MAT 1620 Cálculo II Examen

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemática Primer Semestre de MAT 6 Cálculo II Examen. Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva y x, x, alrededor del eje x. Solución. Tenemos que + ) dy dx + ) x + x+ x x entonces el área de la superficie generada al hacer girar la curva y x alrededor del eje x es ) dy S πy + dx π x+ x dx dx x π Puntaje: Total 6, puntos x+dx π 3 x+)3/ 8π ).,5 puntos por conocer la fórmula para determinar el área de la superficie.,5 puntos por calcular la derivada de y.,5 puntos por calcular la expresión y +dy/dx).,5 puntos por calcular la integral.. Considere la serie de potencias S n ) n+xn a) Demuestre quesi unaserie depotencias a n x n tiene radiode convergencia R entonces a n x n tiene radio de convergencia R. b) Calcule el radio de convergencia de S puede usar la parte a) aunque no la haya demostrado). Determine el intervalo de convergencia de la serie indicando con claridad que pasa en los extremos del intervalo. n. c) Determinar la función f asociada a la serie. Se sugiere derivar la serie, calcular su valor e integrar)

2 Solución. a) Si fx) a n x n tiene radio de convergencia R entonces fx) converge para todo x < R y diverge para todo x > R. Como fx ) a n x n entonces fx ) converge para todo x < R y diverge para x > R. Se sigue que el radio de convegencia de fx ) a n x n es R. Puntaje: a) Total, puntos b) El radio de convergencia de la serie n ) n+xn n es R lím n a n a n+ lím n Entonces, por lo mostrado en a), el radio de convergencia de la serie S es R. Note que en x y en x la serie es ) n+ n. n Por el criterio de la serie alternante, la serie es convergente. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es I [,]. n+ n. Puntaje: b) Total, puntos punto por determinar el radio de convergencia. punto por determinar el intervalo de convergencia. c) Si fx) ) n+xn entonces su derivada es n n f x) ) n+ x n n ) n+ x n+ x x ) n x +x. Integrando con respecto a x esta última expresión x fx) +x dx ln+x )+C. n Para determinar la constante C, observe que si evaluamos la serie en x obtenemos el valor de f) y usando la expresión de arriba se tiene que f) ln) +C C. Entonces la función f asociada a la serie es fx) ln+x ). n Puntaje: c) Total, puntos punto por derivar la serie y calcular el valor de la serie.,5 puntos por integrar.,5 puntos por determinar la constante de integración.

3 3. Considere la curva que es la intersección de las superficies a) Encuentre una parametrización rt). x y +z y 3y z. b) Suponga que una partícula sigue la trayectoria definida por rt) y que en el tiempo t sale de la trayectoria por la tangente, avanzado con rapidez constante a la misma rapidez a la que avanzaba por la trayectoria rt) en t ). Dónde estará la partícula en el tiempo t? Solución. a) Tomando y t de la segunda ecuación obtenemos que z 3 y + 3 t +. Usando la ecuación de la primera superficie vemos que x + y z + t 3 t + ) t 3 8 t. Por lo tanto, una parametrización de la superficie es 7 rt) 8 + t 3 8 t,t, 3 t + ). Puntaje: a) Total 3, puntos punto por elegir una función para alguna de las variables. punto por despejar cada variable en función de la elección hecha. b) A partir de t la partícula sigue la trayectoria γt) r)+tr ) y observe que su rapidez es γ t) r ). Entonces, la partícula estará en el tiempo t en γ) r)+r ),,) +,, 3 ) Puntaje: b) Total 3, puntos 3,, 5 ).,5 puntos por determinar la trayectoria dela partícula apartir det con rapidez r ).,5 puntos por determinar el lugar en donde la particula estará en t. El lugar endondeestá lapartículaen t varíadependiendodela parametrización elegida en a)). Considere la curva r : [,π] R 3 definida por ) rt) 5 cost), sent), 3 5 cost). 3

