ESTADÍSTICA. Página 205 REFLEXIONA Y RESUELVE. La cantidad de información disponible es enorme. Página 209

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1 ESTADÍSTICA Página 0 REFLEXIONA Y RESUELVE La cantidad de información disponible es enorme Sin duda conoces los censos municipales que se realizan, periódicamente, cada pocos años. En cada uno de estos censos se recaban datos de cada vivienda de la población relativos a la casa, a la unidad familiar que la habita y a cada uno de los miembros que la componen. Intenta recordar (o averiguar) algunos de los datos que se preguntan en el censo de tu localidad. Imagina qué otras cosas preguntarías si fueras tú el encargado de realizar el censo. Por ejemplo domicilio, estudios realizados, año de nacimiento Página 0. Reparte los 0 datos del ejercicio resuelto anterior en intervalos de longitud. Valen el origen del primero y el extremo del último. INTERVALOS MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS [,-,) [,-,) [,-,) [,-,) 0 [,-0,) [0,-,) 0 0 [,-,) [,-0,) [0,-,) [,-,) [,-,) Unidad. Estadística

2 . Reparte los 0 datos del ejercicio resuelto anterior en el tramo,,, separándolo en 0 intervalos de 0 unidades cada uno. INTERVALOS MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS [,-,), [,-,), [,-,), [,-,), [,-0,) 0, [0,-,), [,-,), 0 [,-,), [,-,), [,-,), Página. Calcula x, q y C.V. en la distribución siguiente: tiempo que emplean en ir de su casa al colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, ] le corresponde el valor,; ). TIEMPO (min) N.º DE ALUMNOS (0, ] (, 0] (0, ] (, 0] (0, ] (, 0] x i,,,,,, x =, q =, C.V. = 0, = %. Compara las desviaciones típicas de las distribuciones,, y. Al comparar dos de ellas, en caso de duda, pregúntate: qué he de hacerle a esta para que se parezca a la otra? Por ejemplo, para que la se parezca a la, hemos de achicar las columnas extremas y aumentar la columna central. Por tanto, la es más dispersa que la. Unidad. Estadística

3 UNIDAD De menor a mayor desviación típica, se ordenarán así:,,,. Página. Halla Q, Me, Q y p 0 en la distribución:,,,,,,,,,,,, 0, 0 : =,,, =, = 0,.... Q = ; Me =,; Q = 0 =,. 00 p 0 es el individuo. p 0 = Página. En la siguiente distribución de notas, halla Me, Q, Q, p 0, p 0 y p. NOTAS 0 N.º DE ALUMNOS 0 x i 0 0 F i 0 EN %,,,, 0, 0, 0,, 00 Me = p 0 = ; Q = p = ; Q = p = ; p 0 =,; p 0 = ; p = 0 Unidad. Estadística

4 Página. Obtén la distribución de frecuencias acumuladas y representa el correspondiente polígono, relativos a los datos de la tabla siguiente: INTERVALOS FRECUENCIAS EXTREMOS F i 0 EN % 0,00,0,,, 00,00 % Q Me Q P Página. Halla gráfica y numéricamente Q, Me, Q y p 0 en la distribución del ejercicio propuesto en la página anterior. Q =,%; Me =, Q = 0,; p 0 =,0 Página. Representa en un diagrama de caja las distribuciones I y II de la página. 0 0 I II Unidad. Estadística

5 UNIDAD. Representa, mediante un diagrama de caja, las distribuciones de los ejercicios propuestos y de las páginas y. 0 0 Unidad. Estadística

