Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

Transcripción

1 Probabilidad Condicional Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

2 Definición: Variables aleatorias Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria. Las variables aleatorias puede ser: - Discretas (número de valores finito o infinito contable) - Continuas (valores en la recta real)

3 Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces y sea X (variable aleatoria) el número de caras que se obtiene. En este experimento X es 0,1,2,...,10

4 Ejemplo: Variables aleatorias Una moneda se lanza 5 veces. El tamaño del espacio muestral es entonces 2 5. Sea X la función real que cuenta el número de caras de un posible resultado. Por ejemplo, para la serie s=cara, cara, cruz, cara, cruz, X(s)=3

5 Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X. La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

6 Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen.

7 Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x, f(x)=pr(x=x) La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

8 Función de probabilidad: Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x 1,x 2,... con probabilidades p 1,p 2,..., respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que Además f(x)=pr(x=x)=p i f(x)=0 si x=x i de otra forma

9 Función de probabilidad cumulativa: Se define la función de probabilidad cumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que : Además con la función de probabilidad cumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

10 3 ejemplos de distribuciones discretas: - Distribución de Bernoulli - Distribución uniforme - Distribución binomial

11 Distribución de Bernoulli: Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p: Pr(X=1)=p Función de probabilidad: y Pr(X=0)=1-p

12 Distribución uniforme: Sea a y b números enteros ( ). Suponga que la variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.

13 Distribución Uniforme: Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X está dada por

14 Distribución binomial: Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados. Es usual llamar a los posibles resultados: éxitos y fracasos

15 Distribución binomial: Digamos que tenemos los eventos A y B, con Si la probabilidad de que ocurra un éxito es Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-p Si se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por: X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n

16 Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:

17 Distribución binomial: La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por: Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli

18 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Brown Einstein (~1820) (1905)

19 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) - Brownian motion (movie) - Caminante aleatorio 1D (movie)

20 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Caminante aleatorio en 1D: Una partícula salta una distancia l en un tiempo (promedio) Al tiempo t la partícula ha dado saltos

21 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L saltos hacia la izquierda. De este modo n= R + L Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más hacia la derecha, es decir, m = R - L

22 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es: de donde:

23 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski) Suponiendo que con y utilizando la aproximación: se encuentra que o bien Con coeficiente de difusión D: