Concepto de VA bidimensional. Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL. Concepto de VA bidimensional. Concepto de VA bidimensional

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1 Concepto de VA bidimensional Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. rocesado de Imagen, ETSI Telecomunicación Despacho D04 Juego de dardos: Cada lanzamiento es un eperimento aleatorio. Los errores (respecto del centro en sentido horizontal serían realizaciones de las VA. Los errores (respecto del centro en sentido vertical serían realizaciones de las VA Y. Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando más frecuentemente (probablemente alcance maor puntuación. Necesitamos pues herramientas bidimensionales. Concepto de VA bidimensional Concepto de VA bidimensional Una modulación digital: Se envían símbolos durante un tiempo T de la forma: con Y (, Y Un modelo real presenta ruido!!! Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad de error: sectores angulares similares a la diana. Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio. c: Como norma general no es conocida a partir del conocimiento eclusivo de

2 Caracterización de VA bidimensional Caracterización de VA bidimensional A Función de distribución conjunta A Función de distribución conjunta { Y } { Y } { } S { } { } Caracterización de VA bidimensional Caracterización de VA bidimensional A Función de distribución conjunta A Función de distribución conjunta S Y { } S Y { } { } S S { Y } I { } I { Y } { } { }

3 Función de distribución conjunta Función de distribución conjunta Se define como la probabilidad de la región anterior: Es una función de probabilidad acumulada: Nótese que: F { } I { } { } I { } B = Y A = 0 Y 0 Y (, F ( 0 0 Y, pues: B = A U C A B Función de distribución: usos ( D = F ( F (, Y, Y Función de distribución: usos ( E = FY(, FY(, ( F (, F ( E Y Y, D B B A B = A U D ( B = ( A U D = ( A + ( D ( D = ( B ( A A D ( B = ( A U D E = ( A + ( D + ( E B = A U D U E U ( E = ( B ( A ( D 3

4 Caracterización de VA bidimensional B Función de densidad de probabilidad La función de distribución es poco versátil, pues sólo permite hallar probabilidades de regiones con geometría mu sencilla. Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una región con geometría arbitraria? i ( R i Caracterización de VA bidimensional B Función de densidad de probabilidad La función de densidad se define de la forma Y la relación inversa es No negativa Volumen encerrado= De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria D del plano es Caracterización de VA bidimensional B Función de densidad de probabilidad or qué recibe este nombre? Dado que se define Caracterización de VA bidimensional B Función de densidad de probabilidad or qué recibe este nombre? Dado que se define + Δ se puede escribir de forma alternativa se puede escribir de forma alternativa + Δ 4

5 Ejercicio: ( > = F ( ( > Y > = F (,, Y? NO!! { >, Y > } U { U } S = Y ( S = ( { >, Y > } U { U Y } = ( >, Y > + ( U Y ( >, Y > = ( U Y = ( F ( + FY ( FY(, ( U Y = ( + ( Y ( I Y Funciones marginales Las funciones de distribución o densidad de cada variable por separado, en este conteto se denominan funciones marginales. A partir de las funciones de densidad o distribución conjunta siempre se pueden obtener las marginales Y Recíproco, en general, no es cierto (, Y Funciones de distribución marginales ara obtener ha que definir el suceso a partir del caso D. ara ello escribimos Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no suponga restricción alguna. or ello De la misma forma F ( ( ( = ( { } S Funciones de densidad marginales En este caso: Lo cual se puede escribir de forma compacta como con = φ d d φ ( α dα ( α f ( α, Y = d 5

6 Funciones de densidad marginales ara derivar bajo el signo integral acudimos a la regla: Funciones de densidad marginales or tanto: En nuestro caso tenemos: ( = φ( α dα, φ( α f Y( α, f por lo que: d d ( φ( = f ( Y f =, d = d Casos particulares: A Dos variables discretas Casos particulares: B Una variable continua una discreta A C B Supongamos que nos preguntan: con ij ( ( A + ( B ( C = + = p + + p p ({ = } I { } p = Y = i j R R R R Supongamos que nos preguntan: (, Y = ( U { = } I { } = Y { = } I { } = Y R R ( R ( = + R 6

