16.- Geometría de masas.

Transcripción

1 6.- Geometría de maa. 6.. Dtrbucone dcreta y contnua de matera (457); 6.. Centro de maa (458); 6.3. Teorema concernente al centro de maa (46); 6.4. Momento de nerca (47); 6.5. ado de gro (47); 6.6. Producto de nerca (47); 6.7. Matrz de nerca (473); 6.8. Teorema concernente a lo momento y producto de nerca (474); 6.9. Teorema de tener (477); 6.. Momento de nerca repecto a un eje cualquera (479); Problema (484) En la leccone que guen, que etarán dedcada a la Dnámca de lo tema de Partícula y del óldo ígdo, veremo la convenenca de defnr lo concepto de centro de maa yde momento de nerca. Comprenderemo la mportanca y gnfcado de tale concepto cuando aparezcan de una forma natural al dearrollar la Dnámca de lo tema de Partícula. En eta leccón tan olo no ocuparemo de lo apecto formale y técnca matemátca aocada con la defncón "geométrca" de tale concepto. 6.. Dtrbucone dcreta y contnua de matera.- Una dtrbucón dcreta de matera e aquélla en la que la partícula etán netamente dferencada por la extenca de epaco vacío entre ella. Una dtrbucón dcreta de matera quedará defnda medante la coordenada de pocón de toda y cada una de la partícula que la ntegran, como e lutra en la Fgura 6.. Dede un punto de vta mcrocópco ea e la tuacón real, pueto que la matera preenta una etructura eencalmente dcreta. n embargo, dede un punto de vta macrocópco, podemo y debemo conderar el cao de una dtrbucón contnua de matera,.e., una dtrbucón de matera n epaco vacío o olucone de contnudad. En ete cao, veremo que en mucha ocaone erá necearo decomponer el tema materal en un número nfnto de porcone elementale (nfntemale), de maa dm, como e lutra en la Fgura 6.4. Para caracterzar una dtrbucón contnua de matera, defnmo la dendad volúmca ρ, la dendad uperfcal σ y la dendad lneal λ, correpondente a una dtrbucón cúbca, uperfcal y lneal de matera, repectvamente, por ρ dm dv σ dm d λ dm d [6.] Fíca Unvertara 457

2 458 Lec. 6.- Geometría de maa. donde dv, d y d repreentan, repectvamente, lo elemento de volumen, de uperfce y de longtud, correpondente al elemento de maa dm. En general, la dendad del tema materal (ρ, σ o λ) varará de una zona a otra del tema materal; eto e, la dendad erá una funcón de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o λ(x,y,z), y deberemo conocer dcha funcón para que el tema materal quede ben defndo. Aun cuando ea razonable la aproxmacón de un tema materal medante una dtrbucón contnua de matera, no encontramo con una complcacón de tpo conceptual cuando tratamo de utlzar el proceo matemátco de pao al límte, propo del Cálculo Dferencal e Integral. En efecto, al dmnur gradualmente el tamaño del elemento materal, reencontramo la etructura dcreta de la matera. Evtaremo ete nconvenente entendendo por elemento nfntemal de matera una cantdad muy pequeña de éta, pero ufcentemente grande, en comparacón con la dtanca ntermoleculare, como para no tener que conderar la etructura dcreta de la matera. Eto elemento e llaman macrocópco, pero erán conderado como nfntemale en el entdo matemátco, a fn de poder utlzar lo recuro del Cálculo Dferencal e Integral. 6.. Centro de maa.- Conderemo un tema de partícula, compueto por de ella, cuya maa degnaremo por ( =,,...) y ea r el vector de pocón de la partícula -éma repecto al orgen O de un referencal dado. Defnmo el centro de maa de un tal tema de partícula como el punto del epaco, que degnamo por CM (o por G, cuando aí convenga), cuyo vector de pocón repecto aoe r cm r [6.] Fgura 6. donde M = repreenta, evdentemente, la maa total del tema de partícula. TEOEMA I.- La pocón del centro de maa de un tema e ndependente del referencal que utlcemo y depende olamente de la maa de la partícula y de la pocone de una repecto a otra. En efecto, de acuerdo con el carácter vectoral de la defncón [6.] del centro de maa, y pueto que no hemo hecho referenca alguna a nngún conjunto partcular de eje, la pocón del centro de maa no dependerá de la orentacón del tema de eje, con orgen en O, que eljamo. Pero, ademá, debemo demotrar que la pocón del centro de maa no depende tampoco de la eleccón del orgen. Para demotrar eto últmo, conderaremo do punto OyO, orígene de do referencale (Fgura 6.), y ean r y r lo vectore de pocón de una partícula genérca,, repecto a cada uno de eo orígene. La relacón extente entre lo vectore r y r e El centro de gravedad de un cuerpo e defne como el punto de aplcacón de la reultante de la fuerza gravtatora que actúan obre él. Aí pue, el centro de maa yelcentro de gravedad on conceptualmente dferente y no debemo confundrlo. n embargo, la pocone de ambo centro uelen concdr en la mayor parte de la tuacone práctca. Intremo en ete aunto en.5.

3 6..- Centro de maa. 459 r r OO [6.3] Lo centro de maa CM y CM etarán defndo por lo vectore de pocón r cm y r cm relatvo aoyo, con r cm r [6.4] uttuyendo la expreón [6.3] [6.] tenemo en la Fgura 6. r cm M (r OO ) M r M ( )OO r cm OO de modo que r cm y r cm determnan un mmo punto (CM CM ) repecto aoyo, por lo que el centro de maa e únco. En coordenada carteana, que on la utlzada má comúnmente, la pocón del centro de maa del tema de partícula vene dada por [6.5] x cm x y cm y z cm z [6.6] Ejemplo I.- El ejemplo má mple correponde al de do partícula, de maa m y m, repectvamente. Tomaremo como eje x la recta defnda por la do partícula. En eta condcone, al er y = y =yz = z =, erán y cm =yz cm =,de modo que el centro de maa etará tuado obre el eje x, endo u pocón x cm m x m x m m Fgura 6.3 La dtanca d y d, de cada una de la partícula al centro de maa CM, on d x x cm m m m (x x ) d x x cm m m m (x x ) [6.7] d de modo que m [6.8] d m y el centro de maa etá tuado entre amba partícula, endo la dtanca a cada una de ella nveramente proporconal a u maa.

