GUÍA DE CÁLCULO INTEGRAL. 2. De la siguiente tabla del peso en kilogramos de 40 personas.

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARÍA ACADÉMICA DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS NARCISO BASSOLS GUÍA DE CÁLCULO INTEGRAL 1. Las puntuaciones siguientes se obtuvieron en una prueba de 50 preguntas. Elabora una distribución de frecuencias con datos agrupados De la siguiente tabla del peso en kilogramos de 40 personas a) Construye la tabla de distribución de frecuencias con cinco intervalos. b) Determina la frecuencia acumulada. d) Determinar la media, mediana y moda. 3. Con los datos siguientes, que representan el tiempo dedicado al estudio fuera de clases, en horas a la semana, por estudiantes de nivel superior Construye una tabla de distribución de frecuencias, grafica la ojiva menor que, el histograma y el polígono de frecuencias. Calcular: Media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, varianza, desviación estándar, desviación media, coeficiente de variación. Academia de Matemáticas T.V. Página 1

2 4. Dada la siguiente distribución de frecuencias de las alturas de los estudiantes de un plantel, calcula la media, la mediana, la moda, la media geométrica y grafica el histograma y el polígono de frecuencias. Alturas (en cm) Frecuencia Total La siguiente es la distribución de los pesos de 125 muestras de minerales recolectadas en una investigación de campo. Peso en gramos Frecuencia Total 125 a) Encuentra la desviación estándar. b) Encuentra cuántas de las muestras pesan máximo 59.9 g. c) Cuántas muestras pesan por lo menos 80 g.? d) Elabora el histograma, polígono de frecuencias y ojiva menor que. 6. La siguiente es la distribución del número de mensajes enviados o recibidos al día en teléfono celular. No. De mensajes Frecuencia Academia de Matemáticas T.V. Página 2

3 Determinar: a) Mediana. b) Moda. c) Desviación estándar. d) Rango semiintercuartílico. e) Graficar el histograma. f) Graficar la ojiva mayor que y menor que. 7. La siguiente distribución corresponde a las horas a la semana invertidas en video juegos, computadora y televisión por niños de entre 9 y 12 años. Horas a la semana Frecuencia Determina: a) Media Geométrica. b) Coeficiente de variación. c) Decil 7. d) Percentil 90. e) Grafica el Histograma y el Polígono de frecuencias. 8. Grafica el histograma, polígono de frecuencias, ojiva mayor que y ojiva menor que con los siguientes datos. TEORIA DE CONJUNTOS Ejercicios Clase Frecuencia Si U= 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A= 2, 3, 7, 9, B= 6, 7, 8, 9, C= 4, 5, 6 Academia de Matemáticas T.V. Página 3

4 Determinar, cuando sea posible: 1. A B 2. c A B 3. A B. A B 4. C 5. A c B C 6. A C c B 7. A B B A 10.- Construya el diagrama de Venn-Euler correspondiente a las expresiones: A C 1. B 2. A C c B 3. C A B c 4. R Q S 5. R S Q R S 6. A B c A Problemas 11. En una escuela de 1500 estudiantes se realiza una encuesta respecto a los programas de televisión y se obtienen los siguientes datos, 750 ven programas deportivos, 327 ven programas de noticias, 143 miran programas musicales, 142 ven noticieros y no miran programas deportivos ni musicales, 35 ven noticieros y programas musicales, 20 ven noticieros, programas musicales y deportivos, 95 ven programas deportivos y musicales. Cuántos de estos estudiantes: a) Ven exactamente un tipo de programa? b) No ven ningún tipo de programa? c) Ven al menos un programa? d) Ven a lo más un programa? Academia de Matemáticas T.V. Página 4

