Funciones de varias variables

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Héctor Ponce Bustamante
hace 6 años
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1 Funciones de varias variables 7 de febrero de Definiciones básicas Sean a, b puntos de R n (donde n N) con coordenadas: a = (a 1, a,, a n ); b = (b 1, b,, b n ) Se define la distancia euclídea entre a y b como d : R n R n R d(a, b) = (a 1 b 1 ) + (a b ) + + (a n b n ) y, siendo x R n ; x = (x 1, x,, x n ), la norma euclídea como x = x 1 + x + + x n Se define la bola abierta de centro a R n y radio R R + (donde R + = {x R : x > 0}): B(a, R) = {x R n : d(a, x) < R} Un conjunto A R n es un entorno del punto a R n si r R + B(a, r) A Se llama frontera del conjunto A R n al conjunto de puntos de R n tales que sus entornos contengan puntos de A y su complementario (Ā). Se dice que el conjunto A R n es abierto si en cada uno de sus puntos se puede trazar una bola totalmente contenida en el conjunto, es decir: Abierto(A) a A r R + B(a, r) A 1

2 Cerrado(A) Abierto(Ā) El punto x R n es un punto de acumulación del conjunto A R n si x está extremadamente cerca del conjunto A sin necesariamente pertenecer a él; formalmente: r R + [B(x, r) {x}] A Un conjunto A R n es acotado si: r R +, a R n B(a, r) A Si además de acotado es cerrado, entonces es compacto.. Funciones escalares Una función escalar es de la forma: f : R n R; n N.1. Conjunto y contorno de nivel Se define el conjunto de nivel para k, donde k R, como: C k (f) = {x Domf : f(x) = k} Un contorno de nivel para k en el caso particular de n = también llamado curva de nivel delimita el conjunto de nivel para k de f. Los contornos de nivel permiten una visualización gráfica de la variación de f... Cálculo del ite en R En general, se define el ite de una función escalar de la siguiente forma: f(x) = L ɛ > 0 δ > 0 : x B(a, δ) f(x) L < ɛ x a En el caso particular de dominios en R, se pueden utilizar los siguientes métodos:

3 ..1. Límites iterados Los ites iterados permiten descartar la existencia del ite. Sea (x, y) R ; (a 1, a ) R y f : R R una función escalar. [ ] f(x, y) = A x a 1 y a [ ] f(x, y) = B x a 1 de lo que se deduce que: y a f(x, y) = A B = f(x, y) = A = B... Límites con coordenadas polares f(x, y) Sea f : R R. Se puede convertir x R ; x = (x 1, x ) a coordenadas polares (ρ, θ) de forma que x = ρ cos θ y y = ρ sin θ. Así: f(ρ cos θ, ρ sin θ) = f(x, y) ρ 0 (x,y) (0,0)..3. Acercamiento por rectas Sea f : R R. Si se quiere calcular f(x, y) se puede utilizar un acercamiento mediante una recta y = mx + c de forma que a = ma 1 + c. Así:.3. Continuidad f(x, mx + c) = A x a 1 ( ) y c f y a m, y = B f(x, y) = f(x, y) = A = B Sea A R n ; n N. f : A R es contínua en a A si f(x) = f x a 3

4 .4. Derivadas parciales Sea n N y f : R n R. Se denomina derivada parcial de f con respecto a una componente j (1 j n) a la función: x R n : R n R f(a 1,, x j,, a n ) f(a 1,, a j,, a n ) = x j a j x j a j Como la derivada parcial es una nueva función escalar, es posible obtener la derivada parcial segunda o, en general, la derivada parcial enésima : x i = x i a i (a 1,, x i,, a n ) (a 1,, a i,, a n ) x i a i.4.1. Teorema de Schwarz Sea n N y f : R n R tal que x i. Si entonces x i y: = x i x i x i es contínua en a,.5. Derivadas direccionales Sea f : R n R y v R n un vector unitario ( v = 1). Se define la derivada direccional de f según el vector v como f(a + hv) f D v f = h 0 h La derivada parcial es un caso particular de derivada direccional: v i =.6. Vector gradiente { 1 i = j 0 i j = = D v f Se llama vector gradiente de f : R n R en a al vector: ( f =,,, ) x 1 x x n El vector gradiente indica la dirección de máximo crecimiento a partir del punto a. Además, el vector gradiente es normal a un contorno de nivel en un punto de éste. 4

5 3. Funciones vectoriales y escalares Una función vectorial es de la forma: f : R m R n ; n, m N Una función vectorial se puede descomponer en n funciones escalares f i : R m R, de forma que 3.1. Matriz jacobiana f(x) = (f 1 (x), f (x),, f n (x)) Sea f : R m R n. Se define la matriz jacobiana de f como: J f ij = i 1 i n 1 j m 1 x 1 1 x... 1 x m J f = x 1 x... x m Regla de la cadena n x... n x 1 J f M n m (R) n x m Sea f : R m R n y g : R n R p, de forma que h = g f; h : R m R p, h(x) = (g f)(x) = g(f(x)). Si f(x 1, x,, x m ) = (u 1, u,, u n ) g(u 1, u,, u n ) = (y 1, y,, y p ) h(x) = g(u 1,, u n ) = g(f 1 (x 1,, x m ),, f n (x 1,, x m )) = g(f(x)) entonces (con 1 i p y 1 j m): h i = n k=1 g i u k (f) k por lo tanto: J (g f) (x) = J g (f(x)) J f (x) 5

