ). Comprobar que la curvatura es constante en todos los puntos de la curva alabeada. Interpretar el valor de la torsión en todo punto de la curva. 4. Hallar el triedro intrínseco de la curva α(t) = (sin(t), cos(t), sin(t)). 5. Hallar los planos normal, rectificante y osculador para la curva α(t) = (, t, t ), en el punto (,, ). 6. Calcular la curvatura y la torsión de la curva de los ejercicios 4. y 5. y comprobar que se cumplen las fórmulas de Frenet. 6