5 12.- En una encuesta de 1500 personas se encontró que: 244 leen en periódico La Prensa 260 leen La Jornada 190 el Independiente 116 leen La Prensa y La Jornada 65 La Prensa y El independiente 75 La Jornada y El Independiente Si se sabe que el número de personas que leen los tres periódicos es la mitad de los que únicamente leen La Prensa, hallar: a) El número de personas que leen los tres periódicos. b) El número de personas que leen otros periódicos. c) El número de personas que leen únicamente La Jornada. 13. Una de las dependencias del gobierno ha realizado un censo sobre la población económicamente activa en el D.F., obteniéndose los siguientes resultados: 40.5% de la población está estudiando 38.9% de la población está trabajando 41.5% de la población es menor de 25 años 8.6% de la población está estudiando y trabajando 24.9% de la población es menor de 25 años y está estudiando 16.0% de la población es menor de 25 años y está trabajando 77.6% de la población estudia o trabaja o es menor de 25 años El Estado desea saber: a) Qué porcentaje de la población no entra en ninguna de las tres categorías? b) Qué porcentaje es menor de 25 años, estudia y trabaja? c) Qué porcentaje se encuentra en sólo una de las categorías? 14. En una encuesta de 1500 personas se encontró que: 224 leen el periódico La Prensa 260 leen La Crónica 190 El Independiente 116 leen La Prensa y La Crónica 65 La Prensa y El Independiente 75 La Crónica y El Independiente Si se sabe que el número de personas que leen los tres periódicos es la mitad de los que únicamente leen La Prensa, hallar: a) El número de personas que leen los tres periódicos Academia de Matemáticas T.V. Página 5

6 b) El número de personas que leen otros periódicos c) El número de personas que leen únicamente El Independiente Solución: a) 43 personas, 1079 personas, 93 personas Resolver los siguientes problemas de probabilidad 14.Una empresa redujo su personal de ventas de 32 a 28 empleados. La compañía informó que seleccionó a cuatro empleados al azar para despedirlos. Sin embargo, los cuatro empleados que eligió son los más viejos de la fuerza de ventas original de 32. Calcule la probabilidad de que cuando se seleccionan cuatro empleados al azar de un grupo de 32, éstos sean los cuatro más viejos. Es la probabilidad lo suficientemente baja como para acusar a la empresa de que en lugar de usar selección aleatoria, en realidad sólo despidió a los empleados más viejos? p = 1/35960 El despido no parece de forma aleatoria. 15.Si la probabilidad de que el equipo azul gane un partido es 0.6, cuál es la probabilidad de que lo pierda? p = Se tira un dado dos veces, cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea 10, 11 o 12? p = 1/6 17.En una clase hay 13 niños y 10 niñas. Se eligen dos estudiantes aleatoriamente, determinar la probabilidad de que sean: a) Del mismo género. p = 41/100 b) De distinto género. p = 13/30 18.Una bolsa contiene 8 tornillos defectuosos y 15 en buen estado, si se extraen tres al azar, hallar la probabilidad de que sean: a) Los tres defectuosos. p = 56/1771 b) Los tres en buen estado. p = 455/1771 c) Dos en buen estado y un defectuoso. p = 840/1771 d) Dos en buen estado y dos defectuosos. p = 0 19.En una ciudad de habitantes, se registraron 30 casos de poliomielitis. Hallar la probabilidad de que una persona determinada de la ciudad haya contraído la enfermedad. p = 3/ Si se escoge aleatoriamente una carta de una baraja de 52 cartas, determinar la probabilidad de que sea: a) Un as. p = 1/13 b) Una reina o un rey. p = 2/13 Academia de Matemáticas T.V. Página 6

7 c) Un as o un trébol. p = 4/13 d) Un corazón. p = 1/4 21.Tres nadadores (A,B,C) intervienen en una competencia. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble que la de C. Hallar la probabilidad de que gane A o C. p = 3/5 P = 4/15 22.Se tienen tres urnas, la urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. La urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca. La urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola. Si la bola es roja, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A? 23. En tres urnas se colocan canicas rojas, blancas y azules como sigue: Urna I 3 rojas 4 blancas 5 azules Urna II 2 rojas 1 blanca 3 azules Urna III 2 rojas 2 blancas 2 azules Si se selecciona una urna al azar y se saca una canica azul, cuál es la probabilidad de que la urna haya sido la número II? p(ii/azul)= 0.4 Distribución de probabilidad 24.Se lanzan dos dados, sea X la variable aleatoria de la suma de puntos. Determinar la distribución de probabilidad y la desviación estándar. 25.Se lanzan dos monedas cargadas de tal forma que p(a)=1/3 y p(s)=2/3. Determinar la distribución de probabilidad y la desviación estándar. 26.Una caja contiene 10 bolas, de las cuales 2 son blancas. Se extraen 2 bolas al azar, considerando a la variable aleatoria X como el número de bolas blancas extraídas, elaborar la tabla de distribución de probabilidad y calcular el valor esperado y la desviación estándar. Distribución Binomial 27.Un equipo de futbol tiene 0.55 de probabilidad de ganar cuando juega. Si el equipo verde juega 6 partidos, determinar la probabilidad de que gane: a) Un partido, b) Por lo menos dos partidos. 28. Si se lanzan cinco monedas, cuál es la probabilidad de que por lo menos se obtengan dos águilas? Academia de Matemáticas T.V. Página 7

