Libro de ejercicios de refuerzo de matemáticas de 1 o BCS. María de la Rosa Sánchez

Transcripción

1 Libro de ejercicios de refuerzo de matemáticas de 1 o BCS María de la Rosa Sánchez

2

3 Índice general 1. Estadística unidimensional 5 2. Estadística bidimensional Distribuciones de probabilidad Distribución binomial y normal 39

4 ÍNDICE GENERAL Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 4

5 Tema 1 Estadística unidimensional

6 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS RELACIÓN DE EJERCICIOS TEMA Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en kg de ochenta personas: a) Obtén una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50, 55) b) Calcula el porcentaje de personas que tienen un peso menor que 65 kg. c) Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 kg, pero menos que 85 kg?. 2.- Dada la distribución de frecuencias: x i f i a) Construye una tabla en la que aparezcan frecuencias relativas y frecuencias acumuladas (tanto absolutas como relativas). b) Representa mediante un diagrama de barras la distribución dada y su correspondiente polígono de frecuencias. 3.- Se ha analizado el IVA que se aplica, en diversos países europeos, por la compra de obras de arte. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: PAÍS España 0,16 Italia 0,20 Bélgica 0,06 Holanda 0,06 Alemania 0,07 Portugal 0,17 Luxemburgo 0,06 Finlandia 0,22 6

7 TEMA 1. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. 4.- Para la siguiente tabla, calcula la varianza y la desviación típica: Intervalo f.absoluta [50,54) 7 [54,58) 10 [58,62) 16 [62,66) 20 [66,70) 18 [70,74) 11 [74,78) Las calificaciones de un examen de Historia han sido: 3,5 4 6,5 4,5 7, , , ,5 3, , a) Escribe una tabla estadística con las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. b) Qué porcentaje de alumnos ha obtenido una calificación menor que 4?. c) Calcula la media, moda y mediana. 6.- Una encuesta realizada a los alumnos de un instituto ofrece los siguientes resultados acerca del interés por la lectura a lo largo de un año: Han leído 0 libros 1 libro 2 libros 3 libros 4 libros 5 libros 6 ó más N o alumnos a) Cuántos alumnos han leído dos libros o menos?. b) Qué porcentaje de alumnos ha leído 4 libros?. c) Determina el número medio de libros leídos por los alumnos. 7.- Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística. x i f i F i h i 1 4 0, , ,

8 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 8.- De dos muestras, la primera con media 30 y desviación típica 4 y la segunda de media 50 y desviación típica 5, cuál es la que parece más dispersa?. 9.- En la fabricación de un cierto tipo de clavos, aparecen un cierto número de ellos defectuosos. Se han estudiado 200 lotes de 500 clavos cada uno, obteniéndose: Clavos defectuosos n o lotes Calcula la mediana y el percentil Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, atendiendo a su altura, según la siguiente tabla: Altura [1,70, 1,75) [1,75, 1,80) [1,80, 1,85) [1,85, 1,90) [1,90, 1,95) n o jugadores De una muestra de 75 pilas eléctricas, se han obtenido los siguientes datos sobre su duración: TIEMPO (en horas) Número de pilas [25,30) 3 [30,35) 5 [35,40) 21 [40,45) 28 [45,50) 12 [50,55) 6 a) Calcula la media aritmética y la desviación típica. b) Qué porcentaje de pilas hay en el intervalo (x σ, x + σ)? De una muestra de 16 tornillos se ha medido en centímetros el diámetro de su cabeza, obteniéndose los siguientes resultados: Diámetro 0,092 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 n o Tornillos Calcula la mediana y los cuartiles Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla: 8

9 TEMA 1. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL N o caries f i x 15 y h i 0,25 0,2 z 0,15 0,05 a) Completa la tabla obteniendo x,y,z. b) Calcula el número medio de caries Una zapatería de caballeros vende en un día 40 pares de zapatos de los siguientes números: a) Construye una tabla de frecuencias absolutas de tipo discreto. Cuál es el porcentaje de zapatos de cada talla?. b) Cuántos pares hay en (x σ, x + σ)?.(x σ, x + σ)?. c) Qué talla de zapatos se vende más?. d) Qué talla de zapatos es la mediana? Dos equipos de baloncesto tienen cada uno en su plantilla 15 jugadores con las siguientes edades: A: B: a) Qué equipo es más joven por término medio?. b) Calcula la mediana y la moda de ambos equipos De las siguientes tablas de variables discretas, indica cuál tiene mayor dispersión calculando el coeficiente de variación: x i x i f i f i Considera las siguientes distribuciones discretas: x i x i f i f i x i x i f i f i