4 46 Lec. 6.- Geometría de maa. Fgura 6.4 La expreone [6.] y [6.6] ólo on utlzable para el cálculo de la pocón del centro de maa de una dtrbucón dcreta de matera. En el cao de una dtrbucón contnua de matera, el cálculo del centro de maa exge la decompocón de la dtrbucón de matera en un número nfnto de porcone elementale (nfntemale), de maa dm, como e lutra en la Fgura 6.4. En eta condcone, lo umatoro que aparecen en la expreone [6.] y [6.6] e converten en ntegrale, reultando r cm r dm dm [6.9] x cm x dm dm y cm y dm dm z cm z dm dm [6.] extendéndoe la ntegracone a toda la regón ocupada por la dtrbucón contnua de matera. tenemo en cuenta la defncone dada anterormente para la dendad volúmca ρ, la dendad uperfcal σ y la dendad lneal λ, correpondente a dtrbucone cúbca, uperfcal y lneal de la maa, la expreón [6.9] e ecrbrá en la repectva forma: r cm ρ r dv V ρ dv V r cm σ r d σ d r cm λ r d λ d [6.] y para la componente x cm e tendrá x cm ρ x dv V ρ dv V x cm σ x d σ d x cm λ x d λ d [6.] con expreone mlare para y cm y z cm. En general, la dendad del tema materal (ρ, σ o λ) varará de un punto a otro del tema; eto e, la dendad erá una funcón de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o λ(x,y,z), y deberemo conocer dcha funcón para poder evaluar la ntegrale de [6.] o [6.]. Cuando el tema e homogéneo, de modo que la dendad tene un valor contante en todo el recnto de ntegracón, la expreone [6.] e reducen a

5 6..- Centro de maa. 46 r cm r dv V V r cm r d r cm r d [6.3] donde V, y repreentan el volumen, la uperfce y la longtud, repectvamente, del recnto de ntegracón, o ea, de la regón del epaco ocupada por el tema materal. En eta condcone (cuerpo homogéneo), la pocón del centro de maa depende tan ólo de la forma geométrca del cuerpo, y el centro de maa recbe el nombre de centrode Teorema concernente al centro de maa.- El etudo de la técnca matemátca neceara para el cálculo del centro de maa de una dtrbucón contnua de matera encuentra u lugar adecuado en un curo de Cálculo Dferencal e Integral, y tale problema conttuyen excelente ejercco de ea rama del Cálculo. En general, la evaluacón de una ntegral de alguno de lo tpo de [6.] no conducrá a una ntegracón de línea, doble o trple, egún que la maa eté dtrbuda obre una línea, obre una uperfce o en un volumen. En ocaone, erá ufcente la eleccón de coordenada carteana (x,y,z) para valorar dcha ntegrale. n embargo, en mucho cao e conegurá una notable mplfcacón del problema medante la adopcón de un tema de coordenada curvlínea (coordenada polare, clíndrca,...) adaptada lo mejor poble a la geometría del cuerpo cuyo centro de maa queremo determnar. o e nuetro propóto hacer una dgreón obre el gnfcado y la técnca de evaluacón de ntegrale doble y trple, n obre lo dtnto tema de coordenada curvlínea; el alumno deberá conultar una obra de Cálculo Dferencal e Integral. En la págna 46 e reumen la propedade má mportante, en lo que aquí no nterea, de lo tema de coordenada carteana, clíndrca, polare eférca y polare plana, y al fnal de ete artículo reolveremo alguno problema que lutrarán el uo de la técnca de cálculo aocada con la determnacón del centrode de alguna forma geométrca notable. Aparte de la técnca matemátca generale, a la que acabamo de hacer referenca, exten varo teorema que facltan, en ocaone, la localzacón del centro de maa de una dtrbucón dcreta o contnua de matera, a partr de la ecuacone [6.6] o [6.]. Entre eto teorema fgura, evdentemente, el ya demotrado al comenzo de ete artículo, que no permte elegr lbremente lo eje coordenado y el orgen. Eto teorema e demuetran tanto para una dtrbucón dcreta de matera como para una dtrbucón contnua caracterzada por una dendad (volúmca, uperfcal o lneal) que e una funcón de la coordenada (x,y,z, por ejemplo) de cada elemento de maa de la dtrbucón. Cualquera que ea el punto de vta que adoptemo para demotrarlo, empre podremo hacer una demotracón paralela, con mple cambo en la notacón, dede el otro punto de vta. En lo que gue, adoptaremo el punto de vta de una dtrbucón dcreta de matera para la demotracón de lo teorema. TEOEMA II.- El momento etátco de un tema de partícula repecto a cualquer plano que paa por u centro de maa e nulo.

6 46 Lec. 6.- Geometría de maa. COODEADA CATEIAA (x,y,z) elemento de volumen: dv =dx dy dz elemento de uperfce: d x =dy dz d y =dx dz d z =dx dy elemento de longtud: d =dx +dy j +dz k d =dx +dy +dz COODEADA CILÍDICA (r, θ, z) ec. de tranformacón: Fgura 6.5 x y z r co θ r en θ z r x y θ z arctg y x z elemento de volumen: dv = r dr dθ dz elemento de uperfce: d r = r dθ dz d θ =dr dz d z = r dr dθ elemento de longtud: d =dr e r + r dθ e θ +dz k d =dr + r dθ +dz Fgura 6.6 COODEADA POLAE PLAA (r, θ) Como la coordenada clíndrca, con z =. ec. de tranformacón: x y r co θ r en θ r x y θ arctg y x elemento de uperfce: d z = r dr dθ elemento de longtud: d =dr e r + r dθ e θ d =dr + r dθ Fgura 6.7

7 6.3.- Teorema concernente al centro de maa. 463 COODEADA POLAE EFÉICA (r, θ, φ) ec. de tranformacón: x y z r en θ co φ r en θ en φ r co θ r x y z θ arctg x y φ arctg y x elemento de volumen: dv = r enθ dr dθ dφ elemento de uperfce: d r = r enθ dθ dφ d θ = r enθ dr dφ d φ = r dr dθ elemento de longtud: d =dr e r + r dθ e θ + r enθ dφ e φ d =dr + r dθ + r en θ dφ z Fgura 6.8 El momento etátco (µ) de un tema de partícula repecto a un plano e defne como la uma de lo producto de la maa de la partícula por u dtanca repectva, con gno ncludo, al plano (Fgura 6.9); eto e, Para demotrar el teorema, conderemo un plano que pae por el centro de maa del tema de partícula, expreado por u ecuacón normal: x coα y coβ z coγ δ [6.5] donde α, β y γ on lo ángulo drectore del vector normal al plano y δ e la dtanca de éte al orgen de coordenada. La coordenada de una partícula genérca del tema on (x,y,z ) y u dtanca al plano e Fgura 6.9 δ x coα y coβ z coγ δ [6.6] El momento etátco del tema de partícula repecto al plano e µ coα (x coα y coβ z coγ δ ) x coβ y coγ z δ [6.7] Análogamente e defne el momento etátco con repeto a un eje oaunpunto.

