x y x y y x a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (0,0) y

Transcripción

1 ( ) (, ) (,) 1.- Dada la función f(, ) : (, ) (,) a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (,) c) Calcular (,) (,) (si es necesario prolongar por continuidad) d) Estudiar la diferenciabilidad de f en (,) (si es necesario prolongar por continuidad) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) D (, ) /( 1)( ) (,) Por consiguiente { } { } ( 1)( ) 1 ± - 1 ( ) b) (, ) D ( 1)( ) 1, entonces: (, ) D { (,)} f(, ) 1 (, ) (,) Aora se analizará la continuidad en el punto (,): f (, ) f(,) f es continua en (,). (, ) (,) (, ) (,) 1 Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 1

2 f(,) f(,) c) 1 (,) f(, ) f(,) (,) 1 d) En el punto (,) se cumplen las condiciones necesarias para diferenciabilidad, la función es continua (, ) (,) son finitas, por lo que aplicaremos la condición necesaria suficiente. f(, ) f(,) f (,) f (,) 1 (, ) (,) (, ) (,) (1) ρ cosθ sinθ () ρ cosθ sinθ θ (, ) (,) ρ sin 1 ρ 1 ρ θ ρ ρsinθ 1 Por lo tanto, f es diferenciable en el punto (,). (1) ρ cosθ En polares: ρ sinθ () ρsinθ 1 1 ρ.- Dada la siguiente función e si (, ) (,) f(, ) si (, ) (,) a) Estudiar la continuidad de f en el plano. b) Calcular las derivadas parciales de orden uno de f en el plano. a) Analizar la diferenciabilidad de orden uno de la función f en el plano a) (, ) (,) f es continua. f (,) ρsinθ e ρ cos θ e ρsinθ f(, ) ρ cos θ e (, ) (,) (, ) (,) ρ ρ ρ Por lo tanto, f es continua en el punto (,). b) (, ) (,): 4 ( ) e f (, ) ( ) ( ) e f (, ) ( ). Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela

3 f(,) f(,) (,) 1 f(, ) f(,) (,) c) (, ) (,) f es diferenciable. Para analizar la diferenciabilidad en el punto (,) utilizaremos la condición necesaria suficiente: e f(, ) f(,) f (,) f (,) ρsinθ ( e 1) ρ cos θ ( e 1) ρ cosθ sin θ (, ) (,) / ρ ρ (, ) (,) (, ) (,) ( ) ρ θ ( e ) cos θ sin 1 cosθ sin θ sin θ cosθ ρ Por lo tanto f es diferenciable en el punto (,). sin( ) si.- Sea f(, ) sin( ) si (,), Estudiar en el punto (,): c) La continuidad de f. d) Las derivadas parciales de f. b) La diferenciabilidad de f. a) f (,) Calcularemos los límites direccionales de la función f en el punto (,): f(, ) (, ) (,) sin( ) LH 1 cos( ) LH 1 sin( ) f(, ) m sin( m) m m cos( m) m m sin( m) (, ) (,) m m {} 1 1 f(, ) m m m (, ) (,) Por lo tanto, f no es continua en (,). b) f(,) f(,) (,) Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela

4 f(, ) f(,) sin( ) (,) c) Al no ser f continua en (,) no puede ser diferenciable en dico punto (no cumple la condición necesaria). 1 L e sin (, ) (,) f : (, ) (,) a) Analizar la continuidad de f en el punto (,). b) Calcular (,) (,). c) Estudira la diferenciabilidad de f en el punto (,). ( ) 4.- Dada la función (, ) a) f es continua en (,) f (,) (, ) (,) f(, ) f(,) (, ) (,) f(, ) L1 (acotado) (acotado) f(, ) Luego, f es continua en (,). 1 1 L( 1) sin sin f(,) f(,) b) (,) 1 sin (acotado) 1 1 L( e ) sin sin f(, ) f(,) 1 (, ) sin (,) c) (,) f no puede ser diferenciable en (,). si (, ) (,) 5.- Sea la función f(, ). si (, ) (,) a) Analizar si f es diferenciable en (,). b) Si u ( 1, ) es un vector unitario, la derivada direccional de f en (,) según la dirección del vector u viene dada por la epresión f (,) f (,)? Razonar la respuesta. 1 b) Hallar la derivada direccional de f en (,) según la dirección del vector u (1,1). Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 4