10 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS a) Cuáles son simétricas y cuáles asimétricas respecto a la mediana?. De qué tipo es la asimetría?. b) De las simétricas, cuál tiene mayor dispersión?. Cuántos datos están en (x σ, x + σ)?. Qué porcentaje representan? Las calificaciones en Matemáticas de 25 alumnos del grupo A son: mientras que las de los 20 alumnos del grupo B fueron: a) En qué grupo los alumnos obtuvieron mejor nota media?. b) En qué grupo las notas están más dispersas? Las puntuaciones de una prueba de inteligencia aplicadas a unos alumnos han sido: Agrúpalas en intervalos de amplitud 15. Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión Las calificaciones de un grupo de alumnos son las siguientes: Obtén Q 1, Q 2, Q 3, P 25, P 50, P 75 10

11 Tema 2 Estadística bidimensional

12 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS RELACIÓN DE EJERCICIOS TEMA 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL" 1.- Realiza la nube de puntos y calcula el coeficiente de correlación lineal que corresponde a los datos de la siguiente tabla: X Y Dada la distribución bidimensional: X Y a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X. b) Representa conjuntamente la recta anterior y el diagrama de dispersión (nube de puntos). c) Calcula el coeficiente de correlación lineal. d) Estima el valor correspondiente a la variable Y para X= Las tallas, en pulgadas, de 12 padres y sus primogénitos están dadas por la siguiente tabla: Padre Hijo a) Calcula la recta de regresión de los hijos con respecto a los padres. b) Qué talla tendrá un hijo si la del padre es de 72 pulgadas?. 4.- Una prueba de acceso a un puesto de trabajo consta de dos exámenes. Ambos se califican sobre 4 puntos. Se presentan 100 personas y se obtienen los siguientes resultados: Examen Examen N o de personas a) Construye una tabla equivalente de doble entrada. b) Calcula el coeficiente de correlación y explica el tipo de dependencia que existe entre las calificaciones de ambos exámenes. 5.- La tabla siguiente muestra las puntuaciones que han obtenido, en matemáticas y latín, 10 estudiantes elegidos al azar. Se ha puntuado sobre

13 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL Matemáticas Latín a) Halla las rectas de regresión. b) Si un estudiante tiene una puntuación de 75 en latín, cuál será la puntuación esperada en matemáticas?. 6.- En una empresa trabajan 4 obreros. La antigüedad y el número de productos defectuosos elaborados por ellos durante el último años viene dado por: Antigüedad Productos defectuosos a) Representa gráficamente los datos. Razona si los datos expresan correlación positiva o negativa. b) Calcula el coeficiente de correlación. 7.- De la siguiente distribución bidimensional: x i y i Calcula x, y, σ x, σ y, σ xy 8.- Una empresa dispone de los datos de la tabla: N o vendedores N o pedidos Estima el número de pedidos que obtendrían nueve vendedores. Indica el método utilizado en el cálculo de la estimación y la fiabilidad de esta estimación. 9.- En esta tabla se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (medida en una escala de 0 a 10) de diez niños. Edad 6 6,4 6,7 7 7,4 7,9 8 8,2 8,5 8,9 C.agres a) Obtén la recta de regresión de al conducta agresiva en función de la edad. b) A partir de dicha recta, obtén el valor de la conducta agresiva que correspondería a un niño de 7,2 años. 13