6 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de datos, cuyos valores extremos son y. a) Si queremos que sean 0 intervalos de amplitud, cuáles serán esos intervalos? b) Haz otra distribución en intervalos de la amplitud que creas conveniente. a) =. Para que sea múltiplo de = Una unidad menos que el menor y una más que el mayor: [, ); [, ); [, ); [, ); [, 0); [0, 0); [0, ); [, ); [, ); [, ]. b) : = exacto. Amplitud = : [, ); [, ); [, ); [, ); [, ); [, 0); [0, ); [, ); [, ); [, ); [, ); [, ]. La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es: 0,,,,,,,,,,,, Calcula la mediana, los cuartiles, p y p 0. Primero los ordenamos: 0,,,,,,,,,,,, Me =, Q = Es el valor que deja por debajo de él al 0% de la población, y por encima, al otro 0%. Es el valor que deja por debajo de él al % de la población, y por encima, al %. Q = Es el valor que deja por debajo al % de la población, y por encima, al %. p 00 =,. Es el. p = p =,. Es el. p 0 = Unidad. Estadística

7 UNIDAD Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de euros y una desviación típica de 00 euros. En otra empresa B la media es 000 euros y la desviación típica 00 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene mayor variación relativa. q A C.V. (A) = 00 =,% x A q B C.V. (B) = 00 =,% x B Tiene mayor variación relativa la B. El peso medio de los alumnos de una clase es, kg y su desviación típica, kg. El de las alumnas de esa clase es, kg y su desviación típica es, kg. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos., C.V. (chicos) = 00 =,%,, C.V. (chicas) = 00 =,%, Hay mayor dispersión en el peso de las alumnas. En una población de familias se ha observado la variable X = número de coches que tiene la familia y se han obtenido los siguientes datos: 0,,,, 0,,,,,,,,,,,,,,,, a) Construye la tabla de frecuencias. b) Haz el diagrama de barras. c) Calcula la media y la desviación típica. d) Halla la mediana y los cuartiles. e) Haz un diagrama de caja. a) x b) i x i Unidad. Estadística

8 c) x =, d) Me = e) q = 0, Q = ; Q = * 0 En la distribución de pesos de 00 personas se han obtenido los siguientes parámetros de posición: Q = kg, Me = kg, Q = kg Di el número de personas cuyo peso: a) Es menor que kg. b) Está comprendido entre kg y kg. c) Es inferior a kg. a) El % de 00, es decir, personas pesan menos de kg. b) % de 00 = personas. c) % de 00 = personas. Al preguntar a un grupo de personas cuánto tiempo dedicaron a ver televisión durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados: TIEMPO (en horas) [0; 0,) [0,;,) [,;,) [,; ) [, ) N.º DE PERSONAS 0 0 Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviación típica. Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un histograma las frecuencias han de ser proporcionales al área. 0 0 HORAS x =,; q =, Unidad. Estadística

9 UNIDAD Este es el polígono de porcentajes acumulados de la distribución del CI (cociente intelectual) de un colectivo de 00 personas: % a) Trabajando sobre el gráfico, asigna, aproximadamente, los valores de: Q, Me, Q, p, p 0, p 0, p 0, p 0, p b) Cuántas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CI comprendido entre 0 y? Cuántas personas tienen un CI superior a? c) Qué percentil tiene una persona con un CI de? a) Q = 0,; Me = 0,; Q = p =, p 0 = 0, p 0 = 0, p 0 =, p 0 =, p =, b) 0 = p 0 = p 0 Hay un 0% (0 0 = 0) El 0% de 00 personas son 0 personas. = p Hay un % (00 = ). El % de 00 personas son personas. c) = p Unidad. Estadística

10 Página PARA RESOLVER Estos son los pesos (en kg) de 0 recién nacidos:,,,,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,0,,,,,,0,,,,0,,,,,,0,,,,,,0,,,,, a) Haz una tabla con los datos agrupados en intervalos de amplitud 0, kg, comenzando en,. Representa esta distribución. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Calcula, a partir del polígono de porcentajes acumulados, Q, Me, Q, p 0, p 0, p. a) INTERVALOS FRECUENCIAS [,; ) [;,) 0 [,;,) 0 [,;,) 0 0 [,;,) [,; ) 0,,,,, PESO (kg) b) x =,; q = 0, c) EXTREMO INTERVALO, PORCENTAJE ACUMULADO 0 % 00 0, 0, 0,, 0 00,,,,, Q =,; Me =,; Q =, p 0 =,; p 0 =,; p =, 0 Unidad. Estadística

