Análisis Matemático I

Transcripción

1 Análisis Matemático I Los Teoremas de Valor Medio. Aplicaciones de clase C r Francisco Montalvo Departamento de Matemáticas. UEX Curso 2011/12

2 Contenido 1 Los teoremas de valor medio Los teoremas en una variable Extensiones a varias variables Nuevos teoremas de valor medio Consecuencias directas Condición suficiente de diferenciabilidad Funciones continuamente diferenciables 2 Derivadas parciales de orden superior Permutación de las derivadas parciales Funciones de clase C r F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 2 / 17

3 Los teoremas en una variable Una variable Teorema 1 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (b) f (a) = f (c)(b a). Teorema 2 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si además existe alguna constante M tal que f (x) M para todo x (a, b), entonces f (x) f (y) M x y, x, y [a, b] (Fórmula de los incrementos finitos). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 3 / 17

4 Extensiones a varias variables Extensiones Extensión del Teorema 1 Sea f : A R n R una función continua en el segmento cerrado [a, b] A o y derivable en el segmento abierto (a, b). Entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (b) f (a) = Df (c)(b a) = n j=1 f x j (c)(b j a j ). Comparar con Teorema 1 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (b) f (a) = f (c)(b a). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 4 / 17

5 Extensiones a varias variables Extensiones Extensión del Teorema 1 Sea f : A R n R una función continua en el segmento cerrado [a, b] A o y derivable en el segmento abierto (a, b). Entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (b) f (a) = Df (c)(b a) = n j=1 f x j (c)(b j a j ). Comparar con Teorema 1 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (b) f (a) = f (c)(b a). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 4 / 17

6 Extensiones a varias variables Extensiones Nota Es importante observar que el Teorema 1 no se puede extender, en general, para funciones vectoriales. Ejercicio Sea f (t) = (cos t, sen t). Comprobar que no existe ningún punto c (0, π) tal que f (π) f (0) = πf (c). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 5 / 17

7 Extensiones a varias variables Extensiones Extensión del Teorema 2 Sea f : A R n R p una función continua en el segmento cerrado [a, b] A o y derivable en el segmento abierto (a, b). Si además existe alguna constante M tal que f i x j (x) M para todo x (a, b), entonces f (b) f (a) M b a 1 Comparar con Teorema 2 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si además existe alguna constante M tal que f (x) M para todo x (a, b), entonces f (x) f (y) M x y, x, y [a, b] F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 6 / 17

8 Extensiones a varias variables Extensiones Extensión del Teorema 2 Sea f : A R n R p una función continua en el segmento cerrado [a, b] A o y derivable en el segmento abierto (a, b). Si además existe alguna constante M tal que f i x j (x) M para todo x (a, b), entonces f (b) f (a) M b a 1 Comparar con Teorema 2 Sea f : [a, b] R R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si además existe alguna constante M tal que f (x) M para todo x (a, b), entonces f (x) f (y) M x y, x, y [a, b] F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 6 / 17

9 Nuevos teoremas Nuevos teoremas de valor medio Teorema Sea f : A R n R p una función para la que existe alguna constante M tal que f i x j (x) M para todo x A. Entonces, si [a, b] es un segmento cerrado contenido en f (b) f (a) M b a 1. Nota o A, se tiene que Observar que en el presente teorema, a diferencia del de Extensión del Teorema 2, no se exige la diferenciabilidad de f en el segmento (a, b), a cambio se exige la acotación de las derivadas parciales en todo punto de A y no sólo en (a, b). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 7 / 17

10 Nuevos teoremas Nuevos teoremas de valor medio El teorema anterior se obtendrá como consecuencia del teorema que enunciamos a continuación. Ambos serán los más utilizados en el Cálculo Diferencial en varias variables. Teorema Sea U un conjunto abierto de R n y f : U R p una función que admite derivadas parciales acotadas en U. Entonces f es lipschitziana sobre cada compacto K U. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 8 / 17

11 Nuevos teoremas Nuevos teoremas de valor medio El teorema anterior se obtendrá como consecuencia del teorema que enunciamos a continuación. Ambos serán los más utilizados en el Cálculo Diferencial en varias variables. Teorema Sea U un conjunto abierto de R n y f : U R p una función que admite derivadas parciales acotadas en U. Entonces f es lipschitziana sobre cada compacto K U. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 8 / 17

12 Nuevos teoremas Consecuencias directas Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto convexo U es lipschitziana sobre U. Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuencia es continua sobre U. En ambos casos, si M 0 es una cota para las derivadas parciales entonces M vale como constante de Lipschitz para f respecto, como es habitual, a las normas 1 y. Si todas las derivadas de una función f se anulan en el abierto U entonces f es localmente constante. Si además U es convexo (conexo) f es constante. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 9 / 17

13 Nuevos teoremas Consecuencias directas Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto convexo U es lipschitziana sobre U. Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuencia es continua sobre U. En ambos casos, si M 0 es una cota para las derivadas parciales entonces M vale como constante de Lipschitz para f respecto, como es habitual, a las normas 1 y. Si todas las derivadas de una función f se anulan en el abierto U entonces f es localmente constante. Si además U es convexo (conexo) f es constante. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 9 / 17

