ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA (0260)

Transcripción

1 ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA (6) Tema. Variable aleatoria en una dimensión Enero 7. La unción de probabilidad de la variable aleatoria discreta N viene dada por N n p (n) = K.r, n =,,.... Calcule el valor de K si < r <.. Determine el valor de la constante A para que A3 =,3,5,7,... A4 =,4,6,8,... en otro caso sea una unción de densidad. 3. Se tienen dos cajas numeradas y. La caja contiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas mientras que la caja contiene pelotas rojas y 6 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis. Si N es menor que 5 se etraen pelotas de la caja, en caso contrario se etraen pelotas de la caja. Sea el número de pelotas rojas etraídas. Calcule la unción de distribución acumulativa de probabilidades y la unción de densidad de probabilidades de la variable aleatoria. 4. El número de etracciones necesarias para obtener el primer objeto deectuoso es una variable aleatoria con unción de densidad.5(.95) =,,.... otro caso Cuál es la probabilidad de que sea necesario eaminar a lo sumo 3 objetos antes de obtener el primer deectuoso? 5. Se lanza un dado n veces y se observa en cuál de los lanzamientos sale el número 3 por primera vez. a. Deina la variable aleatoria de interés Construya la unción de probabilidad c. Construya la unción de distribución acumulada 6. Se lanzan dos dados y se llama a la suma de los resultados. Construya y graique la unción de densidad y la unción de distribución acumulada 7. Considere una caja que contiene 6 ichas numeradas del al 6. Se etraen dos ichas con reemplazo y se observa el mayor de los números. Construya y graique la unción de densidad y la unción de distribución acumulada. 8. Realice el ejercicio anterior pero sin reemplazo. 9. Considere una caja que contiene 3 ichas numeradas del al 3. Se etraen dos ichas con reemplazo y se llama al mínimo común múltiplo de los números. Construya la unción de densidad y la unción de distribución acumulada de Pro. José Luis Quintero

2 . Se lanza al aire una moneda n veces y se observa en cuál de los lanzamientos la moneda cae cara por primera vez. Halle la unción de densidad y la unción de distribución acumulada.. Determine el valor de la constante A para que las siguientes sean unciones de densidad. A =,,...,n a. enotrocaso = A,,... enotrocaso. Sea una variable aleatoria con unción de probabilidad dada por la siguiente tabla: i Pi Calcule las siguientes probabilidades: a. es negativo es par c. toma valores entre y 8 inclusive d. P( = 3 ) e. P( 3 > ) 3. Sea una variable aleatoria discreta. Halle el valor de k para que la unción p() = k, =,, 3, 4, sea la unción de probabilidad de. Determine P( 3). 4. Sea la eperiencia aleatoria consistente en lanzar un par de dados no cargados, y se deine la variable aleatoria igual al puntaje del primer dado menos el puntaje del segundo. Halle su unción de densidad y su unción de distribución acumulada. 5. Demuestre que no hay valores de c para que las siguientes sean unciones de densidad: c =,,3,... a. otrocaso = c,,3,... otro caso 6. Una caja tiene bolas numeradas del al. Se etraen dos bolas al azar de la caja. Sea el mayor de los números. Calcule la unción de probabilidad de si: a. Las etracciones se hacen con reemplazo Las etracciones se hacen sin reemplazo 7. Una variable aleatoria puede tomar los valores,, 3 y 4 con probabilidades + 3A, A y 4A 4, A 4 respectivamente. Halle los valores de A para que ésta sea una distribución de probabilidad y construya la unción de distribución de probabilidad acumulada. Pro. José Luis Quintero

3 8. Una variable aleatoria continua tiene la siguiente unción de distribución acumulada: a + b < 3 F() 4 <. 5 c + d 4 < 6 > 6 Calcule a. Los valores de a, b, c y d () 9. La mediana de una distribución de una variable aleatoria es un valor de tal que P < y P { }. Si este valor es único, se le llamará la mediana de la distribución. { } Calcule la mediana de las siguientes distribuciones: 4! 3 4 ( )( ) =,,,3,4 a.!(4 )! 4 4 = otro caso < < 3 otrocaso () =, R π ( + ) c.. La moda de una distribución de una variable aleatoria es el valor de que maimiza la unción de densidad. Si este valor es único, representa la moda de la distribución. Calcule la moda de las siguientes distribuciones: ( ) =,,3,... a. otro caso c. < < ( ) otro caso > e. Sea una variable aleatoria tal que E ( t) eiste para todo t real. Determine el mínimo de (t) = E ( t) y establezca conclusiones al respecto.. Sea una variable aleatoria con distribución continua cuya densidad es positiva si < < b, siendo b un número real positivo. Pruebe que b E = F() d, donde F() es la unción de distribución de. 3. Sea una variable aleatoria continua con unción de densidad (a b + ) a () (a b + ) b, < a < otro valor a. Halle la unción de distribución acumulada Pro. José Luis Quintero 3

