PRIMER PARCIAL

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "PRIMER PARCIAL"

Trinidad Domínguez Campos
hace 6 años
Vistas:

1 PRIMER PARCIAL decimales. Cuando termines un ejercicio cambia de página () Pregunta de teoría: (a) (.5 puntos) Enuncia y demuestra el Teorema del valor medio para funciones vectoriales. (b) (.5 puntos) Expresa el Teorema del valor medio para funciones vectoriales en términos de la norma euclídea. (2) Dada la función escalar: < 3x 2 y 2x 3 (x;y) 6= (; ) f(x;y) = x : 2 + y 4 (x;y) = (; ) de nida en todo el plano: (a) (.5 puntos) Estudia su continuidad. (b) (.5 puntos) Estudia su derivada direccional en (; ) en las dirección dada por el vector unitario v = (cos µ;sen µ) aplicando la de nición. (c) ( punto) Estudia su diferenciabilidad. (3) Dada la función f 2 F (R 2 ; R 2 ) de nida por: f(x;y) = ( +sen x;arc tag y) para todo (x;y) en el plano: (a) (.5 puntos) Es f lipschitziana? (b) ( punto) Prueba que existe un único p 2 R 2 tal que f (p) = 2p: (c) (.5 puntos) Dado cualquier número natural n 2 se puede asegurar que existe un único p 2 R 2 tal que f (p) = n p? (4) Clasi ca los puntos críticos de las siguientes funciones de dos variables: (a) (2 puntos) f(x;y) = (x 2 + y 2 ) 2 2a 2 (x 2 y 2 ) (a 2 R) (sugerencia: distingue los casos a = y a 6= ): (b) ( puntos) g(x;y) = (x y) 4 + (y ) 4 :

2 SEGUNDO PARCIAL decimales. Cuando termines un ejercicio, cambia de página () Enuncia y demuestra los siguientes teoremas: (a) (2 puntos) Teorema de la función implícita. (b) (.5 puntos) Teorema de la convergencia acotada. (2) Dada la función f (x;y) = x 2 2xy + y 2 de nida en: A = (x;y) 2 R 2 : x 2 + y 2 2x ª ; (a) (.5 puntos) estudia la acotación, el cierre y la compacidad de A, (b) (.5 puntos) determina los extremos absolutos de f, si los hubiera. (3) (.5 puntos) Calcula: (4) Sea la función: n! Z + µ n n +x e x 2 dx: n + 2x f (x) = e x + e x para todo x 2]; +[ (siendo > ; > ): (a) (.5 puntos) Es f integrable? (b) (.5 puntos) Demuestra las siguientes igualdades: Z + f (x) dx = X n= ( ) n+ (n ) + = X ( ) n n + para todo > ; > : Indicación: si < jrj < entonces +r =P n= ( )n+ r n : (c) ( punto) Deduce que: X ( ) n 2n + = ¼ 4 n= n=

3 EXAMEN FINAL decimales. Cuando termines un ejercicio cambia de página () Enuncia y demuestra los siguientes resultados: (a) (.5 puntos) Carácter local de la continuidad. Teorema de Heine. (b) (.5 puntos) Teorema fundamental del Cálculo. (2) Sean A;B µ R N y A + B = a + b 2 R N : a 2 A;b 2 B ª : Prueba que: (a) ( punto) si A y B son compactos, entonces A + B es compacto, (b) (.5 puntos) si A es compacto y B es cerrado, entonces A + B es cerrado: (3) Dada la función f 2 F (R 2 ) de nida por: < y 2 sen x y 6= f(x;y) = y : y = y cualquier función g 2 F (R 2 ) diferenciable en (; ) veri cando que: g (; ) = ; D (;) g (; ) = ; D ( ;) g (; ) = : (a) ( punto) Calcula grad g (; ). (b) (.5 puntos) Estudia la diferenciabilidad en (; ) de la función H 2 F (R 2 ; R 2 ) de nida por H = (f;g): (c) (.5 puntos) Calcula la matriz jacobiana de H en (; ): (4) Dada la función f (x;y;z) = 2x 2 +y 2 + z 2 xy de nida en: ¾ A = ½(x;y;z) 2 R 3 : x2 2 + y2 4 + z2 ; (a) (.5 puntos) estudia la compacidad de A, (b) (.5 puntos) determina los extremos absolutos de f, si los hubiera. (5) (.5 puntos) Demuestra la siguiente igualdad: Z x p µ X x log dx = x (n + p + ) 2 n= para todo p > : Indicación: si < jrj < entonces r =P n= rn :

4 EXAMEN SEPTIEMBRE decimales. Cuando termines un ejercicio cambia de página. () Enuncia y demuestra los siguientes resultados: (a) (2 puntos) Teorema de la función implícita. (b) (.5 puntos) Regla de Barrow. (2) (.5 puntos) Es la función f(x;y) = (2x + y)( + jxyj) diferenciable en (; )?. Calcula la derivada direccional máxima de f en dicho punto: En qué dirección se obtiene dicha derivada direccional? (3) (.5 puntos) Sea la función f 2 F (R 2 ): < sen(x y) si (x;y) 2 R f(x;y) = x y 2 A : si (x;y) 2 A siendo A = f(x;y) 2 R 2 : x y = g: (a) Es A cerrado? y compacto? (b) Estudia la continuidad de f. Elige entre las preguntas 4 y 5 (4) (.5 puntos) Consideremos la siguiente familia de funciones: f(x;y) = (2xy + y 2 + yx 2 + cos(x +y)) + x 2 ( 2 y) con 2 R fg. Para qué valores del parámetro la función tiene extremo relativo en (; ) y para cuales tiene un punto de silla? (5) (.5 puntos) Consideremos el conjunto: A := (x;y;z) 2 R 3 : x ;y ;z ª y la función f 2 F (A) : f(x;y;z) = xy + yz: Estudia los extremos relativos de f sujeto a las restricciones: ( x + 2z = 4 x +y = : SIGUE ATRÁS

5 2 Elige entre las preguntas 6 y 7 (6) (2 puntos) Demuestra la siguiente igualdad: Z + x e x + e xdx = X n= ( ) n ( + n ) 2 (siendo > ; > ): Indicación: si < jrj < entonces +r = P n= ( )n r n : (7) (2 puntos) Calcula: (a) Z n x sen x n! + (nx) 2 dx: (b) Z n x sen x n! + (nx) 3 dx:

Documentos relacionados

Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización

Titulación: Ingeniero en Telecomunicación. Asignatura: Cálculo. Relación de problemas número 4. Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Problema 1. Determinar el dominio