8 464 Lec. 6.- Geometría de maa. de modo que, tenendo en cuenta la expreone M Mx cm x My cm y Mz cm z [6.8] e obtene fnalmente µ M (x cm coα y cm coβ z cm coγ δ ) [6.9] y como, por hpóte, el centro de maa etá contendo en el plano [6.5], e x cm coα y cm coβ z cm coγ δ [6.] de donde e gue que [6.] µ c.q.d. eulta fácl demotrar el teorema recíproco del anteror; eto e, TEOEMA III.- el momento etátco de un tema de partícula repecto a un plano dado e nulo, entonce, el centro de maa del tema etá tuado obre dcho plano. En efecto, µ =, la expreón [6.9] no aegura que la coordenada del centro de maa atfacen la ec. [6.], por er M, lo que gnfca que el centro de maa etá tuado obre el plano dado. Como conecuenca de eto do teorema e guen nmedatamente lo llamado teorema de Arquímede: TEOEMA IV.- un cuerpo tene un plano de metría, u centro de maa etá en dcho plano. La metría repecto a un plano gnfca que para cada partícula tuada a un lado del plano exte otra de la mma maa que etá tuada en u magen epecular repecto al plano. e trata de una dtrbucón contnua de maa, la metría repecto a un plano gnfca que la dendad en cualquer punto e gual a la dendad en u magen epecular repecto al plano. Para demotrar el teorema, bata obervar que un plano de metría e un plano repecto al cual e nulo el momento etátco del cuerpo; entonce, de acuerdo con el TEOEMA III, el centro de maa etará tuado obre dcho plano de metría. COOLAIO.- un cuerpo tene do plano de metría, u centro de maa etá en la recta de ntereccón de ambo plano. TEOEMA V.- un cuerpo tene un eje de metría, u centro de maa etá en dcho eje. En efecto, el momento etátco del cuerpo erá nulo repecto a cualquer plano que pae por un eje de metría, de donde e gue el teorema. TEOEMA VI.- un cuerpo tene un centro de metría, ee punto concde con u centro de maa. Bata obervar que el momento etátco del cuerpo erá nulo repecto a cualquer plano que pae por el centro de metría, de donde e gue el teorema. Lo teorema anterore no permten localzar nmedatamente, n necedad del cálculo, el centro de maa en alguno cao (una varlla homogénea, una lámna rectangular, un clndro, una efera,...) o ben reducr el problema al cálculo de ólo

9 6.3.- Teorema concernente al centro de maa. 465 una o do coordenada en otro cao. E convenente, pue, obervar la metría que puede tener un cuerpo a fn de mplfcar el problema. Exten otro teorema que on útle para mplfcar el problema de localzacón del centro de maa de un cuerpo. El teorema que gue hace referenca a la propedad dtrbutva del centro de maa; dce aí: TEOEMA VII.- un cuerpo e compone de do o má parte, cuyo centro de maa etán perfectamente localzado, podemo determnar el centro de maa del cuerpo compueto conderando ea parte como partícula localzada en u repectvo centro de maa. Conderemo un cuerpo o tema de partícula compueto por parte, cuya maa repectva ean M, M,... M, y upongamo que la parte M k etá a u vez conttuda por k partícula, de maa m k, m k,... m kk, tuada en lo punto r k, r k,... r kk, repectvamente. El centro de maa de la parte M k etará localzado en r k,cm M k k m k r k con M k k m k [6.] El centro de maa del tema compueto completo etará localzado en r cm M k k m k r k con M k k k m k Tenendo en cuenta la expreone [6.], la expreone [6.3] adoptan la forma defntva [6.3] r cm M k M k r k,cm con M k k m k [6.4] que conttuyen la expreón matemátca del enuncado del teorema. Todo lo teorema enuncado anterormente pueden aplcare en la determnacón del centro de maa de dtrbucone dcreta o contnua de matera, homogénea o heterogénea. En cambo, lo do teorema que guen, conocdo como teorema de PAPU-GULDI, on aplcable excluvamente a la determnacón del centro de maa de dtrbucone contnua y homogénea de matera, y relaconan el centrode de una curva plana y de una uperfce plana con el área y el volumen engendrado por ella al grar alrededor de un eje de u plano. Dcen aí: TEOEMA VIII.- El área de la uperfce engendrada por una curva plana al grar alrededor de un eje de u plano que no la corta e gual al producto de la longtud de la curva por la longtud L de la crcunferenca decrta por u centrode. En efecto, uponendo que el eje de gro ea el x (Fgura 6.), el área generada por el elemento de longtud d de la curva en u rotacón alrededor del eje e d π y d [6.5] Fgura 6.

10 466 Lec. 6.- Geometría de maa. de modo que π y d [6.6] y la longtud de la crcunferenca decrta por el centrode de la curva e L π y cm [6.7] Pero, de acuerdo con la defncón del centrode de una curva, y cm y d d y d π [6.8] de donde e gue el teorema: π y [6.9] cm L TEOEMA IX.- El volumen V engendrado por una uperfce plana al grar alrededor de un eje de u plano que no la corta e gual al producto del área de la uperfce por la longtud L de la crcunferenca decrta por u centrode. En efecto, uponendo como ante que el eje de gro ea el x (Fgura 6.), el volumen engendrado por el elemento de área d =dx dy al grar alrededor del eje x e dv π y d [6.3] de modo que V π y d [6.3] y la longtud de la crcunferenca decrta por el centrode de la uperfce plana e Fgura 6. L π y cm [6.3] de una uperfce plana e Ahora ben, de acuerdo con la defncón del centrode y cm y d d y d V π [6.33] de donde e gue el teorema: V π y [6.34] cm L Fgura 6. Ejemplo II.- Determnar el centro de maa de una varlla rectlínea, de eccón tranveral contante, va aumentando lnealmente conforme no dtancamo de uno de u extremo. Tomemo el eje x a lo largo de la varlla; la dendad lneal vendrá expreada en la forma

11 6.3.- Teorema concernente al centro de maa. 467 λ λ kx donde k e una contante y λ e la dendad en el extremo x =. Tenendo en cuenta que dm= λ dx, la pocón del centro de maa vendrá dada por x cm L x dm L dm L L λ x dx λ dx reultando que L λ dx L (λ kx)dx λ L kl L λ x dx L (λ kx) xdx λ L 3 kl 3 3λ de modo que x L kl cm 6λ 3kL k = (varlla homogénea), erá x cm = L/. λ =, erá x cm =L/3. 3λ kl 6λ 3kL L Ejemplo III.- Determnar el centro de maa (centrode) de un arco completo de cclode, como el repreentado en la Fgura 6.3. La ecuacone paramétrca de la cclode on: x a (φ enφ ) y a ( coφ ) de modo que dx a ( coφ )dφ dy a enφ dφ Fgura 6.3 y el elemento de longtud d e d dx dy a ( coφ ) dφ a en φ dφ de donde e gue d π a en φ dφ 8a x d π a (φ enφ ) en φ dφ 8π a y d π a ( coφ ) en φ dφ 3 3 a y el centrode del arco completo de cclode etá localzado en

