ESTADÍSTICOS EN TÉRMINOS DE VECTORES Y MATRICES. José Carlos de Miguel Domínguez Agustín Ramos Calvo Julio Pallas González

Transcripción

1 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea ESTADÍSTICOS E TÉRMIOS DE VECTORES Y MATRICES Joé Carlo de Mguel Domínguez Agutín Ramo Calvo Julo Palla González Dpto. de Método Cuanttatvo para la Economía la Emprea Facultad de Cenca Económca Emprearale Unverdad de Santago de Compotela. Reumen: E corrente defnr alguno concepto etadítco drectamente, n uar aquella dea ncale que lo motvaron. A caua de ello puede parecer (obre todo a nuetro etudante) que no ete relacón n contnudad con otro concepto báco a ntroducdo en Matemátca. Eta e la razón que no ha llevado a preentar la matera elemental ( obradamente conocda) que gue. Concretamente, utlzando el concepto de producto ecalar ordnaro ( la norma nducda por él), e ntroducen lo concepto de varanza de coefcente de correlacón, aí como u nterpretacón geométrca. Poterormente, utlzando el concepto de proeccón, e preentan e nterpretan lo concepto de ajute de mínmo cuadrado, coefcente de determnacón lo de correlacón parcal. 53

2 : ; O : De Mguel J.C., Ramo A., Palla J..- Concepto de Meda, Varanza Correlacón Smple entre do varable etadítca. Dada obervacone {(,, 3,..., ), (,, 3,..., )} de do varable cualequera e relatva a do magntude arbtrara (fíca, económca, etc.) cuo comportamento e deea conocer, dcha obervacone determnan do vectore columna de R de la forma: 0 (,, 3,..., ) t ; 0 (,, 3,..., ) t La meda muetrale de dcha obervacone (coordenada del centro de gravedad) on: ; la llamado obervacone centrada mden lo devío de dcha obervacone con repecto a la meda correpondente, a aber: ( -, -, , - ) t ; ( -, -, 3 -,..., - ) t (En adelante, e obervará que todo lo cálculo on relatvo a eta varable centrada no para lo vectore que recogen la obervacone ncale). Para dcho vectore la norma uual e: _ <, > ( ) ; <, > ( ) dvdendo entre eta epreone e obtenen la varanza muetrale de la varable. A la vez, u raíz cuadrada conduce a la epreone de la devacone típca: ( ) ; ( ) ; _ Aí, la devacone típca muetrale no on má que la norma de lo vectore de devacone de dcha obervacone (con una longtud vece má pequeña que la longtude de aquello). 54

3 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea Sguendo en la mma línea, e poble penar en lo vectore untaro en la mma dreccón de lo vectore que eprean lo devío de la varable con repecto a u meda. Dcho vectore eprean, en defntva, el reultado de lo que e denomnado en Etadítca como tpfcar (o etandarzar) la varable, tambén, como valore centrado-reducdo. Su epreón e: z : Cabe obervar que la varanza de dcha varable tpfcada e la undad, ndependentemente de la undade de medda uada para determnar la obervacone. La covaranza entre la varable e ncale, denotada como e defne como: <, > ( )( ) (e decr, el producto ecalar entre la varable centrada). En eta línea, e obtene la epreón enclla guente para el coefcente de correlacón mple ( r ) entre la varable ncale: r <, > <, > Epreón que, lteralmente, pone de manfeto que el coefcente de correlacón entre la varable centrada e no e má que el coeno del ángulo que forman lo do vectore. E nmedato, entonce, nterpretar toda la propedade del coefcente de correlacón n má que acudr a la propedade del coeno de dcho ángulo. Por ejemplo, en el cao en que 0 < r < (repectvamente < r < 0) ete 55

4 De Mguel J.C., Ramo A., Palla J. correlacón potva entre amba varable (repectvamente, negatva) un aumento en una de ella produce un aumento (repectvamente, dmnucón) en la otra. La magntud de dcha varacone e fáclmente nterpretada utlzando la proeccón de un vector obre otro, que e tratará má adelante..- Epreone gnfcado de la matrce de varanza-covaranza de correlacón. Supueto e dpone de p vectore -dmenonale,, 3,..., p de dato centrado la matrz cua columna on dcho vectore X (,,..., p ), para dcha varable p-dmenonal, la matrz de varanza-covaranza de la varable toma la forma: C X'X <, > <, > : : <, > p <, > <, > : : <, > p... <, > p... <, > p : : : :... <, > p p Conderada, entonce, la matrz dagonal cuo elemento on la varanza muetrale de la varable (potva), e poble hablar de la raíz cuadrada de dcha matrz en la forma: D - / c / /... 0 : : pp / En ea condcone, la matrz de puntuacone tpfcada toma la forma: Z X D C -/ Tomando lo producto ecalare de lo vectore columna de la matrz Z como elemento, e puede formar la matrz de correlacón de la p varable: R XX / ( Z Z ) C ZZ / ( D C -/ X X D C -/ ) 56

