TEMA 11 : ESPACIO AFÍN

Transcripción

1 TEMA : ESPACIO AFÍN. Ecuaciones de la recta en el esacio Al igual ue en el lano ( R ), en el esacio ( R ), una recta ueda determinada or un unto P(x,y,z ) y un ector director V = (,, ) no nulo. Para ue un unto X(x,y,z) cualuiera del esacio esté en la recta se debe cumlir ue: (x-x,y-y,z-z ) = α(,, ) PX = α. V (x,y,z) = (x,y,z ) + α(,, ) Ec. Vectorial x = x + α y = y + α z = z + α Ecuaciones aramétricas Si, y, desejando α de las ecuaciones aramétricas e igualando: x x y y = z z = Ecuación continua Si alguna comonente del ector es se admite la exresión de la ecuación continua oniendo el en el denominador, entendiendo con ello ue el numerador corresondiente también se anula; or ejemlo, si = x=x. ( x x) = ( y y ) x y x + y = Si multilicamos: ( y y ) = ( z z) y z y + z = uedan dos ecuaciones lineales en x, y, z. Ecuaciones imlícitas En general, dos ecuaciones cualesuiera del tio: Ax+By+Cz+D= A x+b y+c z+d = reresentan una recta, siemre ue sea un SCI de rango. NOTA: Una recta también ueda determinada or dos untos P y Q, sin más ue considerar el ector determinado or los dos untos. Ejercicios: º) Dados los untos A(,,4) y B(,-,), escribe todas las ecuaciones de la recta ue asa or A y B, y aerigua si el unto C(,,7) ertenece a dicha recta. º) Ecuaciones de los ejes coordenados º) Halla dos untos y dos ectores directores de las siguientes rectas y escribe la ecuación ectorial: / IBR IES LA NÍA

2 x=-+t x- z y + = = y + = s y = / r z = z = t 4º) Dados los untos A(,,), B(,,) y C(,4,), comrueba si ertenecen a r o a s: x = k + y = r : s : y = + k y z = z = + k 5º) Recta ue asa or A(,,4) y cuya dirección es ortogonal a los ectores U = (,, 6) V = (,, ). ECUACIONES DEL PLANO Un lano ueda determinado or un unto y dos ectores directores L.I. Es un subesacio de dimensión r Si P(x,y,z ) (,, ) w r (w,w,w ) y X(x,y,z) es un unto genérico del esacio, ara ue X esté en el lano se deberá cumlir: PX debe ser C.L. de y w PX (x-x,y-y,z-z )=α(,, )+β(w,w,w ) = α + β w (x,y,z)=(x,y,z )+α(,, )+β(w,w,w ) Ecuación ectorial x=x +α +βw y=y +α +βw z=z +α +βw Ecuaciones aramétricas Para cada unto X ue ertenezca al lano hay un único alor de α y β ue, al ser sustituidos en las ecuaciones aramétricas, dan ese unto; luego, ara cada X, si consideramos el sistema de ecuaciones anterior con incógnitas α y β, debe ser C.D. x xo = α + β w w x x SCD el rango del sistema debe ser y yo = α + β w w y y = z zo = α + β w el det de la matriz amliada debe ser w z z Desarrollando el determinante or la tercera columna: w w x x w w y y w ( w z z ) ( ) + ( ) = uedando una ecuación del tio Ax+By+Cz+D= Ecuación general o imlícita / IBR IES LA NÍA

3 . Vector normal de un lano En la ecuación general de un lano tenemos: w w x x w w y y w ( w z z ) ( ) + ( ) = si analizamos los coeficientes de x, y, z emos ue corresonden recisamente a las comonentes del ector ue se obtendría haciendo el roducto ectorial de V (ectores directores del lano). Si recordamos ue el roducto ectorial de dos ectores es ortogonal a ambos (notar ue también lo será a cualuier combinación de V y W ), resultará ue los coeficientes de x, y, z en la ecuación general de un lano, son las comonentes de un ector ortogonal a él. Dicho ector se llama ector normal del lano: V N y W Dijimos ue un lano ueda determinado or un unto y dos ectores directores L.I., ues bien, también a a uedar determinado or un ector ortogonal y un unto. NOTA: En la ráctica, ara obtener la ecuación general de un lano, no se sigue todo el roceso teórico. Los dos métodos más aroiados son: a) Eliminar los arámetros α y β de las ecuaciones aramétricas; la ecuación resultante es la buscada. b) Obtener el ector normal del lano como roducto ectorial de los ectores directores, y calcular el término indeendiente D utilizando un unto del lano. Ejercicios: 6º) Escribe todas las ecuaciones del lano ue asa or el unto P(,-,) y tiene como r r ectores directores V = (,, ) y W = (,, ). 7º) Comrueba si los sistemas de ecuaciones siguientes reresentan sendos lanos y, en caso de ue así sea, indica dos untos y dos ectores directores: x = + λ x = + λ 6µ a) y = + µ b) y = 7 λ + µ z = + λ + µ z = 5 + 4λ 8µ 8º) Ecuaciones de los lanos coordenados. 9º) Comrueba si el unto P(-,,) ertenece a los siguientes lanos: = α + β a) x-5y+7z-8= b) y = α β z = 5 α º) Calcula a ara ue el unto (,a,7) ertenezca al lano: x-5y+z-= º) Obtén las ecuaciones aramétricas del lano de ecuación general: x + y 6z = º) Ecuación del lano ortogonal al ector (-,,4) ue asa or el unto (,,) º) Halla la ecuación general del lano ue asa or los untos A(-,,), B(-,,) y C(,,5) / IBR IES LA NÍA