12 468 Lec. 6.- Geometría de maa. x cm x d d 8πa 8a y d πa y cm d 3 3 a 8a 4 3 a Ejemplo IV.-.- Determnar la pocón del centro de maa de la lámna homogénea que e muetra en la Fgura 6.4. e trata de un dco de rado y maa (completa) m = σ = σπ, cuyo centro de maa e encuentra en x =, al que le falta un dco de rado /4 y maa m = σ = σπ /6, cuyo centro de maa etá en x =3/4. El centro de maa reultante e encuentra obre la línea que une lo do centro de maa parcale;.e., obre el eje x, en una pocón x cm dada por [6.4] Fgura 6.4 x cm (σπ )() ( σπ /6)(3/4) (σπ ) ( σπ /6) Ejemplo V.- Determnar el centro de maa de una lámna plana y homogénea cuya forma e la de una emelpe de emeje a y b. La ecuacone de la línea que delmtan dcha uperfce pueden ecrbre, medante una adecuada eleccón de lo eje xy, en la forma z x y a b En ea condcone, el centro de maa e encontrará tuado obre el eje y (por er dcho eje de metría), de modo que x cm =. Para y cm tenemo Fgura 6.5 y cm y d d y dx dy dx dy con 3 dx dy a a dx b x /a dy a a b x a dx πab 3 a x dx x a x a arcen x a

13 6.3.- Teorema concernente al centro de maa. 469 y dx dy a a dx b x /a y dy a a b x a dx 3 ab de modo que y cm 3 ab πab 4 3π b Ejemplo VI.- Determnar el centrode de un cacarón hemeférco de rado. La coordenada polare eférca e adaptan perfectamente a la geometría del cuerpo. El elemento de uperfce obre la efera de rado vene expreado en coordenada polare eférca por: d enθ dθ dφ El centrode del cacarón hemeférco etará tuado obre u eje de metría, de modo que, de acuerdo con la eleccón de lo eje en la Fgura 6.6, e x cm =ey cm =. Para la coordenada z cm tenemo z cm z d d con z coθ Fgura 6.6 Al reolver la ntegrale anterore, reulta: d enθ dθ dφ π/ enθ dθ π dφ π z d ( coθ)( enθ dθ dφ) 3 π/ enθ coθ dθ π dφ π 3 o ea z cm π 3 π Ejemplo VII.- Aplcar el prmer teorema de Pappu-Guldn para determnar el centrode de una emcrcunferenca de rado. Tomando lo eje carteano xy como e ndca en la Fgura 6.7, el centrode del arco de crcunferenca e encontrará tuado obre el eje y (o ea, x cm = ), por er dcho eje un eje de metría; batará con determnar y cm. El área de la uperfce de revolucón engendrada por la emcrcunferenca al grar alrededor del eje x e la de una efera; eto e,

14 47 Lec. 6.- Geometría de maa. y la longtud de la línea e 4π π de modo que, uttuyendo en la expreón [6.9], tenemo 4π π y cm π y cm π Fgura 6.7 Ejemplo VIII.- Aplcar el egundo teorema de Pappu-Guldn para determnar el centrode del área ombreada en la Fgura 6.8, lmtada por la emcrcunferenca de rado a y la emelpe de emeje a y b. Obvamente, el centrode de ea fgura e encontrará tuado obre el eje y (o ea, x cm = ); batará con determnar y cm. El volumen de cuerpo de revolucón engendrado por el área ombrada al grar alrededor del eje x e el de una efera meno el de un elpode de revolucón; V 4 3 πa πab 4 3 πa (a b ) y el área de la uperfce ombrada e Fgura 6.8 πa πab πa (a b) tenemo de modo que, uttuyendo en la expreón [6.34], 4 3 πa (a b ) π y cm πa (a b) y cm 4 3π a b a b 4 (a b) 3π 6.4. Momento de nerca.- De un modo completamente general e defne el momento de nerca de una dtrbucón de matera con repecto aunpunto, auneje oaunplano como la uma de lo producto obtendo multplcando la maa de cada una de la partícula que conttuyen el tema materal por el cuadrado de u dtanca a dcho punto, eje o plano, repectvamente. Eto momento de nerca uelen recbr lo nombre de polar, axal y planaro, repectvamente; etán empre repreentado por un número potvo, y u undade en el tema.i. on kg m. El momento de nerca de una dtrbucón dcreta de matera con repecto a un punto, a un eje o a un plano cualquera e calculará utlzando la expreón

15 6.4.- Momento de nerca. 47 I δ [6.35] donde δ repreenta la dtanca de la partícula -éma, de maa, al punto, eje (Fgura 6.9) o plano (Fgura 6.9) conderado. El momento de nerca polar repecto del orgen O de un tema de coordenada carteana xyz, que repreentaremo por I O, vene dado por I O (x y z ) [6.36] Lo momento de nerca axale con repecto a lo eje carteano x, y y z, que degnaremo por I xx, I yy e I zz, repectvamente, e calcularán medante la expreone guente: I xx (y z ) I yy (x z ) I zz (x y ) [6.37] Lo momento de nerca planaro con repecto a lo plano carteano x= (plano yz), y= (plano xz) y z= (plano xy) lo repreentaremo por I x, I y e I z, repectvamente, y e calculan medante la expreone guente: I x x I y y I z z [6.38] Fgura 6.9 Fgura 6. Para una dtrbucón contnua de matera, utturemo lo umatoro de la expreone anterore por ntegrale extendda a todo el recnto ocupado por la dtrbucón. Eto e, la expreón [6.35] paa a er I δ dm [6.39] Aí, tendremo una ntegral de línea, de uperfce o de volumen egún e trate de un cuerpo con una dtrbucón lneal, uperfcal o cúbca de u maa. Por tanto,

16 47 Lec. 6.- Geometría de maa. tendremo en cuenta la maa del elemento de línea, de uperfce o de volumen, repectvamente dm λ d dm σ d dm ρ dv [6.4] donde λ, σ y ρ on la dendad lneal, uperfcal y cúbca y d, d ydv lo elemento de longtud, de área y de volumen, correpondente. Aí, tendremo I λδ d C I σδ d I ρδ dv V [6.4] En el cao de que la dtrbucón contnua de matera ea homogénea, la dendad erá contante y podemo ecrbr I λ δ d I σ δ d I ρ δ dv C V [6.4] de modo que la ntegral e reduce a un factor geométrco para todo lo cuerpo homogéneo de la mma forma y tamaño ado de gro.- Una magntud etrechamente relaconada con el momento de nerca repecto a un eje e el rado de gro K, defndo por I mk K I m [6.43] donde I e el momento de nerca del cuerpo repecto al eje conderado y m e la maa del cuerpo. El rado de gro K repreenta la dtanca del eje a la que debería encontrare una maa gual a la del cuerpo para que tuvera el mmo momento de nerca que el cuerpo repecto a dcho eje Producto de nerca.- De un modo completamente general, e defnen lo producto de nerca de un tema materal repecto a do plano ortonormale como la uma, cambada de gno, de lo producto obtendo multplcando la maa de cada una de la partícula que conttuyen el tema materal por u dtanca (con gno) a dcho plano. Lo producto de nerca pueden tener valore potvo o negatvo y u undade en el tema.i. on kg m. El producto de nerca de una dtrbucón dcreta de matera con repecto a do plano ortonormale, π y π (Fgura 6.), e calcula utlzando la expreón I δ, δ, [6.44] donde δ, y δ, on la dtanca de la partícula -éma, de maa, a lo plano π y π, ncluyéndoe el gno negatvo en la defncón.

