Problemas del capítulo cuarto de Álgebra Local. José Navarro Garmendia

Transcripción

1 Problemas del caítulo cuarto de Álgebra Local José avarro Garmendia 005

2 0.1 Problemas 1. Probar que los anillos de valoración del cuero de fracciones de C[x, y]/(x + y 1), que contienen a C, se corresonden con los untos de la circunferencia en el lano royectivo. Veamos que se corresonden con los untos de la circunferencia royectiva, Proj C[x 0, x 1, x ]/(x 1+ x x 0). Sea O v Σ A, donde A := C[x, y]/(x + y 1). O v centra en algún abierto afín Ux h 0 : Sea xi Entonces x1, x, x3 O v, ues si el elemento de valor máximo entre todos los { x l x k }. x a / O v v( x a ) < 0 v( x a ) > 0 v( x i xj x a ) > v( x i )!!! Digamos = x 0. Tenemos que A = C[ x 1 x 0, x x 0 ]/(( x 1 x 0 ) + x x 0 ) 1) O v O v = A x ara algún unto x U h x 0 de la circunferencia: Sea m (a,b) = v A. Si m (a,b) = 0 entonces O v = Σ A, ues todo elemento de A es invertible en O v. En otro caso, O v domina a A (a,b), que es anillo de valoración (or ser local noetheriano íntegro y regular), con lo que O v = (C[x, y]/(x + y 1)) (a,b) Hemos concluido. Todos los anillos de valoración se corresonden con los untos afines de la circunferencia en U h x 0, U h x 1, U h x. Es decir, con los untos del Proj C[x 0, x 1, x ]/(x 1 + x x 0).. Probar que las C-álgebras C[x, y]/(x + y 1), C[x] no son isomorfas aunque sí son birracionalmente isomorfas. Al considerar las curvas royectivas asociadas, la recta corta en un unto al infinito, mientras que la circunferencia lo hace en dos. Esto quiere decir que hay un anillo de valoración de C(x) que no contiene a C[x] y dos anillos que no contienen a la circunferencia. Por tanto, no ueden ser isomorfas. Isomorismo birracional: Fijemos el ( 1, 0) en la circunferencia, y royectemos la circunferencia sobre la recta x =. En los anillos, el morfismo se escribe k[λ] k[x, y]/(x +y 1), λ 3y x+1. En los esectros, resulta: S 1 A 1 (α, β) 3β α + 1

3 0.1. Problemas 3 Hay que localizar, ues, en el unto x = 1 ara que esté bien definido. El morfismo inverso es el evidente: dado un unto (, λ), cortamos la recta que lo une con el ( 1, 0) con la circunferencia unidad. En los anillos se escribe k[x, y]/(x + y 1) f k[λ], f(x) = 1 c 1+c, f(y) = c 1+c, ara c = ( λ 3 ). Tomando esectros: A 1 S 1 λ ( 1 c 1 + c, c 1 + c ), c = (λ 3 ) 3. Calcular el cierre entero de Z[ 5]. Escribimos Z[ 5] = Z[x]/(x 5). Hemos visto en el ejercicio 6 del caítulo anterior que el único unto singular es el m x = (, x 1).. Para simlificar, hagamos (Z/Z)[u, v] m n x/m n+1 x u x 1 v (Z[x] x es un anillo regular de dimensión ). = G mx Z[x] Multilicidad de Z[x]/(x 5) en m x : Tiene multilicidad dos, ues x 5 = (x 1) (x 1) 3 = u vu v 3 m x \ m 3 x Tangentes en el origen: u v u = 0 u = 0, u v = 0 Vemos, or tanto, que v = 0 es transversal. Exlotemos: Z[x]/(x 5) Z[x]/(x 5)[ u v ] = Z[, t]/(t t ) = Z[t]/(t t ) donde t = u v y x 5 = (x 1) (x 1) 3 = v (t t ). Fibra excecional: Basta hacer v = 0 en el anillo exlotado: Sec Z[t]/(t t v, v) = Sec Z/Z[t]/(t(t 1)) = {(v, t), (v, t 1)} con ambos untos regulares, ues el unto original tenía multilicidad. Hemos desingularizado la curva y llegado, or tanto, al cierre entero, que es lo que buscábamos. Z[ 9 1 5] = Z[t]/(t t ) = Z[ ]