4 4º) Calcula el alor de a ara ue los untos (,-,5), (7,,), (,4,) y (,,a) sean colanarios. [] 5º) Área del triángulo cuyos értices son los untos de intersección con los ejes coordenados del lano: 6x+y+z=6. [,5 u ] 4. POSICIONES RELATIVAS 4.. Plano-Plano: Hay tres osiciones osibles de dos lanos en el esacio: a) Paralelos y distintos: b) Coincidentes: = c) Se cortan en una recta: =r Consideremos las ecuaciones generales de los dos lanos: A x+b y+c z+d = A x+b y+c z+d = El estudio de la osición relatia de los dos lanos se reduce a buscar los untos comunes a ambos, es decir, al análisis de las soluciones del SEL formado or las dos ecuaciones: A x + B y + Cz + D = A B C D matriz amliada del sistema A x + B y + Cz + D = A B C D A) PARALELOS: El sistema debe ser Incomatible (ningún unto en común) rga= y rga = los ectores normales de los dos lanos son roorcionales, ero esta roorción no se mantiene en los términos indeendientes: A A B C D = = B C D V = αw B) COINCIDENTES: Las ecuaciones deben ser roorcionales rga=rga = A B C D = = = A B C D C) SE CORTAN EN UNA RECTA: El sistema debe tener infinitas soluciones, ero no de rango ue corresonde al caso anterior, es un SCD de rango. Los infinitos untos en ue se cortan los lanos forman una recta. Como ector director odemos considerar el roducto ectorial de los ectores normales de los dos lanos, uesto ue, al estar la recta contenida en los dos lanos, es ortogonal a los dos ectores normales. Como unto, cualuier solución articular del sistema. 4/ IBR IES LA NÍA

5 NOTA: Recordar ue se dijo, en el aartado ecuaciones de la recta, ue dos ecuaciones de lanos reresentan una recta (intersección) si es un sistema de rg. EJERCICIOS: 6º) Posición relatia de los siguientes ares de lanos: a) x+y-z-= -x-y+z+= b) x-y-z-= x-y+z-= c) x y + z + 4 = x + y z + = y z = 5 7º) Halla las ecuaciones aramétricas de la recta definida or r x + y + z = 8º) Estudia la osición relatia de los lanos dados or las siguientes ecuaciones: : x y + 5z 7 = : 4x 6y + 8z 4 = a) : x + 5y z + = c) : x 5y 7z + = :5x y + 8z = + = : x y 4z 7 : x + y z + 5 = : x + z = b) : x y + 6z = d) : y z + = : x y + z 9 = : + 4 = x z Los lanos coincidentes. SCI rg= Los tres lanos se cortan en una recta. SCI rg= Dos lanos coincidentes y secantes con el tercero. SCI rg= Los tres lanos se cortan en un unto. SCD Paralelos y distintos dos a dos. SI Dos coincidentes y el tercero aralelo a ellos. SI Se cortan dos a dos en una recta. SI Dos aralelos y secantes con el tercero. SI 9º) Halla la ecuación del lano ue asa or: a) A(-,,4) y aralelo a x-y-5z+6= b) Por el origen y aralelo a x+7y-6z+= º) Calcula las coordenadas de un unto de la recta r tal ue forme un triángulo rectángulo x + y + z = en A con los untos A(,5,6), B(7,6,6), siendo r x y z =. [(,-,)] º) Un triángulo tiene értices (,,), (,,) y el tercero está situado en la recta x=y, z=. Coordenadas del tercer értice, sabiendo ue el área es u.[(,,),(,,)] 5/ IBR IES LA NÍA

