TEMA 7.- REPASO DE ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

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1 TEMA 7.- REPASO DE ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 1.- INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES La Estadística es la rama de las Matemáticas que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Es una ciencia relativamente reciente, pues sus orígenes se remontan al siglo XVIII. Pero su implantación aplicación hoy en día es muy variada: Se diseñan encuestas para recopilar información previa al día de elecciones y así predecir el resultado de las mismas. Se seleccionan al azar consumidores para obtener información con el fin de predecir la preferencia con respecto a ciertos productos y/o servicios. Los economistas consideran varios índices de la situación económica durante cierto periodo y utilizan la información para predecir la situación económica futura. Su utilidad es evidente también para los asesores financieros que han de evaluar las oportunidades de inversión a través de las bolsas de valores. Los portales de apuestas deportivas online recurren a la Estadística para, de acuerdo con todos los datos hasta la fecha, determinar el nivel de confianza de cada una de los posibles resultados La Estadística se divide en dos grandes ramas: La Estadística Descriptiva se dedica a recolectar, ordenar, analizar y representar un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las características de éstos. Para ello utiliza distintas medidas: centralización, dispersión, La Estadística Inductiva o Inferencial tiene como objeto obtener conocimientos sobre un colectivo, utilizando para ello las observaciones de una muestra, para sí poder inferir resultados. En este proceso se utiliza el cálculo de probabilidades. Todo esto lo veremos el próximo curso. Para todo lo anterior, la Estadística trabaja con una serie de aspectos, cualidades o propiedades de los individuos de la población, llamados caracteres; los valores que recorre un determinado carácter se llaman variables estadísticas, y pueden ser de varios tipos: Discretas: sólo toman valores puntuales (nº hijos, talla de ropa, ) Cuantitativas: son medibles, es decir, se describen mediante números Variables: Continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo (estatura, peso, ) Cualitativas: no son medibles, por lo que se describen mediante modalidades (color de pelo, sexo, estado civil, ) 1

2 Población es el conjunto de elementos que se investigan, muestra es una parte representativa de la población, e individuo es cada uno de los elementos que forman la población. 2.- FRECUENCIAS Y TABLAS Lo vemos con un ejemplo: En un instituto hay una clase de 1º de Bachillerato cuyos 20 alumnos presentan las siguientes edades Para estudiar esta variable construimos la siguiente tabla: La 2ª columna recoge la frecuencia absoluta, fi, que es el número de veces que aparece cada valor de la variable La 3ª columna refleja la frecuencia absoluta acumulada, Fi, que se obtiene sumando la frecuencia absoluta de cada fila con las anteriores (es decir, Fi =f1 + f fi) En la 4ª columna tenemos la frecuencia relativa, hi, que es la frecuencia absoluta dividida por el nº de datos, N fi hi N Pueden interpretarse como porcentajes. Asi, el 0.05 significa que el 5% de los alumnos tienen 19 años. Finalmente, la última columna recoge la frecuencia relativa acumulada, Hi, que se obtiene sumando la frecuencia relativa de cada fila con las anteriores. Por ejemplo, el dato 0,95 de la 3ª fila significa que el 95% de los alumnos tienen 18 años o menos. 2

3 Si ahora en la misma clase del ejemplo anterior los 20 alumnos presentan las siguientes estaturas (en cm): Utilizaremos una tabla del tipo: Normalmente en cada intervalo se incluye el extremo inferior pero no el superior. Al punto medio de cada intervalo se le llama marca de clase, xi. 3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS Recordamos brevemente con los ejemplos anteriores las diversas representaciones gráficas: a) Diagrama de barras (discretas y cualitativas) 3

4 b) Histograma (continuas) Si los intervalos no tuvieran la misma amplitud, la altura de cada rectángulo se calcula de modo que fi su área coincida con la frecuencia, de modo que se usa la fórmula ai amplitud Así, en la siguiente tabla de calificaciones sería: 4

5 c) Polígono de frecuencias Se obtienen uniendo los puntos superiores de las barras de un diagrama de barras, o los puntos medios del lado superior de cada rectángulo de un histograma También se pueden usar otro tipo de frecuencias (absolutas acumuladas, relativas, ) Por ejemplo: d) Diagrama de sectores Dividimos un círculo en sectores de área proporcional a cada frecuencia absoluta. Para ello, mediante regla de 3, calculamos el ángulo correspondiente a cada sector: 5