6 3.. Diferenciabilidad Sea A R m un conjunto abierto y f : A R n. Se dice que f es diferenciable en el punto a A si admite matriz jacobiana en a y, siendo h R m : f(a + h) f J f h h 0 h Teorema: si f admite derivadas parciales en A y todas ellas son contínuas en a A, entonces f es diferenciable en a. Teorema: Si f es diferenciable en a, entonces es contínua en a Plano tangente en R En el caso particular de una función escalar f : R R es diferenciable en a R, su gráfica admite un plano tangente en a = (a 1, a ) que tiene por ecuación: = 0 z f = x (x a 1) + y (y a ) 3.3. Extremos absolutos y relativos Siendo A R m, se dice que la función f : A R n presenta: Un máximo relativo en a A si r R + : x B(a, r) f(x) f Un máximo absoluto en a A si Un mínimo relativo en a A si Un mínimo absoluto en a A si x A f(x) f r R + : x B(a, r) f(x) f x A f(x) f 6

7 Puntos críticos Teorema: Si la función f es diferenciable en a A y alcanza un extremo relativo en dicho punto, entonces: J f = 0 Es decir, esta es una condición necesaria (pero no suficiente) para que exista un extremo relativo en dicho punto. Los puntos donde se cumple se llaman puntos críticos o estacionarios Matriz hessiana en funciones escalares Siendo n N; A R n y la función escalar f : A R, se define la matriz hessiana de f como: o, equivalentemente: H f = H f M n n (R) H f ij = x i x 1 x 1 x 1 x... x 1 x n x x 1 x x... x x n x n x... x n x n x n x 1 Si la función f admite segundas derivadas y éstas son contínuas, la matriz hessiana está bien definida y, debido al teorema de Schwarz de las derivadas parciales, la matriz hessiana es simétrica: H f = H f T Si la matriz hessiana en a es una matriz definida positiva, la función presenta un mínimo relativo en dicho punto. Si la matriz es una matriz definida negativa, la función presenta un máximo relativo en el punto. Es decir, si k N; 1 k n, definiendo H k como el determinante H k = H f H f 1k H f k1... H f kk entonces la matriz es definida positiva si k : H k > 0 (y por tanto la función presenta un mínimo relativo); y es definida negativa si k : sgn(h k ) = ( 1) k (y por tanto la función presenta un máximo relativo). 7

8 Debido a que H n = H f, en el caso particular de funciones de variable en R (es decir, n = ), el procedimiento anterior se puede simplificar de la siguiente forma: Si H f > 0 y x 1 x 1 > 0, la función presenta un mínimo relativo en a; Si H f > 0 y x 1 x 1 < 0, la función presenta un máximo relativo en a Extremos absolutos en un conjunto Teorema (de Weierstrass): Toda función contínua definida en un conjunto compacto (cerrado y acotado) de R n alcanza máximos y mínimos absolutos en el conjunto. Los puntos candidatos a ser extremos absolutos de f : A R; A R n en un conjunto son: Puntos críticos de f en el interior del conjunto; Puntos del interior del conjunto donde no exista alguna derivada parcial; Puntos de la frontera del conjunto Extremos condicionados en funciones escalares Introducción Sea n N; A R n y la función escalar diferenciable f : A R. Se desea obtener los máximos o mínimos de la función f sujeta a una condición S definida a partir de la función diferenciable g : A R, de forma que: S = {x A : g(x) = 0} Ha de observarse que S es el conjunto de nivel para 0 de g (S = C 0 (g)). Se considerará el contorno de nivel delimitado por S (es decir, puntos x S tales que g(x) 0). Al recorrerlo es posible que se atraviesen contornos de nivel de f (es decir, f está variando en esos puntos). Si en el recorrido se está en un entorno de un punto de un contorno de nivel de f y recorriendo dicho contorno de forma tangencial, la componente tangencial del vector gradiente de f en dicho punto es nula; es decir, considerando la función f restringida al contorno de g que es está recorriendo, el punto es un punto crítico. Al ser el contorno de g tangente al contorno de f 8

9 en el entorno de tal punto los vectores gradiente de f y g en ese punto han de tener la misma dirección: λ R g(x) = λ f(x) Formalmente se puede expresar mediante el siguiente teorema: Sea a A; si a S, g 0 y la función f restringida al contorno S presenta un extremo relativo, entonces λ R g(x) = λ f(x) Multiplicadores de Lagrange El método de los multiplicadores de Lagrange permite localizar los puntos candidatos a extremos condicionados por S. Para ello, se define la función auxiliar (función lagrangiana) F : A R R, teniendo en cuenta x A, como: F (x, λ) = f(x) + λg(x) cuyo gradiente es F (x, λ) = ( (x) + λ g (x),, (x) + λ g ) (x), g(x) x 1 x 1 x n x n y se calculan los puntos donde el gradiente es el vector 0 (con lo cual cumplirán la condición del teorema anterior y que g sea 0). El método se puede generalizar para obtener puntos que cumplan r N condiciones: λ = (λ 1,, λ r ) F (x, λ) = f(x) + r λ i g i (x) i=1 F (x, λ) = 0 9

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