4 4 4. Desingularizar la curva y x 7 = 0. Es esta curva birracional a la recta afín? El origen es un unto singular de multilicidad. La recta y = 0 es tangente doble ara la curva en ese unto. Exlotemos en el origen. Para ello, odemos tomar el arámetro x = 0, ues asa or el origen y es transversal a nuestra curva: k[x, y]/(y x 7 ) = k[x, y x ]/(( y x ) x 7 ) = k[x, u]/(u x 5 ) donde u = y x. La fibra excecional es sólo el origen, (x = 0, u = 0) (hay que cortar la curva con x = 0). Sigue siendo un unto singular, así que exlotamos de nuevo. Como la tangente es u = 0, el arámetro x = 0 vuelve a ser transversal. k[x, u]/(u x 5 ) = k[x, u x ]/((u x ) x 3 ) = k[x, v]/(v x 3 ) ara v = u x. La fibra excecional es, de nuevo, el origen, (x = 0, v = 0). Vuelve a ser un unto singular ara la curva exlotada. Así que exlotamos una tercera vez, con x = 0 de arámetro transversal, obteniendo k[x, v]/(v x 3 ) = k[x, v x ]/(( v x ) x 3 ) = k[x, z]/(z x) con z = v x. La fibra excecional, el origen (x = 0, z = 0) es ya un unto regular de multilicidad 1, y la curva está desingularizada: A = k[x, y x ] 3 (( y x ) x) 3 5. Calcular los anillos de valoración del cuero de fracciones de C[x, y]/(y x +x 3 ), que contengan a C. Veremos que hay tantas valoraciones como untos tiene la curva royectiva desingularizada. La curva royectiva sólo tiene un unto singular, que es el (1, 0, 0). Es la única solución válida que anula las tres derivadas arciales de la ecuación de la curva x x 0 x 1x 0 + x 3 1 = 0. Como en el ejercicio número 1, se rueba que todo anillo de valoración centra en algún unto de la curva royectiva. Si el unto es no singular, el anillo de valoración coincide con el anillo local de la curva en el unto (se comrueba con el mismo razonamiento que en el rimer ejercicio). Anillos de valoración que centran en (1, 0, 0): Exlotemos la curva en ese unto, y sean y 1, y los dos untos regulares que resultan. Sean A, A 1 el anillo de la curva en el unto y el anillo exlotado, resectivamente. Al exlotar, el anillo de valoración sigue dominando. Como v A = m (0,0), tendremos que v A 1 = 1 ó v A 1 =.

5 0.1. Problemas 5 6. Calcular la multilicidad de intersección de y x 3 + y 4 = 0 con yx + x 3 + y 3 = 0 en el origen. Sean C y x 3 + y 4 = 0, C yx + x 3 + y 3 = 0. Vemos que (C) (0,0) = (C ) (0,0) =. Calculemos ahora la multilicidad de corte al exlotar en el origen. Exlotamos ambas curvas, tomando el arámetro x = 0 (observemos que x = 0 es transversal a C en el origen, aunque no lo es a C. Esto no nos afecta, ues queremos calcular los untos comunes de las fibras excecionales de C y C ): C[x, y]/(y x 3 + y 4 ) A 1 := C[x, y x ]/(( y x ) + x + ( y x )4 x ) cuya fibra excecional es (x = 0, y x = 0). de fibra excecional (x = 0, y x = 0). C[x, y]/(yx + x 3 + y 3 ) A 1 := C[x, y x ]/(( y x ) + x + ( y x )3 x) Para calcular la multilicidad de intersección de estas dos curvas exlotadas en el unto (x = 0, y x = 0) basta observar que son transversales, ues sus tangentes son distintas: C : x = 0, C : y x + x = 0 Entonces, (C C ) (0,0) = (C) (0,0) (C ) (0,0) + ( C C ) (0,0) = + 1 = 5 dado que las curvas exlotadas son no singulares en el unto. 7. Definir una curva lana que ase or el origen cuyo árbol de exlosión en el origen sea Sea C la curva que buscamos y C la curva exlotada como se indica en el árbol. otemos que C uede ser un nodo, ues tiene multilicidad en el origen, y al exlotar se desingulariza. Tomemos, or tanto, C = y x + x 3. Vemos que y = 0 es transversal, luego ({y = 0} C) = (0, 0) + 1 (1, 0)