4 a) Calcule la curvatura κt) y la torsión τt) de la curva r. b) Determine los vectores tangente t, normal n y binormal b de la curva r. Solución. a) Tenemos que r t) r t) r t) 5 sent), cost), 35 sent) ) 5 cost),sent), 35 cost) ) ) 5 sent),cost), 3 5 sent) entonces r t) para todo t [,π], es decir, la curva está arcoparametrizada. Ahora bien, r t) r t) 3 5 5),, y r t) r t)) r t). Se sigue que la curvatura y torsión de la curva son κt) r t) r t) r t) 3 τt) r t) r t)) r t) r t) r t) , 5 sent)+ 5 sent). Puntaje: a) Total 3, puntos,5 puntos por calcular correctamente la curvatura.,5 puntos por calcular correctamente la torsión. b) Como la curva rt) está arcoparametrizada obtenemos que t r t) 5 sent), cost), 35 ) sent). Sabemos que κt) para todo t [,π], se sigue en virtud de las ecuaciones de Frenet-Serret que d t κt) n n, entonces dt n r t) 5 cost),sent), 35 ) cost). Luego, el vector binormal es b t n r t) r t) 3 ) 5,,. 5 Puntaje: b) Total 3, puntos punto por calcular correctamente cada vector del triedro de Frenet.

5 Cálculo II MAT 6) Pontificia Universidad Católica de Chile Pauta del examen 6..3 Problema. Calcular el area de la superficie de revolución obtenida al girar la cicloide alrededor del eje x. xt) a t sent) ), yt) a cost) ), a >, t [, π], Solución. Sabemos por el curso que el area A pedido vale π dx ) ) dy A πyt) + dt dt dt π ) ) πa cost) cost) + sent) dt π ) 3/ πa cost) cost) dt π 3/ πa sent/) sent/) dt π 6πa senθ) 3 dθ θ t/ dθ dt/). cost) sent/) ) Ahora, la integral de senθ) 3 vale senθ) 3 dθ ) cosθ) senθ) senθ)dθ cosθ) senθ) ) dθ d cosθ) + cosθ) 3 /3 ) dθ dθ cosθ) + cosθ) 3 /3 + Const. Entonces, A 6πa cost) + cost) 3 /3 ) π 6πa /3 + /3 ) 6πa 3. Problema. a) Sea la curva en R 3 dada por las ecuaciones { x y + z 3y z. Determinar la ecuación del plano normal a la curva en el punto,, ).

6 Solución a). Pongamos primero la curva en forma paramétrica. { x y + z 3y z { z x + y z + 3y x + y + 3y x 7 8 3y Notando y t, obtenemos entonces la curva paramétrica 7 Ct) 8 3t 8 + t, t, ) + 3t, t R. Su vector tangente está dado por C t) 3t + ) 3t,,, t R. 8 + y. La curva pasa por el punto,, ) cuando t, y C ),, ) 3. Entonces, la ecuación del plano normal a la curva en el punto,, ) es ) x, y, z),, ),, 3 ) x, y, z ),, 6) x + y + 6z 9. b) Sea la curva en cordenadas polares rθ), θ [, ). + θ Determinar si la longitud total de la curva es finita o infinita. Si es finita, calcular su valor. Solución b). Como r θ) L +θ), la longitud total de la curva es rθ) + r θ) dθ + θ) + + θ) dθ t + dt t + θ dt dθ) } {{ t } lnt). t dt Pues, L, lo que significa que la longitud total de la curva es infinita. /t Problema 3. a) Sea la función f :, ), ), x + x) /3.

7 Calcular los tres primeros términos de la serie de Maclaurin de f. Solución a). Sabemos por el curso que f x) + x) /3 Maclaurin si x <. Pues, es igual a su serie de f x) f ) + f )x + f ) x + R 3 x) para x <, ) donde R 3 x) f x) f ) + f )x + f ) x es el residuo de la serie de Maclaurin. Ahora, se tiene f ), f ) 3 + x) /3 x 3 y f ) 9 + x) 5/3 x 9. Entonces, f x) + x 3 x 9 + R 3x) para x <. b) Determinar una aproximación del valor 3 )/3 con un error menor o igual a.7. Solución b). El punto a) implica que ) /3 3 f /) + / 3 /) + R 3 /) R 3/) 36 + R 3/). Pues, el valor 36 es una aproximación de 3 )/3 con un error igual a R 3 /). Ahora, tenemos que estimar el valor de R 3 /). Por eso, notamos que f x) + x) 8/3 7 para x <, 7 y entonces que R 3 x) /7 3! x 3 < para x < por la desigualdad de Taylor. En particular, R 3 /) <.7 y entonces el valor 36 aproximación de 3 )/3 con un error menor que.7. es una