17 En partcular, lo producto de nerca de un tema materal con repecto a lo plano carteano x= (plano yz), y= (plano xz) yz= (plano xy) lo repreentaremo por I xy, I yz e I zx y e calculan medante la expreone: Producto de nerca. 473 I xy I yx x y I xz I zx x z [6.45] I yz I zy y z Fgura 6. En el cao de una dtrbucón contnua de matera, lo umatoro de la expreone anterore erán uttudo por ntegrale extendda a todo el recnto ocupado por el cuerpo. Eto e I δ δ dm [6.46] y la expreone [6.45] e ecrben en la forma I xy I yx xydm I xz I zx xzdm I yz I zy yzdm [6.47] Aí, pue, tendremo que reolver, como para lo momento de nerca, una ntegral de línea, de uperfce o de volumen egún tengamo una dtrbucón lneal, uperfcal o cúbca de la maa del cuerpo., ademá, el tema materal e homogéneo, la ntegracone e reducen a un factor geométrco. Podemo decr que do plano on plano prncpale de nerca de un cuerpo cuando on perpendculare entre í y el producto de nerca repecto de ello e nulo. La ntereccón de do plano prncpale de nerca e un eje prncpal de nerca. e verfca que todo lo producto de nerca con repecto de lo plano coordenado on nulo, entonce lo plano coordenado on lo plano prncpale de nerca relatvo al punto O. La ntereccone de dcho plano, do a do (.e., lo eje coordenado), on entonce lo eje prncpale de nerca en el punto O Matrz de nerca.- La notacón con doble ubíndce para lo momento y producto de nerca de una dtrbucón de maa no ugere organzar dcho elemento en la forma de una matrz cuadrada de 3 3. En efecto, en un tema de coordenada carteana xyz, con orgen en el punto O, podemo dponer lo momento de nerca repecto de lo eje carteano como lo elemento dagonale de una matrz y lo producto de nerca con repecto de lo plano coordenado como lo elemento no dagonale;.e.,

18 474 Lec. 6.- Geometría de maa. I I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz [6.48] endo I la matrz de nerca que, como veremo en la Lec., juega un papel relevante en la Dnámca del óldo ígdo. Obérvee que la matrz de nerca e métrca, ya que e cumple que I xy I yx I xz I zx I yz I zy por lo que queda defnda tan ólo por e elemento Teorema concernente a lo momento y producto de nerca.- En general, la evaluacón de una ntegral de alguno de lo tpo de [6.4] y [6.47] no conducrá a una ntegracón de línea, doble o trple, egún que la maa eté dtrbuda obre una línea, obre una uperfce o en un volumen. En ocaone, erá ufcente la eleccón de coordenada carteana (x,y,z) para valorar dcha ntegrale. n embargo, en mucho cao e conegurá una notable mplfcacón del problema medante la adopcón de un tema de coordenada curvlínea (coordenada polare, clíndrca,...vde págna 46) que convenga a la caracterítca geométrca del cuerpo cuyo momento de nerca deeamo determnar. Al fnal de ete epígrafe reolveremo alguno problema que lutrarán el uo de la técnca de cálculo aocada con la determnacón de momento de nerca de alguna forma geométrca notable. Aparte de lo recuro generale del Cálculo, exten varo teorema que facltan, en ocaone, la evaluacón de lo momento y producto de nerca. Eto teorema e demuetran tanto para una dtrbucón dcreta de matera como para una dtrbucón contnua caracterzada por una dendad (volúmca, uperfcal o lneal) que e una funcón de la coordenada (x,y,z, por ejemplo) de cada elemento de maa de la dtrbucón. Cualquera que ea el punto de vta que adoptemo para demotrarlo, empre podremo hacer una demotracón paralela, con mple cambo en la notacón, dede el otro punto de vta. TEOEMA I.- La uma de lo momento de nerca con repecto a tre plano ortonormale que e nterceptan en un punto e gual al momento de nerca con repecto a dcho punto de ntereccón. En efecto, umando membro a membro la tre expreone [6.38], concernente a lo momento de nerca repecto a lo tre plano coordenado carteano, e obtene I x I y I z (x y z ) r I O [6.49] de modo que dcha uma e ótropa,.e., ndependente de la orentacón del cuerpo repecto a lo plano coordenado. Obérvee que el umatoro del egundo membro de [6.49] e el momento de nerca del cuerpo repecto al orgen de coordenada o momento de nerca polar, de donde e gue el teorema.

19 6.8.- Teorema concernente a lo momento y producto de nerca. 475 TEOEMA II.- La uma de lo momento de nerca con repecto a tre eje perpendculare que e nterceptan en un punto e gual al doble del momento de nerca con repecto a dcho punto de ntereccón. En efecto, umando membro a membro la tre expreone [6.37] concernente a lo momento de nerca repecto a lo tre eje coordenado (ortogonale) e obtene I xx I yy I zz (x y z ) r I O [6.5] de modo que dcha uma e ótropa,.e., ndependente de la orentacón del cuerpo repecto a lo eje coordenado. Obérvee que el umatoro del egundo membro de [6.5] e el momento de nerca del cuerpo repecto al orgen de coordenada o momento de nerca polar, de donde e gue el teorema. En mucho problema no reultará útl el llamado Teorema de lo Plano Perpendculare, que e enunca aí: TEOEMA III.- El momento de nerca con repecto a un eje e gual a la uma de lo momento de nerca con repecto a do plano normale que contengan al eje. En efecto, de acuerdo con la defncón del momento de nerca de un cuerpo repecto de un plano, lo momento de nerca repecto de lo plano coordenado yz (de ecuacón x = ), xz (de ecuacón y =)yxy (de ecuacón z = ), que degnaremo repectvamente por I x, I y y I z, on I x x I y y I z z [6.5] umando membro a membro do cualequera de lo momento de nerca repecto a lo plano coordenado e obtene I y I z (y z ) I xx I z I x (z x ) I yy [6.5] I x I y (x y ) I zz lo que demuetra el teorema. Una varante del teorema anteror, llamada Teorema de lo Eje Perpendculare e muy útl para el cálculo de momento de nerca de lámna plana delgada. TEOEMA IV.- La uma de lo momento de nerca de una lámna plana repecto a do eje perpendculare entre í y contendo en el plano de la lámna e gual al momento de nerca de la lámna repecto a un eje perpendcular a u plano y que paa por el punto de ntereccón de lo do eje anterormente ctado. Tomemo un tema de eje ortogonale de forma que la lámna e encuentre tuada en el plano xy (Fgura 6.). Lo momento de nerca de la lámna con repecto a cada uno de lo eje coordenado on Fgura 6.