14 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 10.- Como consecuencia de un estudio estadístico descriptivo realizado sobre 100 universitarios, se ha obtenido una estatura media de 155 cm, con una desviación típica de 15,5 cm. Además, se obtuvo la recta de regresión Y = 80+1, 5X (siendo X el peso e Y la estatura). Determina, justificando la respuesta: a) El peso medio de estos 100 universitarios. b) El signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura Un estudio sociológico proporciona la siguiente tabla: Nivel de estudios % en paro Calcula el coeficiente de correlación entre el nivel de estudios y el tanto por ciento de paro, interpretando el resultado Las notas de Matemáticas y Física de un grupo de alumnos son las siguientes: Matemáticas Física a) Representa la nube de puntos y sobre ella razona si hay correlación lineal significativa, y de qué signo, entre las calificaciones de Matemáticas y las de Física. b) Razona, sin usar la nube de puntos, si hay una buena correlación Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante cinco semanas. Su peso al término de cada una de esas semanas viene dado en la siguiente tabla: Semana de dieta Peso en kilos 88, ,5 79 a) Calcula el coeficiente de correlación lineal. b) A partir del valor de la correlación lineal, resultaría adecuado utilizar la recta de regresión para hacer predicciones en la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta?. c) Ajusta la mencionada recta de regresión. d) Qué peso es de esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta durante dos semanas más?. Y si prolonga la dieta durante 25 semanas?. 14

15 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 14.- A partir de los siguientes datos relativos a la edad y presión sanguínea de 12 mujeres: Edad (años) Presión a) Calcula el coeficiente de correlación lineal. Qué se puede decir sobre la dependencia de las variables?. b) Halla la recta de regresión de la presión sanguínea sobre la edad. c) Estima la edad de una mujer cuya presión sanguínea es de 135. Es fiable tal estimación? La tabla siguiente expresa los gastos en electricidad y los ingresos de 6 familias en un mes, en euros. Estima el gasto en electricidad de una familia con ingresos de euros y explica el método que has utilizado para obtenerlo. Gasto Ingresos La tabla adjunta muestra la nota de un examen de Matemáticas de 10 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al examenn y el peso de cada uno. Nota Horas de estudio Horas TV Peso (Kg) Estudia gráficamente la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables La siguiente tabla muestra los gastos en publicidad en miles de euros y las ventas obtenidas, también en miles de euros: Gastos en publicidad Ventas a) Halla las dos rectas de regresión. b) Determina la estimación de ventas que se espera cuando se ha producido un gasto en publicidad de 5500 euros y la estimación de gastos en publicidad para producir una venta de euros. Son fiables las estimaciones obtenidas?.razona tu respuesta Una asociación dedicada a la protección de la infancia desea estudiar la relación entre la mortalidad infantil en cada país y el número de camas de hospital por cada 1000 habitantes. Para ello, posee los siguientes datos sobre 10 países concretos que pueden considerarse representativos del resto, donde X representa el número de camas por cada 1000 habitantes e Y el tanto por ciento de mortalidad infantil. Se pide: 15

16 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS a) Halla el coeficiente de correlación lineal. b) Para un país que tiene 150 camas, qué índice de mortalidad se espera?. X Y ,5 60 3, , , Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el número de conciertos dados durante el verano por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos (expresadas en miles de cds), obteniendo la siguiente tabla: cd / conciertos [10,30) [30,40) [40,80) [1,5) [5,10) [10,20) a) Calcula el número medio de cds vendidos por estos grupos. b) Cómo es el grado de dependencia del número de conciertos dados por el grupo y el número de discos vendidos?. c) Halla la recta de regresión que explica la dependencia anterior. d) Si un grupo musical ha vendido cds, qué número de conciertos es previsible que dé? Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son: Estatura (X) Pesos (Y) Teniendo en cuenta que x = 195 cm, y = 92, 1 kg, σ x = 6, 06, σ y = 6, 56 y la covarianza σ xy = 37, 6, se pide: a) Recta de regresión de y sobre x. b) Halla el coeficiente de correlación. c) Si el equipo ficha a un jugador que mide 208 cm, se puede predecir su peso?. En caso afirmativo, determínalo. 16

17 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 1.- La nube de puntos es: SOLUCIONES x y x 2 y 2 xy x = 28 7 = 4 y = 28 7 = 4 σ x = = 2 σ y = = 2 σ xy = = 3, 143 r = σ xy σ x σ y = 3, = 0, a) Escribimos la tabla de frecuencias: Los parámetros son: x y x 2 y 2 xy x = = 21, 778 y = 9 = 21, σ x = 21, = 4, 441 σ y = 21, = 4, σ xy = , , 222 = 18, 383

18 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy σ 2 x y=0,923+0,932x b) La representación es: c) El coeficiente es: r = d) La estimación es: σ xy σ x σ y = 18, 383 4, 441 4, 212 = 0, 983 x = 27 y = 0, , = 26, LLamamos X: talla de los padres e Y: talla de los hijos. Con esta notación se tiene la siguiente tabla: x y x 2 xy Los parámetros son: x = σ 2 x = = 66, 667 y = , = 7, 011 σ xy = = 67, , , 583 = 3, 361

