CAMPOS VECTORIALES. Presenta: M.E.M. Enrique Arenas Sánchez. 21 de septiembre de 2016

Transcripción

1 Presenta: M.E.M. Enrique Arenas Sánchez 21 de septiembre de 2016

2 Definición de Campo Escalar. Se llama campo escalar a una función que asocia a cada punto del dominio de una función un valor escalar. Ejemplo: f: R 2 R f x, y = x 2 + y 2 T: R 3 R T x, y, z = 100 x 2 y 2 z 2

3 Definición de Campo Vectorial. Se llama campo vectorial a una función que asocia a cada punto del dominio de la función un vector. Ejemplo: Cuando el campo vectorial r representa un vector de posición r t r: R R 2 = t 2 i + (t 2 t)j r: R R 3 r t = t 2 i + (t 2 t)j + 2tk r: R 2 R 3 r s, t = st 2 i + (t 2 s)j +s 2 k r u, v r u, v, w r: R 2 R 2 = u 2 i + (u 2 v)j r: R 3 R 3 = u 2 i + (u 2 w)j + vwk Curva en el plano Curva en el espacio Una superficie Un sistema de referencia curvilineo bidimensional Un sistema de referencia curvilineo tridimensional

4 Cuando el campo vectorial no representa un vector de posición puede representar v t v: R R 2 = t 2 i + (t 2 t)j + t 2 k a: R R 3 a t = 2t i + (2t 1)j + 2tk N: R 2 R 3 N s, t = st 2 i + (t 2 s)j +s 2 k F x, y, z F: R 3 R 3 xi yj zk = GMm (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 E: R 3 R 3 E x, y, z = q xi + yj + zk 4πε 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 El campo de velocidades de una partícula que se mueve a lo largo una curva plana El campo de aceleraciones de una partícula que se mueve sobre una curva El campo de vectores normales a una superficie El campo gravitacional de la tierra El campo eléctrico generado por una carga eléctrica puntual positiva localizada en el origen

5 Derivada de un campo vectorial. Sea el campo vectorial r t que representa a los vectores de posición de una curva.

6 La derivada de una función r t se define como: (t) r t + t r (t) = lim t 0 t

7 Mediante la definición, obtener la derivada de la función r t = f 1 t i + f 2 t j + f 3 t k se incrementa la variable independiente r t + t = f 1 t + t i + f 2 t + t j + f 3 t + t k se obtienen el incremento de la función r = r t + t r t r t + t r t = (f 1 t + t f 1 t )i + (f 2 t + t f 2 t )j + (f 3 t + t f 3 t )k se multiplica por 1 t r t r t + t = t r t r t + t r t t = (f 1 t + t f 1 t )i + (f 2 t + t f 2 t )j + (f 3 t + t f 3 t )k t

8 r t + t r t t = (f 1 t + t f 1 t )i + (f 2 t + t f 2 t )j + (f 3 t + t f 3 t )k t r t = f 1 t + t t f 1 t i + f 2 t + t f 2 t t j + f 3 t + t f 3 t t k se calcula el límite cuando t 0 r lim t 0 t = lim f 1 t + t t 0 t f 1 t i + lim t 0 f 2 t + t f 2 t t j + lim t 0 f 3 t + t f 3 t t k finalmente se tiene = df 1 i + df 2 j + df 3 k

9 Ejemplo: Obtener la derivada de la función r t = 3t + 2 i + t 3 + t j + 2t 2 1 k = 3i + 3t2 + 1 j + 4tk Como el resultado de derivar una función vectorial es un nueva función vectorial, entonces es posible obtener nuevamente su derivada para así obtener la segunda derivada de r t, es decir d 2 r 2 = d = 6tj + 4k Cuando la función vectorial representa el vector de posición de una partícula y la variable independiente representa el tiempo entonces: = v velocidad de la partícula y d 2 r 2 = a aceleración de la partícula. Al módulo de la velocidad v = se le llama rapidez de la partícula.

10 Propiedades de la derivada de un campo vectorial

11 Si r t es un vector de módulo constante, demostrar que r t y vectores perpendiculares. como r(t) 2 = r t r t r t = C 2 son dos r t y el vector r(t) es de módulo constante se tienen que al derivar r t r t = C 2 se tiene d ( r t r t ) = d (C2 ) = 0 por lo que d r t r t = d lo cual implica que los vectores r t y t r t r t = 2 t r t + r t t r t = 0 t r t = 0 = 0 son vectores perpendiculares.

12 Fórmulas de Frenet-Serret = κn dn = τ B κt db = τ N T : vector tangente unitario N : vector normal unitario T N = B B : vector binormal unitario κ: curvatura κ = τ: torsión τ = db ρ = 1 : radio de curvatura κ σ = 1 τ : radio de torsión Porqué s?

13 Plano normal (Rojo), vector perpendicular T, paralelo a N y a B Plano rectificante (verde), vector perpendicular N, paralelo a B y a T Plano osculador (azul), vector perpendicular B, paralelo a T y a N

14 Demostrar que = kn como T es un vector unitario, T T = 1, T = 0 es decir, es perpendicular a T, si decimos que N es un vector unitario en la dirección de donde κ = = κn entonces

15 Demostrar que db = τn Por definición B = T N y al derivar el vector B se tiene db dn = T + N como = kn simplificando se llega a de donde se tiene que db = T dn + kn N db dn = T multiplicando escalarmente ambos miembros de la ecuación por el vector T T db por lo que se tiene que los vectores T y db = T T dn T db = 0 son perpendiculares.