5 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea Por otro lado, e A j el área del trángulo determnado por lo punto p (, ), p j ( j, j ), p g ( g, g ) endo p g el centro de gravedad (e decr, aquel cua coordenada on la meda repectva) de la nube de punto, e conocdo el hecho de que ee área queda determnada por el guente determnante (en valor aboluto): A j j j g g j j Elevando al cuadrado umando la anteror epreón para todo lo valore de j: S A < j j, j ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ahora ben, llamando: C <, > <, > <, > <, > (. <, > ) ( enα ) tenendo en cuenta que en α e el área del paralelogramo determnado por ambo vectore, reulta que el determnante de la matrz de varanza-covaranza de do varable e correponde (ó en otra palabra, e proporconal) al cuadrado del área del paralelogramo que determnan dcha varable. Por ello, dcho determnante e uele denomnar la varanza generalzada. 3.- Proeccón ortogonal obre un ubepaco ajute de mínmo cuadrado. Como e ndcó al fnal del apartado, una cuetón que aparece repetdamente en la práctca, e determnar qué porcón de un vector b actúa en la dreccón determnada por otro vector a. En defntva, e etá hablando de la nocón de proeccón del vector b obre a. Para el cao má encllo, conderado do vectore a θ b de R n denotando E a la recta generada por a, la componente de b a lo largo de Se ntroduce (por una vez) dchanotacón, para hacer contar que tamben e podría uar ea termnología. 57

6 De Mguel J.C., Ramo A., Palla J. E a e la longtud del vector proeccón de b obre a; (cuo valor e b co α ; (α ángulo que forman)), al er <a,b> a b co α, para determnar el vector proeccón bata multplcar la longtud anteror por el untaro en la dreccón de a : p < a, b > a a < a, b > < a, a > a Proeccón de un vector obre un ubepaco.- Supueto e deea conocer la proeccón p de un vector b de R n obre un ubepaco S de R n de dmenón maor que generado por k vectore lnealmente ndependente: S gen{a, a,, a k } bata tener en cuenta que:. El vector p debe pertenecer al ubepaco S.. El vector b-p debe er ortogonal a todo vector de S. Todo vector del ubepaco S tene la forma a + a + + k a k, e de la forma A (endo A la matrz cua columna on lo a de la bae un vector columna arbtraro de R k ). Aí, por la prmera condcón, el vector p A k endo r k (r, r,..., r k ) para alguno r que e deean determnar. Ademá, por la egunda condcón b- A r k debe er ortogonal a cualquer vector A de S, lo que conduce a la gualdad matrcal guente: (A ) (b A r k ) ( A ) (b A r k ) (A b A A r k ) 0 que ha de cumplre cualquera que ea el vector de R k. Como eo ocurre olamente A b-a A k e el vector nulo, e obtene: A b - A A r k θ Como la matrz A A e nvertble, e obtenen la coordenada de la proeccón bucada: r k ( A A ) - A b como p pertenece al ubepaco S u epreón defntva etá dada por la epreón: p A r k A ( A A ) - A b La epreón obtenda e, precamente, la mma que permte conocer lo etmadore de lo parámetro de un modelo lneal cuando e trata de eplcar el regreando en 58