19 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL a) La recta de regresión es: y y = σ xy (x x) y=35,624+0,479x σx 2 b) Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: x = 72 y = 35, , = 70, LLamamos X: notas del examen 1 e Y: notas del examen 2. Con esta notación se tiene la siguiente tabla: Y X a) Para calcular el coeficiente de correlación, construimos las siguientes tablas: x i f i x i f i x 2 i f i y i f i y i f i yi 2 f i Para la covarianza: xyf Los parámetros son: x = = 2, 48 y = 100 = 2, 43 σ x = , 482 = 1, 212 σ y = σ xy = , 48 2, 43 = 0, 814 r = σ xy σ x σ y = , 432 = 1, 283 0, 814 1, 212 1, 283 No existe una dependencia fuerte entre las calificaciones de ambos exámenes. 19 = 0, 523

20 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 5.- LLamamos X: notas de Matemáticas e Y: notas de Latín. Con esta notación se tiene la siguiente tabla: x y x 2 y 2 xy Con esta tabla calculamos los siguientes parámetros: x = = 81, 6 y = = 81, σ x = 81, 6 2 = 10 σ y = 81, 9 2 = 7, σ xy = , 6 81, 9 = 63, 86 a) La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) y=29,81+0,6384x σx 2 La recta de regresión de X sobre Y es: x x = σ xy (y y) x=-6,033+1,07y σy 2 b) Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: y = 75 x = 6, , = 74, LLamamos X: antigüedad e Y: N o productos defectuosos. a) La representación es: Los datos expresan una correlación negativa. 20

21 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL b) Para calcular el coeficiente de correlación construimos la siguiente tabla: Los parámetros son: x y x 2 y 2 xy x = 10 4 = 2, 5 y = 14 4 = 3, 5 σ x = , 52 = 1, 12 σ y = σ xy = , 5 3, 5 = 0, 25 r = σ xy σ x σ y = 7.- Construimos la siguiente tabla: , 52 = 0, 5 0, 25 1, 12 0, 5 = 0, 446 x i y i x 2 i yi 2 x i y i Los parámetros pedidos son: x = 33 5 = 6, 6 y = = 125 σ x = , 62 = 3, 88 σ y = σ xy = , = = 16, Llamamos X: n o vendedores e Y: n o pedidos. Construimos la siguiente tabla: 21

22 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS x y x 2 y 2 xy De donde: x = 30 5 = 6 y = = σ x = 5 62 = 2, 61 σ y = 5 σ xy = = = 53, 07 La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 y 153 = 138 (x 6) 6, 8 y = 20, 29x + 31, 26 Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: x = 9 y = 20, , 26 = 213, 87 Para ver si la estimación es fiable, calculamos r: r = σ xy σ x σ y = La estimación es muy fiable 138 2, 61 53, Llamamos X: Edad e Y: Conducta agresiva. a) Construimos la siguiente tabla: 22 = 0, 996

23 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL x y x 2 y 2 xy , , , 4 6, , , , , , 8 7, , , , , , 6 8, , , , , , , 2 De donde se obtienen los siguientes parámetros: x = 75 = 7, y = 10 = 4, 9 570, 72 σ x = 7, 5 2 = σ y = 10 4, 92 = 2, 7 σ xy = 345, 2 4, 9 7, 5 = 2, La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 2, 23 y 4, 9 = (x 7, 5) 0, 822 y = 25, 225 2, 71x b) Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: x = 7, 2 y = 25, 225 2, 71 7, 2 = 5, a) Como y = , 5x, se tiene que y = , 5x. Despejando x, se tiene que x = 50. b) Positivo 11.- LLamamos X: nivel de estudios e Y: % de paro. Con esta notación se tiene la siguiente tabla: x y x 2 y 2 xy