8 Problema. a) Mostrar que los puntos de la curva f : [ π, π] R 3, t a + cost) ), a sent), a sent/) ), a >, pertenecen a la intersección de la esfera de radio a centrada en,, ) y el cilindro vertical con radio a y centro a,, ) en el plano xy. Solución a). La ecuaciones del cilindro y de la esfera son x a) + y a cilindro) y x + y + z a esfera). Pues, los puntos de la curva pertenecen al cilindro porque xt) a ) + yt) a + cost)) a ) + a sent) ) a cost) + a sent) a, y los puntos de la curva pertenecen a la esfera porque x + y + z a + cost) )) + a sent) ) + a sent/) ) a + cost) + cost) ) + a sent) + a sent/) a + a cost) + a cost) ) sent/) cost) ) a. b) Calcular para cada t [ π, π] la curvatura kt) de la curva f. Solución b). La curva f tiene derivadas f t) a sent), a cost), a cost/) ) f t) a cost), a sent), a sent/)/ )

9 y velocidad f t) a sent), a cost), a cost/) ) a sent) + a cost) + a cost/) Además, se tiene y f t) f t) î ĵ ˆk a sent) a cost) a cost/) a cost) a sent) a sent/)/ a + cost/). îa cost)sent/)/ ĵa cost/) cost) + ˆka sent) + ˆka cost) ĵa sent)sent/)/ + îa cost/)sent) a cost/)sent) cost)sent/)/, cost/) cost) sent)sent/)/, ) f t) f t) a cost/)sent) cost)sent/)/ ) + cost/) cost) + sent)sent/)/ ) + a cost/) + sent/) / + a 5/ + 3 cost/) / sent/) cost/) ) a cost/). Pues, kt) f t) f t) f t) cost/) a + cost/) ) 3/. De manera alternativa, si uno utiliza la relación cost/) +cost) ) /, uno puede reescribir la última fórmula como cost) kt) a 3 + cost) ). 3/

10 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas TAV MAT6 Cálculo Interrogación N Preguntas a la 8. Para obtener todo el puntaje debe tener un desarrollo impecable. Si comete un error de arrastre optará a lo mucho nota 5,. Preguntas 9 a la. Se evaluará la estrategia que se utiliza para solucionar el problema. Si la estrategia es la correcta y se plantea correctamente la parte algebraica entonces la nota comienza en 5,. Los errores de cálculo que no alteren el análisis del problema no bajarán mucho la nota en caso de no ser reiterativos.. Determine el punto de intersección de las curvas r t) t, t,3+t ) y r t) 3 t,t,t ) y el ángulo formado por sus tangentes en dicho punto. Solución. Para determinar la intersección es necesario resolver el sistema t 3 s t s ptos) 3+t s que tiene por solución t y s ptos). Luego el punto de intersección es,,). ptos) Los tangentes son r t),,t) y r s),,s) ptos) luego el producto punto de los tangentes, para t y s, es r ) r ),,),,) 6 Por lo tanto, el ángulo entre los tangentes está dada por 6,,),,) cosα) ptos) 6 6 3cosα) 3 cosα) Por lo tanto α arccos/ 3) ptos). Calcule la longitud de la curva rt) e t,e t cost),e t sint)) para t π. Solución. Si ṙt) e t,cost) sint),sint)+cost)) ptos) entonces ṙt) 3e t ptos) Por lo tanto L π 3 ṙt) dt π e t dt 3e π ) ptos)