6 Así, en el ejemplo de las notas: Otras representaciones gráficas son: pictogramas, cartogramas, pirámides de población, 4.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (O DE CENTRALIZACIÓN) a) Media Aritmética Se define como la suma de todos los valores, xi, dividida por el número total de valores, N. Para calcular la media se usa la fórmula: x n i 1 N f x i i Así, en los ejemplos anteriores: (marca de clase) 6

7 Ventajas: Tiene en cuenta todos los datos, y por tanto es representativa de todos los valores de la distribución de la variable a estudio Es sencilla de calcular Tiende a estar en el centro del conjunto de datos Inconvenientes: No se puede calcular en variables cualitativas, ni en cuantitativas con intervalos abiertos (p. ej., en una encuesta con un intervalo mayores de 60 años ) Tiene en cuenta todos los datos por lo que, si bien esto era una ventaja, en el caso de valores anómalos también los tendría en cuenta. Imaginemos por ejemplo que hubiera una persona de 2 10 m, o una de El valor de la media se vería alterado por dichos valores anómalos y no sería representativa. b) Moda Es el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo, e indica el valor dominante de una distribución. Así, en unas elecciones, representaría al partido más votado En nuestro ejemplo de edades: Lo que significaría que lo más habitual es tener 16 años En variables continuas se calcula primero el intervalo modal (aquel dónde va a estar la moda) Y dentro de ese intervalo se calcula la moda mediante la fórmula: fi fi 1 Mo li c f f f f i i 1 i i 1 Donde: li extremo inferior de la clase mediana fi-1 frecuencia absoluta anterior fi frecuencia absoluta correspondiente a la clase modal fi+1 frecuencia absoluta posterior c amplitud de la clase mediana 7

8 En nuestro ejemplo: f f '63 168' i i 1 Mo li c i i 1 i i 1 f f f f Lo que significa que lo más habitual es medir unos cm de altura Ventajas: La moda siempre existe (en cualquier tipo de distribuciones cualitativas o cuantitativas) Su interpretación es muy sencilla y, en algunos casos, como en unas elecciones, más representativa que la media No le influyen los datos anómalos Inconvenientes: No tiene en cuenta todos los datos, sino sólo los de mayor frecuencia Puede haber más de una moda, o incluso todos los valores puede ser moda si todos se repiten las mismas veces, con lo que perdería su significado c) Mediana Es un valor tal que la mitad de los valores son menores o iguales que él, y la otra mitad mayores o iguales. Se representa como Me. Para calcularla, cabe distinguir tres posibles situaciones: 1) Pocos valores Se ordenan y la mediana será el valor central. Si hay un número par, la mediana será la media de los dos valores centrales Ejemplo: los sueldos mensuales de 7 trabajadores de una empresa (en ) son: Si calculamos la media (1206,43 ) observamos que no es muy representativa de los datos de esta distribución, ya que éstos se encuentran muy dispersos. Obtengamos la mediana: La mitad de los sueldos son inferiores o iguales a 825, mientras que la otra mitad son superiores o iguales 2) Variable Discreta Construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas, Fi, calculamos N/2, y buscamos entre qué dos frecuencias acumuladas se encuentra: N F i 1 Fi 2 8

9 La mediana serán entonces el valor xi de la variable correspondiente a la frecuencia Fi, es decir, el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sobrepase N/2. En nuestro ejemplo de la edad: Lo que significa que la mitad de los alumnos (10) tienen 16 años o menos, y la otra mitad tienen 16 años o más. Si hubiera sido N/2 = 14, la mediana sería 17 Si N/2 coincide con una frecuencia absoluta acumulada, la mediana se calcula como la media entre dicho valor de la variable y el siguiente, es decir, si hubiera sido N/2 = 16, la mediana sería ) Variable continua Como en el caso anterior, calculamos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas, Fi, calculamos N/2, y buscamos entre qué dos frecuencias acumuladas se encuentra: N F i 1 Fi 2 El intervalo donde se encontrará la mediana, llamado clase mediana, será aquel correspondiente a la primera frecuencia absoluta acumulada que sobrepase N/2, Fi. En nuestro ejemplo de estaturas: Una vez obtenido el intervalo donde va a estar la mediana, aplicamos la siguiente fórmula: N F 2 i 1 Me li c F F i i 1 9