4 Qué condiciones deben cumplir a y b para que el valor esperado de sea igual a ½? 4. Sea una variable aleatoria discreta con unción de probabilidad () positiva en los puntos =,,. Si () = y E() =, halle ( ), () y V() Suponga que la variable aleatoria continua representa el interés (en tanto por uno) que genera una acción en bolsa en una jornada elegida al azar con unción de densidad k( + ) < < k( ) <. otro caso a. Calcule el valor de k Halle la unción de distribución acumulada 6. Sea una variable aleatoria que representa el diámetro de un cable eléctrico con unción de densidad 6( ). otro caso a. Veriique que () es una unción de densidad Encuentre la unción de distribución acumulada F() c. Encuentre un número b tal que P { < b} = P { > b} d. Calcule P { < < } Sea una variable aleatoria continua con unción de densidad dada por k < k < k(3 ) < < 3 en otro caso Encuentre la varianza de. 8. En una caja hay 4 ichas marcadas con los números 3, 4, 5 y 6 respectivamente. La variable aleatoria es la suma de los números de dos ichas tomadas al azar sin reemplazo. Halle la unción de densidad y la unción de distribución de. 9. Sea Y una variable aleatoria cuya unción de densidad viene dada por y cye y Y(y) y < a. Encuentre el valor de c Obtenga el valor esperado y la varianza de Y E E. 3. Si la varianza de una variable aleatoria eiste, pruebe que ( ) 3. Sea una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un período de una hora. Dada la siguiente inormación Pro. José Luis Quintero 4

5 p() Encuentre E() y Var(). 3. Determine el valor esperado de la variable aleatoria que tiene la distribución de probabilidad () = para =,,, Sea una variable aleatoria continua. a. Determine el valor de k para que la unción ke 5 () > enotrocaso sea la unción de densidad de probabilidad de. Graique () c. Calcule P( 5)yP( 8) d. Determine F() y graíquela 34. La duración en horas de un componente electrónico, es una variable aleatoria cuya unción de distribución acumulativa es F() = e, >. Determine la: a. unción de probabilidad de probabilidad de que el componente trabaje más de horas 35. La unción de distribución acumulativa de una variable aleatoria está dada por < F() > a. Graique F() 3 Obtenga P( < )yp( > ) c. Determine () Veriique que las siguientes unciones son densidades y obtenga la unción de distribución correspondiente. π cos() < < a. en otro caso 3 < 4 ( ) para para 37. Determine el valor que debe tomar la constante A en cada caso para que las siguientes unciones sean densidades de una unción de distribución. ( α + ) A a. > α R otro caso A( ) () otro caso Pro. José Luis Quintero 5

6 A () =, < < + c. 38. Sea ce > una unción de densidad. Calcule P( < ) y P( < < 3). 39. Halle la unción de distribución F y su gráica si la densidad de es: a. otrocaso < otrocaso 4. Sea Halle un número tal que P( > ) =.. e > 4. La vida de una máquina, medida en horas, tiene densidad. c > a. Calcule c Halle la unción de distribución c. Calcule P( > 5) 4. Se deine la unción F por < F(). + a. Demuestre que esta unción es una unción de distribución Halle un número c tal que P( c) = c. Calcule P( ) 43. Una variable aleatoria tiene unción de distribución cuya densidad está deinida por A < < enotrocaso Determine: a. El valor de A La unción de distribución F c. P( < ) P( < < ) d. 4 3 P( )yp( ) e. Pro. José Luis Quintero 6

7 44. La unción de densidad de la variable aleatoria es si < < si < M. en otro caso Encuentre a. La distribución acumulada de P(.8 < <.6M) 45. Si la unción de densidad de la variable aleatoria está dada por < <, 3 < < 3 enotrocaso determine la unción de distribución acumulada F(). 46. La unción de densidad de probabilidad de una variable aleatoria está dada por: ( ) < <. en otro caso Determine E() y Var(). 47. Sea una variable aleatoria que representa la magnitud de la desviación, a partir de un valor prescrito, del peso neto de ciertos recipientes, los que se llenan mediante una máquina. La unción de densidad de probabilidad de está dada por < <. enotrocaso Determine E() y Var(). 48. Suponga que la duración en minutos de una llamada de negocios, es una variable aleatoria cuya unción de densidad de probabilidad está determinada por e 4 = > 4. enotrocaso Determine E() y Var(). 49. La unción de densidad de la variable aleatoria continua está dada por < < 3.ln(3) en otro caso Determine 3 E(), E( )ye( ). 5. Sea = ( ),,3,... enotrospuntos la unción de densidad de la variable aleatoria. Calcule la esperanza y la varianza de. Pro. José Luis Quintero 7

8 [] K = r [] A = RESPUESTAS [3] F() = U() + U( ) + U( ), = δ () + δ( ) + δ( ) [9] a. P( = ) =, P( = ) =, P( = 3) =, P( = 6) = < < 9 4 F() 3 = P( ) < < [] a. A = n(n + ) A = [] a..3.5 c..55 d.. e..454 ( ) [6] a. P( = ) = P( = ) = < 3 3 [8] a. a =, b =, c =, d = () = 4 < otrocaso [9] a. 3 c. [] a. 3 c. [] Mínimo = E(), (E()) = V() b b b b b [] E = F() d = b F()d = b.f() + d = d < a a b+ a [3] a. F() a < < b a b+, < a < b (b a) b a b+ > [5] a. k = ( + ) < < F() ( ) < 7 a + b = [4] ( ) = () = V() = [7] 5 () = δ( 7) + δ( 8) + δ( 9) + δ( ) + δ( ) 4 [8] F() = U( 7) + U( 8) + U( 9) + U( ) + U( ) 4 [3] 4 y 4. [34] a. e < [36] a. F() sen() π > π < 3 F() (3 ) + 4 > 6 3 [37] a. A = α α A = 6 c. A = [38] a. c =.594 c..7 π 36 Pro. José Luis Quintero 8

9 si [39] a. F() si < < si [4] a. c = 3 [43] a. A = 4 < [45] F() = < 4 ( )( 5) 3 4 < > 3 si si < < F() si si > si F() si > 3 + F() < < c. 8 c. 5 d [48] 4 y 6 [5] a. [4] = ln() [4] c = c. 3 e. 7, 6 8 Pro. José Luis Quintero 9