6 6 Contraigamos y = 0 (el roceso inverso a exlotar): x = z y, y = y y ( z y ) + ( z y )3 = 0 y 5 z y + z 3 = 0 Un ejemlo de curva lana con dicho árbol de exlosión es, or tanto, C y 5 z y + z 3 = 0 8. Probar que el morfismo k[x, y]/(y x + x 3 ) [k[x, y x ]/(( y x ) 1 + x)] y x 1 no es un morfismo finito. Lo que tenemos es un morfismo de exlosión, localizado en un unto de la fibra excecional. Como el nodo y x + x 3 al exlotar resulta una curva regular (la fibra excecional son los untos (0, 1), (0, 1), en coordenadas x, y x ), tenemos que el morfismo de exlosión llega al cierre entero, es decir, el anillo de exlosión es el cierre entero: A A. Po tanto, localizando nos salimos del cierre entero, y el morfismo no uede ser finito: A A A (0, 1) ota: El morfismo A A (0, 1) no es eiyectivo en Sec, luego no uede ser finito. 9. Sean X e Y dos k-variedades algebraicas y x X e y Y dos untos racionales. Probar que m (x,y) (X k Y ) = m x (X) m y (Y ) Sean X = Sec A, Y = Sec; B. Tomemos una función en A tal que f A, f m x, f / m x y f es no divisor de cero en G x A (ara asegurarnos de que existe dicha función f no divisor de cero en G x A, habría que imoner alguna hiótesis. Por ejemlo, que G x A sea un anillo Cohen-Macaulay). Entonces m(x) x = m((f) 0 ) x. En efecto, como f es no divisor de cero en G x A, tenemos la sucesión exacta 0 G X A f G x A G x (A/(f)) 0 De aquí, obtenemos que S Ax /(f)(n) = S Ax (n) S A x (n 1), lo cual lleva directamente a m(x) x = m((f) 0 ) x, con un sencillo cálculo. otemos que f 1 está en las mismas hiótesis que f, ero en el anillo A B: f 1 m (x,y) = m x B + A m y f 1 / m (x,y) = m x B + A m y + m x m y

7 0.1. Problemas 7 Además, f 1 es no divisor de cero en G (x,y) A B = G x A G y B. Por tanto, m(x Y ) (x,y) = m((f 1) 0 ) (x,y). Podemos ya demostrar el enunciado or inducción sobre la dimensión de X Y : Si dim X Y = 0, entonces A, B, y A B son k-álgebras finitas, y sus olinomios de Samuel son constantes (el grado del olinomio de Samuel coincide con la dimensión, y en este caso es 0). Ahora es trivial. En dimensión general, como (f 1) 0 tiene dimensión estrictamente menor que A B, concluimos or hiótesis de inducción. 10. Probar que las cúbicas royectivas y x 3 1 = 0 y y x 3 = 0 se cortan en un único unto con multilicidad 9. Observamos que ambas cúbicas no tienen ningún unto afín común. Buscamos soluciones, or tanto, en el lano royectivo, homogeneizando: x x 0 x 3 1 x 3 0 = 0, x x 0 x 3 1 x 3 0 = 0 cuyo único unto común es el (0, 0, 1), ues x 0 = 0 imlica x 1 = 0. Como sólo se cortan en un unto, lo hacen con multilicidad 9, or el Teorema de Bezout. 11. Parametrizar la curva x 6 x y 3 y 5 = 0. Calcular sus soluciones racionales. Sea C x 6 x y 3 y 5 = 0. Consideramos el haz de rectas {y = λx} A 1. Establecemos un isomorfismo birracional de la curva con la recta afín: A 1 C λ (λ 3 + λ 5, λ 4 + λ 6 ) obtenido al cortar la recta y = λx con la C. Al tener multilicidad 5 el origen, la curva y la recta se cortan en un único unto distinto del origen, y el morfismo está bien definido. El morfismo inverso es C A 1 (α, β) β α definido sólo en el abierto de C {α 0}, es decir, definido en todos los untos salvo en el origen. Así ues, hemos arametrizado la curva C, obteniendo todas sus soluciones racionales: (λ 3 + λ 5, λ 4 + λ 6 ) λ k