14 Nuevos teoremas Consecuencias directas Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto convexo U es lipschitziana sobre U. Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuencia es continua sobre U. En ambos casos, si M 0 es una cota para las derivadas parciales entonces M vale como constante de Lipschitz para f respecto, como es habitual, a las normas 1 y. Si todas las derivadas de una función f se anulan en el abierto U entonces f es localmente constante. Si además U es convexo (conexo) f es constante. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 9 / 17

15 Nuevos teoremas Condición suficiente de diferenciabilidad Teorema Si la función f : A R n R p, admite derivadas parciales, respecto a cualquier índice, en un entorno del punto a A o y éstas son aplicaciones continuas en a, entonces f es lipschitziana en alguna bola centrada en a. f es diferenciable en a. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 10 / 17

16 Nuevos teoremas Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente Corolario Si todas las derivadas parciales de una función f son continuas en un abierto U de R n entonces f es locamente lipschitziana y diferenciable en U. Comparar este resultado con el resultado obtenido antes: Toda función que admite derivadas parciales acotadas en un abierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuencia es continua sobre U. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 11 / 17

17 Funciones de clase C 1 Nuevos teoremas Definición Una función f se dice de clase C 1 sobre un subconjunto A de R n, lo cual lo expresaremos con la notación f C 1 (A), si f admite derivadas parciales en algún abierto que contiene a A y éstas son continuas en cada punto de A. De nuevo, de la condición suficiente de diferenciabilidad se deduce que Corolario Si f es una función de clase C 1 sobre A entonces f es diferenciable en cada punto de A. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 12 / 17

18 Funciones de clase C 1 Nuevos teoremas Definición Una función f se dice de clase C 1 sobre un subconjunto A de R n, lo cual lo expresaremos con la notación f C 1 (A), si f admite derivadas parciales en algún abierto que contiene a A y éstas son continuas en cada punto de A. De nuevo, de la condición suficiente de diferenciabilidad se deduce que Corolario Si f es una función de clase C 1 sobre A entonces f es diferenciable en cada punto de A. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 12 / 17

19 Parciales de orden r Definiciones y notaciones Sea f : A R n F, a o A. Parcial segunda de f respecto a x i y a x j en a 2 f x i x j (a) = ( f ) (a). x i x j Parcial de orden r de f respecto a x j1,..., x jr r f (a) = ( r 1 f ) (a). x j1... x jr x j1 x j2... x jr en a F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 13 / 17

20 Notación abreviada Parciales de orden r Cuando se puedan permutar las derivaciones (esto no sucede siempre) se denotará por r f x i 1 1 x i xn in (a), al resultado de efectuar r derivaciones parciales: i n respecto a x n, i n 1 respecto a x n 1, etc. y por último i 1 derivaciones respecto a x 1. Por tanto i 1 + i i n = r. i j = 0 significa que no se deriva respecto a la coordenada x j. Por ejemplo, para f de 3 variables podríamos referirnos a 2 f x 2 (x 0, y 0, z 0 ), 3 f (x, y, z), x y z 5 f x 2 (1, 0, 2), etc. y z2 F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 14 / 17

21 Parciales de orden r El teorema de Schwartz Permutación de las derivadas parciales Existen varios resultados dando condiciones suficientes para poder permutar las derivaciones parciales. El más clásico de todos ellos es el teorema de Schwartz "derivadas parciales cruzadas"que enunciamos a continuación y cuya demostración se basa en el Teorema 1 del valor medio. Teorema Sea f una función escalar de dos variables, para la que existen f f x (x, y), y (x, y), 2 f x y (x, y) en cada punto (x, y) de alguna bola centrada en el punto (a, b). Si además la aplicación 2 f x y es continua en (a, b), entonces también existe la otra derivada cruzada en (a, b), y se verifica que 2 f y x (a, b) = 2 f x y (a, b). F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 15 / 17

22 Parciales de orden r Permutación de las derivadas parciales Permutación de las derivadas parciales de orden r Una útil consecuencia del teorema de Schwartz es el siguiente resultado para funciones de n-variables: Corolario Si todas las derivadas parciales de orden r de la función escalar f de n-variables existen en algún entorno de un punto a y son funciones continuas en a, entonces cada derivada parcial de orden r de f en a es independiente del orden en que se efectúen las derivaciones. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 16 / 17

23 Parciales de orden r Funciones de clase C r Funciones de clase C r Definición Sea A un subconjunto de R n. Una función f se dice de clase C r (r N \ {0}) sobre A, lo cual lo expresaremos con la notación f C r (A), si f admite derivadas parciales de orden r en algún abierto que contiene a A y éstas son continuas en cada punto de A. De acuerdo con el resultado tipo teorema de Schwartz del corolario anterior es obvio que Corolario Si f es una función de clase C r sobre un conjunto A, entonces las derivadas parciales de orden r de la función f en cada punto de A sólo dependen de número de veces que se deriva respecto a cada coordenada y no del orden en que se efectúen las derivaciones. F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 17 / 17