24 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS Los parámetros son: x = 10 4 = 2, 5 y = 78 4 = 19, 5 σ x = , 52 = 1, 12 σ y = σ xy = , 5 19, 5 = 8, 5 r = σ xy σ x σ y = Existe una correlación negativa muy alta , 5 2 = 7, LLamamos X: nota de matemáticas e Y: nota de física. a) La nube de puntos es: 8, 5 1, 12 7, 63 = 0, 995 Hay correlación lineal por ajustarse los puntos a una recta. Es de signo positivo por tener la recta pendiente positiva. b) Calculemos el coeficiente de correlación lineal. Para ello construimos la siguiente tabla: Y los parámetros son: x y x 2 y 2 xy x = 43 8 = 5, 375 y = 48 8 = 6 σ x = , 3752 = 2, 78 σ y = σ xy = , = 7, 5 r = σ xy σ x σ y = = 2, 78 7, 5 2, 78 2, 78 = 0, 97

25 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 13.- LLamamos X: n o de semanas e Y: peso. Con esta notación se tiene la siguiente tabla: x y x 2 y 2 xy 1 88, , 25 88, , , , , 5 a) Tenemos los siguientes parámetros: x = 15 5 = 3 y = = 84, , 5 σ x = 5 32 = 1, 41 σ y = 5 σ xy = 1239, , 2 = 4, 7 r = σ xy σ x σ y = 84, 2 2 = 3, 36 4, 7 1, 41 3, 36 = 0, 992 b) Sí, ya que es muy próximo a 1. c) La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 y 84, 2 = 4, 7 (x 3) 2 y = 91, 25 2, 35x d) Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: x = 7 y = 91, 25 2, 35 7 = 74, 8 x = 25 y = 91, 25 2, = 32, Llamamos X: edad e Y: presión sanguínea. 25

26 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS a) Se tiene la siguiente tabla: Los parámetros son: x y x 2 y 2 xy x = = 52, 33 y = 12 = 140, σ x = 52, 33 2 = 11, 38 σ y = 140, 33 2 = 14, σ xy = , , 33 = 147, 7 r = σ xy σ x σ y = La dependencia es fuerte y positiva. b) La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 y 140, 33 = 147, 7 (x 52, 33) 129, 50 y = 80, , 11x c) Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: x = 135 y = 80, , = 48, 55 La mujer tendrá 48,55 años. Esta estimación es muy fiable por ser el coeficiente de correlación próximo a , 7 11, 38 14, 47 = 0, 897

27 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 15.- Sea X: Gasto e Y: Ingresos. Tenemos la siguiente tabla: x y x 2 y 2 xy Tenemos los siguientes parámetros: x = = 48 y = 6 = σ y = = 309, 84 σ x = 48 2 = 34, σ xy = = r = σ xy σ x σ y = , , 84 Como el coeficiente de correlación es muy alto, calculamos la recta de regresión de x sobre y para hacer la estimación. x x = σ xy (y y) σy 2 x 48 = (y 600) x = , 11y Sustituyendo en la recta de regresión se tiene que: 16.- Las gráficas son: y = 1500 x = , = 147 = 0, 994 A la vista de las gráficas hay correlación bastante fuerte en los dos casos primeros. Sin embargo, en el tercer caso no hay una correlación apreciable. 27

28 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 17.- Sea X: gastos en publicidad en miles de euros e Y: Las ventas obtenidas. Se tiene la siguiente tabla: Los parámetros son: x = 21 6 σ x = x y x 2 y 2 xy = 3, 5 y = = 28, , 52 = 1, 71 σ y = σ xy = , 5 28, 5 = 20, 75 r = σ xy σ x σ y = a) Las rectas son: y = 7, 1x + 3, 65 x = 7, 47x + 2, , 5 2 = 12, , 75 1, 71 12, 45 = 0, 97 b) Para un gasto de 5500 euros en publicidad se espera una venta de: y = 7, 1 5, 5 + 3, 65 = 42, 7 Para conseguir euros de ventas debemos invertir: 18.- Construimos la siguiente tabla: x = 7, , 36 = 1, 7 x y x 2 y 2 xy , , , , , , , , , , , , 5 28

29 TEMA 2. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL a) Para calcular el coeficiente de correlación calculamos los siguientes parámetros: x = , 25 = 115 y = = 3, , 44 σ x = = 68, 59 σ y = 3, = 1, σ xy = 2427, , 025 = 105, 125 r = σ xy σ x σ y = 105, , 59 1, 87 b) La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 = 0, , 125 y 3, 025 = (x 115) 4704, 59 y = 0, 022x + 5, 59 Para x = 150 camas se obtiene un índice de mortalidad infantil de 2, Transformamos la tabla de doble entrada en una tabla simple: x i y i f , , , a) El número medio de cds vendidos es b) r = 0, 81. Correlación positiva y alta. c) y = 2, 87x + 13, 44 d) 65 conciertos a) La recta de regresión de Y sobre X es: y y = σ xy (x x) σx 2 y 92, 1 = 37, 6 (x 195) 36, 8 y = 1, 02x 106, 8 29

