Unidad Temática 1: Unidad 3 Distribución de Probabilidad Tema 9

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1 Unidad Temática 1: Unidad 3 Distribución de Probabilidad Tema 9

2 Distribución de Probabilidad Recordamos conceptos: Variable aleatoria: es aquella que se asocia un número o un dato probabilístico, como el resultado de un experimento aleatorio. Tipos de Variables: Variable aleatoria cualitativa (nominal u ordinal) Variable aleatoria cuantitativa (discreta) Variable aleatoria cuantitativa (continua) MODELO PROBABILITIO ONTINUO (clase pasada) Variable aleatorias cuantitativas continuas (proporcional o interválica) Distribución Normal o Modelo de Gauss z Xi

3 Distribución de Probabilidad Introducción: MODELO PROBABILITIO DIRETO El objetivo de éste capitulo de la estadística, es el de encontrar el Modelo Probabilístico que mejor describa a las variables cualitativas estudiadas en un experimento. Por ejemplo: aras de una moneda ( ); exo (M H); aras del dado (1, 2, 3, 4, 5, y 6), etc. Encontrar el Modelo probabilístico, significa encontrar una FUNIÓN que pueda explicar a la variable aleatoria en estudio. Los más utilizados son los siguientes Modelos: Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución de Poisson

4 Distribución de Probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución de probabilidad muy sencilla, con las siguientes características: e ejecuta una sola prueba, o lo que vale a decir una sola experiencia. Dicha prueba tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso, y son mutuamente excluyentes uno de otro. La probabilidad de éxito se la denota o describe con p y el fracaso con q. Ejemplo: e revisa un conjunto de 8 caninos con el objeto de observar si los mismos presentan (éxito) o no (fracaso) parásitos externos (pulgas). Variable éxito = 1 Variable fracaso = e asigna con p a la probabilidad de éxito Y con q = 1 - p a la probabilidad de fracaso

5 Distribución de Probabilidad Distribución de Bernoulli Del experimento propuesto surge que 6 de los perros observados (n=8) están parasitados (75%), en tanto que el resto no presentaban pulgas: La Tabla de Bernoulli, con los siguientes resultados: y i P (y i ) Yi.P (y i ) (fracaso),25 1 (éxito),75,75 Σ - 1,75 álculos de estadígrafos para ~Bernoulli: E(Y) = p(yi) =,75 q = 1,75 =,25 μ(y) = n.p = 8*,75 = 6 σ 2 (Y) = n.p.q = 8*,75*,25 =,15 σ(y) = n.p.q =,15 =,387

6 Distribución de Probabilidad Distribución Binomial upongamos que tomamos una muestra de n observaciones (Y 1, Y 2, Y n ), con el modelo de Bernoulli; es decir éxito o fracaso, pero cada dato observado (Y i ) pueden tomar los dos valores de 1 éxito o fracaso, en este caso la distribución es de tipo BINOMIAL, con las siguientes características: Existe un número fijo o infinito de pruebas o experimentos. ada observación tiene solo dos resultados posibles; éxito o fracaso, que son mutuamente excluyentes, que representan el espacio muestral. La probabilidad de éxito se describe por p, por lo tanto tendrá asociada una probabilidad de fracaso que será q. ada ensayo es estadísticamente independiente, es decir la ocurrencia de uno no influye sobre el otro. Tiene asociados dos elementos a la distribución que son: el tamaño de la muestra n y el número de éxitos x.

7 Distribución Binomial Ejemplo Lanzamiento de una moneda e lanza una moneda 1 vez (2 eventos o sucesos posibles) éxito = cara fracaso = seca Evento (1c) p =,5 (1/2) Evento (1s) p =,5 (1/2)

8 Distribución Binomial Lanzamiento de una moneda e lanza una moneda dos veces (4 eventos o sucesos posibles) Evento (2c) p =,25 Evento (1c1s o 1s1c) p =,5 o Evento (2s) p =,25 (1/4)

9 Distribución Binomial e lanza una moneda tres veces (8 eventos o sucesos posibles) Evento (3c) p =,125 (1/8) Evento (2c1s) p =,375 (3/8) Evento (2s1c) p =,375 (3/8) Evento (3s) p =,125 (1/8)

10 Distribución Binomial e lanza una moneda 1 vez (2 eventos o sucesos) EM = 2 n Evento (1c) p =,5 (1/2) Evento (1s) p =,5 (1/2) 2 1 = 2 e lanza una moneda 2 veces (4 eventos o sucesos) 1/4 2 2 = 4 1/4 1/4 p =,5 X,5 =,25 1/4 e lanza una moneda 3 veces (8 eventos o sucesos) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 2 3 = 8 p =,5 X,5 X,5 =,125

11 Distribución Binomial e lanza una moneda 4 veces 2 4 = 16 eventos posibles 4: 3: 4/16 2: 6/16 1: 4/16 : p =,5 X,5 X,5 X,5=,625

