Laboratorios Incentivados Equilibria. Probabilidad. Respuestas al Examen Mayo

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María Dolores Alvarado Nieto
hace 5 años
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1 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 Laboratorios Incentivados Equilibria Probabilidad Respuestas al Examen Mayo 03 Parte Opción Múltiple.- (i) Notemos que X ~Exp(). Por lo tanto E[X] = Var(X) = Y como Var(X) = E[X ] (E[X]) tenemos que E[X ] =. Por lo tanto E[Y] = E[E[Y X]] = E[X + 3] = E[X ] + 3 = 7 (ii) Por la independencia de Z con Z E[Z Z ] = E[Z ]E[Z ]. Esto implica que E[Y] = E[E[Y Z Z ]] = E3[Z Z ] = 3E[Z ]E[Z ] = 05 Por lo tanto ambas afirmaciones son verdaderas. El inciso correcto es el (c)..- La función h(x) = ln( X) ln (X) no es convexa pues el signo de h (X) depende del valor que tome X. Por lo tanto, no podemos asegurar que h(e[x]) E[h(X)]. Encontremos F Z (z). F Z (z) = P[Z z] = P [ln ( X X ) z] = P [ X X e z ] = P [ X] + ez F Z (z) = λ λx λ dx = [ + e z] +e z si < z < Por lo tanto, el inciso (b) también es incorrecto. Finalmente, encontremos la densidad de la variable Z. Hechas por Alberto Ramírez de Aguilar Wille La desigualdad de Jensen dice que si h es convexa entonces h(e[x]) E[h(X)]

2 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 f Z (z) = df Z dz (z) = λe z ( + e z si < z < ) λ+ Esto quiere decir que la respuesta correcta es el inciso (c). 3.- Utilizando la función generadora de momentos, podemos mostrar que suma de n variables aleatorias que se distribuyen χ () se distribuyen χ (n). La función generadora de momentos de una χ () es / M X (t) = [ t ] Por lo tanto si tenemos X,, X n independientes y cada una tiene una distribución χ () Esto implica que X i ~χ (n). M Xi (t) = E[e X i] = [e X i] n n/ = [ t ] Para este ejercicio en particular, podemos aplicar lo que acabamos de mostrar para argumentar que X + X + X 3 ~χ (6) Para encontrar el valor de c tal que P[X + X + X 3 c] =. simplemente hay que usar la tabla de esta distribución con seis grados de libertad. La respuesta correcta es el inciso (c). 4.- La función generadora de momentos es Recordemos que Con esto podemos calcular lo siguiente: M X,X (t, s) = e 3t s+t ts+8s E[X n X m ] = n+m M t n sm (0,0) E[X ] = M t (0,0) = 3 E[X ] = M (0,0) = s

3 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 E[X X ] = M (0,0) = 7 t s E[X ] = M t (0,0) = 3 E[X ] = M (0,0) = 0 s En base a todo lo anterior, podemos concluir que Por lo tanto, el inciso incorrecto es el (d). μ = ( 3 ) Σ = ( 4 ) ρ = 6 64 = (i) Utilizado el diagrama de Venn dado, podemos calcular las siguientes probabilidades P(A) =.4 P(B) =.4 P(C) =.375 P(A B) =. P(B C) =.5 P(A C) =.5 Como P(A)P(B) =.6. = P(A B), entonces estos sucesos NO son independientes dos a dos 3. (ii) Como D (A B C) = entonces P[ D (A B C)] = 0 P(D)P(A B C) Entonces, estos eventos NO son independientes. (iii) Como D (A B C) = esto implica que D A = y por la misma razón que en (ii) estos eventos NO pueden ser independientes. La respuesta correcta es el inciso (d). 3 Recordar que E y F son independientes si P(E F) = P(E)P(F)