11 UNIDAD 0 En una fábrica se ha medido la longitud de 000 piezas de las mismas características y se han obtenido estos datos: LONGITUD (en mm), -,, -,, -,, -,, -, NÚMERO DE PIEZAS a) Representa el histograma correspondiente. b)se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el intervalo [, ]. Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas? Del segundo intervalo habrá que rechazar las que midan entre, y. Calcula qué tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia, y halla el porcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede análogamente en el cuarto intervalo. a) NÚMERO DE PIEZAS ,,,,,, LONGITUD (mm) b) En el intervalo,-,:, =,, =, piezas defectuosas En el intervalo,-,:, =, 00, = 0 piezas defectuosas En total el número de piezas defectuosas será: +, =, que representa el,% del total. Unidad. Estadística

12 Se ha pasado un test de 0 preguntas a 00 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla: RESPUESTAS CORRECTAS [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) N.º DE PERSONAS a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 0 y. b) Cuál es el percentil de una persona que tiene respuestas correctas? c) Halla x, q y C.V. a) Hacemos las tablas de frecuencias: INTERVALO EN % EXTREMOS F i EN % [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) 0, 0 0,00,0 0,00 0,0, 0, 0, 00 00, ,00,,,,,,, 00,00 Me = 0 + 0,, (0 0) =, Q = 0 +,, (0 0) =,, Q = 0 + (0 0) =,, p 0 = 0 + 0,, (0 0) =,, p = 0 +, (0 0) =, b) = 0 + k,, (0 0) k =, c) x =,; q = 0,; C.V. = 0, Unidad. Estadística

13 UNIDAD En la fabricación de un vino, se le añade un compuesto químico. En la tabla aparece la concentración de este compuesto en 00 botellas. a) Calcula la media y la desviación típica. b) Se estima que el vino no se debe consumir si la concentración de ese compuesto es superior a 0, mg/l. CONCENT. (mg/l ) [0; 0,) [0,; 0,) [0,; 0,) [0,; 0,) [0,, ) NÚMERO DE BOTELLAS Según esto, qué porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo? a) x = 0, q = 0, b) 0, = ( 0,) Son = botellas de cada 00, un,%. De una muestra de pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre su duración: TIEMPO (en horas) [, 0) [0, ) [, 0) [0, ) [, ) [, 0) N.º DE PILAS a) Representa los datos gráficamente. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Qué porcentaje de pilas hay en el intervalo ( x q, x + q)? d) Calcula Q, Me, Q, p 0, p 0, p. a) HORAS Unidad. Estadística

14 b) x =,; q =, c) x q =,; x + q = 0, En el intervalo [0, ):, = 0, 0, = 0, En el intervalo [, ): 0, =,, 0 =, En total: 0, + + +, =,0 Por tanto, en el intervalo (x q, x,0 + q) hay un 00 =,% del total de pilas. d) Q =,; Me =,; Q =,; p 0 =,; p 0 =,; p = 0, Las estaturas de los 0 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente tabla: INTERVALOS, -,, -,, -,, -,, -,, -, N.º DE ALUMNOS a) Calcula la media y la desviación típica. b) Di el valor de la mediana y de los cuartiles. c) Qué centil corresponde a una estatura de 0 cm? a) n = 0, Sx = 0 x =, Sx = 0 q =, b) Me =,; Q = 0,; Q =, c) A 0 cm le corresponde el centil. Página CUESTIONES TEÓRICAS En la distribución de las notas de un examen el primer cuartil fue. Qué significa esto? Por debajo de quedaron un %. Unidad. Estadística