20 476 Lec. 6.- Geometría de maa. I xx y I yy x I zz (x y ) [6.53] de modo que, evdentemente, e cumple I xx I yy I zz [6.54] Fgura 6.3 Fgura 6.4 En relacón con lo plano y eje prncpale de nerca, tenemo lo guente teorema: TEOEMA V.- un cuerpo poee un plano de metría, el producto de nerca repecto de dcho plano y de otro perpendcular e nulo. Dcho plano on plano prncpale de nerca del cuerpo. En efecto, elegmo como plano xy el de metría (Fgura 6.3), a todo elemento de maa de coordenada (x,y,z ) le correponde otro elemento de la mma maa de coordenada (x,y,-z ), de modo que al extender la uma I xz I zx x z I yz I zy y z a todo el cuerpo, el reultado erá cero. COOLAIO.- un cuerpo poee do plano de metría, la ntereccón de dcho plano e un eje prncpal de nerca del cuerpo (Fgura 6.4). Fgura 6.5 COOLAIO.- Todo plano de metría de un cuerpo e perpendcular a un eje prncpal del mmo. TEOEMA VI.- un cuerpo poee un eje de metría de revolucón, dcho eje e eje prncpal de nerca. En efecto, el óldo tenen metría de revolucón alrededor del eje z (Fgura 6.5), entonce erá I xz =yi yz =, pueto que para cualquer elemento de maa tuado en (x,y,z ) exte otro elemento de la mma maa tuado en (-x,-y,z ) de modo que al efectuar la uma I xz I zx x z I yz I zy y z

21 6.8.- Teorema concernente a lo momento y producto de nerca. 477 extendda a todo lo elemento del óldo, el reultado erá cero. En conecuenca, lo plano xz e yz on plano prncpale de nerca y u ntereccón (el eje z) e un eje prncpal de nerca Teorema de tener.- Lo momento de nerca de un tema materal con repecto a un punto, eje o plano dependen de la dtrbucón de la maa del tema con relacón a dcho punto, eje o plano. cambamo de punto, eje o plano, lo momento de nerca tambén cambarán. A contnuacón vamo a relaconar lo momento de nerca de un cuerpo con repecto a un punto, un eje o un plano arbtraro con lo momento de nerca con repecto al centro de maa y a un eje o un plano que ean paralelo a lo anterore y que paen por el centro de maa. TEOEMA VII.- Teorema de tener para lo momento planaro. El momento de nerca con repecto a un plano cualquera e gual al momento de nerca repecto a un plano paralelo al anteror que pae por el centro de maa má el producto de la maa del cuerpo por el cuadrado de la dtanca entre ambo plano. Conderemo un tema de eje coordenado Oxyz arbtraro y otro tema de eje coordenado Gξηζ paralelo a lo anterore y cuyo orgen etá tuado en el centro de maa de la dtrbucón de matera. ean x cm, y cm y z cm la coordenada del centro de maa (G) del tema materal en el referencal Oxyz (Fgura 6.6). La coordenada de un elemento materal genérco, de maa dm, en lo do tema de eje coordenado etán relaconada por x x cm ξ y y cm η z z cm ζ [6.55] El momento de nerca del tema materal repecto del plano Oxy e z dm (z cm ζ) dm ζ dm z cm ζ dm z cm dm I z [6.56] pero ζ dm, por repreentar la pocón del centro de maa en el referencal del centro de maa; por conguente podemo ecrbr I z I ζ mz cm lo que demuetra el teorema. Del mmo modo: [6.57] Fgura 6.6 I x I ξ mx cm I y I η my cm [6.58] TEOEMA VIII.- Teorema de tener para lo momento axale. El momento de nerca con repecto a un eje cualquera e gual al momento de nerca repecto a un eje paralelo al anteror que pae por el centro de maa má el producto de la maa del cuerpo por el cuadrado de la dtanca entre ambo eje. En efecto, de acuerdo con el Teorema III, el momento de nerca con repecto al eje z erá I zz I x I y I ξ I η m(x cm y cm) I ζζ m(x cm y cm) [6.59]

22 478 Lec. 6.- Geometría de maa. Fgura 6.7

23 6.9.- Teorema de tener. 479 endo (x cm+y cm) el cuadrado de la dtanca entre lo eje z y ζ, lo que demuetra el teorema. Del mmo modo: I xx I ξξ m(y cm z cm) I yy I ηη m(x cm z cm) [6.6] TEOEMA IX.- Teorema de tener para lo momento polare. El momento de nerca con repecto a un punto cualquera e gual al momento de nerca repecto al centro de maa má el producto de la maa del cuerpo por el cuadrado de la dtanca entre ambo punto. De acuerdo con el Teorema I, el momento de nerca con repecto al punto O vene dado por I O I x I y I z I ξ I η I ζ m(x cm y cm z cm) [6.6] eto e, I [6.6] O I G md endo D la dtanca OG, lo que demuetra el teorema. En el Problema 6.4 proponemo la demotracón del guente teorema: TEOEMA X.- Teorema de tener para lo producto de nerca. El producto de nerca de un cuerpo repecto a un par de plano perpendculare e gual al producto de nerca repecto a otro par de plano paralelo a lo anterore y que paan por el centro de maa del cuerpo, meno el producto de la maa del cuerpo por la dtanca entre lo repectvo plano. Eto e, tenemo un tema de eje carteano (x,y,z) y otro tema de eje (ξ,η,ζ) que e una mple tralacón del tema de eje anteror hata llevar u orgen al centro de maa del cuerpo (Fgura 6.6), e verfca: I xy I ξη mx cm y cm I yz I ηζ my cm z cm I zx I ζξ mz cm x cm [6.63] 6.. Momento de nerca repecto a un eje cualquera.- Ahora vamo a relaconar el momento de nerca de un cuerpo repecto a un eje cualquera con lo momento y producto de nerca del cuerpo repecto a un tema de eje coordenado xyz concurrente con el eje dado. ea e el veror en la dreccón del eje. Dcho veror vendrá expreado en funcón de lo coeno drectore por e coα coβ coγ xyz [6.64] Fgura 6.8 Conderemo el elemento de maa dm y ea r u vector de pocón repecto al orgen de coordenada. El momento de nerca del cuerpo repecto al eje dado e I δ dm (r e) dm [6.65] ya que δ =(r e) e el cuadrado de la dtanca del elemento de maa dm al eje dado. Como

24 48 Lec. 6.- Geometría de maa. δ (r e) x co α y co β z co γ y coγ z coα x coβ z coβ x coγ y coα (y coγ z coβ) (z coα x coγ ) (x coβ y coα) (y z )co α (x z )co β (x y )co γ xy coα coβ xz coα coγ yz coβ coγ [6.66] de modo que la expreón [6.65] no conduce, depué de uttur la expreone de defncón de lo momento y producto de nerca, a la relacón I I xx co α I yy co β I zz co γ I xy coα coβ I xz coα coγ I yz coβ coγ [6.67] que no permte determnar el momento de nerca con repecto a un eje defndo por u coeno drectore conocemo lo momento y producto de nerca del cuerpo repecto a un tema de eje coordenado concurrente con el eje dado. Utlzando la notacón matrcal podemo ecrbr la expreón [6.67] hacendo ntervenr la matrz de nerca;.e., I co α co β co γ xyz I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz coα coβ co γ xyz [6.68] o ea I e I e [6.69] como el lector puede comprobar n má que efectuar lo producto matrcale. Ejemplo IX.- Varlla o barra delgada.- Calcular el momento de nerca de una varlla homogénea repecto de un eje perpendcular a la mma y que paa: a) por uno de u extremo; b) por u centro de maa. a) Conderemo el elemento de longtud dm = λ d = λ dx, como e ndca en la fgura. El momento de nerca peddo erá I L x dm λ L x dx λ x 3 L 3 3 λ L 3 3 (λ L) L 3 ml Fgura 6.9 b) Podemo proceder como en el apartado anteror, n má que extender la ntegracón entre -L/ y +L/, o ben aplcar el teorema de tener:

25 6..- Momento de nerca repecto a un eje cualquera. 48 I cm I O md 3 ml m L ml Ejemplo X.- Lámna rectangular delgada.- a) Determnar lo momento y producto de nerca para una lámna rectangular, delgada y homogénea, repecto de lo eje ndcado en la fgura. b) Calcular el momento de nerca repecto de una dagonal de la lámna. Fgura 6.3 Fgura 6.3 Comenzamo calculando el momento de nerca repecto del eje x. Para ello, decomponemo la lámna en etrecha banda paralela al eje x (ombreado claro en la fgura), de modo que toda la maa de cada una de dcha banda equdta del eje x. ea dy el epeor de una banda genérca tuada a una dtanca y del eje x; u maa erá dm = σd = σa dy. Entonce I xx y dm σ a b b y dy σ a y 3 3 b b 3 σ a b 3 4 σ ab b mb y, análogamente, e obtene I yy ma El Teorema IV (eje perpendculare) no permte determnar I zz I xx I yy m (a b ) Por etar contenda toda la maa de la lámna en el plano z =, erán nulo lo guente producto de nerca: I xz I zx I yz I zy Para calcular I xy conderamo un elemento de uperfce d =dx dy, cuya maa e dm = σ dx dy, I xy I yx xy dm σ a a xdx b b ydy σ x a a y b b como era de eperar, ya que para cada elemento de uperfce d de coordenada (x,y,) exte otro de coordenada (-x,y,), lo que hace que ea I xy =.

26 48 Lec. 6.- Geometría de maa. La matrz de nerca e I b m a a b b) Para determnar el momento de nerca repecto de una dagonal (v.g., PQ), comenzamo por determnar el veror correpondente a ea dreccón;.e., e a b a b de modo que, aplcando [6.69], tenemo I d e I e a b a b b m a a b a b a b m a b a b b a a b a b m a b a b 6 m a b a b Ejemplo XI.- Efera hueca.- a) Calcular el momento de nerca de una efera hueca y homogénea repecto de uno cualquera de u dámetro. b) Determnar la matrz de nerca en el centro de la efera. a) Pueto que toda la maa de la efera e encuentra a la mma dtanca del centro de la efera (O), el momento polar en dcho centro erá Fgura 6.3 I O m por lo que al aplcar el Teorema II, tenendo en cuenta que lo momento de nerca on guale repecto de cualquer dámetro de la efera, e gue I xx I yy I zz 3 I d I O I d 3 I O 3 m b) Como conecuenca de la metría de revolucón, e fácl comprender que todo lo producto de nerca on nulo, por lo que ecrbremo I 3 m

27 6..- Momento de nerca repecto a un eje cualquera. 483 Ejemplo XII.- Efera macza.- Determnar el momento de nerca de una efera macza y homogénea repecto a: a) uno cualquera de u dámetro, b) un eje tangente a la uperfce de la efera. a) Conderemo la efera macza compueta por nfnta efera hueca o capa eférca concéntrca. ea dr el epeor de una capa eférca genérca de rado r; u maa e dm ρ dv ρ 4πr dr y u momento polar en el centro de la efera (O) e Fgura 6.33 di O r dm r (ρ 4πr dr) ρ 4πr 4 dr de modo que el momento polar en O de la efera vale I O di O ρ 4π r 4 dr ρ 4π 5 r 5 ρ 4 5 π ρ 4 3 π m por lo que a aplcar el Teorema II, tenendo en cuenta que lo momento de nerca on guale repecto de cualquer dámetro de la efera, e gue I xx I yy I zz 3 I d I O I d 3 I O m 5 m b) Aplcando el teorema de tener tenemo I 5 m m 7 5 m Ejemplo XIII.- Clndro maczo.- Determnar el momento de nerca de un clndro recto crcular y homogéneo con repecto a un eje perpendcular a u eje de metría de revolucón y que paa por u centro. Un breve reflexón no decubrrá que el momento de nerca del clndro repecto del plano z= (.e., I z ) etá dado por la mma expreón que el momento de nerca de una varlla o barra delgada repecto a un eje perpendcular a la mma y que paa por u centro; eto e I z ml y, análogamente, el momento de nerca del clndro repecto del plano x= (.e., I x ) etá dado por la mma expreón que el momento de nerca de una lámna crcular repecto de uno de u dámetro; eto e Fgura 6.34

28 484 Lec. 6.- Geometría de maa. I x 4 m Entonce, aplcando el Teorema III (Plano Perpendculare) el momento peddo e la uma de lo do anterore: I yy I x I z 4 m ml Ejemplo XIV.- Cono crcular.- Calcular el momento de nerca de un cono recto de bae crcular, maczo y homogéneo con repecto a u eje de revolucón. Tomamo como elemento de volumen una rodaja del cono cortada perpendcularmente a u eje de revolucón, como e lutra en la fgura. La maa elemental e dm ρ dv ρπr dz El momento de nerca elemental repecto del eje z (.e., di zz )eel de un dco de maa dm y rado r: di zz r dm ρπr 4 dz de modo que el momento de nerca del cono, I zz, e obtene por ntegracón: Fgura 6.35 I zz V r dm ρπ r 4 dz V Para poder ntegrar, pueto que aparecen do varable en el ntegrando, haremo r z tgα dr dz tgα H dz o ea I zz ρπ r 4 dz V ρπ H r 4 dr ρπ H ρ 3 π H 3 m donde hemo tendo en cuenta el valor del volumen del cono,.e.,. 3 π H