12 Distribución Binomial Podemos preguntarnos Qué probabilidad tengo que al lanzar 4 veces una moneda, 2 veces salgan caras? Para calcular las probabilidades para cualquier ejemplo aplicaremos la fórmula de la función de probabilidad para una variable aleatoria discreta con distribución Binomial: f ( x) n p p 4: =,625 3: 4/16 =,25 2: 6/16 =,375 1: 4/16 =,25 : =,625 x q nx x! n! n x n= 4; x= 2; n-x= 2; p=,5; q =,5 f ( x) 4! 2! 2.,5! 2.,5 2! p x q nx = 6 x,625 =,375

13 Distribución Binomial Qué probabilidad tengo de obtener 3 caras si lanzo 1 veces una moneda? 2 1 = 124 eventos posibles 1: 1/124 =,98 9: 1/124 =, : 1/124 =,98 f ( x) n p p x q nx x! n! n x! p x q nx n= 1; x= 3; n-x= 7; p=,5; q =,5 f ( x) 1! 3! 7.,5! 3.,5 7 = 12 x,98 =,1172

14 ,6,5,4,3,2,1,4,3 5,3,2 5,2,15,1, 5 TIRAR 1 VEZ LA MONEDA 1 REULTADO POIBLE TIRAR 4 VEE LA MONEDA REULTADO POIBLE,6,5,4,3,2,1,,2 5,2,15,1, 5 TIRAR 2 VEE LA MONEDA 2 1 REULTADO POIBLE TIRAR 5 VEE LA MONEDA,4,3 5,3,2 5,2,15,1, 5 TIRAR 3 VEE LA MONEDA μ = n.p = 1.,5 =,5 μ = n.p = 2.,5 = 1 μ = n.p = 3.,5 = 1, REULTADO POIBLE,3 5,3 μ = n.p = 4.,5 = 2 μ = n.p = 5.,5 = 2,5 μ = n.p = 1.,5 = 5, REULTADO POIBLE,25,2,15,1,5 TIRAR 1 VEE LA MONEDA REULTADO POIBLE,2,18,16,14,12,1,8,6,4,2 TIRAR 2 VEE LA MONEDA μ = n.p = 2.,5 = 1 REULTADO POIBLE

15 2M 19M 18M 17M 16M 15M 14M 13M 12M 11M Distribución Binomial 1M 9M 8M 7M 6M 5M 4M 3M 2M 1M M 1M 9M 8M 7M 6M 5M 4M 3M 2M 1M M,9,8,7,6,5,4,3,2,1,4 5,4,3 5,3,2 5,2,15,1, 5 Estimar la probabilidad de ocurrencia de obtener múltiplos de 5 en una serie cualquiera de números con un p=,2 (solo los números terminados en ó 5 sobre 1 eventos posibles), para un n=1, será:,25,2,15,1,5 n =. x =. p =,2 q= 1-p =,8 1M n= 1 M REULTADO POIBLE n=4 4M 3M 2M 1M M REULTADO POIBLE f ( x),7,6,5,4,3,2,1,,4 5,4,3 5,3,2 5,2,15,1, 5 n p p x q nx n= 2 n= 5 n= 2 x! 5M 4M 3M 2M 1M M REULTADO POIBLE n! n x 2M 1M M REULTADO POIBLE! p x,6,5,4,3,2,1 q,35,3,25,2,15,1,5 nx n= 3 3M 2M 1M M REULTADO POIBLE n= 1 REULTADO POIBLE REULTADO POIBLE

16 Distribución Binomial Particularidad de la Función Binomial onfiguración de la distribución binomial: I. i p = q =,5 la distribución binomial siempre será simétrica, independientemente del tamaño de n. II. i p q, la distribución será asimétrica, cuando p > q; la asimetría será a la derecha y cuando p < q; la asimetría será a la izquierda. III. uando el tamaño de la muestra n tiende al infinito, la distribución binomial toma forma simétrica o normal. Esta particularidad nos permite estimar la probabilidad de una variable binomial mediante la distribución Z i z X

17 Distribución Binomial Qué probabilidad tengo de obtener 3 caras si lanzo 1 veces una moneda? 2 1 = 124 eventos posibles n= 1; x= 3; n-x= 7; p=,5; q =,5 z Xi f ( x) 1! 3! 7.,5! 3.,5 7 μ = n.p = 1*,5 = 5 σ 2 = n.p.q = 1*,5*,5 = 2,5 σ = n.p.q = 2, 5 = 1,58 = 12 x,98 =,1172 e calcula el intervalo para el X i = 3 2,5 5 1,58 z 2,5 = -1,58 3,5 5 1,58 z 3,5 = -,95 P (Z -1,58) = P (Z -,95) = P (Xi = 3 ) =...

18 Distribución de Probabilidad Distribución de Poisson Esta distribución resulta aplicable a procesos donde hay una observación por unidad de tiempo o espacio, por ejemplo: N de llamadas recibidas por minuto, N de microorganismos por cm 3, N de bovinos tuberculosos por cada 1 que van a faena. uando a la unidad de tiempo o espacio la subdividimos en muchas parte (n muy grande), y la probabilidad de que ocurra un evento (éxito) es muy pequeña, entonces estamos ante una distribución de Poisson. ondiciones que debe reunir: Existe un número fijo e infinito de pruebas. ada una de ellas tiene solo dos resultados posibles; éxito o fracaso. El tamaño de la muestra es muy grande. La probabilidad de éxito es muy pequeña.