7 Entonces: (, Y = ( R U R = ( R ( R + Casos particulares: C Componentes relacionadas mediante Y = g( or lo que: ( R + ( R = ( { = } I { Y } + ( { = } I { Y } = ( Y = ( = + ( Y = ( = = ( = fy ( τ = dτ + ( = fy( τ = Es necesario pues conocer: ( i ( = f = Y i dτ (,g( F Y Se puede obtener la función conjunta a través de cada una de las marginales: > g( ( F ( FY(, = = < g( (, ( g ( = F ( g ( = Casos particulares: Y = g = Supongamos que las componentes están relacionadas mediante una recta nos piden la probabilidad de la región sombreada: D B R A C ( R = > g( < g( ( FY( A + FY( B F ( C F ( D Y D Y A, B, C F ( B = F ( C = F ( g (0 = F (0 Y Y Funciones condicionadas Se plantea cómo incluir más información en las funciones de caracterización total de las variables aleatorias una vez que se sabe que un determinado suceso se ha verificado. A tales funciones se les denomina funciones condicionadas, se representan: donde M es un suceso de probabilidad no nula. ( = ( R = FY ( A FY( D = F g ( 5 ( F ( 5/ F ( F 7

8 Funciones condicionadas Funciones condicionadas, marginales conjuntas Eiste una relación importante entre estas tres funciones, tanto a nivel de función de distribución como a nivel de función de densidad. ara la función de distribución, supongamos que el condicionante es M = { Y } calculemos la función M. Así pues F ( or ello: Y de forma similar Funciones condicionadas, marginales conjuntas ara la función de densidad, consideremos que el condicionante es una franja de valores de la VA Y, a saber, M = { < Y } Teníamos que Y con el cambio de variables: Renombramos ahora para poder acudir a cálculo diferencial: = = + Δ Calculando el límite: 8

9 Repetimos la epresión: Comentarios adicionales Y ahora derivando con respecto a : Cómo es una función de densidad condicionada a la otra variable? or lo que podemos escribir: Y = Esta epresión permite construir muestras de una VA bidimensional mediante ordenador: ~ N( 0, =randn(00, 00 muestras ~ N(, =+randn(00, Teorema de la robabilidad Total Teorema de Baes Nótese que podemos integrar estas epresiones obtenemos las funciones marginales: Teorema de la robabilidad Total 9

10 Independencia de dos VAs Se dice que dos VAs son independientes si se verifica que los eperimentos aleatorios de los que proceden son independientes. Esto trae consigo que: Independencia de dos VAs Vimos que de forma general podemos escribir con En particular si escogemos podemos afirmar que dos VAs son independientes si: O bien Según hemos visto las variables son independientes si se verifica que or tanto si son independientes el condicionante no condiciona ara el caso de las VAs discretas, la independencia se traduce en: Independencia de dos VAs La comprobación de la no independencia es mu sencilla e intuitiva. En particular Transformación de VA D. Caso Z=g(,Y Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de la de e Y. rocedimiento: a partir de la definición de función de distribución: Recorridos de VAs dependientes entre sí!!!!! f Y ( 0, 0 = 0 pero f ( 0 f ( Y siendo el procedimiento consiste en:. Identificar la región D z. Realizar la integral 0

11 Transformación de VA D. Ejemplo Consideremos que. Obtengamos la función de distribución de la VA Z. artimos de: Entonces: z ( Dz = fy(, ara obtener la función de densidad derivamos f Z ( z df dz = Z dd ( z d( D = dz z Transformación de VA D. Ejemplo or tanto: Hagamos el cambio de variable = t d z f Z( z = fy(, t ddt dz d z = f ( Y, t d dt dz d z = ϕ ( t dt dz Entonces ( D d z z d f Z( z = = fy, dz dz ( z ϕ( z = f ( z Y f =, d Z ( dd Transformación de VA D. Ejemplo Nótese que si las VAs fuesen independientes, el resultado anteriormente obtenido: se escribiría ( z ϕ( z = f ( z Y f =, d Z f Z ( z ϕ( z = f ( f ( z = d ( ( ( Es decir fz z = f z fy z Este resultado recibe el nombre de Teorema de la Convolución (la función de densidad de la suma de VAs independientes es igual a la convolución de las funciones de densidad Consultar tres ejemplos más en el libro. Y Transformación de VA D. Dos funciones de dos VAs Consideremos ahora que partimos de: El objetivo es obtener la función de densidad de las VAs de destino como función de la función de densidad de las VAs de origen. Llegaremos a una epresión que será el Teorema Fundamental etendido a dos dimensiones.