8 8 1. Probar el Teorema de Pascal: Si un hexágono está inscrito en una cónica irreducible, entonces los lados ouestos se cortan en untos alineados. Sean los vértices del hexágono 1,, 3, 4, 5, 6. Consideramos las cúbicas C P 3 = 0, C P 3 = 0 cuyas multilicidades de corte con la cónica C son (C C 3 ) = , (C C 3) = Como C es no singular, estamos en las condiciones del Teorema de Max oether, luego P 3 = ap + bp 3, gr a = 1 Sean m = , n = 3 5 6, q = Como P 3, P 3 se anulan en m, n, q y P no, tenemos que a se anula en m, n, q y, or tanto, están alineados. 13. Probar el Teorema de Paus: Sean R 1, R dos rectas; 1,, 3 R 1 y q 1, q, q 3 R (ninguno de ellos se encuentran sobre R 1 R ). Sea R ij la recta que une i y q j. Probar que los untos ij = R ij R ji (i < j) están alineados. Es justamente el Teorema de Pascal, ero en al caso degenerado de que C sea un ar de rectas, en lugar de ser no singular. Sean C 3 R 13 R 1 R 3 P 3 = 0, C 3 R 1 R 3 R 31 P 3 = 0 Vemos que C 3 C 3 = 1... q 3 R 1 R 3 R 13. Las curvas C, C 3, C 3 están en las condiciones del teorema de Max oether, ues (C 3 C ) i = 1 = (C 3 C 3) i, luego P 3 = ap + bp 3, gr a = 1 Por tanto, a se anula en R ij (i < j), y dichos untos están alineados. 14. Ley de gruo en las cúbicas. Sea C una cúbica lana no singular. Fijemos un unto 0 C. Dados dos untos, q C, la recta que asa estos dos untos, corta a C en un tercer unto r. Definamos φ: C C C, (, q) r. Probar que la alicación C C C, (, q) φ( 0, φ(, q)) dota a C de estructura de gruo abeliano. Elemento neutro: Se comrueba fácilmente que es 0. Asociativa: Sean, q, h C. Denotemos φ(, q) = q. Veamos que ( q) h = (q h). Consideremos las curvas lanas C 3 = q ( q)h 0 (q h), C = 0 ( q) qh

9 0.1. Problemas 9 (donde q denota la recta que asa or y q) cuyos cortes con la cúbica original son C 3 C 3 = + q + q + h q h + z 1 + z + v 1 donde C 3 C = 0 + q + z 1 + q + h + z v 1 = ( q)h C 3, v = (q h) C 3, z 1 = ( q) 0 C 3, z = qh C 3 Lo que queremos robar es que v 1 = v. Como las curvas consideradas están en las condiciones del teorema de Max oether, tenemos que P 3 = ap + bp 3, gr a = 1 Como C 3, C 3 asan or v 1,, q h y C no asa or ellos, ha de ocurrir que a se anule en v 1,, q h, luego estos tres untos están alineados. Como v = (q h) C 3, hemos terminado, ues v 1 = v. Conmutatividad: Es obvia. 15. Sean C 3, C 3 dos cúbicas lanas que se cortan en 9 untos distintos, de manera que 6 de ellos están sobre una cónica. Probar que los tres restantes están alineados. Sean C 3 P 3 = 0, C 3 P 3 = 0, C P = 0 las curvas del enunciado. Como (C 3 C ) x (C 3 C 3) x, x C 3 C, estamos en las condiciones del Teorema de Max oether, luego P 3 = ap + bp 3 gr a = 1 Sabemos que P no se anula en los 3 untos de corte de C 3 con C 3 estudiados, or lo que a ha de anularse en ellos y concluimos que están alineados. 16. Demostrar que las tangentes a una cúbica irreducible lana en 3 untos alineados cortan a la cúbica en otros 3 untos alineados. Sean t 1, t, t 3 las tangentes del enunciado. Consideramos ahora las curvas Así C 3 P 3 = 0, C 3 t 1 t t 3 P 3 = 0, C 1 1 P = 0 C 3 C = , C 3 C 3 = q 1 + q + q 3 y odemos alicar el Teorema de Max oether, con lo que P 3 = ap + bp 3 gr a = 1 Cortando con C 3 vemos que la recta a = 0 ha de asar or los untos q 1, q, q 3, luego están alineados.