5 a) Condición necesaria para ser diferenciable: f(,) f(,) (,) f(, ) f(,) (,) Condición necesaria suficiente: f(, ) f(,) f (,) f (,) (, ) (,) (, ) (,) ρ cos θ sinθ ϕθ ( ) no es diferenciable. ρ ρ df b) Como f no es diferenciable en (,) 1 f (,) f (,) du (,) c) Para calcular la derivada direccional en (,) debemos usar la definición: λ 1 df f( λ 1, λ) f(,) λ 1 u ( 1, ) unitario. λ λ du λ λ (,) Haremos u (1,1) 1 1 unitario: u, df du (,). si (, ) (,) 6.- Dada la funcioón f(, ) : si (, ) (,) a) Analizar la continuidad de f en el punto (,). b) Calcular (,) (,). c) Estudiar la diferenciabilidad de f en el punto (,). a) b) (polares) ρ sin θ sin θ f(, ) ρ ρ cos θ ρ sin θ cos θ sin θ (, ) (,) ρ ρ θ acotado f(, ) f es continua en (, ). f(,) f(,) (,) Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 5

6 (, ) (,) 1 (,) f f c) f diferenciable en (,) f(, ) f(,) f (,) f (,) (, ) (,) En este caso: 1 (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (Polares) ρ sinθ cos θ ϕ( θ) θ ρ ρ cos θ sin θ ρ ( ) Luego f no es diferenciable en (,). ( ) ( ) sin (, ) (,) 7.- Dada la función f(, ), (, ) (,) a) Analizar su continuidad en. b) Calcular sus primeras derivadas parciales en (,). c) Analizar su diferenciabilidad en (,). d) Estudiar su derivabilidad en (,). a) D (, ) D {(,)} f es continua (composición de funciones continuas) En el punto (, ) (,), f (,) f(, ) sin sin (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) Y ρ cos θ sin θ ρ (cos θ sin θ) sin sin ρ ρ ρ (, ) (,) ( ) [ ) ρ θ θ ρ θ θ θ π cos sin sin (cos sin ), ρ Luego f(, ) f(,) f es continua en (,). (, ) (,) Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 6

7 sin f(,) f(,) b) (,) 1 sin f(, ) f(,) (,) c) Para analizar la diferenciabilidad en (,) usaremos la condición necesaria suficiente. Es decir, f es diferenciable en (,) f(, ) f(,) f (,) f (,) (, ) (,) Luego: sin sin (, ) (,) (, ) (,) ( ) ρ cos θ sinθ sin ρ (cos θ sin θ) ρ ρ ( ) cos θ sinθ sin ρ (cos θ sin θ) ρ Por tanto, f es diferenciable en (,). d) f diferenciable en (,) f derivable en (,). si (, ) (,) 8.- Sea f(, ). si (, ) (,) a) Estudiar su dominio, continuidad en (,) calcular sus derivadas parciales en (,). b) Eplicar si es diferenciable en (,). c) Hallar el gradiente de f en el punto P(,-1), así como la recta tangente a la curva de nivel que pasa por dico punto.. a) Dominio: 4 (. ) (,) Pero f (,) Luego, D Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 7

8 Continuidad en (,): ρ cos θ sinθ f(, ) (, ) (,) (, ) (,) ρ ρ ρ cosθ sinθ (*) cos θ sinθ ρ θ [,π) f(, ) f(,) ρ 1 cosθ sinθ (, ) (,) Luego f es continua en (,). (*) 1 cosθ sinθ θ [,π) Derivadas parciales en (,): f(,) f(,) (,) f(, ) f(,) (,) b) Para analizar la diferenciabilidad en (,) usaremos la condición necesaria suficiente: f(, ) f(,) f (,) f (,) (, ) (,) (, ) (,) ρ cos θ sinθ [ ) ϕ( θ) θ, π ρ ρ (1 cosθ sin θ) ρ Luego f no es diferenciable en (,). c) Como (, ) (,) f es diferenciable: f(, 1) f (, 1) i f (, 1) j ( ) ( ) 8 (, ) (,) f (, ) f (, 1) ( ) 49 ( ) ( ) 1 (, ) (,) f (, ) f (, 1) ( ) f(, 1) i j, Teniendo en cuenta que la recta tangente a la curva de nivel que pasa por P el gradiente en ese punto son perpendiculares, entonces: Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 8

9 Vector tangente: Recta tangente: ,, f (, 1) Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela 9