16 además, como B B = 1, B db Ya que db por lo tanto donde CAMPOS VECTORIALES = 0 es decir, db es perpendicular tanto a T como a B entonces db El signo (-) de la expresión db torsión τ debe ser positiva aunque los vectores db = τn se debe a que cuando la curva es dextrógira su N = 1 κ db = τn db = τ = 1 db τ es perpendicular a, B y es paralelo a N tengan sentidos opuestos.

17 Demostrar dn = τb κt como B = T N entonces N = B T, al obtener dn dn = db T + B se tiene además pero db = τn dn y = κn = τn T + B κn -B = N T y -T = B N dn = τb κt

18 Ahora surge la pregunta cómo derivar con respecto de la longitud de arco s de una curva si lo común es que la curva esté expresada como función de una variable arbitraria t? Recordemos de los antecedentes de cálculo integral que el diferencial de arco de x = x(t) una curva C de ecuaciones paramétricas C: y = y(t) está dada por z = z(t) = dx 2 + dy 2 + dz además, como la ecuación vectorial de la curva C es r t = x t i + y t j + z t k = dx dy dz i + j + k = dx 2 + dy 2 + dz 2 2 entonces = y =

19 Sea las funciones r = r t y t = t s al hacer la composición r t t(s) se tiene r s = r t t(s) al derivar aplicando la regla de la cadena se tiene s t = por el teorema de la derivada de la función inversa = 1 entonces s = 1 = = t 1

20 Modo de cálculo de los vectores T, N y = T = = B de la curvatura κ y de la torsión τ T = T = = = κn de donde N = y κ =

21 ya que T tiene la misma dirección que B = T N entonces B tená la misma dirección que, N la misma dirección que d T es decir y B = T N ó B = finalmente, como db db = = db db db = τn τ = db donde τ > 0 τ < 0 si db < 0 si db > 0

22 Ejemplo: Calcular los vectores tangente, normal y binormal unitarios, la curvatura y la torsión de la curva de ecuación r t = 3 cos t i + 3sen t j + 4tk. Como T = se tiene que = 3 sen t i + 3cos t j + 4k = 9sen 2 t + 9cos 2 t + 16 = 5 por lo tanto T = 3 5 sen t i cos t j k como N = derivando se tiene d T d T = 3 cos t i 3sen t j = 9sen 2 t + 9cos 2 t = 3 N = = cos t i 3sen t j = cos t i sen t j N = cos t i sen t j

23 el vector binormal esta dado por B = T N i j k B = 3 5 sen(t) 3 5 cos (t) 4 5 cos (t) sen(t) 0 B = 4 5 sen t i 4 5 cos t j k la curvatura es κ = = 3 5 para obtener la torsión se calcula d B =4 cos t i + 4 db sen t j de donde 5 5 entonces τ = al calcular d T db = = 4 25 = 4 5 d B = 3 cos t i 3sen t j 4 cos t i sen t j = Por lo tanto τ > 0 y τ = 4 25

24 v = CAMPOS VECTORIALES APLICACIÓN A LA MECÁNICA Demostrar que la aceleración a de una partícula que se mueve por una curva r (t) esta dada por a = dv v2 T + N donde T es el vector tangente a r (t), N es el vector tangente ρ unitario, ρ es el radio de curvatura y v = a = a = d vt de la expresión que = T = vt d v = d vt = = dv T + v = v = vκn al sustituir se obtiene a = dv a = dv T + v(vκn) T + v2 ρ N = κn se tiene la rapidez de la partícula. a T = dv T a N = v2 ρ N=v2 κ N

25 a = dv T + v2 κn T = v v a T = comp vect a v = a N = a a T v a v v v como v a = v a sen(θ) y v 2 κ = a sen(θ) κ = a sen(θ) v 2 κ = = = a v 2 v a v a v a v 3 Por otro lado, ya que v y a son paralelos al plano osculador, entonces son perpendiculares al vector B B = v a v a N = v ( v a) v ( v a) τ = v a da v a 2

26 EJEMPLO: Dada la curva en el espacio x = t, y = t 2, z = 2 3 t3. Calcular a) la curvatura κ b) la torsión τ c) la ecuación del plano osculador en el punto donde t = 1 a) la ecuación vectorial de la curva el r t = ti + t 2 j t3 k y para calcular lo que se pide bastará con obtener r, r y r como κ = r r = v a v 3 i j k 1 2t 2t t r = i + 2tj + 2t 2 k r = 2j + 4tk r = 4k = 8t 2 4t 2 i 4t j + 2k = 4t 2 i 4tj + 2k r r = 16t t = 2 4t 4 + 4t r = 4t 4 + 4t κ = 2 4t4 + 4t ( 4t 4 + 4t 2 + 1) 3 = 2 4t 4 + 4t = 2 2t

27 b) τ = v a da v a 2 τ = (4t2 i 4tj + 2k) 4k 2 4t 4 + 4t 2 2 = t = 2 2t c) Como el plano osculador tiene por vector normal al vector binormal entonces r 1 = i + j + 2 k 3 r r = 4i 4j + 2k t=1 y es 2i 2j + k Por lo tanto la ecuación del plano osculador es 2, 2,1 x 1, y 1, z 2 3 = 0 2x 2y + z = 2 3

28 POR SU ATENCIÓN, GRACIAS