Unidad II Distribuciones de Probabilidad

Transcripción

1 Unidad II Distribuciones de Probabilidad Última revisión: 25-Septiembre-2009 Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 11

2 II.1 Variables aleatorias discretas y continuas En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales. Formalmente se dice que una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω. X : Ω R Una variable aleatoria es una función que asocia un número a cada elemento del espacio muestral. Se llama recorrido o rango de la variable al conjunto de valores que toma. Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es: Ω = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale sello"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función: X : Ω R dada por cc 2 cs, sc 1 ss 0 El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto: RX = {0, 1, 2} Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente. Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía. Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2.50 m, es posible. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 12

3 En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. Ejemplos Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras (v. a. discreta). Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (v. a. discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria, ya que puede adquirir un infinito número de posibilidades al obtener la medida(v. a. continua). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada sandía su peso es una variable aleatoria, ya que si pesamos las sandias pueden adquirir un pese determinado entre infinitas posibilidades (v. a. continua) II.2 Distribución binomial Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 13

4 Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 14

5 Ejemplo. La probabilidad de que Adrián logre anotar una canasta por su equipo de baloncesto en cualquier momento es de p = 8/32. Suponga que realiza 12 intentos de anotar. Encuentre la probabilidad de que alcance a anotar en 5 ocasiones de los 12 intentos que realiza. Solución: Adrián p = 8/32 q = 24/32; q = 1-p n = 12 veces x = 5 ocasiones exitosas P 5 = P x = n x px q n x P 5 = 792 1/4 5 3/ / /32 7 P 5 = Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 15