15 UNIDAD La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido,, y la de los suspensos,,. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo aprobados y suspensos., = +, = 0,, =, 0, : ( + ) = 0, : 0 =, La nota media fue de,. La estatura media de los alumnos y alumnas de una clase es de cm. Las chicas, que son, miden cm de media. Calcula la estatura media de los chicos. = = 0 = 0 : ( ) = 0 : =, La estatura media de los chicos es, cm. Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a. f S fr i = S i = S = n = n n n Completa la tabla de esta distribución en la que sabemos que su media es,. x i + f + + =, + f f =, + f = 0, +,f, = 0, f f = + f Luego la tabla queda: x i 0 Dos distribuciones estadísticas, A y B, tienen la misma desviación típica. a) Si la media de A es mayor que la de B, cuál tiene mayor coeficiente de variación? b) Si la media de A es doble que la de B, cómo serán sus coeficientes de variación? a) B. b) El coeficiente de variación de A es la mitad que el de B. Unidad. Estadística

16 Página AUTOEVALUACIÓN. Las estaturas de los componentes de tres equipos infantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a continuación: x q A, B C,,,, Qué gráfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente. A B C. Los pesos de 0 alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo: a) Representa gráficamente (histograma) y estima x y q. b) Calcula numéricamente x y q y obtén el porcentaje de chicos que hay en el intervalo (x q, x + q). c) Calcula la mediana y los cuartiles y estima el centil que corresponde a cada una de las siguientes medidas: 0 kg, 0 kg, 0 kg, 0 kg. INTERVALOS, -,, -,, -,, -,, - 0, 0, -, N.º DE ALUMNOS a) 0 x, kg q kg,,,,, 0,, Unidad. Estadística

17 UNIDAD b) MARCAS DE CLASE 0 x i x i x = q = 0 =,0 kg,0 0 =, kg 0 (x q, x + q) = (,;,) Hay un % de la población en dicho intervalo. c) INTERVALOS x i F i EN %, -,, -,, -,, -,, - 0, 0, -, 0 0,, 00 Me está en el intervalo [,;,). x, = x =, 0,,, Me =, +, =, kg Q está en el intervalo [,;,). x 0 = x =,0,, Q =, +,0 =, kg Q está en el intervalo [,;,): x 0 = x =,,, Q =, +, =, kg A 0 kg le corresponde el centil, aproximadamente. A 0 kg le corresponde el centil, aproximadamente. A 0 kg le corresponde el centil, aproximadamente. A 0 kg le corresponde el centil, aproximadamente. Unidad. Estadística

18 . En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos y se obtiene:, 0,,,,,,,,,,, 0,,,,,,,, 0,,,, 0,,,, 0,,, 0,, 0,,,, 0,,, a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados:,,,,,. Calcula x, q, Q, Me, Q. b) Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos,-,-,-0,-,-,-,. Vuelve a calcular x, q, Q, Me, Q. c) Qué centil corresponde a mm en cada una de las dos distribuciones? a) x i x i x i F i x = 00 0 = 0, mm 0 q = 0, =, mm 0 Me = 0 mm Q = mm Q = mm b) INTERVALOS x i x i x i F i EN %, -,, -,, - 0, 0, -,, -,, -,,,,,,,,, 0,, 0,,,,, 0, , x = 0 0 = 0, mm 0, q = 0, 0 =, mm Unidad. Estadística

19 UNIDAD La mediana está en el intervalo [,; 0,). x = x =, 0 Me =, +, = 0, mm Q está en el intervalo [,; 0,). x = x = 0, Q =, + 0, =, mm Q está en el intervalo [0,;,). x = x =, Q = 0, +, =, mm c) Con datos aislados. Si x = F i = le corresponde un porcentaje acumulado del %. Por tanto: p = mm Con datos agrupados. Nos fijamos en el intervalo [,;,): x,, = x = = 0, El percentil correspondiente a mm es: + 0, =, Unidad. Estadística