6 4.. Recta-Plano Hay tres osiciones osibles: A) PARALELOS: a) Recta aralela al lano b) Recta contenida en el lano c) Recta y lano se cortan en un unto. El ector normal del lano debe ser erendicular al ector director de la recta: V V r N. Además, ningún unto de la recta debe ertenecer al lano. B) RECTA CONTENIDA EN EL PLANO El ector normal del lano debe ser ortogonal al ector director de la recta: V r V N. Si, además, un unto cualuiera de la recta está en el lano, toda ella estará contenida en él. C) RECTA Y PLANO SE CORTAN EN UN PUNTO El ector normal del lano NO debe ser ortogonal al ector director de la recta: r N V. V. También odemos estudiar la osición relatia de una recta y un lano en el caso en ue r enga definida or dos lanos: A x + B y + Cz + D = r A x + B y + Cz + D = A x + B y + Cz + D = La osición relatia endrá dada or el nº de untos comunes a r y, es decir, or las soluciones del sistema formado or las tres ecuaciones: A x+b y+c z+d = A x+b y+c z+d = A x+b y+c z+d = los rangos osibles son: a) rga=rga =, SCI infinitos untos comunes r b) rga=, RgA =, SI ningún unto común r c) rga=rga =, SCD un unto en común r =Ρ. El unto P se obtiene resoliendo el sistema. 6/ IBR IES LA NÍA

7 Ejercicios: º) Estudia la osición relatia de la recta y el lano: = + λ a) r y = λ y x+y+z= [Secantes; P(,,-)] z = λ 5x y + 4 = b) r : : x + z = [Contenida] x + z = c) x + = y = z + 5 ( x, y, z) = (,4,) + α(,,) + β (,, ) [Paralelos] + y = d) r : : x y + 7 = [Secantes, P(/,9,)]] z = y + z e) x = = x + y z + = [Contenida] 4 º) Intersección de r con los lanos coordenados: r = + t y = t [(4,6,),(,-,4),(,,)] z = t 4º) Qué unto y ue ar de ectores directores ueden tomarse en el caso de un lano determinado or: a) Tres untos no alineados b) Una recta y un unto exterior a ella c) Dos rectas ue se cortan d) Una recta a la ue contiene y otra recta (con distinta dirección) aralela al lano? 5º) Ecuación del lano ue asa or P(4,-,) y contiene a r=, x-y+z=, x-y+z=. Calcula los untos de corte con los ejes de dicho lano. [x-9y+z-5=] 6º) Los lanos : x + y + z =, : x z =, : y z = y 4 : z = limitan un tetraedro. Se ide el área de la cara situada en el lano 4 y la altura sobre esa cara, exlicando el método utilizado (Jun-).[9/u ; u] 4.. Recta-Recta: Hay cuatro osibilidades: a) Paralelas y distintas: r s b) Paralelas y coincidentes: r=s c) Incidentes en un unto: r s=p, se cortan. d) Se cruzan A) PARALELAS Y DISTINTAS: Vectores roorcionales V = α W, y además un r s unto cualuiera de r no está en s. 7/ IBR IES LA NÍA

8 B) PARALELAS Y COINCIDENTES: Vectores roorcionales V = α W, y además r s cualuier unto de r está en s. C) SE CORTAN EN UN PUNTO: Vectores no roorcionales V α W r s Además, si ueremos calcular el unto de corte de las dos rectas: x = x + α = x + βw debe existir un único unto P(x,y,z) en el ue coincidan r y s; r y = y + α s y = y + βw z = z + igualando las ecuaciones: α z = z + βw x + α = x + βw y + α = y + βw z + α = z + βw α α α βw = x x βw = y y βw = z z Para ue el sistema sea comatible determinado el rango de la amliada debe ser det de la amliada= w x x w y x w z z = det(v, W, P Q ) = (*) r Luego, ara ue dos rectas se corten en un unto, se deben cumlir dos condiciones: ue los ectores no sean roorcionales y ue el determinante anterior sea. s Sistema de ecuaciones con incógnitas con solución única, α y β, ue determinan el unto P D) SE CRUZAN: En este caso no uede haber ningún lano ue contenga a las dos rectas. Los ectores deben ser no roorcionales y, siguiendo el razonamiento del caso anterior, ara ue no haya ningún unto en común el determinante (*) debe ser distinto de. Ejercicios: 7º) Posición relatia de los siguientes ares de rectas: = 5 + t a) r y = t x = α x - y + = s b) r z - = y = α z = + t z = + α x + z - 7 = s x - y - = x y z c) r = + = + x + y = s [a: P(-,,); b:paralel; c:coincdts] x + y + z = - 8/ IBR IES LA NÍA