30 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS b) El coeficiente de correlación es: r = σ xy σ x σ y = 37, 6 6, 07 6, 56 = 0, 94 c) Sustituyendo en la ecuación obtenida en el apartado a) el valor x = 208, resulta: y = 1, , 8 = 105, 36 30

31 Tema 3 Distribuciones de probabilidad

32 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 1.- Calcula P (A B) sabiendo que P(A)=0,3, P(B)=0,5 y P(A/B)=0, Si se lanzan dos dados y la suma es 7, el jugador gana 50 e. La apuesta es de 10 e. Es equitativo el juego?. 3.- Se considera la variable aleatoria X: "Número de caras obtenidas en el lanzamiento de 3 monedas. Cuánto vale la esperanza matemática?. Si un jugador apuesta a que salgan 3 caras, cuánto ganará, si acierta, si el juego es justo y la apuesta es de 1 e?. 4.- Sea X una variable aleatoria, cuya distribución de probabilidad es: x i 5 4 a P i 0, 2 0, 3 b Cuánto valen a y b sabiendo que EX = 3, 7?. 5.- Se lanzan al aire 4 monedas. Sea X la variable aleatoria "número de caras obtenidas". Obtén su función de probabilidad, su media y su varianza. 6.- Se lanzan al aire 3 monedas. Describe los siguientes sucesos: a) El espacio muestral. b) Suceso A = Obtener 0 caras. c) Suceso B = Obtener 1 cara. d) Suceso C = Obtener 2 caras. e) Suceso D = Obtener 3 caras. Calcula la probabilidad de cada uno de ellos. 7.- Supongamos que, tras una encuesta realizada en la población andaluza, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz la probabilidad de que esté a favor de la transmisión de partidos de fútbol es 0,8, la de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago es 0,4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de pago es 0,3. a) Calcula la probabilidad de que un andaluz esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisió de pago. b) Calcula la probabilidad de que un andaluz ni esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. 8.- Un jugador tira dos dados, uno blanco y otro rojo. Responde a las siguientes cuestiones razonando las respuestas: 32

33 TEMA 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD a) Cuál es la probabilidad de que su suma sea ocho?. b) Cuál es la probabilidad de que su suma esté entre cinco y ocho?. c) Después de tirar los dados el jugador ve que el blanco es seis pero el rojo ha quedado oculto. Cuál es la probabilidad de la suma de ambos sea ocho?. 9.- Se eligen al azar uno de los 50 primeros números naturales. a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea cuadrado perfecto. b) Sabiendo que el número elegido es múltiplo de tres, cuál es la probabilidad de que sea cuadrado perfecto? Si A y B son dos sucesos tales que: calcula P (A B). P (A) = 3/8, P (B) = 1/2 y P (A B) = 1/ La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es 1/3, la probabilidad de un suceso B es 3/4 y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es 5/8. Determina: a) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. b) Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B. c) Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por: x i p i 0, 15 0, 25 0, 2 m 0, 15 a) Halla m para que se trate de una función de probabilidad. b) Halla P (X 4) y P (2 X < 4) 13.- Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) La suma de puntos aparecidos es 7 y la diferencia igual a 3. b) La suma de puntos aparecidos es 7 si se sabe que su diferencia es igual a Se considera una variable aleatoria discreta que toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y su función de probabilidad es: f(x) = P (X = i) = ik 33