10 Donde: li extremo inferior de la clase mediana Fi-1 frecuencia absoluta acumulada anterior Fi frecuencia absoluta acumulada correspondiente a la clase mediana c amplitud de la clase mediana En nuestro caso: N F 10 6 Me li c F F i ' i i 1 Lo que significa que la mitad de los alumnos miden 169 cm o menos y la otra mitad 19 cm o más. Ventajas: Se puede calcular cuando la media no se puede, es decir, en variables cualitativas (con modalidades que tenga sentido ordenar) y en variables cuantitativas continuas con intervalos abiertos Está siempre en el centro del conjunto de datos No le afectan los valores anómalos Inconvenientes: No tiene en cuenta todos los datos, y en consecuencia, en general es menos representativa que la media Sólo tiene en cuenta el orden de los datos, no su valor d) Cuantiles Son valores de la variable que dividen al conjunto de datos en partes iguales Los más destacados son: Cuartiles Dividen a los datos en 4 partes iguales Habrá razonablemente 3 cuartiles: Q1 deja por debajo de él el 25% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando N/4 en lugar de N/2 Q2 deja por debajo de él el 50% de la población. Coincide con la Mediana Q3 deja por debajo de él el 75% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando 3N/4 en lugar de N/2 Deciles Dividen a los datos en 10 partes iguales Habrá razonablemente 10 cuartiles: 10

11 D1 deja por debajo de él el 10% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando N/10 en lugar de N/2 D2 deja por debajo de él el 20% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando 2N/10 en lugar de N/2 Dk deja por debajo de él el k0 % de la población. Se calcula como la Mediana pero usando kn/10 en lugar de N/2 Percentiles Dividen a los datos en 100 partes iguales Habrá razonablemente 99 percentiles: P1 deja por debajo de él el 1% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando N/100 en lugar de N/2 P2 deja por debajo de él el 2% de la población. Se calcula como la Mediana pero usando 2N/100 en lugar de N/2 Pk deja por debajo de él el k % de la población. Se calcula como la Mediana pero usando kn/100 en lugar de N/2 Ejercicios Propuestos: 1.- Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se les pregunta el nº de individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes: 4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3. a) Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas b) Calcular e interpretar la media, la moda y la mediana c) Calcular e interpretar el tercer cuartil d) Calcular e interpretar el percentil Tenemos la siguiente información sobre el gasto semanal en ocio de un grupo de estudiantes universitarios a) Calcular e interpretar media, moda y mediana b) Calcular e interpretar el cuarto decil c) Qué gasto deja por encima el 35% de los datos? c) Si un joven gasta 21 euros a la semana, qué porcentaje de jóvenes gastan menos que él? 11

12 5.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN Indican la mayor o menor concentración de los datos alrededor de los valores centrales a) Recorrido o Rango Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos Ejemplo: Las notas de dos estudiantes en matemáticas han sido: Carlos: Ana: Puede comprobarse fácilmente que ambos tienen la misma media, 7, pero sin embargo las notas de Ana están mucho más dispersas que las de Carlos: Rango Carlos: 9-5 = 4 Rango Ana: 10-2 = 8 Claramente esta medida es poco representativa pues sólo tiene en cuenta dos valores de la distribución. Se habla también de Rango Intercuartílico: Q3 Q1 Rango Interdecílico: Rango Interpercentílico: D9 D1 P99 P1 b) Varianza y Desviación Típica La varianza se define como la media de los cuadrados de las diferencias respecto a la media: V s n 2 i 1 2 x x f i N i Cuanto más concentrados estén los datos alrededor de la media, el valor de la varianza estará más próximo a 0 (siempre va a ser positiva), mientras una mayor varianza indica una mayor dispersión de los datos. El cálculo de la varianza usando su definición es largo y complicado. En la práctica se usa otra fórmula que resulta mucho más sencilla que la anterior: s n 2 xi fi 2 i 1 2 N x 12