9 x y + 8 z 8º) Sean A(,,4), x-y+z=, r = =. Determina el unto de 5 intersección del lano con una recta s, aralela a r ue ase or A. [(-5/8,-9/6,-/6)] 9º) Estudiar dos a dos la osición de las rectas. En los casos ue sean colanarias, determina la ecuación del lano ue las contiene: [r y s: x+y-z-=] = + a x = - 4b x - y z r y = a y b = = s = + t z = + a 4 z = -b º) Estudia la osición relatia de la recta y el lano ara los distintos alores del arámetro k: kx-y+z=4 r x-y+z= // x-y+z=. [ k 5 r = P ; k=5 r ] º) 8x-y-z+=, x+y-4z-5=, A(4,,5), B(-,6,), C(,4,-) = α + 8β a) Plano aralelo a or A y = 4 + α + β b) Recta or B aralela a y z = 4 + α + β c) Una recta or C aralela a º) Ecuación de la recta ue asa or el origen de coordenadas y se aoya en r y s: x y = x y r s = = z x y = º) Para ué alor de λ son aralelos la recta y el lano? x+λy-z+= r x-y+=///x-y+z+= (λ= 4) 4º) Determina el alor de k ara ue los tres lanos siguientes se corten en una recta: : x + y, : kx + z, : x + ( k + ) y + kz = k [ y -] = = + 5º) El lano : x + y + z = corta a los lanos : x y z = y : x y + z = en dos rectas. Calcula las ecuaciones continuas de esas dos rectas y aerigua la osición entre ellas. [Se cortan en (/,/,)] 6º) Se consideran la recta r :( x, y, z) = ( t +,t,t), el lano : x y z= y el unto P=(,,) a) Determina la ecuación del lano ue asa or el unto P y es aralelo a. [ x y z + = ] b) Determinar la ecuación del lano ue contiene a r y asa or el unto P (Jun-4) c) Calcular la ecuación aramétrica de la recta intersección de los lanos y x y z 7º) Dados los lanos : x+y+z = 5, : x y z = y la recta r : = =, a) Determinar razonadamente la osición relatia de la recta r y la recta s intersección de los lanos y. [Se cruzan] b) Obtener razonadamente la ecuación del lano ue contiene a la recta s anterior y es aralelo a r. (Jun-4) 9/ IBR IES LA NÍA

10 5. HAZ DE PLANOS: Se define el haz de lanos de arista una recta dada r, como el conjunto de los infinitos lanos ue contienen a dicha recta (todos ellos se cortan en esa recta.). Si r= A x+b y+c z+d = A x+b y+c z+d = y consideramos cualuier otro lano ue ertenezca al haz Ax+By+Cz+D=, el sistema formado or las tres ecuaciones de los lanos debe tener como solución todos los untos de r; es decir, debe ser un sistema CI de rango : A B C D rg A B C D = como los rimeros lanos no son roorcionales A B C D necesariamente el tercero es C.L. de los otros dos, es decir, la ecuación Ax+By+Cz+D= es C. L. de las ecuaciones: A x+b y+c z+d = y A x+b y+c z+d =. Luego todos los lanos del haz serán de la forma: α( A x+b y+c z+d )+β( A x+b y+c z+d )=, ara α= ó β= se obtendrían los lanos iniciales, y todos los demás ara α y β. Podemos entonces diidir toda la ecuación del haz entre, or ejemlo, α uedando una exresión del tio: A x+b y+c z+d +a( A x+b y+c z+d )= +a = ecuación del haz de lanos Ejercicios: 8º) Pertenece el lano x+y+z+= al haz de lanos determinado or la recta x + y z = x y + 4z + =? y + z = 9º) Calcula la ecuación de un lano ue contenga a la recta r y ase or el x + z = unto P(,,). 4º) En el esacio se dan los lanos, σ y τ de ecuaciones : x y + z =, σ : x y + z =, τ : x y az = b, siendo a y b arámetros reales, y la recta r intersección de los lanos y σ. Obtener razonadamente: (Se-) a) Un unto, el ector director y las ecuaciones de la recta r. [P(,,), V=(,,)] b) La ecuación del lano ue contiene a la recta r y asa or el unto (,,). [x+y-z=] c) Los alores de a y b ara ue el lano τ contenga a la recta r, intersección de los lanos y σ.[- y 4] / IBR IES LA NÍA