29 Problema 485 Problema 6..- Cuatro partícula, cuya maa repectva on,, 3 y 4 undade, etán tuada en lo punto (,,), (3,,), (,,3) y (,4,), repectvamente. Determnar la pocón del centro de maa de la cuatro partícula Tre partícula déntca etán tuada en lo vértce de un trángulo. Demotrar que el centro de maa de la partícula etá localzado en el punto de ntereccón de la tre medana del trángulo Tre partícula, cuya maa on m, m y m 3, etán tuada en lo vértce de un trángulo. ean a, a y a 3 la longtude de lo lado opueto a cada uno de lo vértce del trángulo. Demotrar que el centro de maa del tema e encuentra en el punto de ntereccón de la tre bectrce del trángulo y ólo m /a = m /a = m 3 /a Arco de crcunferenca. Determnar la pocón del centrode de la curva guente: a) un arco de crcunferenca de emampltud angular α, b) un cuadrante de crcunferenca y c) una emcrcunferenca Batón. Determnar la pocón del centro de maa de un batón hecho con una barra de eccón tranveral y dendad contante cuyo puño tene forma emcrcular, de rado, endo L la longtud del mátl Barcentro del trángulo. Demotrar que el centro de maa de una lámna plana y homogénea de forma trangular e encuentra en el punto de ntereccón de la tre medana (barcentro) de dcho trángulo Porcone de círculo. Determnar la pocón del centrode de la guente uperfce: a) un ector crcular de emampltud angular α, b) un cuadrante de círculo, c) un emcírculo, d) un egmento crcular de una bae, e) un egmento crcular de do bae Determnar el centrode del egmento parabólco lmtado por la parábola y = ax y la recta y = H, en el plano xy Cclode. Localzar el centrode de la uperfce lmtada por un arco completo de la cclode x = a(φ - enφ) y = a( - coφ) yelejex Hpocclode. Determnar la pocón del centro de maa de una lámna plana y homogénea cuya forma e la del cuadrante de hpocclode 3 x y 3 3 a ombreado en la fgura adjunta. Prob. 6. ota: la ecuacone paramétrca de la hpocclode on: x=aco 3 φ, y=aen 3 φ Cono. Determnar la pocón del centro de maa de lo guente cuerpo, contnuo y homogéneo: a) un cono recto de bae crcular, b) un tronco de cono Localzar el centro de maa de un tetraedro regular Porcone de efera. Determnar la pocón del centro de maa de la guente porcone de una efera macza y homogénea: a) un egmento eférco de una bae, b) un egmento eférco de do bae, c) un ector eférco, d) una hemefera (macza), e) un octante de efera (macza) Calcular la apertura angular de un ector eférco (maczo) cuyo centrode e encuentre jutamente en el centro de la uperfce de conjuncón del cono y del egmento eférco que lo forman Cacarón eférco. Determnar la pocón del centrode de un cacarón hemeférco de parede gruea, endo y lo rado nteror y exteror, repectvamente Porcone de uperfce eférca. Determnar la pocón del centrode de la guente porcone de una uperfce eférca: a) una zona eférca de una bae, b) una zona eférca de do bae, c) una luna eférca Lámna eférca. Determnar la pocón del centro de maa de una lámna delgada y homogénea cuya forma e la de:

30 486 Lec. 6.- Geometría de maa. a) una hemefera, b) un octante de uperfce eférca En una efera de madera, macza y de rado, la carcoma ha hecho un hueco eférco, de rado /, tangente a la uperfce de la efera, como e ndca en la fgura adjunta. Localzar el centro de maa de la efera ahuecada Cortamo una hemefera de rado a de un cubo de arta b > a, como e muetra en la fgura. Localzar el centro de maa del cubo aí ahuecado. Prob. 6.8 Prob Do partícula de maa repectva m y m etá unda por una varlla lgera de longtud r. Demotrar que el momento de nerca de ete tema con repecto a un eje perpendcular a la varlla y que paa por el centro de maa del tema vene dado por µr, endo µ la maa reducda del tema Determnar el momento de nerca de una lámna plana, de maa m, cuya forma e la de una corona crcular, de rado y, con repeto a: a) un eje dametral; b) un eje tangencal a u borde y contendo en u mmo plano La dendad de una varlla recta aumenta en proporcón drecta a la dtanca a uno de u extremo, en el que e nula. Determnar el momento de nerca de la varlla con repecto a un eje perpendcular a ella y que paa por: a) uno y otro de u extremo; b) u centro de maa; c) u centro geométrco La dendad de un efera aumenta radalmente en proporcón drecta a la dtanca a u centro, endo nula en éte. Determnar el momento de nerca de la efera con repeto a: a) el centro de la efera; b) un plano dametral; c) un plano tangente; d) un eje dametral; e) un eje tangencal a la efera Teorema de tener para lo producto de nerca.- Ete teorema etablece que el producto de nerca de un cuerpo repecto a un par de eje perpendculare e gual al producto de nerca repecto a otro par de eje paralelo a lo anterore y que paan por el centro de maa del cuerpo, meno el producto de la maa del cuerpo por la coordenada de pocón de dcho centro de maa repecto a lo eje prmtvo. Eto e, tenemo un tema de eje carteano (x,y,z) y otro tema de eje (ξ,η,ζ) que e una mple tralacón del tema de eje anteror hata llevar u orgen al centro de maa del cuerpo, e verfca: I xy I ξη mx cm y cm I yz I ηζ my cm z cm I zx I ζξ mz cm x cm Determnar el momento de nerca de una barra recta y homogénea repecto a un eje que forma un ángulo θ con la barra y que paa por: a) u centro; b) uno de u extremo Una lámna crcular de rado y maa M tene una dendad uperfcal varable dada por σ = σ ( + r/), endo r la dtanca de un punto al centro de la lámna. Calcular el momento de nerca y el rado de gro de la lámna crcular repecto a: a) un eje perpendcular al plano de la lámna y que paa por u centro; b) un dámetro El cuadro de un galvanómetro D Aronval etá formado por 5 epra de hlo conductor muy apretada. La dmenone del cuadro on cm 3 cm, como e ndca en la fgura y la dendad lneal del hlo e de.5 g/cm. Con eto dato, calcular el momento de nerca del cuadro repecto a u eje de rotacón. Prob Lámna trangular. Determnar el momento de nerca de una lámna plana y homogénea, cuya forma e la de un trángulo rectángulo ócele, con repecto cada uno de lo eje que e ndcan: a) cada uno de lo lado de la lámna; b) cada uno de lo eje defndo por la bectrce de lo ángulo del trángulo; c) un eje perpendcular a la lámna en el vértce del ángulo recto de la mma; d) ídem en otro de lo vértce; e) ídem por el centro de la lámna Lámna elíptca. Determnar la matrz de nerca en el centro de una lámna plana y homogénea, de forma elíptca, endo a y b u emeje.

31 Problema Cubo homogéneo. Determnar el momento de nerca de un cubo homogéneo repecto a cada uno de lo eje guente: a) eje que paa por el centro de do cara opueta; b) eje que concde con una de la arta; c) una de la dagonale nterore del cubo Determnar el momento de nerca de un cono recto crcular, maczo y homogéneo, de altura H y rado, con repecto a: a) un eje perpendcular al eje de metría en el vértce del cono; b) un dámetro de u bae. Prob La barra delgada y homogénea de la fgura pea 8 kg y etá oportada en AyB medante oporte de cuenca y bola. a) Determnar la matrz de nerca. b) Calcular el momento de nerca de la barra con repecto al eje de rotacón AB. c) Determnar lo momento y lo eje prncpale de nerca. * Conderemo la matrz de nerca (A B) (A B) (A B) (A B) C Efectuemo una rotacón del tema de coordenada, grándolo un ángulo arbtraro θ alrededor del eje z. a) Evaluar la matrz de nerca en el nuevo tema de coordenada. b) Demotrar que la matrz e dagonalza en A, B y C elegmo θ=π/4.

32 488 Lec. 6.- Geometría de maa.