13 El problema fundamental de la varianza es que sus unidades no coinciden con las de los datos. Por ejemplo, si estamos midiendo alturas en cm, la varianza vendría expresada en cm 2, o si medimos sueldos en euros, la varianza tendría por unidad 2, y esto hace que su interpretación no tenga sentido. Para evitar este inconveniente, se define la desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la varianza: s s 2 Veamos en nuestros ejemplos de años y estaturas el cálculo de la desviación típica: Los inconvenientes de la varianza y de la desviación típica son obviamente los mismos que los de la media, fundamentalmente el hecho de no poder calcularse en todos los casos y el tener en cuenta los valores anómalos. Importante: La interpretación de la desviación típica por sí sola no es demasiado significativa (a mayor varianza o desviación típica mayor dispersión), sino que hay que interpretarla de forma conjunta con la media. Así, se puede demostrar que en el intervalo x s, x s se encuentran la mayoría de los datos (aproximadamente un 70%), lo que viene a definir lo que es más o menos normal en una población. 13

14 En el ejemplo de las edades, el intervalo será: x s, x s 16'6 0'92,16'6 0'92 15'68,17 '52 Lo que significa que la mayoría de los alumnos tiene una edad comprendida aproximadamente entre 15 años y medio y 17 años y medio (es normal tener esa edad, mientras que una persona de 15 o de 19 años no sería normal ) En el ejemplo de las alturas: x s, x s 169'5 8'05,169'5 8' ' 45,177 '55 Lo que significa que la mayoría de los alumnos tiene una estatura comprendida aproximadamente entre 161 cm y medio y 177 cm y medio (es normal tener esa altura, mientras que una persona de 155 cm o de 180 cm no sería normal ) c) Coeficiente de Variación Si las unidades de dos variables son diferentes (p. ej. Edad y Altura), no podemos usar la desviación típica para ver cuál de ellas está más dispersa pues no tiene sentido comparar años con cm. Tampoco tiene sentido comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos en los que las medias son muy diferentes, como por ejemplo un conjunto de sueldos de los empleados de una pizzería con una media de 800, con los de los altos ejecutivos de una empresa de media Es para estos casos para los que se usa el coeficiente de variación, que es una medida adimensional que permite comparar varias distribuciones y ver cuál está más dispersa respecto de la media. Se define como: C. V. s x Y que habitualmente se expresa en %. Así, los coeficientes de variación de nuestros ejemplos de edades y alturas son: 0'92 C. V. edad 0'055 5'5% 16'6 8'05 C. V. estatura 0'047 4'7% 169'5 Por lo que los datos de edad están más dispersos que los de estaturas. 14

15 EJERCICIOS 1.- En una población de 25 familias se ha observado el número de vehículos que tienen obteniéndose los siguientes datos: 0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1 a) Obtén la tabla de frecuencias correspondiente b) Representa gráficamente los datos c) Calcula e interpretar la media, moda y mediana 2.- En un total de 50 familias se estudió la variable Número de hijos que aparece en la siguiente tabla (incompleta) Nº Hijos Frec. Abs. Frec. Relat. 0 0, ,02 a) Completa la tabla b) Qué porcentaje de familias tienen 3 ó más hijos? c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores y un diagrama de barras 3.- El siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas corresponde a la variable número de horas diarias de estudio de un grupo de alumnos de 2º Bachillerato: [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] a) Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas y representarlo gráficamente mediante un diagrama de sectores. b) Calcular la media c) Calcular e interpretar la moda y la mediana 15

16 4.- Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se les pregunta el nº de individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes: 1,4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3. a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus correspondientes acumuladas. b) Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? c) Dibuje el diagrama de barras de frecuencias. d) Calcule la moda, mediana y primer cuartil e interprételo. 5.- La siguiente tabla representa la duración (en horas) de un determinado número de pilas eléctricas: Duración [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] Nº pilas a 4 a) Calcular el valor de a sabiendo que la duración media de las pilas es de 21 horas b) Calcular e interpretar la moda y la mediana 6.- Sea la distribución referida a beneficios anuales de 38 empresas andaluzas: a) Calcular el beneficio medio de estas 38 empresas. b) Cuál es el beneficio mayor del 35% de las empresas más modestas? c) Si una empresa obtuvo euros de beneficio, Qué porcentaje de empresas obtuvieron más beneficios que ella? d) Determinar el beneficio más frecuente. e) Calcular la desviación típica y el coeficiente de variación 7.- Se ha tabulado el peso de los recién nacidos durante una semana en una maternidad, obteniéndose los siguientes resultados: Peso(Kg) Menos de Más de 4 Nº Niños Si un recién nacido pesa 3 8 kg, en qué percentil se encuentra? Obtener el porcentaje de niños que pesan al nacer entre 3 2 y 3 7 kg. 16

