Tema 9: Distribuciones Bidimensionales.

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Ricardo Castellanos Salas
hace 5 años
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1 Tema 9: Dtrbucone Bdmenonale. 9.1 Nube de punto. Correlacón. 9. Medda de correlacón. 9.3 Recta de regreón. 9.4 Dtrbucone condconada. Dependenca e ndependenca. 9.1 Nube de punto. Correlacón. Regreón e un térmno acuñado por r Franc Galton ( ) al comparar la altura de padre e hjo. Al lanzar una pedra haca arrba, hay una fórmula que no permte calcular, eactamente, la altura alcanzada en funcón de la velocdad con que e lanza. Se dce que e una relacón funconal. El peo y la etatura de la perona etán muy relaconada (correlacón) pero no e podría dar una fórmula que permta conocer el peo eacto de una perona abendo u etatura. Se dce que e una relacón etadítca. S tenemo un colectvo de n ndvduo y etudamo do varable e y, al conjunto de pare de valore ( 1, y 1 ), (, y ),..., ( n, y n ) e llama dtrbucón bdmenonal (a cada ndvduo le correponden lo valore de do varable). Tomando eo do valore como la coordenada de un punto, dcha dtrbucón e puede repreentar obtenendo una nube de punto o dagrama de dperón. Ejemplo 1: Recogemo la nota obtenda en el º trmetre en la matera de Economía, Lengua y Matemátca en 1º de Bachllerato C y lo motramo en la guente tabla mple: Matemátca Economía Lengua Matemátca Economía Lengua Cuál e la poblacón del etudo? Qué varable e etudan? De qué tpo on dcha varable? Dcho dato pueden er motrado en otro tpo de tabla, tabla de contngenca. Anota en cada celda el número de ndvduo que verfcan dcha varable, endo Economía () y Matemátca (Y): Y Realza u nube de punto correpondente. 1

2 Etán relaconada amba varable? Para reponder a dcha pregunta debemo conocer el concepto de correlacón. S la repueta e afrmatva, calcularemo una recta que no permte calcular una varable en funcón de la otra. A dcha recta e le llama recta de regreón. A lo largo de eta undad realzaremo 9 ejemplo (1a (Economía y Matemátca), 1b (Matemátca y Lengua), 1c (Economía y Lengua),, 3 (3), 4 (4), 5 (5), 6 (7) y 7 (5)). Cada uno de ello etará en una hoja dferente. Debe repreentarlo medante tabla, cudado hay do tpo de tabla, mple y de doble entrada, elge ben ante de empezar. Para ver hay relacón entra la nota de Economía y Matemátca, realzamo una tabla mple, añadendo tre fla para el cálculo de, y y y y una columna para la uma de cada fla. Economía ( ) Matemátca (y ) y y y Pero no ofrecen lo guente dato: La puntuacón (Y) obtenda por 1000 perona en funcón de u edad () en un tet de artmétca, debemo utlzar una tabla de doble entrada: Y (15, 175] (175, 5] (5, 75] (75, 35] (35, 375] (15, 35] (35, 55] (55, 75] En ella debemo añadr la guente fla y columna: Y f f f f y y f y y f y y Ejercco 1: Haz la tabla mple o de doble entrada de lo 9 ejemplo menconado. Ejercco : Realza la nube de punto de cada uno de ello y haz una predccón.