10 Demostrar que si un triángulo está inscrito en una cónica irreducible, entonces los untos de corte de cada lado del triángulo con la tangente a la cónica en el vértice ouesto, están alineados. Teorema de Pascal (degenerado) Sean 1,, 3 los vértices del triángulo, t 1, t, t 3 las tangentes a la cónica en dichos untos. Consideramos las curvas C P = 0, C 3 = P 3 = 0, C 3 = t 1 t t 3 P 3 = 0 Los cortes entre ellas son: C C = , C 3 C 3 = q 1 + q + q 3 y estamos, or tanto, en las condiciones del Teorema de Max oether, luego P 3 = ap + bp 3, gr a = 1 Cortando con C 3, vemos que la recta a = 0 ha de asar or los untos q 1, q, q 3 y concluimos que están alineados. 18. Probar que una recta que ase or dos untos de inflexión de una cúbica lana irreducible asa or un tercer unto de inflexión. Sea C 3 P 3 = 0 la cúbica del enunciado, y sean x, z C 3 untos de inflexión (esto es, la tangente corta a la cúbica con multilicidad 3 en dichos untos). Consideremos Entonces C = t x t z P = 0, C 3 = 3xz P 3 = 0 C 3 C = 3x + 3z, C 3 C 3 = 3x + 3z + 3y y estamos en las condiciones del Teorema de Max oether. Por tanto, P 3 = ap + bp 3, gr a = 1 Cortando con C 3 obtenemos que C 3 {a = 0} = 3y, de donde concluimos que y es unto de inflexión de C 3, de tangente a = Probar que si una cúbica asa or ocho de los nueve untos distintos de corte de otras dos cúbicas, entonces también asa or el noveno. Sean C 3 P 3 = 0, C 3 P 3 = 0 dos cúbicas lanas, y sean C 3 C 3 = Sea t 9 la tangente a una de las cúbicas en 9. Sea C 3 P 3 = 0 otra cúbica tal que C 3 C 3 = q.

11 0.1. Problemas 11 Consideramos la cuártica C 4 = C 3 + t 9 P 4 = 0, que verifica C 3 C 4 = q + s, 9, s t 9 Podemos, ues, alicar el Teorema de Max oether, obteniendo P 4 = ap 3 + bp 3, gr a = 1, gr b = 1 Cortando con C 3 tenemos que C 3 {b = 0} = 9 + q + s, luego {b = 0} = t 9, orque asa or los untos 9, s, y concluimos que 9 = q como queríamos demostrar. 0. Sea C 3 una cúbica lana y x C 3 un unto de inflexión. Probar que los untos y C 3 ara los que existe una cónica que que cumla m x (C 3 C ) = m y (C 3 C ) = 3, son las terceras intersecciones de las rectas que unen los untos de inflexión con x. Sea y la intersección de la recta xz con C 3, donde z es unto de inflexión. Consideramos cuyos cortes son C 3 P 3 = 0, C 3 = 3xy, C 1 = t z P 1 = 0 C 3 C 1 = 3z, C 3 C 3 = 3x + 3y + 3z con lo que estamos en las condiciones del Teorema de Max oether. Por tanto, P 3 = ap 1 + bp 3, gra = donde C 3 {a = 0} = 3x + 3y, y la cónica {a = 0} verifica la condición del enunciado. Para la otra imlicación, sea y C 3 tal que existe una cónica C verificando (C 3 C ) x = (C 3 C ) y = 3. Veamos entonces que z := C 3 xy es unto de inflexión de C 3. Sean cuyos cortes son C 3 P 3 = 0, C P = 0, C 3 = 3xy P 3 = 0 C 3 C = 3x + 3y, Alicando el Teorema de Max oether, obtenemos C 3 C 3 = 3x + 3y + 3z P 3 = ap + bp 3, gra = 1 Cortando con C 3 concluimos, ues ha de ser C 3 {a = 0} = 3z con lo que z es unto de inflexión. ota: Hemos dado un rocedimiento ara, conocidos dos untos de inflexión x, z, hallar un tercero: consideramos la cuádrica t x t z. Está en las condiciones del enunciado, luego y := C 3 xz será también unto de inflexión. Una cúbica lana tiene, a lo sumo, 11 untos de inflexión (recordar que tienen coeficientes comlejos, y no reales, que son las que estamos acostumbrados a ver, y que sólo ueden tener uno).

