E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación

Transcripción

1 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Ejercicios resueltos 1 f x, x e Representar el dominio de la función x x El dominio es el conjunto de los puntos Domf x, / x. x 0, x es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=, x=- salvo los de la recta x=, gráficamente Dada las superficies Se pide: (1) (a) Obtener las trazas (b) Obtener las curvas de nivel z x () (c) Realizar un bosquejo de su gráfica x z 4 9 (a) Se trata de un paraboloide

2 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Al cortar por planos x=cte: arábolas z cte Al cortar por planos =cte: arábolas z x cte ág.

3 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias Cte x Cte 0 ág.3

4 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso () Se trata de un hiperboloide Curvas x=cte: arábolas z Cte 9 x z Curvas =cte: Hipérbolas Cte 4 9 ág.4

5 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Curvas: z=cte: arábolas x Cte 4 3 El precio de un piso en función de la superficie S de la calidad de los materiales C viene dado por una función S, C. Es razonable que 0? C Es razonable que 0? S Si 0 significa que a maor calidad de los materiales aumenta el precio de la C vivienda. arece razonable. ág.5

6 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Si 0 significaría que al aumentar la superficie del piso el precio disminuiría. S Esto no parece lógico. 4 El conjunto de los puntos (x, ) con 0 x 5, 0 5 es un cuadrado colocado en el primer cuadrante del plano XY. Supongamos que se caliente ese cuadrado de tal manera que T x, x es la temperatura en el punto (x, ). En qué sentido se establecerá el flujo de calor en el punto,5? o Indicación: El flujo de calor en la región está dado por una función vectorial C x, porque su valor en cada punto depende de las coordenadas de éste. Sabemos por física que C x, será perpendicular a las curvas isotermas T x, c donde c es constante. El gradiente todos sus múltiplos verifican esta condición. En esta situación nos dice la física que C K T donde K es una constante positiva (llamada conductividad térmica). Nótese que la razón del signo negativo es que el calor flue desde puntos de maor temperatura a puntos de menor temperatura. Como T 3, 4 5 el punto está en la isoterma T x, 5 de la circunferencia x 5. Sabemos que el flujo de calor en,5 C K T. o o, que es un cuadrante es o ág.6

7 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Como T xi j se tiene que To 6 i8 j. Así el flujo de calor en o es: C K 6 i8 j. Como la conductividad térmica es positiva se puede afirmar que el o calor flue en o en el sentido del vector unitario: 6i8j 3 4 u i j Hallar a b para que la derivada direccional máxima de la función en el punto axb e cos x z 0 del primer cuadrante 0,0 sea 3 en la dirección de la bisectriz axb La función z e cos x es continua por ser composición de funciones continuas es diferenciable por ser las derivadas parciales continuas en todo : ' f axb zx ae cos x e sen x x axb ' f axb z be cos x e sen x axb Esto significa que la derivada direccional en un punto siguiendo una dirección se puede obtener como el producto escalar de la dirección por el gradiente en el punto considerado. D f 0,0 f 0,0, u 3 u or otro lado el gradiente nos marca la dirección donde la derivada direccional es máxima que en este caso es además la bisectriz del primer cuadrante luego en este caso: f 0,0 3 1 u f 0,0, f 0,0 Calculando el gradiente en el origen: se tiene que cumplir que: f 0,0 ai b j ág.7

8 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso a b 3 a b u,, ab 3 3 or lo tanto, resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones: ab 3 6 De una función z f x, tangente a, diferenciable en todo se sabe que el plano f x en el punto (1, ) es: x 34z 1. Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la dirección que une el punto (1, ) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta. La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es: v 1 1 v31,4, u, v Como el plano tangente en el punto (1, ) es x34z 1 x z (I) 4 4 que corresponde a la ecuación f x f 1, x1 1, z f 1, se tiene que cumplir que f 1 f 3 1, 1, x 4 (II) sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) (II). Luego la derivada direccional pedida es: f f Du f, 1, 1,, 1,, u,,, x Sea 4 3 x u x z donde ág.8

9 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Calcular u s t x 1rse t rs e z r s sent 3 cuando r, s1, t 0 sabiendo que ' 1 Solución.- u u x u u z s x s s z s 3 x1 t 4 3 xx t 4 x ' re x z ' rse 3 z r sent ara r=, s=1, t=0 se tiene que x=3, =, z=0. Sustituendo estos valores en la 3 expresión anterior, así como ' u 1, resulta que 758. s 8 Calcular la expresión de las derivadas parciales respecto a x a de la función:, f g x h g x h Considerando que g h son funciones derivables que f es una función diferenciable. Se trata de calcular las derivadas parciales de f uv, siendo u g x h v g x h Aplicando la regla de la cadena: u v g ' x x g' x h x u x v x u v u v h' g x h u v u v ' ág.9