34 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS a) El valor de k. b) P (X 5) c) P (2 X 5) 15.- Se disponen de 3 tarjetas: 2 blancas y 1 roja. Se reparten al azar entre 3 personas A, B y C, entregando una a cada una. Construye el espacio muestral y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A tiene una tarjeta blanca. b) B tiene una tarjeta blanca. c) A y B tienen cada uno una tarjeta blanca De una baraja de 40 cartas se extrae una. Qué probabilidad hay de que la carta elegida sea sota, caballo o rey? Se lanza 2 veces un dado equilibrado de 6 caras. Halla la probabilidad de la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de Al lanzar dos dados normales (seis caras numeradas del 1 al 6), qué es más probable: que la suma de las caras sea dos o que la suma de las caras sea 3?. Por qué? Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de los chicos y la mitad de las chicas han elegido la asignatura optativa de música. a) Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie la optativa de música?. b) Y la probabilidad de que sea chica y no estudie la optativa de música? Se lanza un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, dos veces consecutivas. a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea igual a 4. b) Calcula la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido un 1, sabiendo que la suma es En un juego una persona recibe 15 euros cuando saca una sota o un caballo y recibe 5 euros si saca un rey o un as de una baraja española con 40 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar 4 euros. Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego? De una baraja española de 40 cartas se extrae una al azar. Cuál es la probabilidad de que sea bastos o menor que 5?. 34

35 TEMA 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 23.- Se lanzan dos dados y se anota la diferencia entre la mayor puntuación y la menor puntuación. a) Realiza la distribución de probabilidad. b) Calcula la media y la desviación típica Las caras de un dado irregular tienen las siguientes probabilidades: P (1) = 0, 1 P (2) = 0, 2 P (3) = 0, 1 P (4) = 0, 15 P (6) = 0, 25 Averigua cuál es la probabilidad de sacar un cinco y el valor de los parámetros µ y σ 25.- Un dominó normal consta de 28 fichas: 0-0, 0-1, 0-2,...,6-6. Siete de estas fichas son dobles: 0-0, 1-1,...,6-6. Calcula la probabilidad de encontrar algún doble al tomar cuatro fichas al azar del dominó De una urna que contiene 4 bolas rojas y 6 blancas se extraen 3 sin reemplazamiento. Se considera la variable aleatoria X que representa el número de bolas rojas extraídas. Construye la distribución de probabilidad de X y calcula sus parámetros Cuánto dinero sería justo apostar para participar en un juego en el que uno puede ganar 15 euros con probabilidad 0,2, ganar 6 euros con probabilidad 0,4 o perder el dinero apostado?. 35

36 36 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS

37 Tema 4 Distribución binomial y normal 1.- De los pinos integrantes de un extenso bosque, un 20 % se encuentra afectado por un hongo parásito. Si se seleccionan al azar 4 pinos, calcular la probabilidad que los afectados por el hongo sean: a) Exactamente 2. b) Más de uno. 2.- Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos. 3.- La probabilidad de que un alumno de 2 o de Bachillerato apruebe las Matemáticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos. a) Cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas?. b) Cuál es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 alumnos?. c) Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos (inclusive)?. 4.- Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporción del 67 % que estudian inglés y el resto francés. Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcula: a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de inglés. b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien inglés. c) Probabilidad de que estudien inglés entre 7 y 10 alumnos. 5.- Sea el experimento que consiste en lanzar 30 veces una moneda. Estudiar si este experimento sigue una distribución binomial y, en caso afirmativo, indicar los parámetros de la distribución.

38 Ejercicios de refuerzo 1 o BCS 6.- Una máquina muy antigua de un taller de ajustador produce un 10 % de piezas defectuosas. Realizamos un experimento que consiste en escoger al azar 50 piezas y anotar cuántas de ellas son defectuosas. Comprueba si este experimento sigue una distribución binomial y, en caso afirmativo, determina los parámetros de dicha distribución. 7.- En un determinado país se sabe que la probabilidad de que un niño nazca albino es 1/10. Se realiza un experimento que consiste en elegir al azar 5 niños recién nacidos de un gran hospital. Comprueba si este experimento sigue una distribución binomial y, en caso afirmativo, determina sus parámetros. 8.- La probabilidad de acertar en el blanco de una diana es 1/5. Hallar la probabilidad de acertar sólo 2 disparos, realizando un total de 8 disparos. 9.- Se sabe que el 10 % de las piezas producidas por una máquina antigua son defectuosas. Si tomamos al azar 50 piezas producidas por la citada máquina, calcular las siguientes probabilidades: a) Que ninguna sea defectuosa. b) Que haya 5 defectuosas En una determinada comarca se sabe que la probabilidad de nacer varón es 2/5. De una familia con 6 hijos se desea saber las siguientes probabilidades: a) Que todos sean varones. b) Que ninguno sea varón. c) Que haya tres varones En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos falta a clase el 5 % de los días. Calcula la probabilidad de que un día determinado: 38