12 1 1. Teorema de Cayley-Bacharay: Sea C n+m 3 una curva lana de n + m 3 que asa or n m 1 de los untos de intersección de dos curvas de grados n y m. Probar que C n+m 3 asa or el unto restante. Usamos notaciones habituales. Sean C n C m = nm 1 + q 1 Consideramos la curva C n+m := C n+m 3 t q1. Se tiene, or tanto, C n C n+m = nm 1 + q 1 + q 1 + q + s s n n Alicando el Teorema de Max oether, resulta la condición: P n+m = ap m + bp n, gr a = n Cortando con C n, vemos que q 1, q {a = 0} t q1 {a = 0}. Por tanto, t q1 C n+m {a = 0} {b = 0}, y odemos simlificar la recta en la ecuación anterior, quedando: P n+m 3 = a P m + b P n de donde q 1 C n+m 3, como queríamos demostrar.. Si una curva C n+m γ de grado n + m γ (γ > 3), asa or n m (γ 1)(γ ) de los n m untos distintos en los que se cortan dos curvas de grados n y m, entonces asa también or los restantes untos siemre que dichos untos no estén en una curva de grado γ 3. Generalización del Teorema de Cayley-Bacharay: Sean las notaciones habituales, y β = (γ 1)(γ ) = γ 3γ + 1. Recordemos que una curva de grado γ 3 queda determinada al fijar (γ 3) +3(γ 3) = γ 3γ = β 1 untos en osición general. Sean C n C m = nm β + q q β Consideramos la curva C γ 3 determinada or los untos q q β 1. Así, ara C n m 3 := C n+m γ C γ 3, tenemos C n C n m 3 = n+m β + q q β 1 Alicando el Teorema de Cayley-Bacharay, obtenemos que q β C n+m γ. Como el razonamiento se uede reetir con cualquiera de los untos q i, hemos concluido. 3. Si una cónica es tangente a una cúbica en tres untos distintos, entonces los untos de intersección restantes de la cúbica con las rectas que unen estos tres untos están alineados. 4. Las tangentes en seis untos de intersección distintos de una cúbica con una cónica cortan a la cúbica de nuevo en seis untos de una cónica.

13 0.1. Problemas Sea C la cúbica lana y = x + x 3. El haz de rectas y = tx define un morfismo birracional A 1 C, x = t 1, y = t 3 t. Calcular el área del ojo del lazo definido or la curva y = x + x 3. Queremos calcular la integral 0 1 y(x)dx En este caso es sencillo desejar la función y(x), ero vamos a resolver el roblema con un método más general, que vale ara casos donde la función y(x) se da de forma imlícita. Como nos dice el enunciado, el haz de rectas y = tx define un morfismo birracional A 1 C, uesto que las soluciones del sistema y = tx, y x x 3 = 0 son x = 0, x = 0, x = t 1. Es decir, el morfismo birracional viene dado, exlícitamente or y = tx (t 1, t(t 1)) Ahora estudiamos los límites de integración, viendo que x = 1 t = 0, x = 0 t = 1, ues las endientes de las rectas en ese cuadrante son negativas. Finalmente realizamos el cálculo: 0 1 y(x)dx = t= 1 t=0 t(t 1)d(t 1) = (t 4 t )dt = = Sea C la cúbica lana y = x 3. El haz de rectas y = tx define un morfismo birracional A 1 C, x = t, y = t 3. El morfismo dado es A 1 C k[x, y]/(y x 3 ) k[t] t (t, t 3 ) x t Veamos que es isomorfismo birracional dando el morfismo inverso y t 3 C {α = 0} A 1 (α, β) β α que está definido en un abierto. k[t] (k[x, y]/(y x 3 )) x y t x 7. Probar que si una cónica tiene un unto singular entonces no es irreducible. Consideramos una recta que ase or dicho unto singular y or otro unto cualquiera de la cónica. La multilicidad de corte de la recta y la cónica será de, al menos, 3, y or el Teorema de Bezout concluimos que la recta es una comonente de la cónica.