17 8.- La distribución de salarios pagados diariamente en una cadena de pizzerías a sus repartidores es la siguiente: Calcular la media y la desviación típica y realizar una interpretación conjunta de ambas medidas. 9.- El número de multas impuestas por 20 agentes de policía un día determinado han sido: 8,7,12,1,16,18,0,6,13,5,10,11,19,14,13,9,4,6,15,10 a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los datos en cuatro intervalos de amplitud 5 b) Calcula con la tabla anterior la media, moda y tercer cuartil c) Qué tanto por ciento de agentes han puesto menos de 9 multas? 10.- En la siguiente tabla aparece el peso (en gramos) de 10 0 comprimidos de un determinado medicamento: Peso (gramos) Nº Comprimidos a) Calcula e interpreta Q 1, la mediana y P 38 b) Qué porcentaje de comprimidos pesa más de 67 gramos? c) Calcula e interpreta la desviación típica 11. Una cooperativa vinícola anota los kilos de uva que exprime y los litros de vino que extrae según la tabla siguiente: Kg Litros Calcula el índice de variación e indica qué variable está más dispersa 12. En un laboratorio se estudia el peso de 20 bloques de cierto material, los datos son los siguientes: Peso Nº de bloques a) Cuál es el peso medio? b) Calcular e interpretar el percentil 49 y la desviación típica. 17

18 13. El número de personas que pasan por un restaurante y el dinero ganado en el mismo en cinco años vienen dados por la tabla: Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Número de Personas Miles de euros a) Calcular el número medio de personas y el de euros ganados. b) Calcular las desviaciones típicas. c) Comparar la dispersión de ambas variables. 14. Las temperaturas que marca el termómetro los distintos días de la semana son: Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Máxima Mínima Hallar: a) Temperatura media máxima. b) Temperatura media mínima. c) A partir de qué valor se encuentran el 30% de las temperaturas máximas más altas? d) A partir de qué valor se encuentran el 20% de las temperaturas máximas más bajas? e) Media de las oscilaciones extremas diarias La siguiente tabla muestra el número de m 3 de agua consumidos en 26 viviendas: Consumo Nº Viviendas a) Calcula e interpreta moda, mediana y P 43 b) Calcula el porcentaje de viviendas que consumen más de 12 m 3 de agua c) Cuál es el consumo mínimo del 10 % de las viviendas que más consumen? d) Estudia la dispersión del consumo 16.- Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a entrenamiento durante el fin de semana: Nº Horas Personas a) Qué % de deportistas dedican más de 2 horas al entrenamiento en el fin de semana? b) Cuál es el máximo número de horas que dedican a entrenar el 28% de los deportistas que menos entrenan? c) Calcula e interpreta conjuntamente la media y la desviación típica 18

19 Soluciones: 1.- c) x 1'56, Mo Me b) x 2'43 c) Mo = 2 56, Me = b) 60% c) Mo = Me =3 Q a) a = 5 b) Mo = 11 67, Me = a) b) P35 353'21 c) Un 3 2 % (aprox.) d) Mo = e) s = , C.V. = a) Aprox. en el percentil 77 b) Aprox. un 30 % 8.- x 23'35 ; s 6'23 Significa que lo normal es que un repartidor gane diariamente entre y b) x 10'5 ; Mo 11'25 c) Un 27 % 10.- a) Q1 76, Me 84' 286, P38 80'857 b) 93 % c) s 11' CV 0'221, CV 0'223. Está un poco más dispersa la distribución de los litros de vino que kg extrae l 12.- a) x 236'842 b) P49 200, s 128' a) x 5180, 67 b) s 2440, 41'183 p x c) CV 0'471, CV 0'615 p e p s 14.- a) xmax 17 b) xmin 1 c) P70 19 d) P20 13 e) a) Mo 4'17, Me 6'875, P43 5'738 b) Un 23 1 % c) m 3 d) x 7'69, s 5' a) % b) h c) x 2'363, s 1'818 19