10 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Determine los puntos críticos de la siguiente función clasifíquelos: 3 3 f x, x 3x1 0 ara determinar los puntos críticos se plantea la condición necesaria de extremo local. Los puntos que cumplan estas condiciones necesarias son los puntos críticos de la función. Condición necesaria f(x, ) = (0, 0). f( x, ) 3x 303x 3 x 1 x 11. x f( x, ) Los puntos que anulan las derivadas son los que resultan de combinar los dos posibles de x que anulan la derivada parcial respecto a x con los dos valores de que anulan la derivada parcial respecto a : (1, ), (1, -), (-1, ), (-1, -) ara clasificar estos puntos críticos como máximos locales, mínimos locales o puntos de silla se pasa a estudiar las condiciones suficientes de máximo o mínimo local, condiciones de segundo orden, pues sólo son suficientes para aquellos puntos que previamente hubiesen anulado el gradiente de la función (condición de primer orden). Condición suficiente ara estudiar estas condiciones se debe estudiar el signo de la forma cuadrática representada por la matriz hessiana de la función en cada uno de los puntos críticos. En general, para cualquier punto (x,) D f (dominio de f(x,)) se tiene que 6x 0 Hf ( x, ). 0 6 En el (1, ) se tiene Hf (1,), H , H La función alcanza un mínimo local estricto en el punto (1, ). En el (1, -) se tiene ág.10

11 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Hf (1, ), H1 6 60, H El punto (1,-) es un punto de silla. En el (-1, ) se tiene 6 0 Hf ( 1, ), H1 6 60, H El punto (-1, ) es un punto de silla. En el (-1, -) se tiene 6 0 Hf ( 1, ), H1 6 60, H La función alcanza un máximo local estricto en el punto (-1, -). 10 Hallar los valores extremos de, x 1. Ha que calcular los extremos de, gx, x 1 0. z f x x, sobre la circunferencia z f x x, con la condición Vemos que f g son diferenciables en R². La función auxiliar de Lagrange,, 1 F x x x Calculamos las derivadas de primer orden de F resolvemos el sistema Fx x,, x0 (I) F x,, x 0 F x,, x 10 ág.11

12 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Despejando en las dos primeras ecuaciones anteriores tenemos (II) λ x x se sigue que: x (III) or la tercera ecuación de (I), por (III) debe ser por (III) x. 1 Así obtenemos los puntos críticos de f sometidos a la restricción x 1: 1,,,, 3,, 4,, Analizamos la diferencial segunda: d f (= signo f ) teniendo en cuenta que dx, d están ligadas por dg 0, es decir, xdx d 0 Entonces, según lo visto antes es signo d²f = signo d²f. Ahora, como F F F xx x 1 d f d F F dx F dxd F d dx dxd d xx x or otra parte, tenemos que 1, : x 1 1 1, :, x 3 3 1, :, x, 1 4, : λ4 x luego, en 1 tendremos: ág.1

13 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso d²f = - dx² + dx d - d² = - (dx² - dx d + d²) = - (dx - d)².(iv) (aquí a vemos que d f tiene signo negativo, por lo tanto f tendrá signo negativo, lo cual implicará que f tiene máximo local en 1. No obstante, continuaremos adelante con el fin de ilustrar totalmente el procedimiento en estudio). Ahora bien, dx d están ligadas por dg(x,) = x dx + d = 0, lo que implica x que, d dx (V) ( 0 en 1, ). De (IV) de (V) resulta d²f = - (dx + x / dx)² Ahora, como en 1,,, x es 1 tenemos que d²f = - (dx + dx)² = - 4 dx or lo tanto, signo f = signo d²f = - 1. Luego, f tiene en 1, máximo relativo. Además, vale 1 z f x, 1, Análogamente, como en 3, en 4, x es 1, tendremos: d²f = dx² + dx d + d² = (dx + d)² = x dx dx = (dx + dx) = 4dx² or lo tanto signo f = signo d²f = + 1. Esto significa que f tiene en 3, 4 valor mínimo local. Además es 1 z f x, 3, 4 ág.13