8 29. Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que al seleccionar cuatro de ellos, uno sea defectuoso. 30. Un 9% de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabricación, resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que una muestra de 10 utensilios elegidos aleatoriamente, sean exactamente tres los defectuosos. 31. La probabilidad de que un estudiante nuevo se gradúe es Determinar la probabilidad de que de 8 estudiantes nuevos: a) Uno se gradúe, b) Al menos dos se gradúen. 32.La probabilidad de que un empleado elegido al azar esté participando en un programa de inversión en acciones es de 40%. Si se eligen al azar cinco empleados. Cuál es la probabilidad de que 3 o menos empleados participen en el programa?. R %. 33.Suponga que el 40% de los empleados de una empresa están a favor de tener representación sindical, y se entrevista a una muestra aleatoria de 10 empleados y se les solicita una respuesta anónima. Cuál es la probabilidad de que: a) 5 respondan, b) menos de la mitad respondan?. R. a %. b %. 34. Unos pollitos, cuyo sexo no ha sido determinado son separados aleatoriamente en grupos de 15. Cuál es la probabilidad de que 10 pollitos en el primer grupo sean hembras?. R % Distribución de Poisson 35.- El 1% de la producción de una máquina es defectuosa. Se tiene una muestra de 200 unidades. Determinar la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosas. 36. Supóngase que 300 erratas están distribuidas aleatoriamente en el contenido de un libro de 500 páginas, encontrar la probabilidad de que: a) una página dada contenga 3 o más erratas; b) una página dada contenga exactamente 2 erratas. 37. El 5% de los tornillos fabricados por una compañía son defectuosos. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 200 tornillos haya; a) dos o más tornillos defectuosos; b) cinco tornillos defectuosos. 38. Supóngase que el 1% de los artículos producidos por una máquina son defectuosos. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 artículos haya: a) 4 artículos defectuosos, b) 3 o más artículos defectuosos. Academia de Matemáticas T.V. Página 8

9 Distribución Normal. 39. Supóngase que la estatura de 800 estudiantes esta normalmente distribuida con media 1.70 y desviación estándar 5 centímetros. Hallar el número N de estudiantes con estatura: a) entre 1.60 y 1.75 m. b) mayor o igual a 1.50 m. R. a) estudiantes, b) 800 estudiantes. 40. Supóngase que los pesos de 2000 estudiantes varones están normalmente distribuidos con media 60 kg. Y desviación estándar de 6 kg. Hallar el número de estudiantes con pesos: a) inferiores o iguales a 50 kg. b) entre 58 y 65 kg. c) mayores o iguales a 100 kg. R. a) 97 estudiantes, b) 852 estudiantes, c) ningún estudiante. 41. Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos normalmente con media 0.25 pulgadas y desviación estándar 0.02 pulgadas. Se considera defectuosos un tornillo si su diámetro es menor o igual a 0.20 pulgadas o mayor o igual a 0.28 pulgadas. Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por la compañía. p = = 7.3% 42. Supóngase que los puntajes de un examen están distribuidos normalmente con media 76 y desviación estándar 15. El 15% de estudiantes, los mejores, reciben calificación A, y el 10%, los peores reprueban el curso y tienen de calificación D. Hallar: a) el puntaje mínimo para alcanzar A, b) el puntaje mínimo para aprobar. No recibir D. R. a) 91.6, b) Considerando que los coeficientes de inteligencia (CI o IQ) en seres humanos están distribuidos normalmente con media igual a 100 y desviación estándar igual a 10, si una persona es elegida al azar, cuál es la probabilidad de que su CI a) esté entre 100 y 115 b) sea mayor que 95? Solución: a) b) Un investigador informa que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que la vida de tales ratas está normalmente distribuida con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentra la probabilidad de que una rata determinada viva a) Más de 32 meses, b) Menos de 28 meses, c) Entre 37 y 49 meses. Solución: a) b) c) Academia de Matemáticas T.V. Página 9