VARIABLES ALEATORIAS (I)
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- María Luisa Contreras Márquez
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1 UNIVRSIDAD CATOLICA ANDRS BLLO Urb. Montalbán La Vega Apartado 9 Teléono: - a: - Caracas, - Venezuela acultad de Ingeniería scuela de Ingeniería Inormática VARIABLS ALATORIAS I Variables Aleatorias: Discretas Continuas Deinición: Una variable es aleatoria cuando toma dierentes valores initos deinidos en el conjunto de los números reales bajo los resultados de un eperimento aleatorio. Básicamente es una unción que toma en el espacio muestral diversos números que serán asociados a un eperimento aleatorio, donde en el espacio muestral se deine un valor determinado por el valor del eperimento. : Sea el espacio muestral lanzar una moneda {C, S} C= S= Variables Aleatorias Discretas: Son aquellas que toman un valor inito en el espacio muestral y se encuentra deinido dentro del conjunto de los números reales. jemplo: Lanzar dos dados y que la variable aleatoria sea la suma de sus resultados. La variable aleatoria discreta es: {,,,,,,, 9,,, } - unción de densidad : i. ii. i n i
2 - unción de distribución : i. debe ser creciente, no negativa. ii. lim a b b a P iii. = P, por ejemplo, P - speranza de una variable aleatoria discreta: i n i i = Σ = n n - Varianza de una variable aleatoria discreta: Var = [ - µ ] = Σ - µ Var = - [] Por último, al conjunto de valores que toma las variables aleatorias se las deine como rango de, rg. VARIABLS ALATORIAS DISCRTAS. PROBLMAS Debemos destacar que los problemas epuestos en esta sección son sacados de libros, guías, internet o cualquier otra herramienta bibliográica. Pro. José Campos Sea una variable aleatoria discreta, que representa el número de clientes que llega a una tienda en una hora. Dada la siguiente inormación:,,,,,,,,, Determinar y Var
3 Var... Pro. José Campos Sea una variable aleatoria discreta, cuya unción, viene dada por: / / / / / Determinar: a- b- c- Var a / / / / / b / / / / / / / /. / / / / / / c / / / / /. Var..... Pro. José Campos Supóngase que una variable aleatoria discreta tiene la siguiente unción de probabilidades: c para,,,,. en otrocaso Determine el valor de c Por propiedad: n i i
4 c c c c c c+c+c+c+c= c= c=/ Pro. José Campos La tabla siguiente muestra la unción de distribución acumulativa de la variable aleatoria / / / Determinar: a. La unción de probabilidad. b. P Sol: / c. P Sol: / d. P < Sol: / e. P >, Sol: / a / / / / / / / / / / / / / b P = / / / / ó / c P = / / / / ó / / d P < = / / / ó / e P >, = / / / / ó / / Pro. Rosaura Paladino Un proyecto de construcción puede realizarse en un lapso que oscila entre y meses. l proyectista plantea que el costo en mano de obra consiste en Bs.. ijo más un bono de Bs.. por cada mes que tarde la construcción. Sea la variable aleatoria. Cantidad de meses que tarda el proyecto y P su unción de probabilidad. P..... a Calcule la unción de distribución de
5 .... b Calcule la probabilidad de que el proyecto tarde más de meses. P.. P.... c Cuál será el costo en salario esperado del contratista? Costo Costo [ Bono] total ijo meses Costo Costo total total. 9 d Cuál será la variabilidad del costo? Var Anónimo Un jugador tira monedas, gana dos dólares si salen dos caras y un dólar si sale una cara. Por otra parte, el jugador pierde tres dólares si no sale cara. Hallar el valor esperado del juego. Pueden empatar? s avorable o desavorable? spacio Muestral S= {CC, CS, SC, SS} P= ¼ c/u Sea una variable aleatoria que toma los valores de la cantidad de dinero ganado, se tiene: CC = $ CS = $ SC = $ SS = $- - / / /
6 / = $. / / / No hay empate ya que el valor esperado del juego es distinto de cero y es avorable ya que se espera una ganancia de $.. Pro. José Campos Considere el lanzamiento de una moneda y después el de un par de dados, la variable aleatoria de interés representa la suma de los números en los dados. Si a ese eperimento se asocia un determinado juego en el cual las apuestas están basadas en los resultados de ese par de dados, se puede ganar $ si sale cara y la suma es,, 9,, o se pueden ganar $ si sale sello y el resultado es o. De otra manera pierde centavos. Vale la pena jugar? - Primero que nada construimos la matriz del espacio muestral: CARA: SLLO: unción de densidad para cada lado de la moneda: 9 / / / / / / / / / / / Tamaño del spacio Muestral =
7 Gana $ Gana $ Pierde $. C = / S = / C = / C = / S = / C = / C9 = / C = / C = / C = / C = / C = / C = / S = / S = / S = / S = / S = / S = / S9 = / S = / S = / unción de densidad de dinero ganado: - / / /. = $. Si vale la pena porque se espera una ganancia. dólares. Pro. José Campos Supóngase un juego con un dado, en este juego, el jugador gana $ si obtiene un, $ si obtiene un, pierde $ si obtiene un, en tanto que ni pierde ni gana si obtiene otro resultado. Hallar la suma esperada de dinero ganado. spacio Muestral: S= {,,,,, } P= / c/u = / = / = / - / / / Ganancia de $.
8 9 Pro. José Campos A partir de la gráica siguiente, de una unción de probabilidad: a. Construya la tabla de la unción de probabilidad. b. ncuentre el valor esperado de la variable aleatoria. a unción de densidad o probabilidad: b
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