11 3. Reparametrice respecto a la longitud de arco la curva rt) +t,3+t, 5t) medida desde el punto en que t en la dirección que t incrementa. Solución. Si ṙt),, 5) ptos) entonces st) t ṙu) du 3t ptos) Luego t s/ 3 ptos) y la reparametrización es ṙs) + s,3+ s, 5 s ) ptos). Determine el punto de la curva x t 3,y 3t,z t en que su plano normal es paralelo al plano de ecuación 6x+6y 8z. Solución. La normal al plano normal es 3t,3,t 3 ) ptos) el cual debe ser paralelo al vector 6,6, 8), lo que ocurre si t ptos). Por lo tanto, el plano normal tiene ecuación x,y,z),3,)) 3,3, ) ptos) 5. Calcule la curvatura y la torsión para la curva dada por x sinht),y cosht),z t en el punto,,). Solución. El punto,,) se obtiene para t ptos). Si rt) sinht),cosht),t) entonces ṙt) cosht), sinht), ) ṙ),, ) rt) sinht), cosht), ) r),, ) ptos) ptos) Luego, y κ ṙ) r) ṙ) 3,,),,),,) 3 τ ṙ) r)) r) ṙ) r),,),,)),,),,),,) 6. Determine los vectores T,N y B para la curva rt) Solución. El punto se obtiene para t ptos). Además Por lo tanto ptos) ptos) t, ) 3 t3,t en el punto, 3 ),. ṙt) t,t,) ṙ),,) ptos) rt),t,) r),,) ptos) T 3,,) ptos) B ṙ) r) ṙ) r) 3,,) ptos) N T B 9,,) ptos)

12 7. Determine la ecuación de una parábola que tenga curvatura igual a en el origen. Solución. Si rt) t,at +bt,) ptos) entonces κ ṙ) r) ṙ) 3,b,),a,),b,) 3,,a),b,) 3 a +b ) 3/ ptos) ptos) Si a y b ptos) se tiene la curvatura pedida. 8. Pruebe que si la torsión de una curva es cero, entonces la curva está contenida en un plano. Solución. Si la torsion es cero entonces Bt) b constante ptos) De este modo, ṙt) b ptos) para todo t. Por tanto rt) r ) b ptos) Por lo tanto la curva está sobre un plano. ptos) 9. Si r representa una curva suave, pruebe que d ds T d ds T κ κ +τ siendo κ, τ la curvatura y torsión de la curva, respectivamente. Solución. A partir de la fórmulas de Frenet-Serret se tiene entonces Por lo tanto d ds T κn ptos) d ds T κ N+κ κt+τb) d d T ds ds T κ3 T κ τb d d T ds ds T κ κ +τ ptos) ptos) ptos). Calcule la curvatura de la cicloide xt) t sint),yt) cost), con t [,π). Determine el punto en que la curvatura de esta curva es mínima. Solución. Si rt) t sint), cost),) entonces κt) 3/ cost) ptos) Luego el mínimo de la curvatura se obtiene en t π que maximiza la función gt) cost), vale decir t 3π/ 3 ptos). Por lo tanto κ3π/) 5/ ptos)

13 . Demostrar que la curva con parametrización rt) sin t),sint)cost),cost)) t < π está contenida en una esfera y que todos los planos normales a dicha curva contienen al origen. Solución. Comenzaremos que está contenida en una esfera sin t) ) +sint)cost)) +cost)) sin t)sin t)+cos t))+cos t) ptos) Por otra parte, el tangente de nuestra curva es que satisface ṙt) sint),cost), sint)) rt) ṙt) sin t),sint)cost),cost)) sint),cost), sint)) 3ptos) Por lo tanto el tangente es perpendicular al radio de la esfera, concluyendo que el plano normal pasa por el origen. ptos). Cortamos la esfera x +y +z con el plano x+y+z. Determine la curvatura y la torsión de la curva de corte. Solución. Puesto que la curvatura depende de la norma del vector Ṫ entonces la curvatura resulta invariante bajo traslación y rotación. Es claro que la curva resultante es una círcunferencia cuyo radio a se determina por d +a ptos) siendo d la distancia del plano al origen, vale decir 3 +a a 3 ptos) Ahora consideremos la curva arcoparametrizada rs) a coss/a), a sins/a), ). Luego ṙs) sins/a), coss/a), ) rs) a coss/a), sins/a),) Por lo tanto κ /a. ptos) El vector binormal está en la dirección de ṙs) rs),,/a), para todo s. Por lo tanto Ḃ, concluyendo que τ. ptos) Tiempo: 8 minutos Sin consultas