12 Transformación de VA D. Dos funciones de dos VAs ara ello, escribimos Transformación de VA D. Dos funciones de dos VAs Generalizando Y dado que: Transformación de VA D. Dos funciones de dos VAs Entonces resulta la epresión del teorema: Solución: la epresión del teorema fundamental es: con:

13 Sólo ha una raíz del plano origen que se transforma en una del plano destino (salvo para el (0,0, pero es un punto aislado en el plano. or ello, escribimos: Sustituendo términos: f (, f ( f ( Y = Y Hemos obtenido pues: Y dado que W= f f, = = ( z w Ahora ha que indicar en qué zona del plano (z,w es cierta la conclusión obtenida. ZW ZW, = w ( z w z 0 z w 0 w 0 w Transformación de VA. Método de la Variable Auiliar Consideremos ahora que partimos de: ( es decir, de una transformación de Vas. Supongamos que deseamos conocer su función de densidad. odemos emplear el teorema fundamental haciendo lo siguiente: ( (3 ZW ( z w f ( z f ( z, w f, Este procedimiento es el método de la VA auiliar Z ZW = dw 3

14 Tenemos pues: Caracterización parcial de VA-D De forma que: De forma similar al caso D, si se tiene Z = g, Y se desea E h Z entonces se puede escribir: { ( } ( En particular, si h( Z = Z Indep. Caracterización parcial de VA-D Si ahora Z = a + by + c Caracterización parcial de VA-D Variables discretas: Esperanzas condicionadas: úsese función de densidad condicionada 4

15 Se dividen en No centrales: Momentos de una VA-D Momentos de una VA-D Con nombre propio Correlación: Centrales: Covarianza: Eiste relación entre ellos: Si las VAs son discretas: Coef. de correlación: Momentos de una VA-D Variables ortogonales: R Y = 0 Variables incorreladas: C Y = 0 Independencia implica incorrelación: Momentos de una VA-D Variables incorreladas: C Y = 0 Varianza de la suma es igual a suma de las varianzas: El recíproco no es cierto!!!!! (en general Variables ortogonales: R Y = 0 Si las variables son ortogonales el mismo razonamiento aplica para el valor cuadrático medio de la suma. 5

16 Unas nociones sobre estimación Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y una vez que se ha observado lo que vale la otra (: Unas nociones sobre estimación Criterio de construcción de estimadores:minimizar el valor cuadrático medio del error ε = Y Yˆ min E{ ε } = min E ( Y Yˆ Veremos tres casos: Estimar mediante constante: { } Ŷ = g ( = a ( Y ˆ = g (estimador de Y Estimar mediante función lineal Estimador sin restricciones ( = a b Ŷ = g + Yˆ = g ( Unas nociones sobre estimación Estimar mediante constante ( a Estimar mediante función lineal Estimador sin restricciones { ε } Ŷ = g = min E a = E{ Y} ( = a b Ŷ = g + a min E a, b { ε } a b C Y = σ = E { Y} a E{ } Y ˆ = g( min E{ ε } ( { } ( g ( g E Y = = f Y = d Unas nociones sobre estimación Es interesante ver que el coeficiente de correlación mide el grado de relación lineal entre las variables: VCM del error para estimador constante: { } = E ε σ Y VCM del error para estimador lineal E { ε } = σ ( ρ Y Y Si = 0 ambos coinciden, or qué? orque: ρ Y a b C Y = σ = E { Y} a E{ } 6

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