4 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 Parte Abierta.- a) Simplemente necesitamos encontrar las correlaciones entre las variables. Notemos que corr(y i, Y i ) = cov(y i, Y i ) var(y i ) = para i =,,3 Para encontrar las correlaciones entre variables distintas, usamos la matriz de covarianzas. 6/6 / Correlaciones = ( 6/6 0 ) / 0 b) La distribución del nuevo vector de variables es la siguiente La manera de obtener la matriz de medias es (X, X ) ~ N (( 5 0 ), (0 )) E[X ] = E[Y ] + E[Y ] + E[Y 3 ] = 5 E[X ] = E[Y ] E[Y 3 ] = 0 Para obtener las covarianzas y varianzas, hay que utilizar las propiedades de la covarianza. Por ejemplo, para la varianza de X hacemos lo siguiente Var(X ) = Var(Y Y 3 ) = Var(Y ) + Var(Y ) cov(y, Y ) = c) X X = ~ N(9, 6) d) Como sabemos que Entonces X X = ~ N(9, 6) P[X > 3 X = ] = P [Z > 6 ] =

5 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 Lo que hicimos fue estandarizar X X = restando la media de la densidad y diviendola entre su desviación estándar..- a) Antes que nada, la función de densidad conjunta de X, X es f X,X (x, x ) = λ e λx e λx si 0 < x < 0 < x < Iniciemos por despejar las variables X, X en términos de U, V. Notemos que X X = (X + X ) ( ) = UV X + X Y por lo tanto Y = U UV = U( V). Entonces v u J = v u = u Por lo tanto, por el Teorema de Cambio de Variable 4 f U,V (u, v) = uλ e λuv e λu( v) = λ ue λu si 0 < u < 0 < v < b) La densidad marginal de U se calcula de la siguiente manera Esto quiere decir que U ~Gamma(, λ). La densidad marginal de V es f U (u) = λ ue λu dv = λ ue λu si 0 < u < 0 f V (v) = λ ue λu du = si 0 < v < 0 Esta integral es uno pues estamos integrando f U (u) = λ ue λu sobre todo su soporte, y como es función de densidad debe integrar a uno. Por lo tanto V~U(0,). c) Notemos que f U,V (u, v) = λ ue λu = f U (u)f V (v) 4 En caso de dudas, pueden consultar la Nota Disponible en sobre el Teorema de Cambio de Variable

6 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 Entonces U y V son independientes. Por lo tanto E[U V ] = E[U] = λ 3.- a) La función generadora de momentos de cada X i es Por lo tanto M Xi (t) = t 0 M Y (t) = E[e X i] = [e X i] 0 00 = [ 00 t ] Entonces Y ~Gamma(0, 00). Esto debido a que la función generadora de momentos de una variable Gamma(α, λ) es α λ M X (t) = [ λ t ] b) La función generadora de momentos de X ~Gamma(α, β) es α M X (t) = [ βt ] Por lo tanto M Y (t) = E [e X(t β ) ] = [ β ( t ] β ) α α/ = [ t ] Esto quiere decir que Y ~χ (α) 4.- Básicamente, los tres incisos se resuelven calculando lo siguiente P[ Tijuana C] P[Monterrey C] P[Guadalajara C] Donde C significa que la lata está contaminada. Las tres probabilidades se resuelven utilizando el Teorema de Bayes. Primero, utilizando la Ley de las Probabilidades Totales, encontremos P[C]

7 EQUILIBRIA ECONOMÍA 04 P[C] = P[C Tij]P[Tij] + P[C Mont]P[Mont] + P[C Guad]P[Guad] P[C] = (. 0005)(. 45) + (. 000)(. 35) + (. 000)(. ) = Entonces P[Tij C] = P[C Tij]P[Tij] P[C] =. 0005(.45) =.74 Análogamente P[Mont C] =. P[Guad C] =.06 Por lo tanto a) Tijuana b) Guadalajara c) P[Monterrey o Guadalajara C] = P[Mont C] + P[Guad C] =.8

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