7 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea funcón de k regreore,, 3,..., k. Má concretamente, planteado el modelo lneal: Y t β 0 + β t + β t + β 3 3t β k kt + ε t (en el que la perturbacón aleatora ε t e adapta a la hpóte cláca), lo etmadore de mínmo cuadrado ordnaro de lo parámetro β e obtenen proectando ortogonalmente el regreando obre el ubepaco S generado por lo regreore,, 3,..., k, por lo que toma la forma: b ( X X ) - X endo X la matrz cua columna on lo regreore. Ademá, lo valore etmado del regreando on, por conguente, et X b X (X X) - X. La matrz utlzada: [X(X X) - X ] e, precamente, la matrz de proeccón obre el ubepaco de lo regreore, como e detalla a contnuacón: Obervacón.- Cabe penar que la bae de S etá formada por otro vectore e Z la matrz determnada por ello, la matrz de proeccón e Q Z(Z Z) - Z. Ahora ben, como ocurre que P Q para todo vector de R n bata pre pot-multplcar en ea gualdad por lo vectore de la bae canónca para demotrar que P Q. Obervacón.- Para la matrz de proeccón obre el ubepaco S [ P X(X X) - X ] e nmedato comprobar que e trata de una matrz métrca e dempotente aí como que dcha matrz P S e la únca para la cual b - Pb e perpendcular a todo vector de S. Ademá, ea do propedade on ufcente para poder hablar de una matrz de proeccón. En efecto: Dada P una matrz cuadrada de orden n métrca e dempotente, para cualquer vector b de R n etá claro que Pb etá en el epaco S generado por la columna de la matrz P, a que S conta de todo lo vectore de la forma P para cualquer vector de R n. El egundo requto e que b Pb debe er ortogonal a cualquer vector P de S; ecrbendo el producto ecalar en forma matrcal uando la hpóte P P P e obtene nmedatamente: (b-pb) P [ (I - P) b] P b (I P) P b (I P) P 59

8 De Mguel J.C., Ramo A., Palla J. b (P P ) b (P P) 0 Obervacón 3.- Fnalmente, que el vector p ea la proeccón ortogonal de b obre el ubepaco S gnfca, por otro lado, que b-p e el vector má corto entre todo lo poble vectore de la forma b- endo un vector cualquera del ubepaco. En efecto, en el método de mínmo cuadrado lo que e hace e mnmzar la guente forma cuadrátca (o u cuadrado) endo un vector cualquera de R k : Q A ( A) ( A) ( A ) ( A) A A A A - A + A A 4.- Interpretacón del coefcente de determnacón en el ajute de mínmo cuadrado Ya e ha comentado que la proeccón del vector obre el ubepaco S Ε X generado por lo vectore e la combnacón lneal de dcho vectore má próma al vector. Denotando por X la matrz no ngular cua columna on lo vectore de la bae de Ε X e pueden conderar lo do proectore: P X X (X X) - X P X I - P X a que dcho proectore on ortogonale ( < P X, P X > P X (I - P X ) 0 ) cualquer vector e puede decomponer (de forma únca) en la forma: X + X P X + P X X (X X) - X + ( I - X (X X) - X ) El epaco E M determnado por por lo j, e puede ecrbr en la forma E M E X E X, como conecuenca obtener la guente decompocone de la varanza covaranza: S (/) (/) <,> (/) < +, + > (/) <, > + (/) <, > (/) + (/) S + S. S (/) (/) <, > (/) <P, P > (/) P C X C - XX C X 60

9 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea S (/) (/) <, > (/) <P, P > (/) P S - C X C - XX C X Suttuendo S, S en la anteror dvdendo a contnuacón a ambo lado por S e obtene: (S / S ) C X C - XX C X + ( - C X C - XX C X ) lo que permte defnr: R X. (S / S ) (/ S ) C X C - XX C X R X R - XX R X cantdad que repreenta la magntud relatva de la varanza de la varable (regreando) eplcada por lo regreore que recbe el nombre de Coefcente de determnacón múltple. Obvamente, dcho coefcente toma valore comprenddo entre 0. Por otro lado, tenendo en cuenta que: S (/) ; P P P P X (X X) - X e obtene epreón: (/) C X C - XX C X R C C X C P X R X. ; X. X que pone de manfeto que R X e el coeno del ángulo formado por e X. E decr, mde el coeno del ángulo formado por el regreando con u proeccón ortogonal obre el ubepaco generado por lo regreore (o ea, con el vector de valore etmado en la regreón). A modo de ejemplo de cómo lo concepto de álgebra guen endo váldo en la epocón, e ctan lo do reultado guente: ª Propedad.- El coefcente de determnacón R X e nvarante bajo cualquer tranformacón lneal no ngular de lo regreore X. E decr, cualquer tranformacón no ngular defnda en el ubepaco generado por lo regreore deja nvarante dcho ubepaco, de ahí que e mantenga gual el coeno del regreando con u proeccón obre él. En efecto, denotando Z XT (det (T) 0) el proector determnado por lo nuevo regreore Z etá dado como: 6