14 14 8. Probar que si una cúbica lana tiene dos untos singulares entonces no es irreducible. Consideramos una recta que ase or los dos untos singulares. La multilicidad de intersección de la cúbica y la recta será de, al menos, cuatro. Por el teorema de Bezout, concluimos que la recta es una comonente de la cúbica. 9. Probar que si una cuártica lana tiene cuatro untos singulares entonces no es irreducible. Consideramos la cónica que asa or dichos 4 untos singulares y otro quinto unto cualquiera de la cuártica. Corta a la cuártica en 9 untos, al menos, y or el teorema de Bezout concluimos que dicha cónica es una comonente de la cuártica. 30. Probar que (0, 0), (, 0), (0, ) son untos singulares de la cuártica lana xy(x + y ) (x + y x y) = 0 Existen más untos singulares? Parametrizar esta cuártica (mediante un haz de cónicas). Sea P (x, y) = xy(x + y ) (x + y x y). Buscamos los untos donde se anule su diferencial, P x = y(x + y ) + xy (x + y x y)(x ) = 0 P y = x(x + y ) + xy (x + y x y)(y ) = 0 cuyas únicas soluciones son (0, 0), (, 0), (0, ). Por tanto, esos son los únicos untos singulares. Para arametrizarla, fijemos un unto regular cuañquiera, C. El morfismo será: a cada cónica C del haz de cónicas que asan or, (0, 0), (, 0), (0, ) le asignaremos el octavo unto de corte con nuestra curva C, ues cortará seis veces en los untos singulares y una sétima en. 31. Justificar or qué las circunferencias x + y 1 = 0, x + y = 0 han de ser tangentes en algún unto del infinito, sin hacer el cálculo exlícito de sus tangentes en los untos del infinito. Observamos que no se cortan en ningún unto afín. Sus untos de corte han de estar, or tanto, sobre la recta del infinito. Pero una circunferencia corta a la recta del infinito en dos untos. Así, si ambas circunferencias fueran transversales en sus untos de corte sobre la recta del infinito, que hemos visto son, a lo sumo, el número de untos de corte, contando multilicidades, no odría ser 4, como ha de ser.

15 0.1. Problemas Calcular la multilicidad de intersección de las cúbicas royectivas lanas y x 3 = 0 con y x 3 1 = 0, en todos los untos de intersección. Poner un ejemlo de dos cúbicas lanas afines irreducibles, cuyos untos de corte estén alineados. Observamos que no se cortan en ningún unto afín. Homogeneizando or x 0, y haciendo x = x 1, y = x, comrobamos que el único unto común es el (0, 0, 1), uesto que x 0 = 0 imlica x 1 = 0. Así ues, se cortan en el (0, 0, 1), con multilicidad 9. Para oner el ejemlo edido, rimero construimos dos cúbicas que royectivamente se corten sobre una recta: x 3 x x x 0 = 0, x 3 x x x 0 x 3 0 = 0 Los untos de corte están sobre x 0 = 0, y son tres x 3 x 3 1 = 0 z 3 = 1 (z := x x 1 ) Ahora sólo hace falta deshomogeneizar, tomando una recta del infinito distinta a x 0 = 0. Por ejemlo, en el abierto afín x 1 0, y haciendo u = x 0 x 1, v = x x 1, las cúbicas lanas afines irreducibles que ide el ejercicio son: v 3 + v u 1 = 0, v 3 + v u 1 u 3 = Sea s(x, y) k[[x, y]] tal que s(0, 0) = 0 y s(x, y) / (x). Probar que (a) k[[x]] k[[x, y]]/(s(x, y)), t(x) t(x) es un morfismo finito. (b) Suongamos que s(x, y) es irreducible. El cierre entero de k[[x, y]]/(s(x, y)) = A en su cuero de fracciones es un A-módulo finito, que como anillo es isomorfo a un anillo de series formales en una variable. 34. Denotemos or C((x)) el cuero de fracciones de C[[x]]. Probar que C(( x)) := lim n C(( n x)) es un cuero algebraicamente cerrado.