3 9. Medda de la correlacón. Cuando trabajamo con dtrbucone bdmenonale, debemo comprobar la relacón entre amba varable e fuerte o débl. Para ello vamo a dtnto concepto a partr de la varable margnale y conjunta: y a) Centro de gravedad que e el punto (, y), endo, y. n n b) Covaranza que vene dada por una doble fórmula, endo la egunda la má cómoda ( )(y y) y y n n El valor de la covaranza depende de la undade de medda de la varable e Y, pero u gno nforma acerca de la varacón relatva de la varable. S e potva al crecer la varable, crecerá Y, e negatva, al crecer, decrecerá Y c) Se defne como coefcente de correlacón muetral o Correlacón al valor que vene dado por la epreón r =. y Obervacone obre la correlacón: 1) La correlacón no tene undade, por ello podemo comparar etudo con dtnta undade. ) S r = 1 o r = -1, e dce que la correlacón e perfecta. 3) La correlacón e fuerte el valor aboluto de r e cercano a 1. 4) La correlacón e débl el valor aboluto de r e cercano a 0. 5) S r e potvo la relacón e drecta y r e negatvo, la relacón e nvera. Ejercco 3: Calcula la correlacón de lo nueve ejemplo. 9.3 Recta de regreón. S la correlacón tene un valor prómo a uno, tene entdo hablar de la recta de regreón, eta recta no permte predecr (cudado que cometeremo errore) el valor de la varable Y conocendo, o vcevera. Para ello e necearo que el valor que queremo predecr eté dentro del rango de lo valore de la muetra. S la correlacón etá muy cerca de uno, podemo obervar que lo punto de la nube de punto etán muy cerca de la recta de regreón. Ante de defnr la recta de regreón debemo tener en cuenta vara ecepcone: a) En el etudo de do varable (temperatura y etudo), hemo obtendo r = 1. No por ello debemo nterpretar que dcha relacón e fuerte. b) En varo etudo podemo obtener el mmo valor de la correlacón y tener dferente tuacone de relacón entre la varable, para poder dtngurlo debemo obervar la 3

4 nube de punto (págna 68). Por ello, ante de empezar cualquer anál, debemo repreentar lo dato en una nube de punto. c) Alguno etudo no e correponden con un ajute lneal. Al repreentar la nube de punto podemo obervar que e correponde con otro tpo de funcone (eponencal, proporconaldad nvera, etc). Igualmente podemo hacer el etudo pero no lo haremo en ete curo. S la correlacón entre amba varable e fuerte, podremo calcular la recta que la relacona cuya ecuacón e congue etudando que la dtanca de la recta a la nube de punto ea mínma (cuadrado de la dtanca mínmo). Para contrur la recta de regreón de Y obre debemo tener en cuenta m y = llamado coefcente de regreón y paa por el punto (, y), por tanto la recta queda de la forma: y = y + ( - ) Con ella podemo etmar el valor de y dado el de, con dentro de lo valore del rango de. Lo denotamo por ŷ( ), e decr, ŷ( ) e el valor apromado de y para. S nootro queremo aber el de conocdo el valor de y, debemo utlzar la recta de regreón de obre Y, que e contruye de forma análoga a la anteror: = + (y - y ) y S la correlacón e ca nula, la do recta erán ca perpendculare, la correlacón e fuerte, el ángulo que forman e pequeño y la nube de punto etá muy cercana a amba, la r e ca 1, la recta on práctcamente concdente. Ejercco 4: Calcula la recta de regreón de lo nueve ejemplo. 9.4 Dtrbucone condconada. Dependenca e ndependenca. Fjado un valor de una de la varable, e puede determnar la dtrbucón de la otra varable. La guente tabla muetra el número de nmgrante por edad () y eo (Y): Hombre y 1 Mujere y Margnal [0, 19) [19, 65) [66, 100) Margnal 4

5 Al fjar la varable, obtenemo una dtrbucón dependente del eo y e eprea por Y =. Se obtene la guente tabla: Y = Hombre y 1 Mujere y f j f 1 = f = f. = h j h 1 = 0, , Se llama dtrbucón condconada de Y a que tome el valor, y e denota por Y =, al conjunto de valore que toma la varable Y cuando =. De forma análoga e puede defnr dtrbucón condconada de a que Y tome el valor y, y e denota por y = y, al conjunto de valore que toma la varable cuando Y = y. Se verfca la guente relacón entre la frecuenca relatva h j = h. h j = h.j h j. S ademá e verfca que h j = h. h.j, e dce que la varable e ndependente de la varable Y. E evdente que la varable Y e ndependente de la. Qué quere decr que on ndependente? Toda la frecuenca margnale concden con la condconada, por tanto uno de lo producto falla, la varable no on ndependente. 5

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