10 De Mguel J.C., Ramo A., Palla J. P Z Z (Z Z) - Z (XT) [ (XT) (XT)] - (XT) XT [ T X XT] - XT XT T - [X X] - (T ) - T X X (X X) - X P X, por tanto, queda etablecdo el reultado enuncado a que: R Z. PZ Z PX R X. ª Propedad.- El coefcente de determnacón R X. nunca decrece al añadr alguna nueva varable z a la matrz de regreore X. Conderado un proector ortogonal P arbtraro, Q I-P e obtene: ' Q Q ' Q' Q Q 0, por conguente, para un vector arbtraro: ' 'I '(P + Q) ' P + 'Q 'P 'P'P P e decr, la proeccón de cualquer vector tene una norma menor o gual que la de aquel. Aí, conderado do proectore P P obre lo ubepaco E E e obtene P P P. En partcular, E E reulta P P para etablecer la propedad ctada, bata conderar E gen ( X ) E gen (X,z ), lo que mplca la degualdad PE PE. 5.- Sobre lo coefcente de correlacón parcal. Se ha motrado a que cuando e conderan do varable e e poble decomponer como: X + X P X + P X. S e ntroduce una nueva varable z a la ctada, tambén e puede ecrbr: z z X + z X P X z + P X z. En ea condcone, e va a etudar el coefcente de correlacón entre la varable X z X. ótee que u gnfcado e que recogen la puntuacone (reduale) que dcha varable alcanzan en dreccón ortogonal al vector aí el coefcente de correlacón bucado mde u correlacón cuando e han elmnado lo efecto en la dreccón de. Tenendo en cuenta que: 6

11 Docenca de Matemátca en la Economía la Emprea (/) < X, z X > (/) (P X ) (P X z) (/) P X z (/) ( I - P X ) z (/) ( P X z) z - (/) P X z z - (/) ( ) - z z - (/) C C - C z - ( z )/ z (/) X (/) < X, X > (/) <P X, P X > (/) P X (/) (I - P X ) (/) ( P X ) - (/) ( ) - - / (/) z X z - z / Utlzando la defncón de coefcente de correlacón a etablecda, dcho coefcente entre la varable X z X e el coeno del ángulo que forman etá dado por: r /.z/ z z z r r r z z r r z que e el coefcente de correlacón parcal entre z condconado a un valor de la varable. La defncón el gnfcado anterore e pueden generalzar fáclmente al cao de p varable de la forma X (,,, p ) para conocer la correlacón entre z cuando han do elmnado lo efecto de X. Tenendo en cuenta que ahora: (/) < X, z X > (/) P X z z - C X C - XX C Xz (/) X (/) <P X, P X > - C X C - XX C X (/) z X z - C zx C - XX C Xz e obtene la guente epreón para el coefcente de correlacón parcal: r /X,z/X C C C z X XX Xz C C C C C C X XX X z zx XX Xz 63

12 De Mguel J.C., Ramo A., Palla J., dvdendo numerador denomnador por, e obtene: r X,z/X rz R XR XX R Xz rz R XR R R R XX R X R zx R XX R Xz R R X XX Xz X Xz endo R X R Xz lo coefcente de regreón múltple de z repectvamente con varable eplcatva la de la matrz X. Todo lo anteror e, a u vez, etenble en la forma guente: Dada q varable dependente Y (,,, q ) p varable ndependente varable X (,,, p ) e poble defnr la matrz de coefcente de correlacón parcal entre cualquer par de varable e j depué de elmnar X. Para ello, tenendo en cuenta que: j jx + jx P X j + P X j (j,,,q) ó en forma matrcal: Y Y X + Y X P X Y + P X Y e obtene: C YY.X (/)< Y X, Y X > (Y X ) (Y X ) (/) (Y P X ) (/)Y Y - (/)Y P X Y C YY - C X C - XX C XY que e la matrz de covaranza. Como en la dagonal de dcha matrz aparecen la varanza de la varable j, e denota por D CYY.X la matrz dagonal cuo elemento dagonale on lo de C YY.X e obtene la correpondente matrz de correlacón en la forma: R YY.X D -/ YY.X C YY.X D -/ YY.X Bblografía: Fralegh & Beauregard.- Algebra Lneal. Addon-Wele Iberoamercana. K. Takeuch, H. Yana &. Mukherjee.- The Foundaton of Multvarate Anal. Wle E. L. T.W. Anderon.- An Introducton to Multvarate Stattcal Anal. John Wle & Son. 64