TEMA 2: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 TEMA 2: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD A partir de un experimento aleatorio cualquiera, se obtiene su espacio muestral E. Se llama variable aleatoria a una ley (o función) que a cada elemento del espacio muestral se le asocia un número real. Una variable aleatoria se llamará discreta si sólo puede tomar una serie de números. En este caso, se llamará función de probabilidad de la variable aleatoria a la función que a cada valor le hace corresponder su probabilidad Ejemplo1: Variable aleatoria: Número obtenido al lanzar un dado. Los resultados posibles son solamente: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Función de probabilidad expresada como tabla 1 Ejemplo2: Variable aleatoria: En el lanzamiento de dos monedas, número de caras El espacio muestral es {CC, CX, XC, XX}. Se ve claro que solo tenemos 3 opciones: 0 caras, 1 cara y 2 caras, es por lo tanto una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0, 1 y 2 La función de probabilidad expresada como tabla 2: x i p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Sucesos x i p i XX 0 1/4 XC CX 1 2/4 CC 2 1/4 TABLA 1 TABLA 2

2 Tenemos que darnos cuenta que, en realidad, no es sino una idealización de una distribución estadística. Tal y como hemos hecho en clase, la parte estadística es al realizar el experimento y hacer la tabla con las frecuencias relativas. Aquí, pondremos la probabilidad de cada uno de los resultados posibles. En el caso de que la variable sea continua, la función de probabilidad se llama función de densidad Al ser idealizaciones de variables estadísticas, calcularemos la media y la desviación típica igual que lo hacíamos antes En variables estadísticas: Media: x = i N f x Esto es la frecuencia relativa i En variables aleatorias: µ i x i = p Que se convierte en probabilidad Desviación Típica s 2 f i x i 2 = x σ = p 2 µ 2 i x i N Que se convierte en probabilidad Esto es la frecuencia relativa

3 2.- La distribución binomial Si en una experiencia aleatoria destacamos un suceso A y solo prestamos atención a si ocurre A o su contrario, se llama experiencia dicotómica Ejemplos: 1.- Lanzar una moneda: A = cara A= cruz 2.- Lanzar un dado: A = sale 5 A = no sale Extraer una carta de la baraja: A = es figura A = no es figura Si se repite n veces una experiencia dicotómica (en condiciones idénticas) y nos plateamos por el número de éxitos (nº de veces que sale nuestro suceso A), la distribución de esta variable se llama BINOMIAL y se representa por B ( n, p ), donde n representa el número de veces que se repite la experiencia y p la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias Ejemplo: Sacamos 5 cartas de una baraja española, con reemplazamiento, y nos fijamos en si sale figura (sota, caballo o rey) o no Es una experiencia dicotómica porque al sacar una carta puede ser una figura o no Se repite 5 veces, la misma experiencia en condiciones idénticas (con reemplazamiento: independencia de los sucesos) La probabilidad de éxito (figura) es 12/40 = 0.3 Escribimos entonces que nuestra variable aleatoria X: nº de caras es B(5;0.3) Cómo determinamos la función de probabilidad? Obtener 5 figuras ( 0.3) ( 0.3 )( 0.3 )( 0.3 )( 0.3) ( ) 5 Obtener 4 figuras (.3)( 0.3 )( 0.3 )( 0.3 ) ( 0.7) 0 La no figura puede salir en cualquiera de las posiciones luego ( 0.3) ( 0.7)

4 No es tan sencillo determinar la probabilidad de sacar 3 figuras porque hay muchas opciones, por ejemplo: Las tres primeras son figuras y las dos últimas no: ( 0.3) ( 0.3 )( 0.3 )( 0.7 )( 0.7) La primera y la tercera y la cuarta son figuras, el resto no ( 0.3) ( 0.7)( 0.3 )( 0.3 )( 0.7) En realidad, siempre es (.3) 3 ( 0. 7 ) 2 0, pero cuántas veces? Es decir, de cuántas maneras posibles podemos sacar 3 figuras y dos no figuras del mazo de cartas? 5 Esto lo expresamos en matemáticas de la forma 3 o también C 5 3 En tu calculadora lo verás en la forma 5C3 que nos dará como resultado 10 Es decir, Las diferentes opciones de sacar 3 figuras son 10 y por lo tanto, la probabilidad de sacar 3 figuras es ( ) ( ) 2 p 3 2 ( X = 3) = 10 ( 0.3) ( 0.7) = Esto lo escribimos en la forma: Termina tú ahora la función de probabilidad del experimento: X: número de figuras p(x) ( ) ( ) ( 0.3) ( 0.7) 5 ( 0.3) 5 En general, las distribuciones binomiales se caracterizan porque p r = Sabes qué representa cada letra? r r n r ( X r) = p ( 1 p) NOTA: al número 1-p se le suele llamar probabilidad de fracaso Los parámetros son ahora más fáciles de calcular: µ = n p Media (o Esperanza matemática) Desviación Típica σ = n p q (q = 1 p)

5 3.- La Distribución Normal Habíamos dicho que las variables aleatorias son una idealización de las variables estadísticas. En el caso de una variable continua, si la representamos mediante un histograma de frecuencias relativas Idealización Al idealizarlo, lo transformamos en una función, que se llama función de densidad Con frecuencia, esta función se parece a una curva, llamada curva de Gauss que es la siguiente: Estas distribuciones reciben el nombre de Distribuciones Normales y tienen la particularidad que el máximo de la función coincide con la media y fue descrita por el matemático Gauss al analizar los errores que se cometen al medir magnitudes. La gran importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con que aparecen en las situaciones más variadas: Caracteres morfológicos: tallas, pesos, envergaduras,. Caracteres fisiológicos: efectos de medicamentes, o del abono Caracteres sociológicos: Consumo de productos Caracteres físicos: resistencia a rotura de un material Y, en general, cualquier característica que se obtenga como una suma de muchos factores Pero como podemos obtener la probabilidad desde esta función?

6 Utilizaremos una tabla de números llamada tabla de la distribución normal, que nos permite calcular probabilidades de que un valor de la variable sea menor o igual que uno dado. Esto se explica mejor en un documento aparte llamado: Uso de la tabla de la normal. Para poder seguir avanzando en los temas siguientes es imprescindible poder manejar la tabla con bastante soltura, porque habrá que utilizarse en casi todos los ejercicios. Es conveniente, por lo tanto, que la copies, la plastifiques y la traigas a todos los exámenes. 4.- Aproximación de la binomial por una normal Para ciertos valores de n y p, las distribuciones binomiales tienen un extraordinario parecido con las correspondientes normales. En general: Si n p 5 y n q 5 Entonces: B(n,p) N(np, npq) Es decir, si miramos el ejemplo del dibujo n p = = 10 5 y n q = = 10 5 Como npq = 5 = binomial lo podemos hacer como normal N(10; 2.24) En lugar de hacer el ejercicio como una Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire 2 veces. Calcular la probabilidad de que obtengamos más de 7 caras. Como hemos visto, podemos considerar el ejercicio como N(10; 2.24) y la probabilidad pedida es: 7 10 p = = 2.24 ( x > 7) = p z > p ( z > 1.34) = p ( z < 1.34)